精品解析：广东省江门市鹤山市鹤华中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

鹤华中学2026~2027学年第一学期高二第一次月考数学试卷 一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分) 1. 已知，则点在Oyz平面内（O为坐标原点）的射影坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】点在Oyz平面上的射影坐标特征是不变，变为0， 所以点在平面上的射影坐标为． 2. 在某足球联赛的常规赛中，甲队进球个数的平均数为2.1，标准差为1.1；乙队进球个数的平均数为1.4，标准差为1.2，则（    ） A. 甲队进攻能力比乙队强，甲队进球数波动较大 B. 乙队进攻能力比甲队强，乙队进球数波动较大 C. 甲队进攻能力比乙队强，乙队进球数波动较大 D. 乙队进攻能力比甲队强，甲队进球数波动较大 【答案】C 【解析】 【分析】根据进球个数的平均数判断进攻能力强弱，根据标准差判断进球数波动大小． 【详解】因为甲队进球个数的平均数为2.1，乙队进球个数的平均数为1.4， 所以甲队进攻能力比乙队强， 又因为甲队进球个数的标准差为1.1，乙队进球个数的标准差为1.2， 所以乙队进球数波动较大． 3. 如图，在平行六面体中，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 4. 一组递增数据的平均数为3，方差为4，极差为6，若，则（ ） A. 的极差为10 B. 的方差为8 C. 的第80百分位数为 D. 的平均数为7 【答案】D 【解析】 【分析】利用数据线性变换的性质，即可由原数据的数字特征计算出新数据的数字特征，逐一验证选项即可. 【详解】对于A，已知原数据的极差， 新数据的最大值，最小值， 则新数据的极差，故A错误， 对于B，新数据的方差，故B错误， 对于C，，故的第80百分位数为，故C错误， 对于D，新数据的平均数，故D正确. 5. 某校组织1000名学生参加机器人知识竞赛，经统计这1000名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．现用比例分配的分层随机抽样在内共抽取了学生50人，则在内抽取的学生人数为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，成绩在区间的人数为，在的人数为， 按照分层随机抽样在内共抽取了学生50人，故抽样比为， 所以在内抽取的学生人数为. 6. 如图，二面角等于是棱上两点，，且，则的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入求解即可. 【详解】由二面角的平面角的定义知， 所以， 由，得， 又因为， 所以 ， 所以，即. 故选：A. 7. 下列四个命题中不正确的是（    ） A. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 B. 是平面的法向量，是直线的方向向量，若，则 C. 已知向量，，则在方向上的投影向量为 D. 直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离为 【答案】B 【解析】 【分析】对A由空间向量基本定理判断可得；对B由线面平行的条件判定可得；对C由投影向量的定义计算可得；对D由向量法求点到直线的距离计算可得. 【详解】对于A，假设共面，则存在，使得，则， 因为是空间的一组基底，即不共面，与矛盾， 所以不共面，则也是空间的一组基底，故A正确； 对于B，若，当时，则；当时，则直线不平行于平面，故B错误； 对于C，向量，， 所以在方向上的投影向量为，故C正确； 对于D，由条件得，，， 所以在方向上的投影为， 则点到直线的距离为，故D正确； 8. 如图，正方体中，，当直线与平面所成的角最大时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用坐标法，利用线面角的向量求法，得到线面角正弦值的表达式，再利用三角函数的性质及二次函数的性质即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为. 则，，，，，. 所以，，，． 设平面的法向量为， 则 令，则，，可得. 又，设直线与平面所成的角为，则 ， 从而当时，取到最大值，又，故时直线与平面所成的角最大． 故选：C 二、多选题(共3题，每题6分) 9. 某学校高三年级共有800人，其中男生480人，为调查学生的身高情况，现采用性别比例分配的分层随机抽样抽取容量为40的样本，其中，男生身高的平均数和方差分别为170和16，女生身高的平均数和方差分别为160和16，则（ ） A. 该校每位男生被抽到的可能性大于每位女生被抽到的可能性 B. 男生中抽取的样本量为24 C. 该校高三年级学生身高的平均数估计值为165 D. 该校高三年级学生身高的方差估计值为40 【答案】BD 【解析】 【详解】A，比例分配的分层随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性相同，故A错； B，由题抽样比例为，故男生被抽到人数为人，故B对； C，估计该校高三年级学生身高的平均数为：，故C错； D，估计该校高三年级学生身高的方差为：，故D对． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若平面的法向量，，则点到平面的距离是 B. 直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 已知三向量，，共面，则 D. 若空间向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A选项直接由向量法计算点到平面的距离可得；对B选项直接判断向量与平面的法向量是否平行可得；对C选项直接由空间向量基本定理列方程组，解方程组可得；对D选项由向量夹角为锐角可得且不能同向共线，再代入坐标计算可得. 【详解】选项A，由平面的法向量，， 所以点到平面的距离，故A正确； 选项B，由直线的方向向量，平面的法向量， 因为，所以与不平行，故不成立，故B错误； 选项C，已知三向量，，共面， 则存在实数，使得， 得， 得，解得，故C正确； 选项D，若空间向量与的夹角为锐角， 则且不能同向共线， 由，解得， 若共线，令，即， 故，方程组无解，所以不同向共线， 综上，实数的取值范围是，故D正确. 11. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，O，P分别是，的中点，M是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 存在点M，使得平面 C. 存在点M，使得直线与所成的角为 D. 点M到平面与平面的距离和为定值 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A，通过建立空间直角坐标系计算向量与的数量积恒为0，从而证明两直线始终垂直，选项B，利用平面的法向量与向量的数量积为0解出，证明存在满足线面平行的点，选项C，利用向量夹角公式建立关于余弦值的方程，通过判别式小于0得出该方程无实数解，从而判定不存在该点，选项D，借助坐标系直接写出点到两个平面的距离表达式，相加后即可证明距离和为定值. 【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设正方形的边长为，因为，所以， 则有， 由题意得， 因为M是棱上的动点，设， 因为，所以，进而， 对于A，， 则， 即，故A错误， 对于B，，，设平面的法向量为， 则，取，则，即， 若存在点M，使得平面，则且不在平面内， 即，， 即为的中点时，平面，故B正确， 对于C，直线的方向向量为，设直线与所成角为， 则， ， 若，则，即，解得， 代入得，化简为， 该二次函数判别式，方程无实数解， 因此不存在这样的点使得直线与所成的角为，故C错误， 对于D， 平面为平面，平面为平面， 点到平面的距离， 到平面的距离， 则两距离之和为，即为正方形边长定值，故D正确 三、填空题(共3题，每题5分) 12. 数据，，，，，，，，，的第百分位数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用百分位数的定义进行求解. 【详解】数据共有10个数，， 故从小到大排列为， 选择第7个数和第8个数的平均数作为第70百分位数，即为第70百分位数. 13. 定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标，已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件有，设，利用空间向量基本定理列式即可求解. 【详解】因为向量在基底下的坐标为，则， 设， 则，解得，所以向量在基底下的坐标为， 故答案为：. 14. 已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，可证得平面平面，从而平面与平面的距离等于点到平面的距离．求得平面的法向量和，结合点到平面的距离的向量公式，即可得解． 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得， 因为，则， 所以， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 又因为，所以． 所以平面与平面的距离为． 故答案为：． 四、解答题(共5题) 15. 为备战运动会，射击队的甲、乙两位射击运动员开展了队内对抗赛．在对抗赛中两人各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下： 甲 4 7 6 5 4 9 10 7 8 10 乙 7 5 8 6 7 9 7 6 7 8 （1）分别计算这两位运动员射击成绩的平均数和方差； （2）如果你作为射击队教练，你会挑选哪一名运动员参加运动会，并说明理由． 【答案】（1），，， （2）选择乙参加运动会，理由如下： 由（1）知，，，因为两名运动员射击成绩的平均水平相同，且，则乙的成绩比甲稳定，因此选择乙参加运动会. 【解析】 【分析】（1）根据平均数与方差的公式求解即可； （2）比较平均数与方差，平均数相同的情况下选择方差小的. 【小问1详解】 ， ， ， ； 【小问2详解】 选择乙参加运动会，理由略. 16. 为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按，，…，分组，作出频率分布直方图如图所示． （1）求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； （2）估计样本中成绩的上四分位数，众数，平均数及方差； 【答案】（1）；90 （2）86；75；76；169 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积之和为1，解方程求出，进而得到60分以上的频率，再乘以样本容量即可得对应人数； （2）众数取最高矩形区间中点；上四分位数先找累计频率定位所在区间，再通过列方程找频率为的位置即可； 平均数用各组组中值乘以对应频率求和即可求得；方差利用频率加权计算各组与平均数偏差的平方和即可求得. 【小问1详解】 根据频率分布直方图，各组频率之和为1，得：，解得：， 则样本中成绩不低于60分的人数为：. 【小问2详解】 上四分位数：前四组的累积频率为：， 前五组的累计频率为：，因为，所以上四分位数位于内， 设上四分位数为，则，解得：，故估计样本中成绩的上四分位数为86； 众数：因为众数为最高矩形的中点，故众数为75； 平均数：； 方差：. 17. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为平面，平面， 所以， 又四边形为正方形，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）借助线面垂直的性质定理可得，结合线面垂直的判定定理可得平面，即可用面面垂直的性质定理得证； （2）借助平面与平面的夹角定义找出平面与平面夹角的夹角后，借助勾股定理计算各边长，结合余弦函数定义即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接，取的中点，连接交于点，连接， 设交于点，连接，， 因为为的中点，所以， 因为，，所以四边形是平行四边形，所以， 所以，所以平面即为平面，且为中点， 由（1）知平面，又平面，所以， 又，为的中点，所以， 所以为平面与平面的夹角， 由为直角三角形，可得， ，则， 即为等腰三角形，所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 18. 如图，空间四边形OABC中，，点M，N分别在OA，BC上，且． （1）以为一组基底表示向量； （2）求MN的长度； （3）求，两向量夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量运算的几何表示及空间向量基本定理求解； （2）利用空间向量数量积的运算性质即可求解； （3）利用空间向量夹角的余弦公式计算即可． 【小问1详解】 因为， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以， 所以 ， 所以． 【小问3详解】 因为， 所以 ， ， 所以． 19. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，满足？若存在，求出的值：若不存在，说明理由． 【答案】（1）取的中点，连接.因为点为棱的中点， 所以，且，又因为，， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. （2） （3）在棱上存在点，满足，此时 【解析】 【分析】（1）取的中点，构造平行四边形，从而得到，最后利用线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再利用向量法求出直线的方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值， 即为线面角的正弦值； （3）设比例参数，写出，利用垂直向量数量积为0建立方程求出，且在范围内，说明该点存在. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，以点为坐标原点，分别以所在方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为点为棱的中点，得， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 不妨设，可得， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 假设在棱上存在点，满足， 设，则， 因为， 故， 由，得，解得，满足， 所以在棱上存在点，满足，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤华中学2026~2027学年第一学期高二第一次月考数学试卷 一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分) 1. 已知，则点在Oyz平面内（O为坐标原点）的射影坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 在某足球联赛的常规赛中，甲队进球个数的平均数为2.1，标准差为1.1；乙队进球个数的平均数为1.4，标准差为1.2，则（    ） A. 甲队进攻能力比乙队强，甲队进球数波动较大 B. 乙队进攻能力比甲队强，乙队进球数波动较大 C. 甲队进攻能力比乙队强，乙队进球数波动较大 D. 乙队进攻能力比甲队强，甲队进球数波动较大 3. 如图，在平行六面体中，（ ） A. B. C. D. 4. 一组递增数据的平均数为3，方差为4，极差为6，若，则（ ） A. 的极差为10 B. 的方差为8 C. 的第80百分位数为 D. 的平均数为7 5. 某校组织1000名学生参加机器人知识竞赛，经统计这1000名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．现用比例分配的分层随机抽样在内共抽取了学生50人，则在内抽取的学生人数为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 6. 如图，二面角等于是棱上两点，，且，则的长等于（ ） A. B. C. D. 7. 下列四个命题中不正确的是（    ） A. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 B. 是平面的法向量，是直线的方向向量，若，则 C. 已知向量，，则在方向上的投影向量为 D. 直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离为 8. 如图，正方体中，，当直线与平面所成的角最大时，（ ） A. B. C. D. 二、多选题(共3题，每题6分) 9. 某学校高三年级共有800人，其中男生480人，为调查学生的身高情况，现采用性别比例分配的分层随机抽样抽取容量为40的样本，其中，男生身高的平均数和方差分别为170和16，女生身高的平均数和方差分别为160和16，则（ ） A. 该校每位男生被抽到的可能性大于每位女生被抽到的可能性 B. 男生中抽取的样本量为24 C. 该校高三年级学生身高的平均数估计值为165 D. 该校高三年级学生身高的方差估计值为40 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若平面的法向量，，则点到平面的距离是 B. 直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 已知三向量，，共面，则 D. 若空间向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 11. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，O，P分别是，的中点，M是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 存在点M，使得平面 C. 存在点M，使得直线与所成的角为 D. 点M到平面与平面的距离和为定值 三、填空题(共3题，每题5分) 12. 数据，，，，，，，，，的第百分位数是___________． 13. 定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标，已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为_____． 14. 已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为_________． 四、解答题(共5题) 15. 为备战运动会，射击队的甲、乙两位射击运动员开展了队内对抗赛．在对抗赛中两人各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下： 甲 4 7 6 5 4 9 10 7 8 10 乙 7 5 8 6 7 9 7 6 7 8 （1）分别计算这两位运动员射击成绩的平均数和方差； （2）如果你作为射击队教练，你会挑选哪一名运动员参加运动会，并说明理由． 16. 为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按，，…，分组，作出频率分布直方图如图所示． （1）求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； （2）估计样本中成绩的上四分位数，众数，平均数及方差； 17. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 如图，空间四边形OABC中，，点M，N分别在OA，BC上，且． （1）以为一组基底表示向量； （2）求MN的长度； （3）求，两向量夹角的余弦值． 19. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，满足？若存在，求出的值：若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $