湖北省武汉市2026-2027学年人教版数学八年级上册期中模拟试卷（四）

湖北省武汉市2026-2027学年度第一学期人教版八年级期中模拟试卷（四） 一．选择题（共10小题） 1．下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形的是（　　） A．笛卡尔心形线 B．赵爽弦图 C．莱洛三角形 D．科克曲线 2．点P（2，3）关于x轴的对称的点的坐标是（　　） A．（ 2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3） 3．若三角形的两边长分别为4和9，则该三角形第三边的长可能是（　　） A．7 B．4 C．13 D．5 4．如图，是尺规作图中“作一个角等于已知角”的示意图．从作图过程中，能判定△COD≌△C′O′D′的依据是（　　） A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS 5．如图，△ABC≌△DEF，BC＝6，CF＝2，则EC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，△ABC≌△EBD，点E在BC上，若AB＝3cm，BD＝5cm，则CE的长度是（　　） A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3.5cm 7．等腰三角形一边长是5，另一边长是11，则它的周长为（　　） A．27 B．21 C．16 D．21或27 8．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC＝9，则AD的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，点D是边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，若AE＝CF，则△BDE与△CDF的面积的和是（　　） A．18 B．12 C．9 D．不能确定 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，S△ABC＝27，直线EF垂直平分线段AB，若点D为边BC的中点，点G为直线EF上一动点，则△BDG周长的最小值为（　　） A．12 B．13 C．10 D．14 二．填空题（共6小题） 11．已知点P（a，2）和点Q（﹣4，b）关于x轴对称，则a+b＝_______ ． 12．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ________________ ． 13．如图，已知点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，请你再补充一个条件，使△ABE≌△ACD．你补充的条件是________________ ． 14．等腰三角形有一内角为80°，则这个等腰三角形底角的度数为 ______________ ． 15．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，点F在BC的延长线上，过点F作FH⊥AE，交AB于H，下列四个结论： ①∠DAE＝∠F； ②∠AEC＝∠B+∠EAC； ③2∠AEF＝∠ACF+∠BAE； ④2∠F＝∠ACB﹣∠B． 其中正确的结论是 ________ （填写序号）． 16．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，AC＝BC，∠ACB＝∠ADB＝90°，BD＝a，AD＝b，用含a，b的代数式表示△BCD的面积是 ____________________ ． 三．解答题（共8小题） 17．如图，AD⊥BC，垂足为D，∠1＝∠2，∠C＝60°．求∠BAC的度数． 18．如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且BF＝CE，AE＝DF，求证：AB∥CD． 19．如图在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求∠A的度数． 20．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF交AD于点O． （1）求证：AD垂直平分EF； （2）若∠EDF＝120°，求证：AO＝3DO． 21．如图，是由边长为1的小正方形组成的16×9的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点，AB＝AC＝10，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，画图的过程用虚线表示． （1）在BC上画点D，使得AD平分△ABC的面积； （2）在AB边上画点E，使得∠BCE＝∠BAD； （3）M为AC边上一点，在AB边上画点N，使得AN＝AM； （4）在平面内画点G，使得NG＝2ND． 22．已知，在△ABC与△ADE中，AE＝AC，AB＝AD，∠BAC+∠DAE＝180°． （1）如图1，若AB＝AC，AM⊥BC于点M． ①求证：∠E＝∠BAM； ②猜想AM与DE之间的数量关系，并证明． （2）如图2，求证：S△ABC＝S△ADE． 23．在等腰△ACD和等腰△BCE中，AD＝CD，CE＝BE，∠ADC＝∠CEB＝α． （1）如图1，当α＝60°时，连接AE，BD，求证：AE＝DB； （2）当α＝90°时，P是AB的中点，连接PE． ①如图2，当A，C，B在同一条直线上时，连接DP，求证：DP＝EP； ②如图3，当A，C，B不在同一条直线上时，连接DE，求∠DEP的大小． 24．在等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点． （1）如图1，连接BE，若AD＝6，△BEC的周长为19，直接写出BC的长； （2）若AF是△ABC的中线． ①如图2，AF交DE于点O，若∠BAC＝30°，求证：EC＝2OD+OE； ②如图3，M是AF的中点，N是射线BF上的动点，连接MN，作等边△MNP，连接AP，若AF＝11，直接写出AP的最小值． 湖北省武汉市2026-2027学年度第一学期人教版八年级期中模拟试卷（四） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形的是（　　） A．笛卡尔心形线 B．赵爽弦图 C．莱洛三角形 D．科克曲线 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项中的图形不能找到这样的两条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．点P（2，3）关于x轴的对称的点的坐标是（　　） A．（ 2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3） 【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）得出即可． 【解答】解：∵点P坐标为（2，3） ∴点P关于x轴的对称点的坐标为：（2，﹣3）． 故选：A． 【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质，正确记忆坐标规律是解题关键．关于x轴对称点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数． 3．若三角形的两边长分别为4和9，则该三角形第三边的长可能是（　　） A．7 B．4 C．13 D．5 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，设三角形第三边的长是x，得到5＜x＜13，即可得到答案． 【解答】解：设三角形第三边的长是x， 由三角形三边关系定理得：9﹣4＜x＜9+4， ∴5＜x＜13， ∴三角形第三边的长可能是7． 故选：A． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 4．如图，是尺规作图中“作一个角等于已知角”的示意图．从作图过程中，能判定△COD≌△C′O′D′的依据是（　　） A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS 【分析】由三角形全等的判定来解题． 【解答】解：由作图痕迹得， 在△COD和△C′O′D′中， ， 故△COD≌△C′O′D′（SSS）， 故选：D． 【点评】本题主要考查作图﹣尺规作图的定义，三角形全等的判定，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 5．如图，△ABC≌△DEF，BC＝6，CF＝2，则EC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】利用全等三角形的性质可得BC＝EF＝6，再利用线段的和差关系计算即可． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF＝6， ∵CF＝2， ∴EC＝EF﹣CF＝6﹣2＝4， 故选：C． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 6．如图，△ABC≌△EBD，点E在BC上，若AB＝3cm，BD＝5cm，则CE的长度是（　　） A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3.5cm 【分析】根据全等三角形的性质得到BE＝AB＝3cm，BC＝BD＝5cm，计算即可． 【解答】解：∵△ABC≌△EBD，AB＝3cm，BD＝5cm， ∴BE＝AB＝3cm，BC＝BD＝5cm， ∴CE＝BC﹣BE＝5﹣3＝2（cm）， 故选：C． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键． 7．等腰三角形一边长是5，另一边长是11，则它的周长为（　　） A．27 B．21 C．16 D．21或27 【分析】因为等腰三角形的两边分别为5和11，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【解答】解：当5为底时，其它两边都为11，5、11、11可以构成三角形，周长为27； 当5为腰时，其它两边为5和11，因为5+5＝10＜11，所以不能构成三角形，故舍去． 故选：A． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 8．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC＝9，则AD的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】设AD＝a，则CD＝9﹣a，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A＝∠C＝30°，再根据线段垂直平分线的性质得AD＝BD＝a，则∠DBA＝∠A＝30°，进而得∠CBD＝90°，然后在Rt△CBD中，根据∠C＝30°得CD＝2BD，由此可求出a的值，进而可得AD的长 【解答】解：设AD＝a， ∵AC＝9， ∴CD＝AC﹣AD＝9﹣a， ∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°， ∴∠A＝∠C（180°﹣∠ABC）＝30°， ∵AB的垂直平分线交AC于点D， ∴AD＝BD＝a， ∴∠DBA＝∠A＝30°， ∴∠CBD＝∠ABC﹣∠DBA＝120°﹣30°＝90°， 在Rt△CBD中，∠C＝30°， ∴CD＝2BD， ∴9﹣a＝2a， ∴a＝3， ∴AD＝a＝3． 故选：B． 【点评】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 9．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，点D是边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，若AE＝CF，则△BDE与△CDF的面积的和是（　　） A．18 B．12 C．9 D．不能确定 【分析】由等腰直角三角形的性质可得AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，S△ABC6×6＝18，由“SAS”可证△ADE≌△CDF，可得S△ADE＝S△CDF，即可求解． 【解答】解：如图，连接AD， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点， ∴AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，S△ABC6×6＝18， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴S△ADE＝S△CDF， ∴△BDE与△CDF的面积的和＝四边形AEDF的面积＝S△ADCS△ABC＝9， 故选：C． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，S△ABC＝27，直线EF垂直平分线段AB，若点D为边BC的中点，点G为直线EF上一动点，则△BDG周长的最小值为（　　） A．12 B．13 C．10 D．14 【分析】连接AG，AD，推出△BDG周长的最小值为AD+3，证明AD⊥BC，再利用三角形的面积公式列方程求出AD即可解决问题． 【解答】解：连接AG，AD， ∵直线EF垂直平分线段AB， ∴AG＝BG， ∵点D为边BC的中点，BC＝6， ∴BDBC＝3， ∴△BDG周长＝BG+DG+BD＝AG+DG+3≥AD+3， ∴△BDG周长的最小值为AD+3， ∵AB＝AC，点D为边BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵BC＝6，S△ABC＝27， ∴6AD＝27， 解得AD＝9， ∴△BDG周长的最小值为9+3＝12， 故选：A． 【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，解答中涉及线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出△BDG周长的最小值为AD+3是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．已知点P（a，2）和点Q（﹣4，b）关于x轴对称，则a+b＝　﹣6　 ． 【分析】由点P（a，2）和点Q（﹣4，b）关于x轴对称，知a＝﹣4，b＝﹣2，代入计算即可． 【解答】解：∵点P（a，2）和点Q（﹣4，b）关于x轴对称， ∴a＝﹣4，b＝﹣2， 则a+b＝﹣4﹣2＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】本题主要考查关于x、y轴对称的点的坐标，关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 12．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 　同位角相等，两直线平行　 ． 【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题． 【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等． ∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 13．如图，已知点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，请你再补充一个条件，使△ABE≌△ACD．你补充的条件是　∠B＝∠C或AD＝AE ． 【分析】在△ABE与△ACD中，已知一组对应边相等、一组对应角相等，所以添加另外一组对应边（角）相等即可推知△ABE≌△ACD． 【解答】解：∠B＝∠C， 理由是：∵在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（ASA）． 或者添加AD＝AE． 理由是：∵在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）． 或者添加AD＝AE． 故答案为：∠B＝∠C或AD＝AE． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能理解全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 14．等腰三角形有一内角为80°，则这个等腰三角形底角的度数为 　50° 或 80°　 ． 【分析】由于不明确80°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分80°的角是顶角和底角两种情况讨论． 【解答】解：分两种情况： ①当80°的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数＝（180°﹣80°）÷2＝50°； ②当80°的角为等腰三角形的底角时，其底角为80°， 故它的底角度数是50°或80°． 故答案为：50° 或 80°． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解答此题时要注意80°的角是顶角和底角两种情况，不要漏解，分类讨论是正确解答本题的关键． 15．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，点F在BC的延长线上，过点F作FH⊥AE，交AB于H，下列四个结论： ①∠DAE＝∠F； ②∠AEC＝∠B+∠EAC； ③2∠AEF＝∠ACF+∠BAE； ④2∠F＝∠ACB﹣∠B． 其中正确的结论是 　①②④　 （填写序号）． 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的性质，三角形外角的性质逐项推理证明即可． 【解答】解：∵FH⊥AE，AD⊥BC， ∴∠AMF＝∠ADF＝90°， ∵∠AGM＝∠DGF， ∴∠DAE＝∠F； 故①符合题意； ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠EAC， ∵∠AEC＝∠B+∠BAE， ∴∠AEC＝∠B+∠EAC， 故②符合题意； ∵∠AEF＝∠BAE+∠B， ∴2∠AEF＝2∠BAE+2∠B＝∠BAC+2∠B， ∵∠ACF＝∠BAC+∠B， ∴2∠AEF＝∠B+∠ACF， 故③不符合题意； ∴∠EAC＝∠DAE+∠CAD＝∠F+∠CAD， ∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAC＝2∠EAC＝2∠F+2∠CAD， 即∠BAC＝2∠F+2（90°﹣∠ACB）＝180°+2∠F﹣2∠ACB， 又∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB， ∴180°+2∠F﹣2∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠ACB， 整理得：2∠F＝∠ACB﹣∠B． 故结论④符合题意． 综上：正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练应用三角形内角和定理，三角形的外角性质． 16．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，AC＝BC，∠ACB＝∠ADB＝90°，BD＝a，AD＝b，用含a，b的代数式表示△BCD的面积是 　　 ． 【分析】过点C作CH⊥CD，交BD于点H，得到∠DCH＝90°＝∠ACB，求得∠CAD＝∠CBD，根据全等三角形的判定和性质定理得到CD＝CH，AD＝BH＝b，求得△CDH是等腰直角三角形，DH＝a﹣b，过C作CF⊥DH于F，得到CF（a﹣b），根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：如图，过点C作CH⊥CD，交BD于点H， ∴∠DCH＝90°＝∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCH， ∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∠AED＝∠BEC， ∴∠CAD＝∠CBD， 又∵AC＝BC， ∴△ADC≌△BHC（ASA）， ∴CD＝CH，AD＝BH＝b， ∴△CDH是等腰直角三角形，DH＝a﹣b， 过C作CF⊥DH于F， ∴CF（a﹣b）， ∴△BCD的面积a（a﹣b）， 故答案为：； 【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 17．如图，AD⊥BC，垂足为D，∠1＝∠2，∠C＝60°．求∠BAC的度数． 【分析】由垂直可得∠ADB＝∠ADC＝90°，利用三角形的内角和可求得∠1＝45°，∠CAD＝30°，从而可求∠BAC的度数． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵∠1＝∠2，∠C＝60°，∠1+∠2+∠ADB＝180°，∠C+∠ADC+∠CAD＝180°， ∴∠1＝∠2＝45°，∠CAD＝30°， ∴∠BAC＝∠1+∠CAD＝75°． 【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为180°． 18．如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且BF＝CE，AE＝DF，求证：AB∥CD． 【分析】证明△ABE≌△DCF，得出∠B＝∠C，得AB∥CD． 【解答】证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°， ∵BF＝CE， ∴BF﹣EF＝CE﹣EF， ∴BE＝CF， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠B＝∠C， ∴AB∥CD． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识，证明△ABE≌△DCF是解题的关键． 19．如图在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求∠A的度数． 【分析】由已知条件开始，通过线段相等，得到角相等，再由三角形内角和求出各个角的大小． 【解答】解：设∠A＝x°． ∵BD＝AD， ∴∠A＝∠ABD＝x°， ∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x°， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD＝2x°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠BCD＝2x°， 在△ABC中x+2x+2x＝180， 解得：x＝36， ∴∠A＝36°． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质；熟练掌握等于三角形的性质，以及三角形内角和定理，得到各角之间的关系式解答本题的关键． 20．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF交AD于点O． （1）求证：AD垂直平分EF； （2）若∠EDF＝120°，求证：AO＝3DO． 【分析】（1）判定△ADE≌△ADF（AAS），推出AE＝AF，由等腰三角形的性质推出AD垂直平分EF； （2）由角平分线的性质推出DE＝DF，得到∠DEF＝∠DFE，求出∠DEO＝30°，由含30度角的直角三角形的性质推出AD＝4OD，即可证明AO＝3OD． 【解答】证明：（1）∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠DAE＝∠DAF， ∵DE，DF分别是△ABD和△ACD的高， ∴∠AED＝∠AFD＝90°， ∵∠DAE＝∠DAF，AD＝AD， ∴△ADE≌△ADF（AAS）， ∴AE＝AF， ∵AD平分∠EAF， ∴AD垂直平分EF； （2）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， ∴∠DEF＝∠DFE， ∵∠EDF＝120°， ∴∠DEO（180°﹣120°）＝30°， ∴DE＝2OD， ∵∠AEO＝90°﹣∠DEO＝60°， ∴∠DAE＝90°﹣∠AEO＝30°， ∴AD＝2DE， ∴AD＝4OD， ∴AO＝3OD． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形，关键是判定△ADE≌△ADF，由含30度角的直角三角形的性质推出AD＝4OD． 21．如图，是由边长为1的小正方形组成的16×9的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点，AB＝AC＝10，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，画图的过程用虚线表示． （1）在BC上画点D，使得AD平分△ABC的面积； （2）在AB边上画点E，使得∠BCE＝∠BAD； （3）M为AC边上一点，在AB边上画点N，使得AN＝AM； （4）在平面内画点G，使得NG＝2ND． 【分析】（1）利用网格特征取BC的中点D，连接AD即可； （2）取格点Q，连接CQ交AB于点E，点E即为所求（由∠AEC＝∠ADC＝90°，可得结论）； （3）利用对称性画出图形，连接BM交AD于点J，连接CJ，延长CJ交AB于点N，点N即为所求； （4）取格点H，连接CH，DHAB＝CH，AB∥CH），延长ND交CH于点G，点G即为所求． 【解答】解：（1）如图，线段AD即为所求； （2）如图，点E即为所求； （3）如图，点N即为所求； （4）如图，点G即为所求． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 22．已知，在△ABC与△ADE中，AE＝AC，AB＝AD，∠BAC+∠DAE＝180°． （1）如图1，若AB＝AC，AM⊥BC于点M． ①求证：∠E＝∠BAM； ②猜想AM与DE之间的数量关系，并证明． （2）如图2，求证：S△ABC＝S△ADE． 【分析】（1）①如图1，过点A作AF⊥DE于F，先根据等量代换可得：AE＝AD，由等腰三角形三线合一的性质可得：∠EAF∠EAD，∠BAM∠BAC，则∠EAF+∠BAM＝90°，最后由同角的余角可得结论； ②如图1，过点A作AF⊥DE于F，根据AAS证明△AFE≌△CMA，得AM＝EF，由等腰三角形三线合一的性质可得：AMDE； （2）延长EA至N，使AN＝AE，连接DN，根据三角形的中线平分三角形的面积可得：S△AED＝S△ADN，证明△ABC≌△ADN（SAS），则S△ABC＝S△ADN，从而可得结论． 【解答】（1）①证明：如图1，过点A作AF⊥DE于F， ∵AE＝AC，AD＝AB，AB＝AC， ∴AE＝AD， ∴∠EAF∠EAD， ∵AB＝AC，AM⊥BC， ∴∠BAM∠BAC， ∵∠EAD+∠BAC＝180°， ∴∠EAF+∠BAM＝90°， ∵∠AFE＝90°＝∠EAF+∠E＝90°， ∴∠E＝∠BAM； ②AMDE，理由如下： 如图1，过点A作AF⊥DE于F， 由①知：∠E＝∠BAM， ∵AB＝AC，AM⊥BC， ∴∠BAM＝∠CAM， ∴∠E＝∠CAM， ∵∠AFE＝∠AMC＝90°，AE＝AC， ∴△AFE≌△CMA（AAS）， ∴AM＝EF， ∵AE＝AD，AF⊥DE， ∴EF＝DFDE， ∴AMDE； （2）证明：延长EA至N，使AN＝AE，连接DN， ∴S△AED＝S△ADN，∠EAD+∠DAN＝180°， ∵∠BAC+∠EAD＝180°， ∴∠DAN＝∠BAC， ∵AE＝AC，AE＝AN， ∴AC＝AN， ∵AB＝AD， ∴△ABC≌△ADN（SAS）， ∴S△ABC＝S△ADN， ∴S△ABC＝S△ADE． 【点评】本题是三角形的综合题，涉及全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，通过辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 23．在等腰△ACD和等腰△BCE中，AD＝CD，CE＝BE，∠ADC＝∠CEB＝α． （1）如图1，当α＝60°时，连接AE，BD，求证：AE＝DB； （2）当α＝90°时，P是AB的中点，连接PE． ①如图2，当A，C，B在同一条直线上时，连接DP，求证：DP＝EP； ②如图3，当A，C，B不在同一条直线上时，连接DE，求∠DEP的大小． 【分析】（1）根据SAS证明△ACE≌△DCB可得结论； （2）①如图2，延长EP至Q，使EP＝PQ，连接AQ，DQ，DE，证明△APQ≌△BPE（SAS），则AQ＝BE＝CE，∠QAB＝∠B，当α＝90°时，△ADC和△BCE都是等腰直角三角形，再证明△DAQ≌△DCE（SAS），得△DQE和△DPE是等腰直角三角形，从而可得结论； ②如图3，延长EP至Q，使EP＝PQ，连接AQ，DQ，延长BE交AD于H，同理得：△APQ≌△BPE，并得AQ∥BE，再证明△DAQ≌△DCE（SAS）即可解答． 【解答】（1）证明：∵∠ADC＝∠CEB＝α＝60°，AD＝CD，CE＝BE， ∴△ADC和△BCE是等边三角形， ∴∠ACD＝∠BCE＝60°，AC＝DC，BC＝CE， ∴∠ACE＝∠DCB， ∴△ACE≌△DCB（SAS）， ∴AE＝BD； （2）①证明：如图2，延长EP至Q，使EP＝PQ，连接AQ，DQ，DE， ∵P是AB的中点， ∴PA＝PB， ∵∠APQ＝∠BPE， ∴△APQ≌△BPE（SAS）， ∴AQ＝BE＝CE，∠QAB＝∠B， 当α＝90°时，△ADC和△BCE都是等腰直角三角形， ∴∠DAC＝∠DCA＝∠B＝∠ECB＝45°， ∴∠DAQ＝∠DCE＝90°， ∵AD＝CD，AQ＝CE， ∴△DAQ≌△DCE（SAS）， ∴DQ＝DE，∠ADQ＝∠CDE， ∵∠ADQ+∠CDQ＝90°， ∴∠CDE+∠CDQ＝90°， ∴△DQE是等腰直角三角形， ∴∠DEQ＝45°， ∵EP＝PQ， ∴DP⊥EQ， ∴△DPE是等腰直角三角形， ∴DP＝PE； ②解：如图3，延长EP至Q，使EP＝PQ，连接AQ，DQ，延长BE交AD于H， 同理得：△APQ≌△BPE， ∴AQ＝BE＝CE，∠AQP＝∠PEB， ∴AQ∥BE， ∴∠DHE＝∠DAQ， ∵∠HDC＝∠HEC＝90°，∠DOH＝∠EOC， ∴∠DHE＝∠DCE， ∴∠DAQ＝∠DCE， ∵AD＝CD， ∴△DAQ≌△DCE（SAS）， ∴∠ADQ＝∠CDE，DQ＝DE， ∴∠EDQ＝∠ADC＝90°， ∴△QDE是等腰直角三角形， ∴∠DEP＝45°． 【点评】本题是三角形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，倍长中线的运用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 24．在等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点． （1）如图1，连接BE，若AD＝6，△BEC的周长为19，直接写出BC的长； （2）若AF是△ABC的中线． ①如图2，AF交DE于点O，若∠BAC＝30°，求证：EC＝2OD+OE； ②如图3，M是AF的中点，N是射线BF上的动点，连接MN，作等边△MNP，连接AP，若AF＝11，直接写出AP的最小值． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得：AE＝BE，AD＝BD，再由AB＝AC和三角形的周长可得BC的长； （2）①如图2，在直线DE上截取DM＝DO，连接AM，BM，BE，根据线段垂直平分线的性质可得：AM＝BM，AE＝BE，∠BDE＝90°，由等腰三角形三线合一的性质得：∠BAF＝∠CAF＝15°，再证明△BCE≌△BME（AAS）即可解答； ②解法一：如图3，以FM为边向右作等边△FMK，作直线PK交AF的延长线于G，交射线BF于点Q，在QP上取一点H，在射线BF上取一点D，使PH＝ND，连接DH，先确定点P的运动轨迹是：当等边△MNP在AF的右边时，点P在射线GH上运动，当AP⊥PG时，AP的长最小，从而可以解答． 解法二：如图4，向右构建等边△AMK，过点K作KH⊥BF于H，易得△AMP≌△KMN（SAS），则AP＝KN，根据KN≥KH，即可解答． 【解答】（1）解：如图1，∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE，AD＝BD， ∵AD＝6， ∴AB＝12， ∵AB＝AC， ∴AC＝12， ∴BE+CE＝AE+CE＝12， ∵△BEC的周长为19， ∴BE+CE+BC＝19， ∴BC＝19﹣12＝7； （2）①证明：如图2，在直线DE上截取DM＝DO，连接AM，BM，BE， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AM＝BM，AE＝BE，∠BDE＝90°， ∴∠BAE＝∠ABE＝30°， ∴∠BEC＝30°+30°＝60°＝∠BED， ∵AB＝AC，AF是中线，∠BAC＝30°， ∴∠BAF＝∠CAF30°＝15°， ∴∠C75°， ∵OD＝DM，AB⊥OM， ∴AB是OM的垂直平分线， ∴AO＝AM， ∴∠DAM＝∠DAO＝15°， ∴∠AMD＝75°， ∵AM＝BM，DM⊥AB， ∴∠BMD＝∠AMD＝75°， ∴∠C＝∠BMD， ∵BE＝BE， ∴△BCE≌△BME（AAS）， ∴CE＝EM＝2OD+OE； ②解法一：∵AF＝11，M是AF的中点， ∴AM＝FM， 如图3，以FM为边向右作等边△FMK，作直线PK交AF的延长线于G，交射线BF于点Q，在QP上取一点H，在射线BF上取一点D，使PH＝ND，连接DH， ∴∠FMK＝∠MFK＝60°，FM＝MK， ∵△MNP是等边三角形， ∴MN＝MP，∠NMP＝60°， ∴∠NMP＝∠FMK＝60°， ∴∠FMN＝∠KMP， ∴△MFN≌△MKP（SAS）， ∴∠MKP＝∠NFM＝90°，∠FNM＝∠MPK， ∴∠MND＝∠MPH， ∵PM＝MN， ∴△MPH≌△MND（SAS）， ∴MH＝MD，∠PMH＝∠DMN，∠MHP＝∠MDN， ∴∠DMH＝∠PMN＝60°， ∴△DMH是等边三角形， ∴当等边△MNP在AF的右边时，点P在射线GH上运动， 当AP⊥PG时，AP的长最小， ∵∠MHP＝∠MDN，∠DOQ＝∠MOH， ∴∠DQO＝∠DMH＝60°＝∠FQG， ∵∠GFQ＝90°， ∴∠G＝30°， Rt△MKG中，MKMG（FM+FG）， ∵MK＝MF， ∴FM＝FG， ∴AG， ∴AP的最小值AG． ∴当等边△MNP在AF的左边时，同理得：AP的最小值是． 综上，AP的最小值AG． 解法二：如图4，向右构建等边△AMK，过点K作KH⊥BF于H， 易得△AMP≌△KMN（SAS）， ∴AP＝KN， ∵K是定点，BF是定直线， ∴KN≥KH， ∴AP的最小值＝KHAF． 【点评】本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的判定和性质，确定动点P的轨迹，垂线段最短，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识，确定动点P的轨迹，正确作辅助线构建全等三角形是解本题的关键，属于中考压轴题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/26 20:51:03；用户：狼的诱惑；邮箱：UID_B6F2C37AC4BC0A081F64DF52B2C648C2@qq.jyeoo.com；学号：24278983 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $