2.3 一元二次方程的根与系数的关系（教学设计）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过知识链接复习求根公式和判别式搭建学习支架，引导学生从解具体方程入手，观察两根和与积和系数的关联，梳理知识脉络。 资料以“做一做-猜想-验证-归纳”为主线，通过填表分析培养数学眼光（抽象能力），证明过程发展数学思维（推理能力），例题应用强化数学语言（模型意识）。助力学生提升逻辑推理与问题解决能力，为教师提供结构化探究流程与分层练习，提升教学效率。

3　一元二次方程的根与系数的关系 1.掌握一元二次方程的根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积． 2.经历发现——猜想——验证——归纳的学习过程，证明一元二次方程的根与系数的关系，感受化归的数学思想方法． 3.在学习过程中发展分析问题、解决问题的能力及逻辑推理能力． 重点：根与系数的关系及运用． 难点：定理的发现及运用． 知识链接 　　一元二次方程的求根公式是什么？如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？ 　探究点一：一元二次方程根与系数的关系 做一做：解下列方程： （1）x2－2x＋1=0；　　（2）x2－2x－1=0；　　　（3）2x2－3x＋1=0. 一元二次方程 两根 关系 x1 x2 x2－2x＋1=0 1 1 x1＋x2=2，x1•x2=1 x2－2x－1=0 ＋2 －2 x1＋x2=2，x1•x2=－1 2x2－3x＋1=0 1 x1＋x2=，x1•x2= 思考：每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？与同伴交流． 问题1：一元二次方程（x－x1）（x－x2）=0（x1，x2为已知数）的两根是什么？若将此方程化为x2＋px＋q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？ 由（x－x1）（x－x2）=0得x2－（x1＋x2）x＋x1•x2=0，∵x2＋px＋q=0，∴x1＋x2=－p，x1•x2=q． 问题2：通过前面的猜想，如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么你可以得到什么结论？ 如果ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两个实数根为x1，x2，那么x1＋x2=－，x1•x2=． 注意满足上述关系的前提条件是b2－4ac≥0.  （教材P49例）　探究点二：一元二次方程根与系数的关系的应用  已知关于x的方程5x2＋kx－6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值． 解：因为方程有两个实数根，故Δ=k2＋120，则k是任意数．设方程的两根分别是x1，x2，其中x1=2，所以x1•x2=2x2=－，即x2=－．由于x1＋x2=2＋（－）=－，解得k=－7. 答：方程的另一个根是－，k的值为－7.  不解方程，求方程2x2＋3x－1=0的两根的平方和、倒数和． 解：设方程的两根分别为x1，x2，根据根与系数的关系可知x1＋x2=－，x1•x2=－．∵（x1＋x2）2=＋2x1x2＋，∴＋=（x1＋x2）2－2x1x2=（－）2－2×（－）=，＋==（－）÷（－）=3. 1.设下列方程的两个根均为α，β，不解方程，直接写出两根的和与积. (1)x2＋4x－1＝0； α＋β＝　－4　；α·β＝　－1　. (2)2x2＋4x＋1＝0； α＋β＝　－2　；α·β＝　　. (3)6x2－x＝2x2＋3. α＋β＝　　；α·β＝　－　. 2.设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)＋； 解：根据根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝－. (1)＋＝＝＝. (2)＋. 解：＋＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－2)2－2×(－)＝7. 3.[高频易错]已知关于x的方程x2＋(2k＋1)x＋k2－k＋1＝0有两个实数根. (1)求k的取值范围； 解：∵方程有两个实数根， ∴Δ＝(2k＋1)2－4(k2－k＋1)≥0， 解得k≥. 　　 　　 　　 　　 　　 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $