2.4　一元二次方程的应用 教学设计2026-2027学年北师大版九年级数学上册

姓名

学科段

初中数学

授课班级

职称

教龄

授课时间

课题

2.4　一元二次方程的应用

教材分析

本节是第二章第6节“应用一元二次方程”，教材第52—55页。教材以面积问题、增长率问题、利润问题等现实情境为载体，引导学生经历“审题—设未知数—列方程—解方程—检验取舍—作答”的完整建模过程，重点训练把实际问题中的等量关系抽象为一元二次方程，并结合题意对根进行取舍。本节是方程知识的综合应用，也是培养模型观念与应用意识的重要载体。

核心素养目标

1. 模型观念：能把面积、增长率、利润等实际问题抽象为一元二次方程模型。

2. 运算能力：能正确求解所列方程，并根据实际意义检验根的合理性。

3. 应用意识：体会数学在解决现实问题中的价值，形成规范的应用题书写习惯。

4. 推理意识：能对不合题意的根作出说明并舍去。

教学重点

1. 面积问题、增长率问题、利润问题中等量关系的分析与方程的列出；

2. 解后检验与根的取舍，规范书写应用题的解答过程。

教学难点

1. 复杂情境中数量关系的梳理（如围栏总长与边长、利润与销量的联动变化）；

2. 结合实际意义判断并舍去不合题意的根。

学情分析

1. 已有基础：学生已掌握一元二次方程的各种解法，有列一元一次方程、分式方程解应用题的经验，熟悉“设—列—解—验—答”的基本步骤。

2. 可能困难：设未知数后不会用含 的代数式表示相关量；增长率问题中把“增长两次”误列成一次式；解出两个根后不检验、不舍去；利润问题中降价幅度与销量变化的对应关系容易混淆。

3. 教学对策：用线段图、表格梳理数量关系；用固定建模步骤规范书写；专门安排“验根取舍”的辨析环节。

教学方法

问题驱动与例题精讲相结合；采用“审题画图—设元列式—求解验根—变式拓展”的模式，小组合作梳理等量关系。

课时安排

1 课时（40 分钟）

教学资源

多媒体课件、导学案、面积与围栏示意图、北师大版《数学》九年级上册教材（第52—55页）。

教学流程设计

任务/环节

教学内容与问题设计

教师活动

学生活动

学习评价设计

环节一

情境引入，回顾步骤

问题1：列方程解应用题一般分哪几步？（审题—设未知数—列方程—解方程—检验—作答）

情境：一块矩形场地，利用一面墙围成三个相连的矩形花圃，围栏总

复习应用题一般步骤；呈现面积情境，引导学生画示意图、标注各边；示范用 表示相关量。

回顾解题步骤；观察示意图，说出边长与围栏总长的关系；尝试设未知数并表示另一条边。

能否说出应用题的基本步骤；能否用含 的代数式表示相关边长。

长已知，求花圃的长与宽。

问题2：围栏总长与各边边长之间有什么关系？如何用含 的代数式表示另一条边？

引入：本节学习用一元二次方程解决面积、增长率、利润等实际问题。

设计意图：激活列方程解应用题的已有经验，用面积情境引出本节建模主题，为后续例题提供方法框架。

环节二

面积问题，例题精讲

例1：一块长 8 m、宽 5 m 的矩形地毯，四周镶上宽度相同的花边，地毯与花边的总面积为 m²，求花边的宽度。

解：设花边宽度为 m，则地毯与花边组成的大矩形长为 m、宽为 m。

由题意，得 ；整理得 ；解得 ，。

检验： 不合题意，舍去；∴ 花边宽度为 m。

变式：在矩形铁皮四角各剪去一个边长为 的正方形，折成无盖盒子，已知底面积，求 。

引导学生画大矩形与小矩形的示意图；示范列方程、整理一般形式、求解与验根取舍的完整书写；强调负根必须舍去并说明理由。

跟随教师完成例1；独立完成变式；板演解答过程；说明舍去负根的理由。

含 的代数式是否正确；方程整理是否规范；是否检验并舍去不合题意的根。

设计意图：以面积问题示范完整建模过程，突出“设元—列式—验根”三个关键环节，培养规范书写习惯。

环节三

增长率问题

问题3：某厂一月份产值为 万元，平均每月增长率为 ，则二月份、三月份产值分别怎样表示？

两次增长模型：；两次下降模型：。

例2：某商品原价 100 元，经过两次降价后售价为 81 元，求平均每次降价的百分率。

解：设平均每次降价的百分率为 ，由题意，得 ；解得

引导学生逐月写出产值表达式，归纳 的模型；强调百分率的取值范围（），超出范围的根舍去。

推导两次增长、两次下降的模型；独立完成例2；讨论 为什么不合题意。

模型选择是否正确（增长用 、下降用 ）；百分率是否化为百分数；是否检验取值范围。