专题04 有理数的乘方 期中复习讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题04有理数的乘方期中复习讲义 ✵复习目标 · 理解乘方、底数、指数、幂的概念，分清((-a)n与-an的区别，熟练进行乘方运算。 · 掌握含乘方的有理数混合运算顺序，规范计算。 · 掌握科学记数法大数互化，会判断近似数的精确度。 · 理解偶次幂与绝对值的非负性，能利用 “几个非负数的和为 0，则每一个非负数都为 0” 求值；掌握(-1)的幂的周期规律并化简计算。 ✵高频题型梳理 题型1.有理数幂的概念理解 题型2. 有理数的乘方运算 题型3.乘方运算的符号规律辨析 题型4. 有理数乘方逆运算 题型5.乘方的实际应用 题型6. 含乘方的有理数混合运算 题型7.用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型8. 把科学记数法表示的数还原成原数 题型9.求一个数的近似数 题型10. 求近似数的精确度 题型11.根据近似数推断原数的取值范围 题型12.程序流程图与有理数计算 题型13.算“24”点 题型14.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、有理数的乘方 1.乘方的定义：求若干个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果称为幂。 在乘方表达式中，a为底数（参与相乘的相同因数），n为指数（相同因数的个数），读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 示例：，底数是2，指数是3，表示3个2相乘，即=2×2×2=8。 2.有理数乘方的符号法则 （1）正数的任何正整数次幂都是正数； （2）负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数。 速记口诀：正数幂恒正，负数偶正奇负，零的正次幂恒零。 特殊有理数的乘方性质 （1）1的任意正整数次幂都等于1； （2）-1的偶次幂为1，-1的奇次幂为-1； （3）0的任意正整数次幂都等于0。 3.重点概念辨析 严格区分与(-a)n的运算意义。 底数为a，表示a的n次方的相反数； (-a)n底数为-a，表示n个-a连续相乘， ▲二者底数、运算逻辑完全不同，计算结果存在明显差异，是本节最易混淆的考点。 示例：-32=-9，=9，二者意义与结果完全不同。 ★注意：任意非零数均可看作自身的一次方，指数1通常省略不写，属于数学规范写法。 知识点二、有理数混合运算 1.运算顺序（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；（2）同级运算从左至右依次进行；（3）含有括号时，优先计算括号内运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序由内向外逐层计算。 2.核心运算原则 分级运算：数学规定乘方为三级运算、乘除为二级运算、加减为一级运算，运算时优先计算高级运算； 同级运算：只有加减或只有乘除时，严格从左往右依次计算，杜绝随意跳步运算； 括号优先：所有括号内运算优先完成，多层括号由内向外逐层计算。 3.简便运算原则与技巧 在严格遵守运算顺序的前提下，可合理运用运算律重组算式，简化计算、减少失误： （1）加法：结合互为相反数、同分母、可凑整的数优先计算； （2）乘法：巧用交换律、结合律约分凑整，运用乘法分配律展开简化多步运算； （3）同级运算可灵活组合凑整约分，避免机械顺序计算。 知识点三、科学记数法 定义：把大数写成a×的形式（1≤|a| < 10，n为正整数）。 示例：86000000=8.6× 对于小于-10的数也可以类似表示。例如：﹣86000000=﹣8.6× ▲科学记数法的形式a×10n中a和n的确定方法 ◆将小数点移到左起第1个数字的后边即可得到a的取值.  ◆确定n有两种方法： ① 数小数点移动的位数，小数点移动几位，n就是几； ② 数原数的整数位数，原数的整数位数减1就是n的值。 知识点四、近似数与精确度 准确数和近似数 1.准确数：在日常生活和生产实际中，能准确地表示一些量的数，称为准确数. 例如：一班共56人，小红养了6条金鱼，“56”、“6”都是准确数。 2.近似数：与实际接近但存在一定偏差的数称为近似数。 例如：π取3.14，体重约58kg，这里“3.14”和“58”都是近似数。 3.精确度：四舍五入到哪一位，就称近似数精确到哪一位。 示例：3.1（精确到十分位），3.14（精确到百分位）。 ✵易错提醒 1.-an底数是a，不是-a；(-a)n底数为-a 2.-14=-1，负号不在底数内 3.科学记数法1≤ a<10 4.2.1与2.10精确度不同，末尾有效0不能删 5.a×10n近似数，要还原判断精确位 ✵典例精讲 题型1.有理数幂的概念理解 1．下列可以表示的是（     ） A． B． C． D． 2．（1）在中，底数是________，指数是________； （2）在中，底数是________，指数是________． 3．把下列各式写成乘方的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2. 有理数的乘方运算 1．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．用“”“”或“”比较下面各组数的大小：________；________；________． 3．课本上说： 一般地， n个相同的因数的积可以表示为，例如 利用所学的知识解决问题． (1)求 的值 (2)已知，若，则 题型3.乘方运算的符号规律辨析 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．______． 3．先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与   (1)通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算： 题型4. 有理数乘方逆运算 1．平方等于9的数是（  ） A． B．3 C． D． 2．若，则______． 3．定义：对于两个正数和，如果，那么．例如：因为，所以． (1)填空：① ；② ； (2)已知，求的值； (3)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 题型5.乘方的实际应用 1．网上复制、粘贴一条信息并发送出去仅仅需要1秒钟！假设第1秒钟A将一条信息发送给了B；在第2秒钟，B将该信息发送给C的同时，A又发送给了D；在第3秒钟，D将该信息发送给E的同时，C又发送给了F，B又发送给了G，A又发送给了H……，依次类推，仅仅过了7秒钟，共有（     ）人会收到该信息． A．7 B．64 C．128 D．49 2．将二进位制数写成十进制数为__________． 3．把一张足够大的纸对折，对折 1 次得 2 层，对折 2 次得 4 层，对折 3 次得 8 层…… (1)对折 5 次得多少层？ (2)对折次得多少层（用含的式子表示）？ (3)对折多少次能得到512层？ 题型6. 含乘方的有理数混合运算 1．定义一种新运算：，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．定义一种新的运算：如果，则有，则的值是______． 3．计算： (1)； (2)． 题型7.用科学记数法表示绝对值大于1的数 1．党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．2025年一季度全国可再生能源发电量达到816000000千瓦时．将816000000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．2026年5月13日，我国金川水电站正式并网发电，该电站年发电量约35亿度，数据35亿用科学记数法表示为__________． 3．已知，，． (1)猜想_________，_________．（均为正整数） (2)运用上述猜想计算下列式子（结果用科学记数法表示）： ①； ②． 题型8. 把科学记数法表示的数还原成原数 1．已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 2．若，处覆盖的数字都是0，若，则这个数中被覆盖的0有 ________个． 3．把下列用科学记数法表示的数的原数填在横线上． (1)___________． (2)___________． (3)___________ (4)___________． 题型9.求一个数的近似数 1．学完近似数后，老师开展了随堂测试，下面是嘉嘉的答卷，则他做对的题目数量是（   ） 姓名：嘉嘉  做对______道 判断（正确打√，错误打×） ①近似数与表示的意义相同．（√） ②近似数精确到．（√） ③近似数“万”精确到了千分位．（×） ④保留两位小数的近似数是．（√） A．道 B．道 C．道 D．道 2．用四舍五入法对159897000000取近似值（用科学记数法表示），精确到千万位________． 3．如图是一扇拱门，上部分是半径为的半圆，下部分是边长为的正方形，则这扇拱门的面积是多少平方米？（精确到取3.14） 题型10. 求近似数的精确度 1．下列说法：①近似数是精确到个位的数；②近似数和是一样的；③近似数万是精确到百位的数；④近似数是精确到十分位的数．其中说法正确的有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．近似数精确到______位． 3．车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)你认为小王加工的轴合格吗？分析小王和质检员存在分歧的原因； (2)图纸要求精确到，原轴的范围是多少？ 题型11.根据近似数推断原数的取值范围 1．数a的近似值为，那么a的真实值的范围是（   ） A． B． C． D． 2．近似数的准确值a的取值范围是______． 3．一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． 题型12.程序流程图与有理数计算 1．如图，小明设计了一个计算程序框图，并按此程序进行了计算，若开始输入的数为，则最后输出的数是（     ） A．18 B． C． D．25 2．如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是_____． 3．如图是一个“数值转换机”(箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机)． (1)当小亮输入1，8这两个数时，则两次输出的结果依次为 ， ． (2)当小亮输入数等于 时(写一个即可)，求出输出的结果为0． (3)你认为这个“数值转换机”不可能输出 数． (4)有一次，小亮操作的时候，输出结果是3，请你求出小亮输入的值． 题型13.算“24”点 1．有一种算“点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，可以添加括号使其结果等于．现有四个有理数：，，，，运用上述规则，下列算式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 2．小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：    （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； （3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 3．数学游戏题： (1)下图是一个三阶幻方，由个不同的数字构成，并且每横行，竖行以及对角线上的3个数字的和都相等，试填出所有空格中的数； (2)有一种“二十四点”的游戏（即算游戏），其游戏规则是这样的：任取四个整数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于．现给出，，，四个数，请你写出一个算式使其结果为． ✵分层专项训练 一、单选题 1．年，我国规模以上互联网企业（上年互联网企业收入达到两千万元及以上）完成互联网业务收入约为亿元，其中京津冀地区规模以上互联网企业完成互联网业务收入占全国收入的，则年京津冀地区规模以上互联网企业完成互联网业务收入约为（     ） A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元 2．下列各组数中，结果相等的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 3．下列说法正确的是（     ） A．一个有理数与它的相反数的积一定为负数 B．几个数相乘，若有5个负因数，则积为负 C．与意义不同，但结果相等 D．45万和450000的精确度是相同的 4．下列说法正确的是（     ） A．近似数2.1和2.10精确度相同 B．0.0357精确到0.001为0.035 C．近似数，精确到百位 D．近似数2.7万精确到十分位 二、填空题 5．将数四舍五入取近似值，精确到个位为________． 6．一个数用科学记数法表示为，则这个数是______． 7．如图，小飞从一副扑克牌中任意抽取4张牌，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或．所列式子为___________． 三、解答题 8．计算． (1) (2) (3) (4) 9．如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器），由于不小心，把一个数字污染了． (1)琪琪说：若被污染的数字为最大的负整数，输入的数为，求输出的数； (2)嘉嘉说：若被污染的数字为，输入的数是，求输出的数． 10．综合实践 活动目标 理解不同进位制的数之间的转换及应用 素材 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制． 十进制数，记作； 八进制数，记作； 二进制数，记作； （，且为整数）进制数转换成与其相等的十进制数，只需要将进制数的每个数字，依次乘以相应的次幂再相加，就可得到与它相等的十进制数． 如：八进制数转换为十进制数为： ． 素材 将十进制数转换为与其相等的进制数，用十进制的数除以，然后将商继续除以，直到商为，将各步所得的余数按照逆序排列即可．例如：                          解决问题 (1)利用材料中的方法，按要求把不同进位制的数之间进行转换： ①把二进制数转换成十进制数； ②把十进制数转换成二进制数． (2)现有八进制数，二进制数，试比较，的大小，通过运算说明． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04有理数的乘方期中复习讲义 ✵复习目标 理解乘方、底数、指数、幂的概念，分清((-a)n与-an的区别，熟练进行乘方运算。 掌握含乘方的有理数混合运算顺序，规范计算。 掌握科学记数法大数互化，会判断近似数的精确度。 理解偶次幂与绝对值的非负性，能利用 “几个非负数的和为 0，则每一个非负数都为 0” 求值；掌握(-1)的幂的周期规律并化简计算。 ✵高频题型梳理 题型1.有理数幂的概念理解 题型2. 有理数的乘方运算 题型3.乘方运算的符号规律辨析 题型4. 有理数乘方逆运算 题型5.乘方的实际应用 题型6. 含乘方的有理数混合运算 题型7.用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型8. 把科学记数法表示的数还原成原数 题型9.求一个数的近似数 题型10. 求近似数的精确度 题型11.根据近似数推断原数的取值范围 题型12.程序流程图与有理数计算 题型13.算“24”点 题型14.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、有理数的乘方 1.乘方的定义：求若干个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果称为幂。 在乘方表达式中，a为底数（参与相乘的相同因数），n为指数（相同因数的个数），读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 示例：，底数是2，指数是3，表示3个2相乘，即=2×2×2=8。 2.有理数乘方的符号法则 （1）正数的任何正整数次幂都是正数； （2）负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数。 速记口诀：正数幂恒正，负数偶正奇负，零的正次幂恒零。 特殊有理数的乘方性质 （1）1的任意正整数次幂都等于1； （2）-1的偶次幂为1，-1的奇次幂为-1； （3）0的任意正整数次幂都等于0。 3.重点概念辨析 严格区分与(-a)n的运算意义。 底数为a，表示a的n次方的相反数； (-a)n底数为-a，表示n个-a连续相乘， ▲二者底数、运算逻辑完全不同，计算结果存在明显差异，是本节最易混淆的考点。 示例：-32=-9，=9，二者意义与结果完全不同。 ★注意：任意非零数均可看作自身的一次方，指数1通常省略不写，属于数学规范写法。 知识点二、有理数混合运算 1.运算顺序（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；（2）同级运算从左至右依次进行；（3）含有括号时，优先计算括号内运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序由内向外逐层计算。 2.核心运算原则 分级运算：数学规定乘方为三级运算、乘除为二级运算、加减为一级运算，运算时优先计算高级运算； 同级运算：只有加减或只有乘除时，严格从左往右依次计算，杜绝随意跳步运算； 括号优先：所有括号内运算优先完成，多层括号由内向外逐层计算。 3.简便运算原则与技巧 在严格遵守运算顺序的前提下，可合理运用运算律重组算式，简化计算、减少失误： （1）加法：结合互为相反数、同分母、可凑整的数优先计算； （2）乘法：巧用交换律、结合律约分凑整，运用乘法分配律展开简化多步运算； （3）同级运算可灵活组合凑整约分，避免机械顺序计算。 知识点三、科学记数法 定义：把大数写成a×的形式（1≤|a| < 10，n为正整数）。 示例：86000000=8.6× 对于小于-10的数也可以类似表示。例如：﹣86000000=﹣8.6× ▲科学记数法的形式a×10n中a和n的确定方法 ◆将小数点移到左起第1个数字的后边即可得到a的取值.  ◆确定n有两种方法： ① 数小数点移动的位数，小数点移动几位，n就是几； ② 数原数的整数位数，原数的整数位数减1就是n的值。 知识点四、近似数与精确度 准确数和近似数 1.准确数：在日常生活和生产实际中，能准确地表示一些量的数，称为准确数. 例如：一班共56人，小红养了6条金鱼，“56”、“6”都是准确数。 2.近似数：与实际接近但存在一定偏差的数称为近似数。 例如：π取3.14，体重约58kg，这里“3.14”和“58”都是近似数。 3.精确度：四舍五入到哪一位，就称近似数精确到哪一位。 示例：3.1（精确到十分位），3.14（精确到百分位）。 ✵易错提醒 1.-an底数是a，不是-a；(-a)n底数为-a 2.-14=-1，负号不在底数内 3.科学记数法1≤ a<10 4.2.1与2.10精确度不同，末尾有效0不能删 5.a×10n近似数，要还原判断精确位 ✵典例精讲 题型1.有理数幂的概念理解 1．下列可以表示的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：表示a个7相乘，即． 2．（1）在中，底数是________，指数是________； （2）在中，底数是________，指数是________． 【答案】 【分析】根据乘方的定义，中，是底数，是指数，需要区分括号对底数范围的影响，负号包含在括号内时属于乘方的底数，不包含在括号内时不属于乘方的底数． 【详解】解：在中，被括号括起来作为乘方的整体， ∴底数是，指数是； 在中，负号不属于乘方的运算部分，只有是乘方的底数， ∴底数是，指数是． 3．把下列各式写成乘方的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据乘方的定义，确定相同因数和因数的个数，即可将乘积改写为乘方形式． 【详解】（1）解： 是3个6相乘，改写为乘方得． （2）解：是2个2.1相乘，改写为乘方得． （3）解：是4个相乘，改写为乘方得． （4）解：是5个相乘，改写为乘方得． 题型2. 有理数的乘方运算 1．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确乘方底数，结合有理数乘方法则、绝对值性质逐一判断． 【详解】解：，A运算正确． ，B运算错误． ，C运算错误． ，D运算错误． 2．用“”“”或“”比较下面各组数的大小：________；________；________． 【答案】 【详解】解：，， ∵， ，， ∴，， 即，， ∵，，， ∴． 3．课本上说： 一般地， n个相同的因数的积可以表示为，例如 利用所学的知识解决问题． (1)求 的值 (2)已知，若，则 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把乘方转换成乘法，再根据乘法运算律求解即可； （2）把，代入中，把乘方转换成乘法，再根据乘法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴ ∵， ∴． 题型3.乘方运算的符号规律辨析 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为，所以选项A错误； 因为，所以选项B错误； 因为，所以选项C错误； 因为，所以选项D正确，符合题意． 2．______． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方法则得题目计算式等于，再根据偶数个负数相乘为正数，即可得，最后根据有理数乘方法则计算即可得答案． 【详解】解： ． 3．先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与   (1)通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算： 【答案】(1)相等 (2) (3)5 【分析】本题考查有理数的乘方， （1）根据乘方的定义分别计算可得； （2）根据（1）中计算结果可得； （3）根据所得结论计算可得． 【详解】（1）解：① ，，则； ② ，，则； 即每组两个算式的结果相等 （2）解：； （3）解：． 题型4. 有理数乘方逆运算 1．平方等于9的数是（  ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘方的逆运算，根据，进而可求解，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 平方等于9的数是， 故选C． 2．若，则______． 【答案】 【分析】先根据已知乘方等式求出的值，再将代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 将代入得． 3．定义：对于两个正数和，如果，那么．例如：因为，所以． (1)填空：① ；② ； (2)已知，求的值； (3)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①2②4 (2)64 (3)猜想：．理由： 设，，则，， ∴， 由定义得：， ∴ 【分析】（1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）首先推导出，结合解答即可； （3）设，，则，，可得出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ②∵， ∴； （2）解：根据题意得：，； ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 略 题型5.乘方的实际应用 1．网上复制、粘贴一条信息并发送出去仅仅需要1秒钟！假设第1秒钟A将一条信息发送给了B；在第2秒钟，B将该信息发送给C的同时，A又发送给了D；在第3秒钟，D将该信息发送给E的同时，C又发送给了F，B又发送给了G，A又发送给了H……，依次类推，仅仅过了7秒钟，共有（     ）人会收到该信息． A．7 B．64 C．128 D．49 【答案】C 【详解】解：初始时A已收到信息，总人数为1人，第1秒，新增1人，总人数为人； 第2秒，新增2人，总人数为人； 第3秒，新增4人，总人数为人；以此类推，第秒总人数为人； 当时，总人数为人 2．将二进位制数写成十进制数为__________． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 3．把一张足够大的纸对折，对折 1 次得 2 层，对折 2 次得 4 层，对折 3 次得 8 层…… (1)对折 5 次得多少层？ (2)对折次得多少层（用含的式子表示）？ (3)对折多少次能得到512层？ 【答案】(1)对折5次得32层 (2)对折次得层 (3)对折9次能得到512层 【详解】（1）解：由题意知，将一张纸对折5次后，层数是层； （2）解：由题意知，将一张纸对折次后，层数是层； （3）解：由题意知，， 则； ∴对折9次能得到512层． 题型6. 含乘方的有理数混合运算 1．定义一种新运算：，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴． 2．定义一种新的运算：如果，则有，则的值是______． 【答案】 【分析】根据题目给出的新运算规则，结合有理数运算和绝对值的性质计算即可． 【详解】解：根据新运算规则，将，代入得 ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算括号和乘方，再按照有理数的乘除计算，最后按照有理数的加法计算即可． （2）先计算有理数乘方，再按照有理数乘法计算，最后按照有理数加减混合运算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 题型7.用科学记数法表示绝对值大于1的数 1．党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．2025年一季度全国可再生能源发电量达到816000000千瓦时．将816000000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法形式为，其中， 为整数，对于数字，需确定，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 2．2026年5月13日，我国金川水电站正式并网发电，该电站年发电量约35亿度，数据35亿用科学记数法表示为__________． 【答案】 【详解】解：亿． 3．已知，，． (1)猜想_________，_________．（均为正整数） (2)运用上述猜想计算下列式子（结果用科学记数法表示）： ①； ②． 【答案】(1)； (2)② 【详解】（1）解：， ； （2）解：①原式； ②原式． 题型8. 把科学记数法表示的数还原成原数 1．已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 【答案】C 【分析】根据科学记数法的意义解答即可． 本题考查了科学记数法，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：A． 航天器速度原数是（米/秒），故选项错误，不符合题意； B． 的原数为末尾有6个0，故选项错误，不符合题意； C． 根据题意，千米=米，航天器飞完这段距离需秒，故选项正确，符合题意； D． 小数点左移2位，结果为，不是向右，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．若，处覆盖的数字都是0，若，则这个数中被覆盖的0有 ________个． 【答案】5 【分析】由题意得，求出，再结合科学记数法的规则计算即可得出结果． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴这个数中被覆盖的0有5个． 3．把下列用科学记数法表示的数的原数填在横线上． (1)___________． (2)___________． (3)___________ (4)___________． 【答案】(1)3618 (2)-21000 (3) (4)-800000 【分析】本题考查了的是科学记数法的表示方法，解答的关键是理解掌握科学记数法的表示方法. 科学记数法的标准形式为（n为整数）；数据中的，指数n等于3，所以需要把3.618的数小数点向右移动3位，就得到原数，同理解答其他小题. 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 故答案为： （1）3618；（2）-21000；（3）-712.3；（4）-800000． 题型9.求一个数的近似数 1．学完近似数后，老师开展了随堂测试，下面是嘉嘉的答卷，则他做对的题目数量是（   ） 姓名：嘉嘉  做对______道 判断（正确打√，错误打×） ①近似数与表示的意义相同．（√） ②近似数精确到．（√） ③近似数“万”精确到了千分位．（×） ④保留两位小数的近似数是．（√） A．道 B．道 C．道 D．道 【答案】C 【分析】本题考查了近似数的相关知识，，熟记相关结论是解题关键． 根据近似数的精确度和有效数字的意义，逐题判断嘉嘉的答案的正误即可． 【详解】①：精确到十分位，精确到百分位，意义不同， ∴ 嘉嘉的判断错误； ②：的最后一位在万分位，精确到， ∴ 嘉嘉的判断正确； ③：万，最后一位数字“”在十位，故“万”精确到十位， ∴ 嘉嘉的判断正确； ④：保留两位小数，第三位小数，舍去得， ∴ 嘉嘉的判断正确； ∴ 嘉嘉做对道题． 故选：C． 2．用四舍五入法对159897000000取近似值（用科学记数法表示），精确到千万位________． 【答案】 【分析】先确定原数的千万位位置，根据四舍五入法则对原数取近似值，再将结果用科学记数法表示即可 【详解】解：原数为， 确定千万位上的数字为，其下一位百万位上的数字为， ， 向千万位进，千万位，需继续向亿位进， 近似值为， 用科学记数法表示为 3．如图是一扇拱门，上部分是半径为的半圆，下部分是边长为的正方形，则这扇拱门的面积是多少平方米？（精确到取3.14） 【答案】 【分析】根据拱门面积等于半圆面积与正方形的面积的和求解即可. 【详解】解：， 答：这扇拱门的面积是. 题型10. 求近似数的精确度 1．下列说法：①近似数是精确到个位的数；②近似数和是一样的；③近似数万是精确到百位的数；④近似数是精确到十分位的数．其中说法正确的有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】本题考查近似数的精确度判断，根据近似数最后一位数字所在的数位确定精确度. 【详解】解：∵ 近似数的最后一位在百分位，∴ 精确到百分位，不是个位，故①错误； ∵ 近似数精确到十分位，精确到百分位，∴ 精确度不同，故②错误； ∵ 近似数万中，最后一位对应万，即，∴ 精确到百位，故③正确； ∵ 近似数的最后一位在十分位，∴ 精确到十分位，故④正确； ∴ 正确的说法有种， 故答案选：C． 【点睛】判断近似数的精确度时，需注意单位转换和最后一位数字所在的数位. 2．近似数精确到______位． 【答案】百 【分析】本题考查了近似数，将数字进行还原，然后再判断精确到的位数即可求解，正确还原数字是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴近似数精确到百位， 故答案为：百． 3．车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)你认为小王加工的轴合格吗？分析小王和质检员存在分歧的原因； (2)图纸要求精确到，原轴的范围是多少？ 【答案】(1)小王加工的轴不合格， 理由如下： 图纸要求精确到，则原轴的范围是，故轴长为与的产品不合格； (2)轴长为的车间工人加工完原轴的范围是 【分析】本题考查了近似数，小数的位数不同，它们表示的计数单位就不相同，意义也不相同． （1）根据原轴的范围是，于是得到轴长为与的产品不合格； （2）根据近似数的精确度说明，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 【详解】（1） 略 （2）解：近似数的要求是精确到， 所以轴长为的车间工人加工完原轴的范围是． 题型11.根据近似数推断原数的取值范围 1．数a的近似值为，那么a的真实值的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查四舍五入，熟练掌握四舍五入的定义是解题的关键．根据四舍五入进行判断即可． 【详解】解：数a的近似值为，那么a的真实值的范围是． 故选B． 2．近似数的准确值a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查近似数的概念，解题的关键是掌握近似数中四舍五入的方法． 根据近似数中四舍五入的方法解题即可． 【详解】解：由题可知时，近似数是． 故答案为：． 3．一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． 【答案】(1)最大值是544，最小值是445 (2) 【分析】本题考查了四舍五入和科学记数法，熟悉掌握四舍五入的运算特征和科学记数法是解题的关键． （1）根据四舍五入的运算特征解答即可； （2）先运算出差值进行四舍五入，再进行科学记数法即可． 【详解】（1）解：∵ ∴四舍五入到十位后的数最大是540，四舍五入到十位后的数最小是450， ∴的最大值是，最小值是； （2）解：∵， ∴． 题型12.程序流程图与有理数计算 1．如图，小明设计了一个计算程序框图，并按此程序进行了计算，若开始输入的数为，则最后输出的数是（     ） A．18 B． C． D．25 【答案】C 【详解】依据题意，输出的数是： ． 2．如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是_____． 【答案】 【分析】将代入，按照程序图运算，结果不小于，就将结果重复程序图中的运算，直到结果小于，输出结果即可． 【详解】解：输入，，不输出； 输入，，不输出； 输入，，输出． 3．如图是一个“数值转换机”(箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机)． (1)当小亮输入1，8这两个数时，则两次输出的结果依次为 ， ． (2)当小亮输入数等于 时(写一个即可)，求出输出的结果为0． (3)你认为这个“数值转换机”不可能输出 数． (4)有一次，小亮操作的时候，输出结果是3，请你求出小亮输入的值． 【答案】(1)，； (2)(答案不唯一) (3)负 (4)(答案不唯一) 【分析】（1）分别将1、8代入数值转换机，计算即可得出结果； （2）根据数值转换机计算即可； （3）根据数值转换机判断即可； （4）设输入的数为，减5至不大于2后的数记为，则之后取相反数并判断，由题意，若，则输出为，若，则输出为，根据输出为3，分类讨论判断即可． 【详解】（1）解：若输入数字为时，，得到，输出结果为； 若输入数字为时，，得到，，的相反数为，的倒数为，输出结果为； （2）解：解：根据题意，输入数字为时， ∴得到相反数为，不是正数， ∴取绝对值为， ∴结果为， 故答案为：； （3）解：根据“数值转换机”可得，最后一步时，为正数时取倒数，为非正数时取绝对值， ∴这个“数值转换机”不可能输出负数； （4）解：设输入的数为，减5至不大于2后的数记为，则之后取相反数并判断： 若，由题意则输出为， 若，由题意则输出为， 由题意输出为： 若，由则不可能，即经过数次减后等于，故符合要求的（为非负整数）． 若输入，则，解得． 题型13.算“24”点 1．有一种算“点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，可以添加括号使其结果等于．现有四个有理数：，，，，运用上述规则，下列算式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意运用有理数运算法则计算即可． 【详解】解：选项，，符合题意． 选项，，不符合题意． 选项，，不符合题意． 选项，，不符合题意． 2．小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：    （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； （3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【答案】 （或，，，答案不唯一） 【分析】（1）根据有理数乘法的法则和乘积最大，计算即可求解； （2）根据有理数除法的法则和商最小，计算即可求解； （3）根据有理数的混合运算法则，计算即可求解． 【详解】解：（1）要使这2张卡片上数字乘积最大， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，乘积最大， 即； （2）这2张卡片上数字相除的商最小， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，商最小， 即； （3）若取出的4张卡片上的数字分别为，，，，则； 若取出的4张卡片上的数字分别为，，，，无法得到24； 若取出的4张卡片上的数字分别为，，，，则或； 若取出的4张卡片上的数字分别为，0，，，则； 若取出的4张卡片上的数字分别为，0，，，无法得到24． 3．数学游戏题： (1)下图是一个三阶幻方，由个不同的数字构成，并且每横行，竖行以及对角线上的3个数字的和都相等，试填出所有空格中的数； (2)有一种“二十四点”的游戏（即算游戏），其游戏规则是这样的：任取四个整数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于．现给出，，，四个数，请你写出一个算式使其结果为． 【答案】(1)，，，， (2)（答案不唯一） 【分析】（1）由对角线上的数字之和为可知每横行，竖行以及对角线上的3个数字的和都是，根据每行每列的数字分别求出空格中的数字； （2）根据“二十四点”的游戏规则，利用加减乘除四则运算将，，，四个数连接，使其结果为即可． 【详解】（1）解：， 每横行，竖行以及对角线上的3个数字的和都是， 第一行第一列的数字为， 第二行第一列的数字为， 第三行第二列的数字为， 第二行第三列的数字为， 第三行第三列的数字为， 如下表所示： （2）解：（答案不唯一）． ✵分层专项训练 一、单选题 1．年，我国规模以上互联网企业（上年互联网企业收入达到两千万元及以上）完成互联网业务收入约为亿元，其中京津冀地区规模以上互联网企业完成互联网业务收入占全国收入的，则年京津冀地区规模以上互联网企业完成互联网业务收入约为（     ） A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元 【答案】A 【分析】用全国互联网业务总收入乘以京津冀地区收入占比，再将结果整理为标准科学记数法形式即可得到答案． 【详解】解：∵全国总收入为 亿元，京津冀地区收入占比为 ， ∴京津冀地区收入为：（亿元）． 2．下列各组数中，结果相等的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】注意乘方运算的底数是否包含负号，遵循运算顺序计算各选项的两个式子，比较结果是否相等． 【详解】解：A选项：，，结果不相等． B选项：，，结果相等． C选项：，，结果不相等． D选项：，，结果不相等． 3．下列说法正确的是（     ） A．一个有理数与它的相反数的积一定为负数 B．几个数相乘，若有5个负因数，则积为负 C．与意义不同，但结果相等 D．45万和450000的精确度是相同的 【答案】C 【分析】利用0的特殊性排除A、B选项，结合乘方意义、精确度定义判断C、D选项． 【详解】解：∵0的相反数是0，，不是负数， ∴A错误． ∵几个数相乘时，若存在因数为0，则积为0，与负因数个数无关， ∴B错误． ∵表示3个相乘，结果为；表示的相反数，结果为，二者意义不同，结果相等， ∴C正确． ∵45万精确到万位，450000精确到个位， ∴D错误． 4．下列说法正确的是（     ） A．近似数2.1和2.10精确度相同 B．0.0357精确到0.001为0.035 C．近似数，精确到百位 D．近似数2.7万精确到十分位 【答案】C 【分析】本题考查了近似数精确度的概念．近似数的精确度由最后一位有效数字所在数位决定．根据近似数的精确度概念，逐项判断每一项即可． 【详解】解：近似数2.1精确到十分位，2.10精确到百分位，故A错误； 0.0357精确到0.001（千分位），万分位，应进1，结果为0.036，故B错误； ，数字3在百位，精确到百位，故C正确； ，数字7在千位，精确到千位，故D错误， 故选：C． 二、填空题 5．将数四舍五入取近似值，精确到个位为________． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了近似数，掌握四舍五入法求近似数是解题的关键． 把十分位上的数字6进行四舍五入即可解答． 【详解】解：． 故答案为：2025． 6．一个数用科学记数法表示为，则这个数是______． 【答案】5280 【分析】科学记数法的标准形式为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数），本题数据“”中的a=5.28，指数n等于3，所以，需要把5.28的小数点向右移动3位，就得到原数了． 【详解】=， 故答案为：5280． 【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 7．如图，小飞从一副扑克牌中任意抽取4张牌，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或．所列式子为___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，弄清“24点”游戏规则是解本题的关键．利用“24点”游戏规则列出等式即可． 【详解】解： 故答案为：． 三、解答题 8．计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 9．如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器），由于不小心，把一个数字污染了． (1)琪琪说：若被污染的数字为最大的负整数，输入的数为，求输出的数； (2)嘉嘉说：若被污染的数字为，输入的数是，求输出的数． 【答案】(1)13 (2) 【分析】（1）根据程序，列式计算即可； （2）根据程序，列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，最大的负整数是． 由题意可得， 故输出的数为13； （2）解：由题意可得， 所以不能输出， 只能把当作再次转换，即， 故输出的数为． 10．综合实践 活动目标 理解不同进位制的数之间的转换及应用 素材 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制． 十进制数，记作； 八进制数，记作； 二进制数，记作； （，且为整数）进制数转换成与其相等的十进制数，只需要将进制数的每个数字，依次乘以相应的次幂再相加，就可得到与它相等的十进制数． 如：八进制数转换为十进制数为： ． 素材 将十进制数转换为与其相等的进制数，用十进制的数除以，然后将商继续除以，直到商为，将各步所得的余数按照逆序排列即可．例如：                          解决问题 (1)利用材料中的方法，按要求把不同进位制的数之间进行转换： ①把二进制数转换成十进制数； ②把十进制数转换成二进制数． (2)现有八进制数，二进制数，试比较，的大小，通过运算说明． 【答案】(1)①6；②； (2)， 说明：，， 则，， 所以． 【分析】（1）根据材料的方法进行转换即可； （2）根据不同进位制的数之间的转换方法求出、的值，再比较大小． 【详解】（1）解：①； ② ， ， ， 则； （2）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $