精品解析：广东揭阳市揭东区立德学校2025-2026学年度上学期七年级数学综合训练

揭东区立德学校2025-2026学年度七年级数学综合训练 一．选择题（共10小题） 1. 下列式子：，，，0，，，，中，整式的个数是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2. 如图，是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的个数最多为，最少为，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a ＋ b ＋ c 等于（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 4. 在下列说法：①如果，则有；②若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数；③一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；④若m+n=0，则m、n互为相反数．其中正确的个数有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 5. “”表示一种运算符号，其意义是，若，则x等于（ ） A. B. C. 2 D. 1 6. 代数式，，，a，2009，， 中单项式的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，图1中有1个角，图2中有3个不同角，图3中有6个不同角，…，按此规律下去图6中有不同角的个数为（ ） … A. 15 B. 16 C. 21 D. 22 8. 下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中是方程的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 9. 如图所示，是平角，是射线，、分别是、的角平分线，若，则的度数为（ ） A. 56° B. 62° C. 72° D. 124° 10. 如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是7，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去…，第2021次输出的结果是（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 二．填空题（共5小题） 11. 已知和是同类项，则m﹣n的值是_____． 12. 已知方程是关于x的一元一次方程，则a=_____． 13. 时针指示6点分，它的时针和分针所夹的角是 ___________度． 14. 已知的值为，则代数式的值为________． 15. 如图，AB=12cm，C为AB的中点，点D在线段AC上，且AD：CB=1：3，则DB的长度是_____cm． 三．解答题（共8小题） 16. 解方程：． 17. 如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分和． （1）求的度数； （2）如果，求的度数． 18. 先化简，再求值：－9y+6x2+3(y－x2)，其中x=2，y=－1． 19. 若，互为相反数，，互为倒数，则关于的方程的解为多少？ 20. 如图，在平面内有A，B，C三点． （1）画直线AB；画射线AC；画线段BC； （2）在线段BC上任取一点D（不同于B，C两点），连接AD，并延长AD至点E，使； （3）数一数，此时图中共有多少条线段？多少条射线？ 21. 某市为保障供水及道路安全，自来水有限公司排查地下管线密集区，决定改造一段已使用多年面临老化的自来水管，这项翻新工程如果由甲工程队单独改造需要12天，由乙工程队单独改造需要24天．现要求甲、乙两个工程队一起合作完成这项翻新工程，但由于工作调动的原因，该项工程完工时，乙工程队中途共离开了3天，问这项工程一共用了多少天？ 22. （应用一元一次方程求解）某超市第一次以4450元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数是甲商品件数的2倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/件） 20 30 售价（元/件） 25 40 （1）该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数不变，甲商品的件数是第一次的2倍；乙商品按原价销售，甲商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润与第一次获得的总利润一样，求第二次甲商品是按原价打几折销售？ 23. 如图①，已知线段，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点， （1）若点C恰好是AB中点，则___________cm； （2）若，求DE的长； （3）试利用“字母代替数”的方法，说明不论点C运动到什么位置时，DE的长不变； （4）知识迁移：如图②，已知，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE分别平分和，试说明与射线OC的位置无关． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 揭东区立德学校2025-2026学年度七年级数学综合训练 一．选择题（共10小题） 1. 下列式子：，，，0，，，，中，整式的个数是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的识别，根据单项式和多项式统称为整式，进行判断即可． 【详解】解：是多项式，属于整式； 中分母含有字母，不是整式； 是单项式，属于整式； 0是单项式，属于整式； 中分母含有字母，不是整式； 是单项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 是等式，不是整式； 综上可知，整式的个数是5， 故选B． 2. 如图，是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的个数最多为，最少为，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数情况，由主视图可以看出每一列的最大层数和个数，从而算出的值，由此即可得出答案． 【详解】解：由主视图和俯视图可知，该几何体中小正方体的个数最多的情况如下：（数字表示对应位置上小正方体的个数）， 则， 该几何体中小正方体的个数最少的情况如下： 或 则， 所以， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体中小正方体的个数问题，从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，进而数出小正方体的最多与最少的个数是解题关键． 3. 设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a ＋ b ＋ c 等于（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】最小的正整数是1，最大的负整数是－1，绝对值最小的有理数是0，根据代数式计算即可． 【详解】由题意得：a＝1，b＝－1，c＝0， 则a ＋ b ＋ c＝1＋（－1）＋0＝0， 故选B． 【点睛】此题考查了有理数的加减，此题的关键是知道最大的正整数是1，最大的负整数是－1，绝对值最小的有理数是0． 4. 在下列说法：①如果，则有；②若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数；③一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；④若m+n=0，则m、n互为相反数．其中正确的个数有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的定义，有理数的乘法法则，绝对值的定义解答即可． 【详解】解：①如果，则有；若，则有，故①说法错误； ②若干个有理数相乘（0除外），如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数，故②说法错误； ③一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数或0，故③说法错误； ④若m+n=0，则m、n互为相反数。故④说法正确． 所以，正确结论的个数只有1个， 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值，相反数的定义及有理数的乘法法则． 5. “”表示一种运算符号，其意义是，若，则x等于（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． 将已知等式利用题中的新定义运算法则化简，计算即可求出x的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：． 故选：B． 6. 代数式，，，a，2009，， 中单项式的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式的定义，熟悉相关性质是解题的关键，注意单独的一个数或单独的一个字母也是单项式．根据单项式的定义：数字与字母的乘积叫做单项式，单独的一个数或单独的一个字母也是单项式，求解即可． 【详解】单项式有：，a，2009，，，共有5个， 故选：C． 7. 如图，图1中有1个角，图2中有3个不同角，图3中有6个不同角，…，按此规律下去图6中有不同角的个数为（ ） … A. 15 B. 16 C. 21 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知，采用枚举法确定其中的规律，计算即可． 【详解】∵第一个图形中有2=1+1条射线，有个角， 第二个图形中有3=2+1条射线，有个角， 第三个图形中有4=3+1条射线，有个角， ∴第六个图形中有7=6+1条射线，有个角， 故选C． 【点睛】本题考查了角中的规律，熟练掌握图形中规律的枚举法寻找策略是解题的关键． 8. 下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中是方程的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的定义，判断所给式子是否为含有未知数的等式，从而确定方程的个数．本题主要考查了方程的定义，熟练掌握方程是含有未知数的等式是解题的关键． 【详解】解：方程是含有未知数的等式 ①，是含有未知数的等式，是方程 ②，不是等式，不是方程 ③，是含有未知数的等式，是方程 ④，是含有未知数的等式，是方程 ⑤，不是等式，不是方程 ⑥，是含有未知数的等式，是方程 ⑦，是含有未知数的等式，是方程 ⑧，是含有未知数的等式，是方程 ①③④⑥⑦⑧是方程，共6个 故选：D． 9. 如图所示，是平角，是射线，、分别是、的角平分线，若，则的度数为（ ） A. 56° B. 62° C. 72° D. 124° 【答案】B 【解析】 【分析】根据OE平分可求得∠BOC的度数，由∠AOC与∠BOC互补即可得到∠AOC的度数，由OD平分∠AOC， 即可求得∠AOD的度数． 【详解】∵平分 ∴∠BOC=2∠COE=2×28°=56° ∵∠AOC+∠BOC=180° ∴∠AOC=180°−∠BOC=124° ∵平分 ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了角平分线的性质、互补等知识，角平分线的性质熟练掌握相关知识点是关键． 10. 如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是7，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去…，第2021次输出的结果是（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可以先求出前几次输出结果，发现规律：从第2次开始，6，3，8，4，2，1，每次6个数循环，进而可得以第2021次输出的结果与第5次输出的结果一样． 【详解】解：根据题意可知： 开始输入x的值是7，第1次输出的结果是12， 第2次输出的结果是6， 第3次输出的结果是3， 第4次输出的结果是8， 第5次输出的结果是4， 第6次输出的结果是2， 第7次输出的结果是1， 第8次输出的结果是6， 依次继续下去， …， 发现规律：从第2次开始，6，3，8，4，2，1，每次6个数循环， 因为（2021-1）÷6=336…4， 所以第2021次输出的结果与第5次输出的结果一样是4． 故选：B． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，代数式求值，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 二．填空题（共5小题） 11. 已知和是同类项，则m﹣n的值是_____． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，列出关于m，n的方程，求出m，n的值，继而可求解． 【详解】解：∵﹣5a2mb和3a4b3﹣n是同类项 ∴， 解得：m=2、n=2， ∴m﹣n =1-2=-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同． 12. 已知方程是关于x的一元一次方程，则a=_____． 【答案】-2 【解析】 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是(a，b是常数且a≠0）． 【详解】解：由是关于x的一元一次方程，得 且， 解得． 故答案为：﹣2． 13. 时针指示6点分，它的时针和分针所夹的角是 ___________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了钟表时针与分针的夹角．熟练掌握时针与分针转动的度数关系是解题的关键． 时针与分针转动的度数关系：分针每转动时针转动就会转动；两个相邻数字间的夹角为，每个小格夹角为，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形． 先分别计算时针和分针从起始位置（6点）开始分别转动的角度，再将这两个角度相加即可得到时针和分针所夹的角的度数． 【详解】解：计算时针从6点开始转动的角度：因为整个钟面为，共分为个大格，所以每个大格的角度为．6点分时，分钟是1个小时（分钟）的．时针1个小时转动1个大格，那么分钟时针转动了一个大格的，所以时针转动的角度为． 计算分针从点开始转动后与6点位置的夹角：分针分钟后指向3的位置，6点时，时针指向6，3与6之间有3个大格，每个大格是，所以3与6之间的角度为． 计算时针和分针所夹的角的度数：时针从6点开始转动了，分针指向3时与6点位置的夹角为，所以时针和分针所夹的角的度数是． 故答案为：． 14. 已知的值为，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由x2+3x+5=11得出x2+3x=6，代入代数式3x2+9x+12，求出算式的值是多少即可 【详解】解：∵x2+3x+5的值为11 ∴x2+3x=6, ∴3(x2+3x)=18， ∴3x2+9x+12， =3(x2+3x)+12， =3×6+12， =30. 【点睛】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，注意代入法的应用． 15. 如图，AB=12cm，C为AB的中点，点D在线段AC上，且AD：CB=1：3，则DB的长度是_____cm． 【答案】10 【解析】 【分析】根据中点的定义求出AC、BC的长，根据题意求出AD，结合图形计算即可． 【详解】解：∵AB=12cm，C为AB的中点， ∴AC=BC=AB=6(cm)， ∵AD：CB=1：3， ∴AD=2cm， ∴DC=AC-AD=4(cm)， ∴DB=DC+BC=10(cm)， 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是两点间的距离，掌握线段中点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 17. 如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分和． （1）求的度数； （2）如果，求的度数． 【答案】（1）90° （2）155° 【解析】 【分析】（1）由OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC得，即可得∠DOE； （2）由∠COD＝65°可得∠AOC＝130°，故可知∠BOC＝50°，由角平分线的定义可知∠COE，即可求∠AOE． 【小问1详解】 解：∵点A，O，B在同一条直线上， ∴∠AOB＝180°， ∵OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 ∵∠COD＝65°，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC， ∴∠AOC＝2∠COD＝2×65°＝130° ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣130°＝50°， ∴， ∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝130°+25°＝155°． 【点睛】本题考查了角平分线的定义和角的和差，关键是掌握角平分线的定义，结合图形求解． 18. 先化简，再求值：－9y+6x2+3(y－x2)，其中x=2，y=－1． 【答案】4x2－6y，22． 【解析】 【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x、y的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：－9y+6x2+3(y－x2)=－9y+6x2+3y－2x2=4x2－6y， 当x=2，y=－1时，原式=4×22－6×(－1)=16+6=22． 【点睛】本题考查的是整式的加减运算和代数式求值，属于常见题型，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键． 19. 若，互为相反数，，互为倒数，则关于的方程的解为多少？ 【答案】 【解析】 【分析】首先根据相反数和倒数的概念得到，，然后代入求解即可．此题考查了相反数和倒数的概念，解一元一次方程，解题的关键是根据题意得出，． 【详解】解：根据题意得：，， 原方程化为：， ， ， ， ， ． 20. 如图，在平面内有A，B，C三点． （1）画直线AB；画射线AC；画线段BC； （2）在线段BC上任取一点D（不同于B，C两点），连接AD，并延长AD至点E，使； （3）数一数，此时图中共有多少条线段？多少条射线？ 【答案】（1） 如图，直线AB，射线AC，线段BC即为所求； （2）如图，线段AD和DE即为所求； （3）有8条线段，6条射线 【解析】 【分析】（1）根据直线、射线、线段的定义，即可求解； （2）先画出线段AD，再延长AD至点E，使，即可求解； （3）根据射线、线段的定义，即可求解． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：图中的线段有AB、AC、AD、DE、AE、CD、DB、BC，共有8条， 射线有AC、CH、AG、BG、BF、AF，共有6条． 【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段的定义，熟练掌握直线没有端点、长度无限，可以向两端无限延长；射线只有一个端点，长度无限，可以向一端无限延长；线段有两个端点，长度有限是解题的关键． 21. 某市为保障供水及道路安全，自来水有限公司排查地下管线密集区，决定改造一段已使用多年面临老化的自来水管，这项翻新工程如果由甲工程队单独改造需要12天，由乙工程队单独改造需要24天．现要求甲、乙两个工程队一起合作完成这项翻新工程，但由于工作调动的原因，该项工程完工时，乙工程队中途共离开了3天，问这项工程一共用了多少天？ 【答案】这项工程一共用了9天 【解析】 【分析】根据题意分别算出甲，乙两队的工作效率，根据题意可知等量关系：甲完成工作量＋乙完成工作量=总工作量，根据等量关系列出方程即可． 【详解】∵甲工程队单独改造需要12天，由乙工程队单独改造需要24天， ∴甲的工作效率为： ，乙的工作效率为：， 解：设这项工程一共用了x天， 解得： ， 答：这项工程一共用了9天． 【点睛】本题考查用一元一次方程解决工程问题，能够根据题意列出方程是解题的关键． 22. （应用一元一次方程求解）某超市第一次以4450元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数是甲商品件数的2倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/件） 20 30 售价（元/件） 25 40 （1）该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数不变，甲商品的件数是第一次的2倍；乙商品按原价销售，甲商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润与第一次获得的总利润一样，求第二次甲商品是按原价打几折销售？ 【答案】（1）第一次购进甲种商品50件，则购进乙种商品115件 （2）9折 【解析】 【分析】（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，根据“第一次以4450元购进甲、乙两种商品”列方程求解即可； （2）设第二次甲商品是按原价打m折销售，根据“第二次两种商品都销售完以后获得的总利润与第一次获得的总利润一样”列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 由题意得：， 解得， ， 因此第一次购进甲种商品50件，则购进乙种商品115件． 【小问2详解】 解：设第二次甲商品是按原价打m折销售， 根据题意得：， 解得， 即第二次甲商品是按原价打9折销售． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，找准等量关系是解题的关键． 23. 如图①，已知线段，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点， （1）若点C恰好是AB中点，则___________cm； （2）若，求DE的长； （3）试利用“字母代替数”的方法，说明不论点C运动到什么位置时，DE的长不变； （4）知识迁移：如图②，已知，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE分别平分和，试说明与射线OC的位置无关． 【答案】（1）6 （2）6cm （3） 设AC＝acm， ∵点D、E分别是AC和BC的中点， ∴DE＝CD+CE（AC+BC）AB＝6cm； ∴不论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变， （4） ∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC， ∴∠DOE＝∠DOC+∠COE（∠AOC+∠COB）∠AOB， ∵∠AOB＝120°， ∴∠DOE＝60°， ∴∠DOE的度数与射线OC的位置无关． 【解析】 【分析】（1）由AB＝12cm，点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出DE（AC+BC）AB＝6cm； （2）由AC＝4cm，AB＝12cm，即可推出BC＝8cm，然后根据点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出AD＝DC＝2cm，BE＝EC＝4cm，即可推出DE的长度； （3）设AC＝acm，然后通过点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出DE（AC+BC）ABcm，即可推出结论； （4）由若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，即可推出∠DOE＝∠DOC+∠COE（∠AOC+∠COB）∠AOB＝60°，即可推出∠DOE的度数与射线OC的位置无关． 【小问1详解】 ∵AB＝12cm，点D、E分别是AC和BC的中点，C点为AB的中点， ∴AC＝BC＝6cm， ∴CD＝CE＝3cm， ∴DE＝6cm； 【小问2详解】 ∵AB＝12cm， ∴AC＝4cm， ∴BC＝8cm， ∵点D、E分别是AC和BC的中点， ∴CD＝2cm，CE＝4cm， ∴DE＝6cm； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 【点睛】本题主要考查角平分线和线段的中点的性质，关键在于认真的进行计算，熟练运用相关的性质定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $