精品解析：广东省惠州市泰雅实验高中2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

2026—2027 学年惠州市泰雅实验高中高二第一次月考试题 数学 本试卷共 4 页，19 题.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在正方体中，与向量相等的向量有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用相等向量的定义，结合正方体的几何特征即可求解． 【详解】如图， 在正方体中，由正方体性质可知与相等的向量有. 故选：A 2. 已知向量 ， ，且 ，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的充要条件为两向量数量积为，代入坐标，列方程求解的值. 【详解】由，可得. 代入，， 得： 解得. 3. 已知直线的倾斜角分别为，斜率分别为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当倾斜角时，斜率且斜率随着倾斜角增大而增大， 当倾斜角时，斜率且斜率随着倾斜角增大而增大， 已知直线的倾斜角分别为，则. 4. 已知直线 与 ，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用判断充分性，再根据两直线垂直的充要条件求出所有满足垂直的的取值，判断必要性即可确定条件类型. 【详解】充分性验证：当时，，， 可得，满足，充分性成立. 必要性验证：若，则， 整理得，解得或， 即时不一定等于，必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 5. 一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】法一：可知反射光线所在直线的斜率为，且经过点，结合直线的点斜式方程运算求解；法二：根据对称性可知反射光线所在直线经过点和点，结合直线的两点式方程运算求解. 【详解】法一：由题可知：直线的斜率，则反射光线所在直线的斜率为， 且反射光线所在直线经过点，所以反射光线所在直线方程为，即； 法二：因为点关于轴的对称点在反射光线所在直线上，可知反射光线所在直线经过点和点， 所以反射光线所在直线方程为，即. 故选：D． 6. 已知实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离，而点满足直线方程，因此问题转化为：求点到直线 的距离. 【详解】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离， 而点满足直线方程， 而直线外一点到直线上点的距离垂线段最短，则点到直线的距离， 因此， 的最小值为. 故选：D 7. 如图，在长方体 中，，P 为线段 的中点，则直线与所成角的正弦值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量法先求得直线与所成角的余弦值，再由同角三角函数关系式求得其正弦值. 【详解】由题意得，， ， 在长方体中， ， 设，则， 所以， ， ， 所以， 所以直线与 所成角的余弦值为， 所以直线与 所成角的正弦值为. 方法二：如图所示建立空间直角坐标系， 设，则， 所以，则， 所以， 所以， 所以直线与 所成角的余弦值为， 所以直线与所成角的正弦值为. 8. 若直线，互相平行，其中，则与之间距离的最大值为（　　） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平行性质确定的关系，再利用平行线间距离公式，结合基本不等式求出最大值. 【详解】由直线与直线相互平行， 得，则， 因此直线与之间的距离 ，当且仅当时取等号， 所以与之间距离的最大值为. 二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9. 已知直线，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则与轴垂直 B. 若，则点到的距离为 C. 若在轴上的截距为，则 D. 若，则的倾斜角的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，若，则，此时直线倾斜角为，与轴垂直，故A正确； 对于B，若，则，点到的距离为，故B错误； 对于C，由题意直线l过点，代入方程得，解得，故C正确； 对于D，若，则，解得，故D错误. 10. 下列说法正确的是（　　） A. 直线 的一个方向向量为 B. 若直线 经过第三象限，则 C. 若点 在直线 上，则直线方程还可以写成 D. 直线 关于直线 对称的直线方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由直线方向向量定义可判断选项正误；对于B，通过举特例可判断选项正误； 对于C，将代入直线方程可判断选项正误；对于D，由关于直线对称的点的特征可判断选项正误. 【详解】对于A，直线的斜率为，则其一个方向向量为，注意到与共线， 则是的方向向量，故A正确； 对于B，取直线，该直线过第三象限，其中，，不满足，故B错误； 对于C，因为点在直线上，代入得，即，代入原方程整理可得，故C正确； 对于D，设上任意点为，则，则.点关于对称的点为， 注意到，则点关于直线的对称点构成的直线方程为，即直线 关于直线 对称的直线方程为  ，故D错误. 11. 设正方体的棱长为 2，F 为棱上的一个动点，则在点 F 运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A. B. 存在点 F，满足 A，B，F，D₁ 四点共面 C. 直线 AF 与平面所成角为定值 D. 当 F 为的中点时，三棱锥的外接球的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理得平面，从而判断A；由当点与点重合时，四点共面，可判断B；由线面角的定义判断C；求得三棱锥的外接球的体积，判断D. 【详解】正方体中，平面， 因为平面，所以， 因为正方形中，， 平面， 所以平面. 又平面，所以，所以A正确； 当点与点重合时， 由，得四点共面，即四点共面，所以B正确； 因为平面平面， 平面， 所以到平面的距离为定值，记为， 因为不是定值，所以直线与平面所成角不是定值，所以C错误； 当 F 为的中点时， 因为平面，且的外接圆半径为， 所以三棱锥的外接球的半径为， 所以其体积为 .所以D正确. 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 在长方体 中，，则点 到直线 的距离为 ________. 【答案】 ## 【解析】 【分析】如下图，连接，则到距离为边的高，据此可得答案. 【详解】连接，过向作垂线，垂足为，则为边的高，也为点 到直线 的距离. ，，. ， 则， 则. 13. 已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据斜率相等计算. 【详解】由题意得，直线的斜率为，直线的斜率为， 则，得. 故答案为：. 14. 已知直线l的倾斜角满足，且 l 过点，当l与直线的交点在第一象限时，l 的方程为 ______. 【答案】 【解析】 【详解】易知，直线的斜率为， 由，得， 所以，解得或， 当时，直线方程，即， 联立，解得，交点，在第一象限，符合条件； 当时，直线方程，即， 联立，解得，交点横坐标为负，不在第一象限，舍去， 故直线的方程为. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知直线过点. （1）若直线与直线平行，求直线的方程； （2）若直线在轴的截距是直线在轴上截距的倍，求直线的方程； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行斜率相等，由点斜式可求出直线方程. （2）结合截距倍数关系求解，分别讨论截距为0和截距不为0的两种情况. 【小问1详解】 因为直线与直线平行，所以直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线的方程为 整理可得; 【小问2详解】 ①当直线在轴、轴上的截距均为时，满足条件， 设直线方程为，代入点得，即直线方程为. ②当直线在轴、轴上的截距均不为时， 设轴上截距为，则轴上的截距为，直线方程为 代入点得: 解得 代入方程整理得 综上，直线的方程为或. 16. 如图，在直三棱柱中，点、分别是棱、上的点（点异于点），且. （1）求证：； （2）若是正三角形，，且三棱柱的体积是三棱锥的体积的12倍，求与平面所成的角的余弦值. 【答案】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面， 又因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）根据直棱柱性质及线面垂直的定值定理证得，然后利用线面垂直的判定定理证得平面，即可利用线面垂直的性质定理证明线线垂直. （2）设，由，求得，以点为原点，建立空间直角坐标系，求得和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，因为是正三角形，所以， 设，由，， 可得，解得， 以点为坐标原点，所在的直线分别为轴，平行于的直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则、、、， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 设与平面所成的角为，则， 所以与平面所成的角的余弦值为. 17. 已知与是两条不重合的直线，为实数. （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）若与相交，求的取值范围. 【答案】（1）2 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，利用两条直线平行、垂直、相交分别列式求解. 【小问1详解】 由直线与平行， 得，解得， 所以的值是2. 【小问2详解】 由与垂直， 得，解得， 所以的值为或. 【小问3详解】 由与相交， 得，解得且， 所以的取值范围是. 18. 在斜三棱柱中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱，，M 为侧棱的中点. （1）求线段BM的长度； （2）求证：平面. 【答案】（1） （2）底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱，， 则有， ，， ， ， 则有，，即，， ，平面，所以平面. 【解析】 【分析】（1）中，利用余弦定理求BM的长度； （2）利用向量法证明线面垂直. 【小问1详解】 中，，，， 由余弦定理有， 所以. 【小问2详解】 略 19. 如图，在四棱锥中，底面BCDE为菱形，， ， ，O为棱DE的中点. （1）证明：； （2）求点B到平面PCD的距离； （3）设M为棱PD上的动点，若平面ECM与平面BCDE夹角的余弦值为，求直线EM与平面PCD所成角的正弦值. 【答案】（1），则为等边三角形， O为棱DE的中点，则有且， 底面BCDE为菱形，，则，，， 由余弦定理，则， 又，则有，得， ，平面，所以平面， 平面，所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合余弦定理和勾股定理，利用线面垂直的判定定理证明平面，进而利用线面垂直的性质定理证得； （2）建立空间直角坐标系，向量法求点到平面的距离即可； （3）利用已知二面角的余弦值，求出M点坐标，再利用向量法求直线 EM 与平面 PCD 所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 底面BCDE为菱形，，则为等边三角形， O为棱DE的中点，则有，又平面， 故以为原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为，则有， 令，则，得， 所以点B到平面PCD的距离为. 【小问3详解】 M为棱PD上的动点，设，可得， ，设平面的一个法向量为， 则有， 令，则，得， 由平面，则平面的一个法向量为， 平面ECM与平面BCDE夹角的余弦值为， 则有，解得， 则，，又平面的一个法向量， 设直线 EM 与平面 PCD 所成角为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027 学年惠州市泰雅实验高中高二第一次月考试题 数学 本试卷共 4 页，19 题.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在正方体中，与向量相等的向量有（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量 ， ，且 ，则的值为（　　） A. B. C. D. 3. 已知直线的倾斜角分别为，斜率分别为，则（　　） A. B. C. D. 4. 已知直线 与 ，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. 5 D. 7. 如图，在长方体 中，，P 为线段 的中点，则直线与所成角的正弦值为（　　） A. B. C. D. 8. 若直线，互相平行，其中，则与之间距离的最大值为（　　） A. B. C. 3 D. 二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9. 已知直线，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则与轴垂直 B. 若，则点到的距离为 C. 若在轴上的截距为，则 D. 若，则的倾斜角的取值范围为 10. 下列说法正确的是（　　） A. 直线 的一个方向向量为 B. 若直线 经过第三象限，则 C. 若点 在直线 上，则直线方程还可以写成 D. 直线 关于直线 对称的直线方程为 11. 设正方体的棱长为 2，F 为棱上的一个动点，则在点 F 运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A. B. 存在点 F，满足 A，B，F，D₁ 四点共面 C. 直线 AF 与平面所成角为定值 D. 当 F 为的中点时，三棱锥的外接球的体积为 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 在长方体 中，，则点 到直线 的距离为 ________. 13. 已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是______. 14. 已知直线l的倾斜角满足，且 l 过点，当l与直线的交点在第一象限时，l 的方程为 ______. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知直线过点. （1）若直线与直线平行，求直线的方程； （2）若直线在轴的截距是直线在轴上截距的倍，求直线的方程； 16. 如图，在直三棱柱中，点、分别是棱、上的点（点异于点），且. （1）求证：； （2）若是正三角形，，且三棱柱的体积是三棱锥的体积的12倍，求与平面所成的角的余弦值. 17. 已知与是两条不重合的直线，为实数. （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）若与相交，求的取值范围. 18. 在斜三棱柱中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱，，M 为侧棱的中点. （1）求线段BM的长度； （2）求证：平面. 19. 如图，在四棱锥中，底面BCDE为菱形，， ， ，O为棱DE的中点. （1）证明：； （2）求点B到平面PCD的距离； （3）设M为棱PD上的动点，若平面ECM与平面BCDE夹角的余弦值为，求直线EM与平面PCD所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $