精品解析：广东清远市清城区清城中学2026-2027学年第一学期九年级数学学情自测试卷

清城中学2026-2027第一学期九年级限时练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等 2. 关于x的方程，下列说法错误的是（ ） A. 二次项系数为1 B. 一次项系数为 C. 常数项为3 D. 它是一元二次方程 3. 如图，矩形中，对角线交于点O．若，则的长为（ ） A. 8 B. C. 4 D. 4. 学校运动会中，运动员小明与小刚，要从铅球、跳高、跳远三个项目中任意选择一个项目参加比赛，则两人恰好都选择铅球项目的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的方程是一元二次方程，则k的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6. 顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边形必是（　　） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 无法确定 7. 若，是方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点E，D，F分别在边，，上，且，．下列判断中错误的是（ ）． A. 四边形是平行四边形 B. 若，则四边形是矩形 C. 若平分，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是正方形 9. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲、乙从出发到相遇所花时间为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长为（ ） A. B. 1 C. D. 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的实数根为________． 12. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是__________ 13. 如图，已知正方形的边长为，对角线，交于点O，将向右平移得到，则四边形的周长为______． 14. 为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，过了一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中捕捞鱼．通过多次捕捞实验后，发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在，据此可估计该鱼塘中鱼的条数为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，将含角的放在第一象限，其中角的对边长为2，斜边的端点A、B分别在轴的正半轴，轴的正半轴上滑动，连接，则线段的长度的最大值是__________． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. 在解一元二次方程时，小李的解法如下： 第一步： 第二步： 第三步： 第四步： 第五步： 原方程无解 （1）小李的解法中哪一步是“化二次项系数为1”？这一步的依据是什么？ （2）判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 17. 一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“丽”“清”“远”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“清”、1张为“远”的概率．（“美”“丽”“清”“远”四张卡片分别用A、B、C、D表示） 18. 下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程． 已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°，求作：矩形ABCD． 作法：如图，①作线段AC的垂直平分线交AC于点O； ②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB； ③连接AD，CD． 所以四边形ABCD即为所求作的矩形． 根据小东设计的尺规作图过程． （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹，下结论） （2）为什么这样作出的四边形是矩形？请写出证明过程． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知关于x的方程 （1）求证：无论k取什么实数时，这个方程总有实数根； （2）若等腰三角形的边长，另两边的长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 20. 某大型果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元． （1）若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若该坚果每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．现该商场要保证销售该坚果每天盈利元，且尽可能减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 21. 【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． （1）如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若，则_________，_________； （2）如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与相交于点F，过点D作交于点G，求证：四边形是菱形； 迁移应用： （3）如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与相交于点F，连接，若，，求的长． 五．解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 如何裁剪出符合要求的长方形纸片？ 素材 如图，是腰长为的等腰直角三角形卡纸，校艺术节上，甲、乙、丙三名同学分别用这样的卡纸试图裁剪出不一样的长方形纸片，并使长方形的四个顶点都在的边上． 素材 甲同学按图的方式裁剪，想裁出面积为三角形面积的的长方形纸片，乙同学按图的方式裁剪，想裁出面积为三角形面积的的长方形纸片，丙同学想裁出面积最大的长方形纸片． 任务 计算纸片周长 请帮甲同学计算此长方形纸片的周长． 任务 判断裁剪方案 请帮乙同学判断此裁剪方案是否能够实现，说明理由． 任务 计算最大面积 请帮丙同学计算出长方形纸片面积的最大值． 23. 在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点O逆时针旋转得到矩形，点B，C，D的对应点分别为点E，F，G． （1）如图1，当点E恰好落在边上时，则的长为___________（请直接写出答案）； （2）如图2，所在直线与分别交于点H、M，且．求线段的长度； （3）如图3，设点P为边的中点，连接，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 清城中学2026-2027第一学期九年级限时练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【详解】解：菱形是特殊的平行四边形，对角线互相平分，故A不符合题意． 菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角，故B、C不符合题意． 对角线相等不是菱形的必然性质，仅当菱形为正方形时具备该性质，故D符合题意． 2. 关于x的方程，下列说法错误的是（ ） A. 二次项系数为1 B. 一次项系数为 C. 常数项为3 D. 它是一元二次方程 【答案】B 【解析】 【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，再判断各选项正误． 【详解】解：将方程化为一般形式，得， ∵ 二次项系数为1， ∴ A正确； ∵ 一次项系数为6， ∴ B错误； ∵ 常数项为3， ∴ C正确； ∵ 该方程是一元二次方程， ∴ D正确． 3. 如图，矩形中，对角线交于点O．若，则的长为（ ） A. 8 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出相等的线段，判定是等边三角形，即可得出相关线段的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 4. 学校运动会中，运动员小明与小刚，要从铅球、跳高、跳远三个项目中任意选择一个项目参加比赛，则两人恰好都选择铅球项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法求概率，先列出表格得出所有可能出现的结果，进而得出符合条件的结果，再根据概率公式计算即可． 【详解】列表如下： 小明 小刚 铅球 跳高 跳远 铅球 铅球，铅球 跳高，铅球 跳远，铅球 跳高 铅球，跳高 跳高，跳高 跳远，跳高 跳远 铅球，跳远 跳高，跳远 跳远，跳远 一共有9种符合条件的结果，每种结果出现的可能性相同，符合条件的有1种，所以两人都选择铅球项目的概率是． 故选：C． 5. 关于x的方程是一元二次方程，则k的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，需同时满足未知数最高次数为2、二次项系数不为0，列方程与不等式求解． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，且， 由得， 由得， ∴． 6. 顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边形必是（　　） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF＝AC，GH＝AC，HE＝BD，FG＝BD，再根据四边形的对角线相等可知AC=BD，从而得到EF=FG=GH=HE，再根据四条边都相等的四边形是菱形即可得解． 【详解】解：如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点， 连接AC、BD， 根据三角形的中位线定理得，EF＝AC，GH＝AC，HE＝BD，FG＝BD， ∵四边形ABCD的对角线相等， ∴AC＝BD， 所以，EF＝FG＝GH＝HE， 所以，四边形EFGH是菱形． 故选A． 【点睛】本题考查菱形的判定和三角形的中位线定理，解题的关键是掌握菱形的判定和三角形的中位线定理. 7. 若，是方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，代入数值计算即可得到结果. 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得： ，， 原式． 8. 如图，在中，点E，D，F分别在边，，上，且，．下列判断中错误的是（ ）． A. 四边形是平行四边形 B. 若，则四边形是矩形 C. 若平分，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理，逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：A选项： ∵，, ∴, ∵， ∴四边形是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∴A选项正确，不符合题意； B选项： ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）， ∴B选项正确，不符合题意； C选项： ∵平分， ∴, ∵四边形是平行四边形， ∴, ∴, ∴, ∴为等腰三角形， ∴, ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）， ∴C选项正确，不符合题意； D选项： ∵四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形（对角线相互垂直的平行四边形是菱形）， ∵D选项中没有这一条件， ∴只能证明四边形是菱形，无法证明四边形是正方形， ∴D选项错误，符合题意． 9. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲、乙从出发到相遇所花时间为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了勾股定理的应用，根据题意，乙向东行走距离为，甲先向南走10步，然后斜向北偏东行走，总路程为，故斜行距离为．利用勾股定理建立方程． 【详解】解：设甲、乙从出发到相遇所花时间为，则乙向东行距离，甲先向南行步，再斜行步与乙会于点． 在中，∵， ∴， 即． 故选：A． 10. 如图所示，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理．由在菱形中，，，利用菱形的性质以及勾股定理，求得的长，继而可求得的长，然后由菱形的面积公式可求得线段的长．注意菱形的对角线互相垂直平分． 【详解】解：如图． 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ． 故选：C 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的实数根为________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了通过因式分解解一元二次方程，根据因式分解，利用零乘积性质求解一元二次方程的实数根． 【详解】方程 因式分解后，根据零乘积性质，得或， ∴， 故答案为：， 12. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是__________ 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程得到的取值，再通过整体代入法计算目标代数式的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴把代入方程可得， 移项整理得， 对所求代数式变形可得， 把代入变形后的式子，计算得． 13. 如图，已知正方形的边长为，对角线，交于点O，将向右平移得到，则四边形的周长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，，，，根据勾股定理求出，根据平移的性质得到，即可求出四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∵将向右平移得到， ∴， ∴四边形的周长为4． 14. 为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，过了一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中捕捞鱼．通过多次捕捞实验后，发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在，据此可估计该鱼塘中鱼的条数为______． 【答案】1000 【解析】 【分析】本题考查了利用样本频率估计总体，设鱼塘中有鱼条，利用频率估计概率得到，然后解方程即可． 【详解】解：设鱼塘中有鱼条， 根据题意得， 解得， 所以估计鱼塘中有鱼条． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，将含角的放在第一象限，其中角的对边长为2，斜边的端点A、B分别在轴的正半轴，轴的正半轴上滑动，连接，则线段的长度的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接、，根据含角的直角三角形的性质，求出，根据三角形的三边关系可知，推出当、、共线时，的值最大，即可得出答案． 【详解】解：取的中点，连接、． ∵,,， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴当、、共线时，的值最大，此时， ∴的长度的最大值是4． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. 在解一元二次方程时，小李的解法如下： 第一步： 第二步： 第三步： 第四步： 第五步： 原方程无解 （1）小李的解法中哪一步是“化二次项系数为1”？这一步的依据是什么？ （2）判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】（1）第一步；等式的基本性质 （2） 解：小李解法错误， 正确解答过程如下： 第一步： 第二步： 第三步： 第四步： 第五步：， ，． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟记一元二次方程的解法步骤是解决问题的关键． （1）根据材料中的解法步骤，结合一元二次方程解法即可得到答案； （2）由配方法解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：小李的解法中第一步是“化二次项系数为1”；这一步的依据是等式的基本性质； 【小问2详解】 略 17. 一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“丽”“清”“远”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“清”、1张为“远”的概率．（“美”“丽”“清”“远”四张卡片分别用A、B、C、D表示） 【答案】抽取的卡片恰好1张为“清”、1张为“远”的概率为 【解析】 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表得： 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“清”、1张为“远”的情况有种， ∴抽取的卡片恰好1张为“清”、1张为“远”的概率为． 18. 下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程． 已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°，求作：矩形ABCD． 作法：如图，①作线段AC的垂直平分线交AC于点O； ②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB； ③连接AD，CD． 所以四边形ABCD即为所求作的矩形． 根据小东设计的尺规作图过程． （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹，下结论） （2）为什么这样作出的四边形是矩形？请写出证明过程． 【答案】（1） 如图即为补全的图形； （2） 证明：由作图知：OA=OC，OD=OB， ∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， ∵∠ABC=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 【解析】 【分析】（1）根据作图过程即可补全图形； （2）根据平行四边形的判定方法和矩形的判定方法即可完成证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知关于x的方程 （1）求证：无论k取什么实数时，这个方程总有实数根； （2）若等腰三角形的边长，另两边的长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1） 证明：方程化为一般形式为：， ∵， ∴， ∴无论k取任何实数，方程总有两个实数根． （2）10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式、等腰三角形的性质、三角形三边的关系等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）先把方程化为一般式：，要证明无论k取任何实数，方程总有两个实数根，即要证明； （2）先利用因式分解法求出两根：．再分为底边和为腰两种情况，分别确定b，c的值，最后求出三角形的周长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 整理得， ∴， 当为等腰的底边，则有， ∵b、c恰是这个方程的两根， ∴，解得， ∴三角形的三边长分别为：2，2，4， ∵， ∴不满足三角形三边的关系，应舍去； 当为等腰的腰， ∵b、c恰是这个方程的两根， ∴只能， ∴三角形三边长分别为：2，4，4， ∴三角形的周长为． 所以的周长为10． 20. 某大型果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元． （1）若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若该坚果每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．现该商场要保证销售该坚果每天盈利元，且尽可能减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（）设每次降价的百分率为，为两次降价的百分率，降至就是方程的平衡条件，列出方程求解即可； （）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为，则 ∴，（不符合题意，舍去）， 答：每次下降的百分率为． 【小问2详解】 解：设每千克应涨价元，则 ∴ ∵要求尽可能减少库存：涨价越少，日销售量越大，剩余库存越少， ∴选择较小的涨价幅度， 答：每千克应涨价元． 21. 【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． （1）如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若，则_________，_________； （2）如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与相交于点F，过点D作交于点G，求证：四边形是菱形； 迁移应用： （3）如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与相交于点F，连接，若，，求的长． 【答案】（1）60，60 （2）证明：∵四边形是矩形， ∴，，，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠得到，由平角的性质得到，由此得到，根据矩形的性质得到，根据平行线的性质即可求解； （2）根据矩形的性质可得四边形是平行四边形，由折叠的性质，可证，则，结合菱形的判定方法即可求解； （3）根据矩形的性质得到，，，由勾股定理得到，根据折叠得到，，由全等的性质得到，如图所示，过点E作于点G，运用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∵将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合， ∴，， ∴， 由（2）得到， ∴， 如图，过点E作于点G， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的长为． 五．解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 如何裁剪出符合要求的长方形纸片？ 素材 如图，是腰长为的等腰直角三角形卡纸，校艺术节上，甲、乙、丙三名同学分别用这样的卡纸试图裁剪出不一样的长方形纸片，并使长方形的四个顶点都在的边上． 素材 甲同学按图的方式裁剪，想裁出面积为三角形面积的的长方形纸片，乙同学按图的方式裁剪，想裁出面积为三角形面积的的长方形纸片，丙同学想裁出面积最大的长方形纸片． 任务 计算纸片周长 请帮甲同学计算此长方形纸片的周长． 任务 判断裁剪方案 请帮乙同学判断此裁剪方案是否能够实现，说明理由． 任务 计算最大面积 请帮丙同学计算出长方形纸片面积的最大值． 【答案】任务1：80cm；任务2：乙同学不能实现，见解析；任务3： 【解析】 【分析】任务设，则，依据题意列出方程求得值，再利用正方形的周长公式解答即可； 任务设，则，依据题意列出方程，通过计算，方程没有实数根，说明乙同学的方案不能实现； 任务利用配方法，分别求得两个方案中的面积的最大值即可得出结论． 【详解】解：任务由题意得：， ， ． 设，则， 矩形的面积为三角形面积的， ， 化简得， 解得：或， 矩形的边长为，， 周长为； 任务由题意得：，， ，， ． 设，则， 矩形的面积为三角形面积的， ， 整理得：． ， 方程无实数根， 乙同学的方案不能实现； 任务图方案：， 当时，矩形的面积最大为； 图方案：， 当时，面积最大为， 长方形纸片面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，配方法，二次函数的性质，函数的极值，利用配方法解答是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点O逆时针旋转得到矩形，点B，C，D的对应点分别为点E，F，G． （1）如图1，当点E恰好落在边上时，则的长为___________（请直接写出答案）； （2）如图2，所在直线与分别交于点H、M，且．求线段的长度； （3）如图3，设点P为边的中点，连接，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，的面积的最大值为27． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质、旋转的性质以及平面直角坐标系可得，再在中利用勾股定理求解即可； （2）先证明可得，再证明可得，可得点E与点重合，点C，点E，点F三点共线，在中，勾股定理，可求的长，然后利用三角形中位线定理求解即可； （3）根据三角形的底边的长度固定，当边上的高最大时即可求解，如图，当轴于点M时，则，此时面积最大，连接，利用，求得，再根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵矩形，点， ，，， ∵将矩形绕点O逆时针旋转得到矩形，点E恰好落在边上， ， 在中，， ∴． 【小问2详解】 解：如图2，过点M作于N，过点C作于，连接， ∵，， ∴四边形是矩形， ， ∵， ∴， ， ， 又， ∴， ∴， 又， ∴点E与点重合， ， ， ∴点C，点E，点F三点共线，    ∵， ， ， 设 在中，， ，解得：， ， ， ，， ． 【小问3详解】 解：∵点P为边的中点， ∴， ，， ， ∴当边上的高最大时，面积最大， 如图，当轴于点M时，则，此时面积最大，连接， ∵， ∴， ∴， ∴的面积的最大值为27． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $