2026--2027学年北师大版九年级上学期数学期中考试模拟卷（二）

2026年秋季北师大版九年级上学期数学期中考试模拟卷（二） 范围：第一章-第四章 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．一元二次方程根的情况是（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 3．关于的一元二次方程的两个根是，，则的值为（　　） A．8 B． C． D．2 4．发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业.如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱(如图2)，其示意图的左视图是（　　） A． B． C． D． 5．如果△ABC∽△DEF，相似比为2：1，且△DEF的面积为4，那么△ABC的面积为（　　） A．1 B．4 C．8 D．16 6．下列说法正确的是（   ） A．已知线段，点是的黄金分割点，则 B．已知，，，，则，，，是成比例线段 C．方程有两个实数解 D．对角线相等且垂直的四边形是正方形 7．如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 8．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（   ） A．①有一组对角相等 B．②对角线互相垂直 C．③有一组邻边相等 D．④对角线相等 9．如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 10．如图，正方形中，，点为边上一点，连接，过点作于点，点为边上一点，且，连接.下列结论：（1）；（2）；（3）若点为中点，则；（4）.正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若，则________． 12．已知是一元二次方程的一个根，则的值为_____． 13．如图，大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为的黄金分割点，若，则长为______． 14．如图，在菱形中，对角线、交于点，作交的延长线于点，连接，若，，则菱形的面积为______． 15．如图，在正方形中，对角线，相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为的中点．连接，则的值为______． 3、 解答题（本大题共7小题，共61分） 16．（6分）解方程： (1)； (2)． 17．（7分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向下平移个单位得到，请画出； (2)以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为； (3)与关于点位似，请写出点坐标． 18．（8分）如图，为直角三角形，，D为中点，过A作，使得，连接交于F，连接交于G． (1)求证：F是的三等分点； (2)若，求的长． 19．（8分）某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该公司计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆新能源汽车的售价． 20．（10分）如图，在中，对角线交于点O，且点E是边上一点，连接，若于点E，且， (1)求证：四边形为矩形； (2)延长交的延长线于点F，若，，求边的长度． 21．（10分）定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)将斜边相等的两块三角板按如图1放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，B、D位于的两侧，其中，连接，若，则的长为 ，的长为 ，四边形 邻等对补四边形（填“是”或“不是”）； (2)如图2，在邻等对补四边形中，，若，求的值； (3)如图3，在中，，分别在边上取点M、N，使四边形是邻等对补四边形，请直接写出的长． 22．（12分）利用旋转作辅助线，通常能使分散的条件相对集中起来. （1）尺规作图：如图1，已知 在 上方作 (保留作图痕迹不写作法)，连接DE，求证：DE=BC. （2）如图2，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点(不与点 A、C重合)，以BE为边作正方形BEFG，点 F恰好落在射线DC 上.写出线段CE、CF、BC之间的数量关系. （3）如图3，在菱形ABCD中， ，点E在对角线AC的延长线上，以DE为边在AC上方作等边三角形DEF，连接AF.若 求 的面积. 2026年秋季北师大版九年级上学期数学期中考试模拟卷（二）参考答案 范围：第一章—第四章 一、选择题 1-5 BDACD 6-10 ACADC 二、填空题 11. 7/2 12. 6 13. 14. 15. 三、解答题 16. 解方程 (1) x² + 4x − 8 = 0 配方： ∴ x₁ = −2 + ，x₂ = −2 − (2) (x − 3)² = 5(x − 3) 移项因式分解： ∴ x₁ = 3，x₂ = 8 17. 平移与位似作图 (1) 向下平移 3 个单位：A₁(4, −2)，B₁(2, 0)，C₁(1, −1)，依次连接三点画出 △A₁B₁C₁。 (2) 以 O 为位似中心，位似比 2 : 1，在第三象限画出 △A₂B₂C₂：A₂(−8, −2)，B₂(−4, −6)，C₂(−2, −4)。 (3) M(−4, −2) 18. 相似三角形综合 (1) 证明： ∵ AE ∥ BC，∴ △AEF ∽ △BCF。 又 AE = ½ BC，∴ 。 即 BF = 2AF，AB = AF + BF = 3AF。 ∴ AF = ⅓ AB，即 F 是 AB 的三等分点。 (2) 解： D 是 AC 中点，AC = 10，∴ CD = AD = 5；BC = 6，∠ACB = 90°。 AE ∥ BC，AE = ½ BC = 3。 建系：设 C(0, 0)，B(6, 0)，A(0, 10)，则 D(0, 5)，E(−3, 10)。 直线 BD：；直线 CE：。 联立：，解得 x = −2，y = 20/3。 即 G(−2, 20/3)。 19. 一元二次方程应用 (1) 解： 设月平均增长率为 x。 ，1 + x = ±1.3。 由 x > 0，得 x = 0.3 = 30%。 答：月平均增长率为 30%。 (2) 解： 设下调 t 个 0.5 万元，则售价为 (25 − 0.5t) 万元，销量为 (8 + t) 套。 每件利润为 (25 − 0.5t − 15) = (10 − 0.5t) 万元。 ，(t − 4)(t − 8) = 0。 解得 t₁ = 4，t₂ = 8。为让利于顾客，取 t = 8。 售价 = 25 − 0.5 × 8 = 21（万元）。 答：下调后每套售价为 21 万元。 20. 矩形的判定与计算 (1) 证明： 平行四边形 ABCD 中，OA = OC，即 。 已知 2OC² = CE · CD，代入 OC = ½ AC： ∵ OE ⊥ AC，∠OEC = ∠DOC = 90°，∠OCE = ∠DCA（公共角）。 ∴ △OCE ∽ △DCA。 ∴ ∠ADC = ∠EOC = 90°。 有一个内角为直角的平行四边形是矩形，∴ 四边形 ABCD 是矩形。 (2) 解： AC = 12，∴ OC = OA = 6。由 2OC² = CE · CD，得 72 = CE · CD。 结合 △FDO ∽ △ECO、△FDC 与 △FOC 的相似关系，由勾股定理可得： CD = 。 21. 邻等对补四边形综合 (1) BC = 2，△ABC 为等腰直角三角板，AB = BC = 2，AC = 2。 在 △ADC 中，∠ACD = 30°，AC = 2AD，∴ AD = AC / 2 = 。 ∴ AB = 2，AD = ，四边形 ABCD 是邻等对补四边形。 (2) AB = AD，∠BCD = 60°，由邻等对补四边形性质 ∠BAD + ∠BCD = 180°，得 ∠BAD = 120°。 设 BC = 5k，CD = 3k。将 △ABC 绕点 A 旋转使 AB 与 AD 重合，得 △ADE。 AE = AC，DE = BC = 5k，∠ADE = ∠ABC。 ∠CDE = ∠ADC + ∠ADE = ∠ADC + ∠ABC = 360° − ∠BAD − ∠BCD = 180° − 120° = 60°（按补角关系）。 在 △CDE 中由余弦定理： ∴ CE = 7k。 △ACE 为顶角 120° 的等腰三角形，。 ∴ AC / AB = 7 / 3。 (3) Rt△ABC 中，AB = 6，BC = 8，∴ AC = 10。 邻等对补四边形 ABMN 分两种情况：① AB = AN = 6；② AB = BM = 6。 由相似与勾股： BN = 24/5 或 BN = 12√10 / 5。 22. 旋转与全等综合 (1) 作图与证明： 作 ∠EAC = ∠DAB，截取 AE = AC，连接 DE。 ∵ ∠EAC = ∠DAB，∴ ∠EAC + ∠CAD = ∠DAB + ∠CAD，即 ∠DAE = ∠BAC。 又 AD = AB，AE = AC，∴ △DAE ≌ △BAC（SAS）。 ∴ DE = BC。 (2) 结论：CF + CE =BC。 连接 BG，由 △BEC ≌ △BGF，得 CG 与 CF 的等腰直角关系， 即 ，且 CG = CE + EG。 整理得 CE + CF = BC。 (3) 解： 菱形 ABCD 中，∠DAB = 60°，AD = 4，AF = 4，△DEF 为等边三角形。 将 △ADE 绕 D 逆时针旋转 60°，使 DE 与 DF 重合，A 落到 A′。 △DAA′ 为等边三角形，AA′ = AD = 4，∠AA′D = 60°。 A′F = AE。在 △AA′F 中，∠AA′F = 120°，由余弦定理： 解得 AE = 8（取正根） 菱形高 h = AD · sin60° = 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $