专题 第2讲 一元二次方程 复习讲义 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

第2讲 一元二次方程

知识点1  一元二次方程的概念及解法

一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程.

一般形式：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax²+bx+c=0(a≠0)的形式．称之为一元二次方程的一般形式；ax²，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数

一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.

2. 用配方法解一元二次方程的一般步骤是：

①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；

②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；

③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；

3. 公式法又叫万能法，对于任何的一元二次方程都适用，解题时，一定要准确判断a、b、c的值，熟练记忆并理解公式的推导和结论

 

（1）一元二次方程的根的判别式△=b2－4ac

 当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根；

 当△＜0时，没有实数根．反过来也成立

（2）一元二次方程的求根公式是

移项得：

二次项系数化为1，得：

：

即

当时，

即

∴

4. 因式分解法的一般步骤是：

①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；

③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解

【典例】一元二次方程定义及一般形式

1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（    ）

A.             B.

C.        D.

【答案】C.

【解析】解：A：不是整式方程，故本选项错误；

B：当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；

C：由原方程，得x2+x-3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确；

D：方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误．故选C．

2.把一元二次方程化成一般形其中、、分别为（    ）

A.  、、      B.  、、

C.  、、      D.  、、

【答案】B.

【解析】原方程可整理为：， ，，．

【方法总结】

（1）一元二次方程必须满足的条件：

①含有一个未知数；②未知数最高次数是2；③二次项系数不为0；是整式方程

（2）二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应首先将方程化为一般形式；
（3）项的系数包括它前面的符号。如：x²+5x+3=0的一次项系数是5，而不是5x；

3x²+4x-1=0的常数项是-1而不是1；

 

　

【典例2】直接开平方法

1.若为方程式的一根，为方程式的一根，且、都是正数，则之值为何?(    )

A. 5        B. 6        C.        D.

【答案】B.

【解析】由得，∴  ，，

又是正数且是此方程的根，

∴  ．同理，

∴  ．

2.解方程.

【解析】根据平方根的定义，得，即，．

【方法总结】

形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法；如果a＜0，则方程无解

 

 

【典例3】配方法