专题04有理数的乘方期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题04有理数的乘方期中复习讲义 1.理解乘方的意义，分清底数、指数、幂的概念，能正确读写乘方式子；能区分-an与(-a)n的含义，辨别二者运算结果差异。 2.掌握有理数乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂为负，负数的偶次幂为正；0 的正整数次幂等于 0，1、-1 的乘方规律熟练掌握。 3.能够熟练进行有理数乘方的基础运算，结合乘方完成简单混合运算，牢记运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内。 4.会用乘方知识解决实际问题，例如细胞分裂、纸张对折等指数增长类应用题。 5.了解科学记数法，会把大数写成a10n(1 a<10)，n为正整数）的形式，能还原科学记数法表示的数。 6.掌握近似数与有效数字，能按要求取近似数。 7.梳理易错点：混淆底数，漏掉括号；符号判断错误；乘方和乘法运算概念混淆；科学记数法中n的取值出错。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数幂的概念理解 ★ 题型二 有理数的乘方运算 ★ 题型三 有理数乘方逆运算 ★★ 题型四 乘方运算的符号规律 ★★ 题型五 乘方的应用 ★★ 题型六 程序流程图与有理数计算 ★★★ 题型七 算 “24” 点 ★★★ 题型八 含乘方的有理数混合运算 ★★★ 题型九 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 ★ 题型十 求一个数的近似数 ★ 题型十一 求近似数的精确度 ★★ 题型十二 近似数推断取值范围 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:乘方基础概念 1.定义：求几个相同因数积的运算叫做乘方。 2.各部分名称 an整体称为幂；a是底数；n是指数。 读法：an读作a的n次方（或a的n次幂）。 3.特殊读法与规定 a2：平方；a3：立方； 指数为 1 时省略不写，即a1=a。 关键书写要求：负数、分数作底数时，必须整体加括号再写指数。 4.易混乘方式子对比（高频考点表格） 算式 真正底数 算式含义 计算结果示例 (-a)n -a n个-a相乘 (-4)2=(-4)(-4)=16 -an a an结果的相反数 -42=-(44)=-16 知识点02:乘方符号判定法则 1.正数的任意次幂一定是正数； 2.0 的任意正整数次幂等于 0； 3.负数：偶次幂为正，奇次幂为负。 知识点03:科学记数法（乘方应用） 1. 定义 把一个大于 10 的数表示成 a×10n 的形式（1a<10)，n 为正整数），这种记数方法叫科学记数法。 2. n 的确定方法 原数整数位数减 1。 例：560000 共 6 位整数，n=5，写成 5.6×105。 3. 还原原数 将a的小数点向右移动n位，不足补 0。 例：3.2×104=32000 知识点04:有理数混合运算顺序（本节重点） 完整运算优先级，从高到低： 1.先算乘方； 2.再算乘除（同级从左往右）； 3.最后算加减（同级从左往右）； 4.有括号先算括号内，多层括号：先小括号，再中括号，最后大括号。 知识点05:混合运算简便计算工具：三大运算律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律、结合律、分配律 a(b+c)=ab+ac 重点提醒：使用分配律时，括号内每一项都要与括号外数字相乘，不可漏乘。 知识点06:混合运算标准解题步骤 第一步：全部计算式子内的乘方，分清(-a)n与-an； 第二步：所有除法统一转化为乘倒数，处理全部乘除； 第三步：运用运算律分组凑整、约分简化计算； 第四步：最后完成加减运算，得出最简结果。 知识点07:近似数与精确度（拓展内容） 准确数：完全符合实际、无误差的数； 近似数：通过四舍五入得到、与真实值接近的数； 精确度：表示近似数近似的程度，判断规则：看最后一位有效数字所在数位。 例：近似数3.14精确到百分位；5.2×103精确到百位。 知识点08:综合易错题汇总 错误类型 错误写法 正确解法 失分核心原因 底数不分括号 -32=9 -32=-9 把负号错误归入底数 分数乘方漏括号 =- (-)2= 未将分数整体作为底数加括号 科学记数法a不达标 42103 4.2104 a超出1a<10\)范围 运算顺序颠倒 322=62=36 34=12 先算乘除，后算乘方 分配律漏乘 3(5-2)=15-2 35-32=9 括号后项忘记相乘 题型一、有理数幂的概念理解 1．计算：_________，其中底数是_________，指数是_________． 2．，，说说它们的意义与读法． ，表示4个相乘，读作____________． 表示4个2相乘的相反数，读作__________或____． 3．（    ） A． B． C． D． 题型二、有理数的乘方运算 4．计算_____． 5．计算：_______． 6．下列各组数中，数值相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型三、有理数乘方逆运算 7．若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，那么 ______． 9．已知，，且＜0，则的值是（   ） A．±9 B．±1或±9 C．±1 D．－1或－9 题型四、乘方运算的符号规律 10．联系、、、，这类具体数的乘方，当时，下列各式正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知，则的值为_________ 12．观察下列算式，，，，……则的末位数字是（   ） A．5 B．7 C．9 D．1 题型五、乘方的应用 13．一根2米长的竹条，第一次被熊猫吃掉一半，第二次吃掉剩下的一半．如此吃下去，第五次后剩下的竹条长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 14．《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”在几何图形中也存在这样的“万世不竭”的图形，如图，将一张边长为1的正方形纸片进行分割，部分①是正方形纸片的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，……，依此类推，部分①到部分⑥的面积和为__________． 15．我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，按照从右到左的顺序满五进一，即“结绳计数”．某天两同学背单词比赛，图①是同学背诵的单词的数量，图②是同学背诵的单词数量．则在这一天，同学比同学多背诵的单词数量是（     ） A．0个 B．9个 C．4个 D．5个 题型六、程序流程图与有理数计算 16．如图，A，B，C，D四张卡片各代表一种运算，例如，5按顺序运算，可列式为：，8按顺序运算，可列式为．则按顺序运算的结果为（     ） A．19 B．21 C．23 D．25 17．如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是__________． 18．如图是小欣设计的一个运算程序，当她输入时，输出的结果为（    ） A．0 B． C． D．3 题型七、算 “24” 点 19．有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 20．2026年3月，鼓楼实验中学成功举办第三届“数学节”，一个趣味数学游戏是“快算24”，其规则是：随机抽取4个整数，用加减乘除四种运算符号和括号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．小龙参加“快算24”时，抽到的4个数分别是4，5，，11，请你写出一个算式，使其结果为24：_____________________． 21．小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：    （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； （3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 题型八、含乘方的有理数混合运算 22．计算的结果是（     ） A． B． C． D．1 23．对于有理数，定义一种新运算“”，规定，则（     ） A．77 B． C．63 D．13 24．国际数学教育大会（）是全球数学教育水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在中国上海举办，大会标识右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数换算成十进制数是表示的举办年份．八进制数换算成十进制数是_______． 题型九、用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 25．一个很小的问题乘以14亿，都会变成一个大问题，一个很大的总量，除以14亿都会变成一个小数目．将14亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 26．年月，国家卫健委公布我国人口总量约为人．其中用科学记数法表示，正确的是（     ） A． B． C． D． 27．年月日，神舟十九号载人飞船取得圆满成功．发射场受到我国超过人的关注，这个数字用科学记数法表示为______． 题型十、将用科学记数法表示的数变回原数 28．中国自主研发建造的“长益号”超大型集装箱船，该舰的最大载重量为吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为（   ） A．24200吨 B．242000吨 C．2420吨 D．2420000吨 29．是一个________位数． 30．一个数用科学记数法表示为，则这个数原数是________． 题型十一、求一个数的近似数 31．用四舍五入法将精确到十分位的近似值是________． 32．第34届大连“马拉松赛”将于2024年10月20日鸣枪开赛，九中和三十九中门前的七七街也作为赛道的一部分．本次全“马比赛”赛道全长，将42.195精确到十分位的近似值是______． 33．2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在中国浙江省杭州市举行．杭州奥体博览城是本届亚运会的主场馆，该场馆核心区占地面积为一百五十四万三千七百平方米，建筑总面积为272万平方米．“一百五十四万三千七百”写作( )平方米，用“四舍五入”法精确到“万”位是( )万平方米． 题型十二、求近似数的精确度 34．近似数精确到______位． 35．近似数所表示的准确数a的范围是_______． 36．把取近似数（精确到）为______ ；把23810精确到千位为________，精确到______ 位 题型十三、近似数推断取值范围 37．把a精确到百分位的近似数是3.27，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 38．测得某同学的身高约是1.66米，那么意味着他身高的精确值x所在范围是___________________． 39．由四舍五入得到的近似数5.37，它表示大于或等于________，而小于________的数． 解答题 40．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 41．在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）： (1)列式，并计算： ①经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ (2)探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是37，a是多少？ 42．记， ， ，…， (1)填空： ______，是一个______（填“正数”或“负数”）． (2)计算的值． (3)当时，求的值． 43．经调查发现，六（1）班同学上、下学的出行方式有：家长开车接送、乘坐公交车、步行． (1)哪种出行方式最环保？ (2)琪琪每天由家长开车接送（一个往返），已知琪琪家汽车行驶的平均速度是40千米/时，单程用时15分钟，这辆汽车每千米排放160克二氧化碳． ①琪琪家离学校有多远？ ②琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放多少千克二氧化碳？ (3)一棵树每天大约吸收二氧化碳5000克，琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放出的二氧化碳至少需要几棵树才能在一天内吸收完？ 44．如图，是一个“有理数转换器”（箭头是数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器） (1)当小明输入两个数时，则两次输出的结果分别是_________、_________； (2)你认为当输入_________数时（写出两个即可），其输出结果是0 (3)你认为这个“有理数转换器”不可能输出_________数 45．【数学文化】第十四届国际数学教育大会（）会徽（如图1）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．（规定：＝1，） (1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：①＝______，②＝______． (2)应用拓展：我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图2，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，她一共采集到的野果数量为多少个？ (3)请将十进制数20写成八进制数（写出必要的计算过程）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04有理数的乘方期中复习讲义 1.理解乘方的意义，分清底数、指数、幂的概念，能正确读写乘方式子；能区分-an与(-a)n的含义，辨别二者运算结果差异。 2.掌握有理数乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂为负，负数的偶次幂为正；0 的正整数次幂等于 0，1、-1 的乘方规律熟练掌握。 3.能够熟练进行有理数乘方的基础运算，结合乘方完成简单混合运算，牢记运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内。 4.会用乘方知识解决实际问题，例如细胞分裂、纸张对折等指数增长类应用题。 5.了解科学记数法，会把大数写成a10n(1 a<10)，n为正整数）的形式，能还原科学记数法表示的数。 6.掌握近似数与有效数字，能按要求取近似数。 7.梳理易错点：混淆底数，漏掉括号；符号判断错误；乘方和乘法运算概念混淆；科学记数法中n的取值出错。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数幂的概念理解 ★ 题型二 有理数的乘方运算 ★ 题型三 有理数乘方逆运算 ★★ 题型四 乘方运算的符号规律 ★★ 题型五 乘方的应用 ★★ 题型六 程序流程图与有理数计算 ★★★ 题型七 算 “24” 点 ★★★ 题型八 含乘方的有理数混合运算 ★★★ 题型九 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 ★ 题型十 求一个数的近似数 ★ 题型十一 求近似数的精确度 ★★ 题型十二 近似数推断取值范围 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:乘方基础概念 1.定义：求几个相同因数积的运算叫做乘方。 2.各部分名称 an整体称为幂；a是底数；n是指数。 读法：an读作a的n次方（或a的n次幂）。 3.特殊读法与规定 a2：平方；a3：立方； 指数为 1 时省略不写，即a1=a。 关键书写要求：负数、分数作底数时，必须整体加括号再写指数。 4.易混乘方式子对比（高频考点表格） 算式 真正底数 算式含义 计算结果示例 (-a)n -a n个-a相乘 (-4)2=(-4)(-4)=16 -an a an结果的相反数 -42=-(44)=-16 知识点02:乘方符号判定法则 1.正数的任意次幂一定是正数； 2.0 的任意正整数次幂等于 0； 3.负数：偶次幂为正，奇次幂为负。 知识点03:科学记数法（乘方应用） 1. 定义 把一个大于 10 的数表示成 a×10n 的形式（1a<10)，n 为正整数），这种记数方法叫科学记数法。 2. n 的确定方法 原数整数位数减 1。 例：560000 共 6 位整数，n=5，写成 5.6×105。 3. 还原原数 将a的小数点向右移动n位，不足补 0。 例：3.2×104=32000 知识点04:有理数混合运算顺序（本节重点） 完整运算优先级，从高到低： 1.先算乘方； 2.再算乘除（同级从左往右）； 3.最后算加减（同级从左往右）； 4.有括号先算括号内，多层括号：先小括号，再中括号，最后大括号。 知识点05:混合运算简便计算工具：三大运算律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律、结合律、分配律 a(b+c)=ab+ac 重点提醒：使用分配律时，括号内每一项都要与括号外数字相乘，不可漏乘。 知识点06:混合运算标准解题步骤 第一步：全部计算式子内的乘方，分清(-a)n与-an； 第二步：所有除法统一转化为乘倒数，处理全部乘除； 第三步：运用运算律分组凑整、约分简化计算； 第四步：最后完成加减运算，得出最简结果。 知识点07:近似数与精确度（拓展内容） 准确数：完全符合实际、无误差的数； 近似数：通过四舍五入得到、与真实值接近的数； 精确度：表示近似数近似的程度，判断规则：看最后一位有效数字所在数位。 例：近似数3.14精确到百分位；5.2×103精确到百位。 知识点08:综合易错题汇总 错误类型 错误写法 正确解法 失分核心原因 底数不分括号 -32=9 -32=-9 把负号错误归入底数 分数乘方漏括号 =- (-)2= 未将分数整体作为底数加括号 科学记数法a不达标 42103 4.2104 a超出1a<10\)范围 运算顺序颠倒 322=62=36 34=12 先算乘除，后算乘方 分配律漏乘 3(5-2)=15-2 35-32=9 括号后项忘记相乘 题型一、有理数幂的概念理解 1．计算：_________，其中底数是_________，指数是_________． 【答案】 【详解】解：乘方的定义为，形如中，为底数，为指数，表示个相乘， ∵ 没有给加括号，表示的相反数， ∴ 底数是，指数是， 计算得：， ∴ ． 2．，，说说它们的意义与读法． ，表示4个相乘，读作____________． 表示4个2相乘的相反数，读作__________或____． 【答案】 负2的4次方 负的2的4次方 2的4次方的相反数 【分析】根据有理数乘方的定义，表示底数为的4次幂，读法强调底数是负数；表示2的4次幂的相反数，读法有两种，一种强调负号与指数的关系，另一种强调相反数的意义． 【详解】解：中，括号表示底数是，指数4表示4个相乘，即，读作“负2的4次方”； 中，没有括号，指数运算优先于负号，即4个2相乘的积的相反数，结果为，读作“负的2的4次方”或“2的4次方的相反数”． 3．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的运算，分别根据乘方和乘法的意义求解．找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 题型二、有理数的乘方运算 4．计算_____． 【答案】 【分析】根据有理数乘方的符号法则，判断指数奇偶性即可得到结果． 【详解】解：∵是偶数，且负数的偶次幂为正数， ∴． 5．计算：_______． 【答案】 【分析】先把括号里面的化简，然后进行乘方运算，进而得出答案． 【详解】解：． 6．下列各组数中，数值相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，根据乘方的定义分别求出每组的数值，进而比较即可判断求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：、∵ ，， ∴与数值不相等，该选项不合题意； 、∵ ，， ∴与 数值相等，该选项符合题意； 、∵ ，， ∴与数值不相等，该选项不合题意； 、∵，， ∴与数值不相等，该选项不合题意； 故选：． 题型三、有理数乘方逆运算 7．若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方的逆运算，等式的性质等知识点，根据有理数乘方的运算法则即可得解，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题关键． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴， 故选：D． 8．已知，，，那么 ______． 【答案】 【分析】由，，可得： 再利用＜，可得：异号，再分类讨论，可得答案． 【详解】解： ，， ＜， 异号， 或 当时， 当时， 故答案为： 【点睛】本题考查的有理数的乘方的逆运算，绝对值的运算，有理数的减法运算，分类讨论的数学思想，掌握以上知识是解题的关键． 9．已知，，且＜0，则的值是（   ） A．±9 B．±1或±9 C．±1 D．－1或－9 【答案】C 【分析】根据绝对值以及平方的性质即可求得a，b的值，然后代入数据即可求解． 【详解】解：∵|b|=5， ∴b=±5， ∵a2=16， ∴a=±4， ∵ab＜0 ∴a=4，b=-5或a=-4，b=5， ∴a+b=4-5=-1， 或a+b=-4+5=1． 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值和平方的性质，正确确定a，b的值是关键． 题型四、乘方运算的符号规律 10．联系、、、，这类具体数的乘方，当时，下列各式正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数判断即可． 【详解】解：①当时，，故正确； ②当时，，故正确； ③当时，，故不正确； ④当时，，故不正确． ∴正确的个数为2个 故选B． 【点睛】本题考查了是有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律是解题的关键． 11．已知，则的值为_________ 【答案】-1 【分析】根据绝对值以及偶次方的非负性得出的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值以及偶次方非负性的应用，有理数的混合运算，根据题意求出的值是解本题的关键． 12．观察下列算式，，，，……则的末位数字是（   ） A．5 B．7 C．9 D．1 【答案】D 【分析】观察可知，末位数字每4个数是一个周期，末位分别为2，4，8，6．把2019除以4，余数为3，所以22019的末位数字与23的末位数字相同，为8，再+3即可解答． 【详解】解：由题意可知，末位数字每4个算式是一个周期，末位分别为2，4，8，6， ∵， ∴22019的末位数字与23的末位数字相同，为8， ∵8+3=11， ∴的末尾数字为1 故答案为：D． 【点睛】本题考查的是尾数的特征，根据题意找出尾数的规律是解答此题的关键． 题型五、乘方的应用 13．一根2米长的竹条，第一次被熊猫吃掉一半，第二次吃掉剩下的一半．如此吃下去，第五次后剩下的竹条长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：每次吃掉剩下的一半，即每次剩余长度为前一次的， 初始竹条长2米，第一次后剩余米，第二次后剩余米， 以此类推，第五次后剩余长度为米. 14．《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”在几何图形中也存在这样的“万世不竭”的图形，如图，将一张边长为1的正方形纸片进行分割，部分①是正方形纸片的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，……，依此类推，部分①到部分⑥的面积和为__________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，解题的关键是部分①到部分⑥的面积和为减去阴影部分的面积． 由题意得，部分①到部分⑥的面积和为，再将其转化为减去阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 15．我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，按照从右到左的顺序满五进一，即“结绳计数”．某天两同学背单词比赛，图①是同学背诵的单词的数量，图②是同学背诵的单词数量．则在这一天，同学比同学多背诵的单词数量是（     ） A．0个 B．9个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先根据含乘方的有理数的运算法则分别求出两位同学背诵的单词数量，即可求出结论． 【详解】解：由题意得：同学背诵的单词数量是， 同学背诵的单词数量是， 则同学比同学多背诵的单词数量是． 题型六、程序流程图与有理数计算 16．如图，A，B，C，D四张卡片各代表一种运算，例如，5按顺序运算，可列式为：，8按顺序运算，可列式为．则按顺序运算的结果为（     ） A．19 B．21 C．23 D．25 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题意可以列出算式，计算即可．理解题目提示的运算顺序是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， ∴经过顺序的运算结果为． 17．如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是__________． 【答案】 【详解】解：开始输入， ， ， ，则再次输入， ， ， ，则再次输入， ， ， ，则输出． 18．如图是小欣设计的一个运算程序，当她输入时，输出的结果为（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了流程图与有理数的运算，理解流程图是解题关键． 根据流程图计算求解即可． 【详解】解：当输入时，结果为，不能输出； 进入循环，结果得，输出结果； 故选：B． 题型七、算 “24” 点 19．有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数字，可以写出一个结果为24的算式，注意本题答案不唯一． 【详解】解： 20．2026年3月，鼓楼实验中学成功举办第三届“数学节”，一个趣味数学游戏是“快算24”，其规则是：随机抽取4个整数，用加减乘除四种运算符号和括号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．小龙参加“快算24”时，抽到的4个数分别是4，5，，11，请你写出一个算式，使其结果为24：_____________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据有理数的四则运算法则进行求解． 【详解】解：根据题意得，，满足题意， ∴算式为． 21．小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：    （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； （3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【答案】 （或，，，答案不唯一） 【分析】（1）根据有理数乘法的法则和乘积最大，计算即可求解； （2）根据有理数除法的法则和商最小，计算即可求解； （3）根据有理数的混合运算法则，计算即可求解． 【详解】解：（1）要使这2张卡片上数字乘积最大， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，乘积最大， 即； （2）这2张卡片上数字相除的商最小， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，商最小， 即； （3）若取出的4张卡片上的数字分别为，，，，则； 若取出的4张卡片上的数字分别为，，，，无法得到24； 若取出的4张卡片上的数字分别为，，，，则或； 若取出的4张卡片上的数字分别为，0，，，则； 若取出的4张卡片上的数字分别为，0，，，无法得到24． 题型八、含乘方的有理数混合运算 22．计算的结果是（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先化简，然后代入，根据乘法分配律逆运算求解即可． 【详解】解：， 原式 ． 23．对于有理数，定义一种新运算“”，规定，则（     ） A．77 B． C．63 D．13 【答案】A 【分析】根据新运算将数值代入计算即可． 【详解】解： ． 24．国际数学教育大会（）是全球数学教育水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在中国上海举办，大会标识右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数换算成十进制数是表示的举办年份．八进制数换算成十进制数是_______． 【答案】 【分析】根据题干的运算规则进行计算即可． 【详解】解：． 题型九、用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 25．一个很小的问题乘以14亿，都会变成一个大问题，一个很大的总量，除以14亿都会变成一个小数目．将14亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将14亿化成原数，然后按照科学记数法（把一个数写成是整数的形式）表示即可． 【详解】解：14亿=． 26．年月，国家卫健委公布我国人口总量约为人．其中用科学记数法表示，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 27．年月日，神舟十九号载人飞船取得圆满成功．发射场受到我国超过人的关注，这个数字用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键． 根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型十、将用科学记数法表示的数变回原数 28．中国自主研发建造的“长益号”超大型集装箱船，该舰的最大载重量为吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为（   ） A．24200吨 B．242000吨 C．2420吨 D．2420000吨 【答案】B 【分析】根据科学记数法的定义，将（n为正整数）还原时，把a的小数点向右移动n位即可得到原数． 【详解】解：∵给定数为，其中， ∴将2.42的小数点向右移动5位，可得原数为242000， 即原数为242000吨，对应选项为B． 29．是一个________位数． 【答案】七 【分析】确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点，由于指数为6，所以可以确定原数的位数． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：七． 【点睛】本题考查了科学记数法-表示较大的数，规律：（1）当|a|≥1时，n的值为n的整数位数减1；（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0． 30．一个数用科学记数法表示为，则这个数原数是________． 【答案】 【分析】科学记数法的标准形式为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数），本题数据“”中的a=1.68，指数n等于4，所以，需要把1.68的小数点向右移动4位，就得到原数了． 【详解】 =1.68×10000 =16800， 故答案为16800. 【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 题型十一、求一个数的近似数 31．用四舍五入法将精确到十分位的近似值是________． 【答案】 【分析】将数精确到十分位，只需观察百分位上的数字，根据四舍五入规则求解即可． 【详解】解：中百分位上的数字是， ∵， ∴向十分位进，十分位的变为， ∴精确到十分位的近似值是． 32．第34届大连“马拉松赛”将于2024年10月20日鸣枪开赛，九中和三十九中门前的七七街也作为赛道的一部分．本次全“马比赛”赛道全长，将42.195精确到十分位的近似值是______． 【答案】42.2 【分析】本题考查近似数和有效数字，根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到十分位． 【详解】解：（精确到十分位）， 故答案为：42.2． 33．2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在中国浙江省杭州市举行．杭州奥体博览城是本届亚运会的主场馆，该场馆核心区占地面积为一百五十四万三千七百平方米，建筑总面积为272万平方米．“一百五十四万三千七百”写作( )平方米，用“四舍五入”法精确到“万”位是( )万平方米． 【答案】 1543700 154 【分析】此题考查了数的写作和求近似数，要求学生掌握． 万以内数的写法，从最高位写起，先写万级再写个级，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0；四舍五入到万位，就是把万位后的千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“万”字． 【详解】解：一百五十四万三千七百写作：1543700， 万， 故答案为：1543700；154． 题型十二、求近似数的精确度 34．近似数精确到______位． 【答案】万分 【分析】确定近似数精确到哪一位，只需找出最后一个有效数字所在的数位即可． 【详解】解：近似数精确到万分位． 35．近似数所表示的准确数a的范围是_______． 【答案】 【分析】根据近似数四舍五入规则，近似数2.70精确到百分位，据此推导准确数a的范围． 【详解】解：近似数2.70最后一位是百分位，需要根据千分位的数字四舍五入得到， 若千分位数字进位得到2.70，则准确数最小为， 若千分位数字舍去得到2.70，则准确数最大小于， 因此可得准确数a的范围是． 36．把取近似数（精确到）为______ ；把23810精确到千位为________，精确到______ 位 【答案】 3.14 24000 千 【分析】根据近似数的精确度求解． 【详解】3.1415取近似数（精确到0.01）为3.14； 把23810精确到千位是24000； 6.750×106精确到千位． 故答案为3.14，33000，千． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字，用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．理解掌握利用“四舍五入法”求近似数的方法，根据要保留的下一位上数字的大小确定用“四舍”法、还是用“五入”法． 题型十三、近似数推断取值范围 37．把a精确到百分位的近似数是3.27，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵a精确到百分位的近似数是3.27， ∴当千分位上的数不小于5时，向百分位进1，a的最小值为3.265.当千分位上的数小于5时，舍去千分位及之后的数，a小于3.275， 即. 38．测得某同学的身高约是1.66米，那么意味着他身高的精确值x所在范围是___________________． 【答案】 【分析】根据精确数的方法“四舍五入”即可解答. 【详解】1.66是由四舍五入得到的数，若通过“入”得到1.66，则最小数应是1.655，若通过“舍”得到1.66，则最大数不存在，但能判断小于1.665，所以. 故答案为：. 【点睛】此题考查了数的精确度，掌握精确数的方法：四舍五入是正确解题的关键. 39．由四舍五入得到的近似数5.37，它表示大于或等于________，而小于________的数． 【答案】 5.365 5.375 【分析】根据末位数字实际在哪一位上，利用四舍五入的方法即可确定近似数所表示的原数的范围． 【详解】解：近似数5.37的前三位是5.37时，千分位上的数字应小于5，当近似数5.37的前三位是5.36时，千分位上的字数应该大于或等于5， ∴近似数5.37表示大于或等于5.365而小于5.375的数． 故答案为：5.365；5.375 【点睛】本题主要考查的是确定近似数的范围，正确的确定近似数的精确程度是解题的关键． 解答题 40．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数减法法则，然后把减法转化为加法，再依次合并计算，最后得到结果； （2）根据有理数加减混合运算法则，然后去括号化简式子，再依次加减运算，最后算出结果； （3）根据运算顺序，然后先算乘方、除法、绝对值，再算乘法，最后做加减运算； （4）根据有理数混合运算顺序，然后先算乘方，再算除法，最后计算加减，求出最终结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 41．在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）： (1)列式，并计算： ①经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ (2)探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是37，a是多少？ 【答案】(1)①7；②206 (2)a是或 【分析】此题主要考查根据题意规定的运算法则列式求解，解题的关键是正确理解题意规定的运算法则． （1）①根据题目所给的运算顺序，列出算式进行计算即可； ②根据题目所给的运算顺序，列出算式进行计算即可； （2）根据题目所给的运算顺序，列出方程，根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：根据题意可得： ， ， 解得：， ∴a是或． 42．记， ， ，…， (1)填空： ______，是一个______（填“正数”或“负数”）． (2)计算的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1)；正数 (2) (3) 【分析】此题考查数字的变化规律，掌握乘方的意义，判定负数乘方的计算结果是解决问题的关键． （1）根据有理数的乘法法则得出答案即可； （2）先根据乘法法则计算，再根据有理数的加法计算，可得答案； （3）由题意可得，，然后代入计算即可求解． 【详解】（1）解：， 由1000个相乘，则是一个正数， 故答案为：；正数； （2）解：， ， 所以； （3）解：，则n为奇数， ，， ． 43．经调查发现，六（1）班同学上、下学的出行方式有：家长开车接送、乘坐公交车、步行． (1)哪种出行方式最环保？ (2)琪琪每天由家长开车接送（一个往返），已知琪琪家汽车行驶的平均速度是40千米/时，单程用时15分钟，这辆汽车每千米排放160克二氧化碳． ①琪琪家离学校有多远？ ②琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放多少千克二氧化碳？ (3)一棵树每天大约吸收二氧化碳5000克，琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放出的二氧化碳至少需要几棵树才能在一天内吸收完？ 【答案】(1)步行 (2)①10千米；②16千克 (3)4棵 【分析】（1）结合三种出行方式的碳排放特点，直接判断最环保的出行方式． （2）①先将单程用时的时间单位统一为小时，因为路程=速度×时间，所以代入平均速度和单程时间即可计算出单程距离．②先计算单日往返的总路程，再结合每千米二氧化碳排放量算出单日排放量，因为一周有5天，所以乘以5得到一周总排放量，再进行单位换算得到以千克为单位的结果． （3）因为需要的树的数量=一周排放的二氧化碳总质量÷一棵树一天吸收的二氧化碳质量，所以代入对应数值，结果根据实际情况取整即可． 【详解】（1）解：步行不产生尾气排放，能源消耗为零，因此步行最环保． （2）①15分钟小时 , （千米） 答：琪琪家离学校10千米． ②（克）千克 答：琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放16千克二氧化碳． （3）（棵） 答：琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放出的二氧化碳至少需要4棵树才能在一天内吸收完． 【点睛】 44．如图，是一个“有理数转换器”（箭头是数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器） (1)当小明输入两个数时，则两次输出的结果分别是_________、_________； (2)你认为当输入_________数时（写出两个即可），其输出结果是0 (3)你认为这个“有理数转换器”不可能输出_________数 【答案】(1)； (2)，（答案不唯一，如，均可） (3)负 【分析】（1）把代入转换器，判断不大于 2，算出相反数 3，3 为正，取倒数得到；把代入转换器，判断不大于 2，算出相反数，非正，取绝对值得到． （2）根据输出为 0 倒推，只有绝对值能得到 0，可得输入 0 或者 5 这类 5 的正整数倍的数字，经过转换器运算后输出 0． （3）分析转换器两条输出线路，输出只能是正数或者 0，判断这个有理数转换器不可能输出负数． 【详解】（1）解：当输入： ∵， ∴的相反数为， ，取倒数， ∴输出． 当输入： ∵，， ∴的相反数为， ∵，取绝对值， ∴输出． （2）解：输出结果为 0： 输出为 0，只能由 “相反数非正，取绝对值” 得到，即相反数为 0，原数为 0． ①输入：，相反数是，非正，，输出 0． ②输入：，；，相反数是，非正，，输出 0． 可填写：，（答案不唯一，如均可）． （3）解：情况一：相反数为正，输出倒数，结果是正数； 情况二：相反数非正，输出绝对值，结果是非负数． 因此输出只能是正数或 0，不可能输出负数． 45．【数学文化】第十四届国际数学教育大会（）会徽（如图1）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．（规定：＝1，） (1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：①＝______，②＝______． (2)应用拓展：我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图2，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，她一共采集到的野果数量为多少个？ (3)请将十进制数20写成八进制数（写出必要的计算过程）． 【答案】(1)， (2)1845 (3) 解：， ∴． 【分析】（1）根据八进制转十进制的方法，从右至左用每个数位上的数字乘以的相应位数次幂（幂次从开始），再将结果相加． （2）从右到左，每个位置的结表示的数量是该位置的结数乘以的相应位数次幂（幂次从开始），再将结果相加． （3）用除取余的方法，将十进制数除以，取余数作为八进制数的每一位，直到商为即可． 【详解】（1）解：① ； ② ． （2）解：结绳计数（满六进一，从右到左结数依次为）． （个）． 答：她一共采集到的野果数量为个． （3）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $