2.3　一元二次方程的根与系数的关系 教学设计 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

姓名

学科段

初中数学

授课班级

职称

教龄

授课时间

课题

2.3　一元二次方程的根与系数的关系

教材分析

本节是第二章第5节“一元二次方程的根与系数的关系”（韦达定理），教材第49—51页。教材先给出若干一元二次方程，让学生求出两根，再计算两根之和与两根之积，观察它们与方程系数之间的关系，形成猜想；然后借助求根公式完成证明，得到 、；最后运用关系求对称式的值。本节把“根”与“系数”直接联系起来，是公式法的延伸，也为后续二次函数图象与方程根的关系作铺垫。

核心素养目标

1. 推理能力：经历“计算—观察—猜想—证明”的过程，能由求根公式推导根与系数的关系。

2. 运算能力：能不解方程，利用根与系数的关系求两根之和、两根之积及常见对称式的值。

3. 模型观念：理解韦达定理的结构特征，体会代数对称美。

4. 反思意识：注意定理成立的前提 与 。

教学重点

1. 根与系数的关系：，；

2. 运用关系求两根和、积及 、 等对称式的值。

教学难点

1. 由求根公式证明根与系数的关系；

2. 把所求对称式用两根之和与两根之积表示（对称式的恒等变形）。

学情分析

1. 已有基础：学生已熟练掌握求根公式，会解一元二次方程，具备完全平方公式、通分等代数变形基础。

2. 可能困难：容易把两根之和的符号记反（漏掉负号）；二次项系数不为 1 时，误把 当作 ；对称式变形时不会用和、积整体代入。

3. 教学对策：用“先化一般形式、再写和与积”的固定步骤强化符号；用对照表整理常见对称式的变形公式。

教学方法

探究发现与讲练结合；采用“算一算—猜一猜—证一证—用一用”的环节推进，小组合作归纳对称式变形规律。

课时安排

1 课时（40 分钟）

教学资源

多媒体课件、导学案、小黑板（对称式变形对照表）、北师大版《数学》九年级上册教材（第49—51页）。

教学流程设计

任务/环节

教学内容与问题设计

教师活动

学生活动

学习评价设计

环节一

计算观察，提

算一算：解下列方程，求出两根 、，并计算 与 。

（1）；（2

组织学生解方程并填写“两根—和—积—系数”对照表；引导学生对比 、 与

独立解方程；填写对照表；小组讨论和、积与系数的关系，提出猜想。

解方程是否正确；能否由具体方程看出和与 、积与 的

出猜想

）；（3）。

观察：两根之和、两根之积与方程各项系数之间有什么关系？

猜想：对于 （），、 可能等于什么？

的比值，提出猜想。

对应关系。

设计意图：从具体方程的计算中积累观察素材，让学生经历由特殊到一般的猜想过程，发展合情推理。

环节二

公式推导，证明定理

已知 （），两根为 、，由求根公式：

，。

相加、相乘并化简，得到：

定理（根与系数的关系）：，。

追问：定理成立的前提是什么？（，且方程有实数根，即 ）

提醒：先把方程化为一般形式，再确定 、、；两根之和前面有负号。

板书相加、相乘的化简过程；强调和式中的负号与分母 ；组织学生复述定理与前提条件。

跟随教师完成化简证明；记录定理公式；在例题中先写 、、 再写和与积。

能否由求根公式推出和与积；是否注意到 与 的前提；和式负号是否写对。

设计意图：用代数证明完成由猜想到定理的过渡，发展演绎推理；在证明中巩固求根公式与根式运算。

环节三

直接应用，求两根和积

例1：不解方程，求下列方程两根之和与两根之积。

（1）：，，，∴ ，。

（2）：，，，∴ ，。

随堂练习：不解方程，求 、 两根之和与两根之积。

示范“写一般形式—定 —套公式”的步骤；针对 、 两类易错点进行讲评。

独立完成例1与随堂练习；板演第（2）题；同桌互查符号与分母。

和与积的符号是否正确；分母是否为 ；常数项为 0 时积是否正确处理。