2.4 一元二次方程的应用（第1课时）教学设计 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程解决几何运动问题，通过梯子滑动问题回忆旧知，引出新探究，搭建从已有方程应用经验到动态几何建模的学习支架，梳理“实际问题→几何建模→列方程→求解→检验”的完整流程。 此资料以航海补给、《九章算术》古题等实例为载体，融合数学建模与数形结合思想，引导学生标注变量、寻找等量关系，培养几何直观与模型意识，提升分析动态问题能力，为教师提供结构化教学方案，助力突破动态几何等量关系分析的重难点。

第二章 一元二次方程 4 一元二次方程的应用(第1课时） 一 教学目标 1. 基础知识与基本技能： 能运用一元二次方程解决几何运动问题（如梯子滑动、航海补给、动点问题），会从实际问题中抽象出方程模型。 2. 基本思想与基本活动经验： 经历"实际问题→几何建模→列方程→求解→检验"的完整过程，体会方程建模思想和数形结合思想。 3. 发现问题与提出问题能力： 能从动态几何情境中发现等量关系，提出用方程解决的问题。 4. 分析与解决问题能力： 能正确列出一元二次方程解决实际问题，并检验根的合理性（舍去不合题意的根）。 二 教学重点与难点 教学重点： 从几何运动问题中抽象出一元二次方程模型，列方程并求解。 教学难点： 正确分析动态问题中的等量关系，用代数式表示变化中的线段长度，构造勾股定理等几何关系。 学情分析： 学生已掌握列方程解应用题的基本方法，具备勾股定理等几何知识，但需要提升从动态情境中提取数学关系的能力。 突破策略： 通过梯子滑动、航海补给等具体情境，引导学生画图分析、标注变量、寻找等量关系，逐步建立方程模型。 三 教学过程 回忆旧知，导入新知 还记得本章开始时的梯子滑动问题吗？ （1）在这个问题（如图1，单位：m）中，梯子顶端 下滑1m时，梯子底端滑动的距离大于1m，那么梯子 顶端下滑几米时，梯子底端滑动相等的距离呢？ 图1 （2）如果梯子的长度是13m，梯子顶端到地面的垂直距 离为12m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？ 观察思考，探索新知 例 如图2，某海军基地位于A处，在其正南方向200n mile处有一重要目标 B，在B的正东方向200n mile处有一重要目标C。小岛D位 于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC 的中 点。一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船 同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物 品送达军舰。 已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由B到C的途 中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海 里（结果精确到 0.1n mile）？ 变式：改变补给船的航行方向，如“一艘军舰从 A 出发， 经 B 到 C 匀速巡航，一艘补给船同时从 D 出发，沿南 偏东方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰”，其他 条件不变，通过计算你发现了什么？ 巩固新知，灵活运用 1. 今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会。问：甲乙行各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲单位时间内走7步，乙单位时间内走3步。乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。相遇时，甲、乙各走了多远？ 请你画出示意图，并解决这个问题。 2. 如图3，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝6cm， 动点 P 从点 C出发以 1 cm/s 的速度沿 CA 匀速运动， 同时动点 Q 从点 A 出发以 cm/s 的速度沿 AB 匀速 运动，当点 P 到达点 A 时，点 P，Q 同时停止运动，设 运动时间为 t（s）。 （1）当 t＝3 时，线段 PQ 的长为 cm。 （2）CP＝ ，AQ＝ ，AP＝ ，BQ＝ 。 （用含 t 的代数式表示） （3）在运动过程中，△AQP 的面积能否等于 2 cm2 ？若能，此时 t 的值等于多少？ （4）是否存在某一时刻 t，使点 B 在线段 PQ 的垂直平分线上？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 回顾反思，总结提升 回忆本节课的内容，结合以下几个问题，谈谈你的收获。 1. 本节课你学到了哪些知识？ 2. 通过分析动态问题中的数量关系，从实际问题中抽象出方程，列方程解决问 题并检验根的合理性这一系列的探究过程，你有哪些感悟和困惑？ 四 板书设计 2.4 一元二次方程的应用（第1课时） 1. 几何运动问题建模步骤： 画图分析 → 标注变量 → 寻找等量关系 → 列方程 → 求解 → 检验 2. 航海补给问题： 3x²-1200x+100000=0 → x≈118.4海里 3. 动点问题：用t表示各线段→构造方程 五 知识总结 核心知识点： 用一元二次方程解决几何运动问题（梯子滑动、航海问题、动点问题） 数学思想方法： 数学建模、数形结合、方程思想、分类讨论 知识网络图： 实际问题 → 画图分析 → 设未知数 → 找等量关系 → 列方程 → 求解 → 检验取舍 易错易混警示： ① 几何关系分析错误（如勾股定理用错）；② 忽略实际意义舍去不合题意的根；③ 动点问题中t的范围考虑不全 六 课后作业 教科书习题 2.4 第 1，2，3，4 题。 5 学科网（北京）股份有限公司 $