2.2　一元二次方程的解法 教学设计 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

姓名

学科段

初中数学

授课班级

职称

教龄

授课时间

课题

2.2　一元二次方程的解法

教材分析

本节整合教材第36—51页“用配方法求解一元二次方程”“用公式法求解一元二次方程”“用分解因式法求解一元二次方程”三节内容，系统学习一元二次方程的四种基本解法：直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法。教材先由 引出直接开平方法，再通过配方把一般方程化为 的形式，进而推导出求根公式，结合判别式讨论根的情况；最后由“两个因式的积为 0”引出分解因式法。本节是本章的计算核心，也是后续根与系数关系、实际应用的基础。

核心素养目标

1. 运算能力：能根据方程特点选择直接开平方法、配方法、公式法或分解因式法正确求解一元二次方程。

2. 推理能力：经历配方法推导求根公式的过程，理解公式法的来源，发展代数推理。

3. 模型观念：理解判别式 与根的个数之间的对应关系。

4. 化归思想：体会“二次方程→一次方程”“未知→已知”的化归思路。

教学重点

1. 配方法的步骤与配方思想；

2. 求根公式 及公式法的运用；

3. 分解因式法的依据与常用分解方法。

教学难点

1. 配方时“加上一次项系数一半的平方”的理解与操作；

2. 由配方法推导求根公式；根据方程特点选择合适的解法。

学情分析

1. 已有基础：学生已掌握完全平方公式、平方根的概念与因式分解（提公因式、平方差、十字相乘），会解一元一次方程。

2. 可能困难：二次项系数不为 1 时容易忘记先化 1；配方时常数项加减错误；公式法中 的符号与运算容易出错；面对多种解法时不会择优。

3. 教学对策：用流程图固化配方法步骤；通过对比例题归纳解法选择策略；强化判别式先算、再套公式的书写顺序。

教学方法

讲练结合与类比归纳相结合；以问题串驱动“直接开平方法→配方法→公式法→分解因式法”的递进，采用教师示范与学生板演互评相结合的方式。

课时安排

1 课时（40 分钟）

教学资源

多媒体课件、导学案、小黑板（配方法步骤流程图）、北师大版《数学》九年级上册教材（第36—51页）。

教学流程设计

任务/环节

教学内容与问题设计

教师活动

学生活动

学习评价设计

环节一

复习引入，直接开平

问题1：解方程 ，依据是什么？

平方根的意义：若 （），则

复习平方根概念；示范把方程化为 或 的形式再开平

回顾平方根定义；独立完成例1并板演；讨论 时根的情况。

能否正确写出两个互为相反数的根；是否注意到开平方后取 ±。

方法

。这种直接利用平方根意义求解的方法叫做直接开平方法。

例1：解方程 ；。

解：，∴ ；由 ，得 ，∴ ，。

追问：当 时，方程 有实数根吗？

方；强调 的前提。

设计意图：以最简方法切入，激活平方根与完全平方公式的旧知，为配方法“凑成完全平方式”作准备。

环节二

探究配方，掌握配方法

问题2：解方程 ，能否把左边凑成完全平方式？

配方法步骤：①二次项系数化为 1；②把常数项移到方程右边；③方程两边都加上一次项系数一半的平方；④写成 的形式；⑤开平方求解。

解：移项，得 ；配方，两边加 ，得 ，即 ；开平方，得 ，∴ ，。

例2：解方程 （二次项系数化 1 后再配方）。

在黑板上分步板书配方法流程；追问“为什么加 ”；巡视指导例2，重点纠正系数化 1 与配方常数项。

跟随教师完成配方过程；独立完成例2；同桌互查配方时所加常数是否为“一次项系数一半的平方”。

配方步骤是否完整；所加常数是否正确；开平方后两根是否都写出。

设计意图：让学生在“凑完全平方”的操作中理解配方思想，体会把一般方程化归为可直接开平方的形式。

环节三

推导公式，学习公式法

问题3：对一般形式 （）用配方法求解，结果能否写成统一公式？

推导：系数化 1、移项、配方、开平方，得到求根公式：

（）。

判别式：。

当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个

带领学生完成公式推导；板书判别式三种情况的对照表；示范“先算 Δ、再套公式”的规范书写。

参与公式推导；记录求根公式与判别式结论；独立完成例3并核对 Δ 的计算。

能否由配方法推出求根公式；Δ 的符号判断是否正确；公式代入时 与各项符号是否处理正确。