2026-2027学年北师大版数学九年级上册期中阶段学情自测卷（第1-3章）-

2026—2027学年上学期九年级数学期中测试卷 北师大版九年级上册数学（2026秋版新教材） 考查范围：第一章~第三章 时间：120分钟 满分：120分 学校______________ 班级______________ 姓名______________ 考号______________ 题序 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一项是符合题目要求的） 1．将方程 化为一般形式后，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A．2、−5、−6 B．2、5、6 C．2、−5、6 D．2、5、−6 2．一元二次方程 的根是（ ） A．3 B．−1 C．3 或 −1 D．5 或 −3 3．菱形的两条对角线把它分成的三角形中，全等三角形共有（ ） A．4对 B．6对 C．8对 D．12对 4．方程 的根是（ ） A．x=5 B．x=0 C．x=0 或 x=5 D．x=−5 或 x=0 5．如图，在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，连接 CD。下列条件中，不能判定△ACD∽△ABC 的是（ ） （第5题） A．∠ACD=∠B B．∠ADC=∠ACB C． D． 6．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A． B． C． D． 7．一条消息在网上传播，每一轮传播中，平均每人把这条消息传播给 x 个新的联系人。已知经过两轮传播后，连发布者在内共有 64 人收到这条消息，则 x 的值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．若正方形的对角线长为 6，则这个正方形的面积为（ ） A．12 B．18 C．18 D．36 9．已知△ABC∽△A′B′C′，它们的对应角平分线的比为 3∶5。若△ABC 的周长为 24，则△A′B′C′ 的周长为（ ） A．30 B．36 C．40 D．45 10．若 的值为（ ） A．5 B．9 C．15 D．13 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．当 x= ____ 时，代数式 取得最小值，最小值为_____ 。 12．若菱形两条对角线的长分别为 8 和 6，则这个菱形的高为_________ 。 13．如图，直线 ，直线 a、b 分别与 相交于点 A、B、C 和点 D、E、F。若 AB∶BC=2∶3，DF=15，则 EF 的长为________。 （第13题） 14．从一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为 4 cm 的小正方形，做成一个无盖的长方体盒子，盒子的容积为 400 cm³，则原来这块正方形铁皮的边长为 ________ cm。 15．四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′是以点 O 为位似中心的位似图形。若 OA∶OA′=1∶3，四边形 ABCD 的周长为 6，则四边形 A′B′C′D′的周长为________ 。 16．在菱形 ABCD 中，∠A=60°，AB=6，点 P 是对角线 BD 上的任意一点，连接 PA、PC，则 PA+PC 的最小值为____________ 。 三、解答题（本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分8分）解下列一元二次方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）。 18．（本题满分8分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，且△AOB 是等边三角形。 （1）求证：四边形 ABCD 是矩形； （2）若 AB=4，求 AD 的长。 （第18题） 19．（本题满分8分）如图，在菱形  中，对角线  与  相交于点  ，过点  作  交  的延长线于点  ，过点  作  于点  。 （第19题） （1）求证：四边形 OCFD 是矩形； （2）连接  ，若  ，求  的长．。 20．（本题满分8分）某小区有一块矩形空地 ABCD，长 AB=15 m，宽 AD=8 m，计划修建两条互相平行的纵向甬道 EF、GH 和一条横向甬道 MN，所有甬道宽度相同，余下的 6 块作为花卉种植区，总面积为 78 m²。 （1）求甬道的宽； （2）若修建甬道每平方米造价 60 元，共需造价多少元？ （第20题） 21．（本题满分8分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，过点 B 作 BF⊥AE，垂足为 G，BF 交边 CD 于点 F，连接 DG。 （1）求证：AE=BF； （2）若正方形边长为 4，且 E 是 BC 的中点，求 DF 的长。 （第21题） 22．（本题满分8分）某商店经销一种销售成本为每件 40 元的商品：若按每件 50 元销售，一个月能售出 500 件；若销售单价每上涨 1 元，月销售量就减少 10 件。设每件商品的售价上涨 x 元。 （1）请用含 x 的代数式表示：每件商品的利润为 元，月销售量为 件； （2）商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应定为多少元？ 23．（本题满分8分）如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，点 F 在边 BC 上，EF∥AB，AD∶DB=3∶2，FC=4，DE=6。 （1）求边 BC 的长； （2）求证：△ADE∽△EFC； （3）求四边形 BDEF 的面积与△ABC 的面积之比。 （第23题） 24．（本题满分8分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=8 cm，BC=6 cm，动点 P 从点 A 出发沿 AB 以 2 cm/s 的速度向点 B 匀速运动，同时动点 Q 从点 B 出发沿 BC 以 1 cm/s 的速度向点 C 匀速运动。设运动时间为 t 秒（0<t<4）。 （1）当 t 为何值时，△PBQ 的面积等于 3 cm²？ （2）当 t 为何值时，以点 P、B、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？ （第24题） 25．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，点 B 的坐标为 (4，8)，将矩形 OABC 沿对角线 OB 折叠，使点 A 落在点 D 处，OD 交 BC 于点 E。 （1）求点 E 的坐标； （2）求点 D 的坐标； （3）在 x 轴上是否存在点 P，使以 P、D、E 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。 （第25题） 参考答案与解析 一、选择题 1．A 2．C 3．C 4．C 5．D 6．C 7．B 8．B 9．C 10．D 1．【答案】A 方程整理得 ，二次项系数为 2，一次项系数为 −5，常数项为 −6。 2．【答案】C 由 得 x−1=±2，故 x₁=3，x₂=−1。 3．【答案】C 菱形两条对角线互相垂直平分，得到 4 对全等的小直角三角形（△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD）；加上 △ABC≌△ADC、△ABD≌△CBD，以及对角线分菱形得到的 2 对全等三角形，共 8 对。 4．【答案】C 移项得 ，所以 x=0 或 x=5。 5．【答案】D △ACD 与△ABC 有公共角∠A。A（AA）、B（AA）、C（SAS： ）可判定；D 选项无法推出两边成比例或等角。 6．【答案】C 分别计算判别式：A Δ=8>0，B Δ=0，C Δ=1−8=−7<0（无实根），D Δ=9>0。 7．【答案】B 两轮后总人数为 ，即 1+x=8（舍去负根），x=7。 8．【答案】B 设正方形边长为 a，对角线·a=6，a=3，面积 S=a²=18。 9．【答案】C 相似比 3∶5，周长比等于相似比，故△A′B′C′ 周长为 24× 10．【答案】D 由韦达定理 。所以 二、填空题 11．【答案】2；−3 配方： ，当 x=2 时，最小值为 −3。 12．【答案】 菱形面积 ；对角线互相垂直平分，边长 ，故高 h= =。 13．【答案】9 由平行线分线段成比例 DE∶EF=AB∶BC=2∶3，且 DE+EF=15，故 EF=15× 14．【答案】18 设原边长为 x cm，则底面边长 (x−8) cm，高 4 cm， （舍去负根）。 15．【答案】18 位似比 OA∶OA′=1∶3，周长比为 1∶3，故四边形A′B′C′D′ 周长为 6×3=18。 16．【答案】 菱形中∠A=60°，AB=AD=6，故△ABD 为等边三角形，BD=6。由菱形对角线互相垂直平分，AO= ==3，所以 AC=2AO=6。由对称性 PA+PC 的最小值为 AC 的长 6。 三、解答题 17．（本题满分8分） 解：（1）移项得 x²−6x=−5。 两边同加 9 配方得 ，所以 x−3=±2，x₁=5，x₂=1。…………………………（4分） （2）a=2，b=−4，c=−1， Δ=b²−4ac=(−4)²−4×2×(−1)=16+8=24>0， x=，即 x₁=，x₂=。 ………（8分） 18．（本题满分8分） （1）证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ OA=OC，OB=OD。 又 △AOB 是等边三角形，∴ OA=OB，故 OA=OB=OC=OD，即 AC=BD，∴ 平行四边形 ABCD 是矩形。…………（4分） （2）在矩形 ABCD 中，∠BAD=90°。∵ △AOB 是等边三角形，∴ ∠ABO=60°，故 ∠ADB=30°。 在 Rt△ABD 中，AB=4，BD=8，由勾股定理 。 故 AD 长为 。……………………………………………………（8分） 19．（本题满分8分） （1）证明：∵ DE∥AC，CE∥BD，∴ 四边形 OCED 是平行四边形。 又菱形 ABCD 中 AC⊥BD，即∠COD=90°，∴ ▱OCED 是矩形。…………………………（4分） （2）  四边形  是菱形， ，，  ，  ， 在  中,   ， 四边形  是矩形， ．(4分) 20．（本题满分8分） 解：（1）设甬道宽为 x m。将 6 块种植区拼合，长为 (15−2x) m，宽为 (8−x) m。 由题意 ，整理得 2x²−31x+42=0， 解得 答：甬道宽为 1.5 m。 …………………………（5分） （2）甬道面积=15×8−78=42(m²)，总造价=42×60=2520（元）。 ………………（8分） 21．（本题满分8分） （1）证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AB=BC，∠ABE=∠C=90°。 ∵ BF⊥AE，∴ ∠BGE=90°，故 ∠GBE+∠GEB=90°，又 ∠BAE+∠GEB=90°，∴ ∠BAE=∠CBF。 在△ABE 与△BCF 中，∠BAE=∠CBF，AB=BC，∠ABE=∠C，∴ △ABE≌△BCF（ASA），故 AE=BF。……（4分） （2）∵ E 是 BC 中点，BC=4，∴ BE=2。由（1）CF=BE=2。又 CD=4，∴ DF=CD−CF=4−2=2。……（8分） 22．（本题满分8分） 解：（1）每件利润为 (10+x) 元；月销售量为 (500−10x) 件。 …………（2分） （2）由题意 ，整理得 x²−40x+300=0，解得 x₁=10，x₂=30。 当 x=10 时，售价 60 元，销量 400 件，成本 16000 元>10000 元，舍去； 当 x=30 时，售价 80 元，销量 200 件，成本 8000 元<10000 元，符合。 答：销售单价应定为 80 元。 ………………………………………………（8分） 23．（本题满分8分） 解：（1）∵ DE∥BC，EF∥AB，∴ 四边形 BDEF 是平行四边形，BF=DE=6。又 FC=4，故 BC=BF+FC=10。……（2分） （2）∵ DE∥BC，∴ ∠AED=∠C；∵ EF∥AB，∴ ∠ADE=∠B=∠EFC。故△ADE∽△EFC（AA）。……（5分） （3）△ADE∽△ABC，相似比 =，故 。 △ADE∽△EFC，DE∶FC=6∶4=3∶2，故 ，S△EFC=·S△ABC。 所以 S四边形BDEF = S△ABC−S△ADE−S△EFC = ·S△ABC。 故四边形 BDEF 与△ABC 的面积之比为 12∶25。 ……（8分） 24．（本题满分8分） 解：由题意 AP=2t，BQ=t，故 PB=8−2t（0<t<4）。 （1）△PBQ 中∠PBQ=90°，，整理得 t²−4t+3=0，解得 t=1 或 t=3，均符合题意。………………（4分） （2）△PBQ 与△ABC 相似，∠PBQ=∠ABC=90°，分两种情况： ① =，即 =，解得 t==2.4（秒）； ② =，即 = ，解得 t=（秒）。 综上，当 t=2.4 秒或 t= 秒时两三角形相似。…………（8分） 25．（本题满分8分） 解：（1）由 B(4,8)，知 A(0,8)，C(4,0)，BC∥x 轴。由折叠 ∠DOB=∠AOB，又 BC∥OA，故 ∠OBC=∠AOB=∠EOB，得 EO=EB。 设 E(4,y)，则 BE=8−y，OE=。由 OE=BE 得 =8−y，平方得 16+y²=64−16y+y²，故 y=3。E(4,3)。 ……（2分） （2）过 D 作 DM⊥x 轴于 M。在 Rt△OCE 中，OC=4，CE=3，故 OE=5，DE=OD−OE=OA−OE=3。 由△DEF∽△OEC（∠DFE=∠C=90°，∠DEF=∠OEC），相似比 =，故 DF=，EF=。 所以 D 的横坐标为 4−=，纵坐标为 3+=，即 D(。……（5分） （3）存在。设 P(p,0)，解得 P 点坐标为：P₁(, 0)，P₂(, 0)，P₃(, 0)，P₄(−, 0)。（写出2个及以上即给满分）……（8分） 学科网（北京）股份有限公司 $