第九章 统计与成对数据的统计分析（举一反三综合训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

第九章 统计与成对数据的统计分析（举一反三综合训练） （全国通用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2026·河南信阳·模拟预测）1，3，4，6，8，12的第60百分位数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（5分）（2026·四川德阳·三模）下列结论不正确的是（    ） A．两个变量的线性相关系数反映了两个变量线性相关程度的强弱，且越大，线性相关性越强 B．若两个变量的线性相关系数，则之间不具有线性相关性 C．由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数不一定能确切地反映变量之间的相关关系. D．在一组样本数据的散点图中，若所有的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为0.8 3．（5分）（2026·山东聊城·三模）已知数据，9，7，9的中位数和平均数相等，那么的值为（    ） A．5 B．7 C．5或9 D．7或11 4．（5分）（2026·云南·三模）已知变量x，y线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差为（   ） A． B． C．0.1 D．0.2 5．（5分）（2026·贵州毕节·模拟预测）某中学共有名学生，该校从全校学生中随机抽取名，统计他们年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列关于估计中正确的是（    ） A．阅读量的众数估值为 B．阅读量的中位数估值为 C．阅读量的平均数估值为 D．第百分位数为 6．（5分）（2026·广东广州·模拟预测）某学校高三学生共有900人，其中男生500人，为获取该校高三学生的身高信息，现采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为90的样本.计算得男生样本的身高均值为170，方差为19，女生样本的身高均值为161，方差为19，则下列说法正确的是（    ） A．抽取男生的样本量为40 B．估计该校高三学生身高的均值为165 C．抽样时女生甲被抽到的概率为 D．估计该校高三学生身高的方差为19 7．（5分）（2026·甘肃金昌·二模）某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20.下列结论正确的是（    ） 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，其中. A．依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 B．依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 C．有的把握认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 D．是否接受去外地长时间出差与性别无关 8．（5分）（2026·江西新余·模拟预测）某品牌啤酒厂，进行市场调研，发现该品牌啤酒在某地的月销量随着每瓶啤酒的定价不同而发生变化，连续调研5个月得到的数据如下表所示： 第1个月 第2个月 第3个月 第4个月 第5个月 单价/元 6 6.5 7 7.5 8 销量/万瓶 90 85 80 75 70 根据以上数据得到与具有较强的线性关系，若用最小二乘估计得到经验回归方程，则（    ） A．相关系数 B．点一定在经验回归直线上 C． D．当每瓶啤酒为9.5元时，月销量一定为50万瓶 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2026·广西河池·三模）阅读不仅能帮助孩子积累知识，还能提升他们的语言表达能力和思维能力，从小培养阅读习惯显得尤为重要.为了了解小学生的阅读情况，随机调查了某市1000名小学生每日阅读的情况，并将这1000名小学生每日的阅读时间数据绘制成如图所示的频率分布直方图，则（   ） A． B．估计样本中有75%的小学生每日的阅读时间不超过40分钟 C．估计样本中小学生每日的阅读时间的中位数为40分钟 D．估计样本中小学生每日的平均阅读时间为33.6分钟（每组数据以该组区间的中间值作代表） 10．（6分）（2026·广东·模拟预测）已知某AI软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能AI写作软件，现将该软件上市后的月份以及每个月获得的利润（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（    ） 月份 1 2 3 4 5 利润 5 8 10 12 15 A． B．可以估计每增加1个月份，月利润提高2.8万元 C．可以估计10月份的利润为26.8万元 D．5月份利润的残差为0.4万元 11．（6分）（2026·陕西汉中·一模）某人工智能研究实验室开发出一款全新的聊天机器人，该实验室对使用该款聊天机器人的120位用户进行调研，得到的调研数据如下表所示，则（   ） 年龄 周平均使用时间 超过4小时 不超过4小时 总计 不超过40岁 54 b 72 40岁以上 c d 总计 72 120 附：，． （1）当时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的； （2）当时，有90%的把握判断变量A，B有关联； （3）当时，有99%的把握判断变量A，B有关联； （4）当时，有99.9%的把握判断变量A，B有关联． A． B．用样本估计总体，每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4小时的概率为 C．没有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 D．有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2026·天津河北·模拟预测）某学校高一、高二、高三分别有600人、500人、700人，现采用分层随机抽样的方法从该校三个年级中抽取18人参加全市主题研学活动，则应从高三抽取______人． 13．（5分）（2026·湖北武汉·三模）某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100）．现随机抽取了其中10个数据依次为80，87，88，89，91，92，93，95，95，96，则这组数据的下四分位数为________． 14．（5分）（2026·上海黄浦·三模）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考数据及公式如下：参考公式：，其中. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2026·四川南充·模拟预测）2026年9月19日南充市城市足球联赛（简称“充超”）火热开赛，赛场外同步开展特色好物展销活动，某特色产品商统计了其中5场比赛的观赛人数与产品单日销售额．设为单场观赛人数（单位：百人），为特色产品单日销售额（单位：百元），得到了如下数据： 6 7 8 9 10 3 5 6 7 9 (1)由数据可知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测单场观赛人数为13百人时特色产品单日销售额； (2)若观赛人数不低于8百人的场次称为“热门场次”，从这5场比赛中随机选出2场，记其中热门场次的数量为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，． 16．（15分）（2026·云南昆明·模拟预测）某市场调研小组为了解某款手机软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该软件的人群中随机抽取了名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的上四分位数； (2)为了解年龄在的居民的使用情况，按比例分层随机抽样的方式从，年龄段中随机共抽取名参加调研会．若从选定的这名居民中随机再抽取名，记人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望． 17．（15分）（2026·陕西咸阳·模拟预测）某健身俱乐部为研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下表： 会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 每周锻炼时长x/小时 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40 体重减少量y/千克 1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4 经过计算得，，． (1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系，请用样本相关系数加以说明（结果精确到0.01）； (2)求经验回归方程（，的结果均精确到0.01）； (3)该俱乐部在推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了0.8千克．请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释． 参考公式及数据：样本相关系数，经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．，． 18．（17分）（2026·广东深圳·模拟预测）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄都位于，得到如下直方图： (1)利用直方图中的数据，求的值，并估计该AI工具用户的平均年龄； (2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为s，第二组的人数为n．设，求的分布列及其期望； (3)已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，当t变化时，要使得恰好答对3个问题的概率取到最大值，求此时的取值． 19．（17分）（2026·湖北武汉·模拟预测）某校举行足球点球比赛，每位参赛者踢点球两次，设有两个点球位置A，B，约定如下规则：参赛者第一次踢点球从A，B中随机选择一个位置进行，若球进，则更换另一个位置进行第二次踢点球；若球未进，则不更换点球位置.规定在A位置球进得5分，在B位置球进得10分，未进均得0分. (1)从甲、乙两班各随机抽取30名参赛者，根据第一次选择点球位置情况，统计如下表： 第一次在A位置踢点球 第一次在B位置踢点球 合计 甲班 20 10 30 乙班 5 25 30 合计 25 35 60 根据小概率值的独立性检验，判断第一次选择点球位置是否与班级有关联？ (2)已知张同学在A处踢点球进球的概率为0.6，在B处踢点球进球的概率为0.4. （ⅰ）求张同学第一次踢点球进球的概率； （ⅱ）设X表示张同学的总得分，求X的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 统计与成对数据的统计分析（举一反三综合训练） （全国通用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2026·河南信阳·模拟预测）1，3，4，6，8，12的第60百分位数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解题思路】由百分位数的计算公式即可求解. 【解答过程】， 所以第60百分位数为第4个数，即为6， 故选：B. 2．（5分）（2026·四川德阳·三模）下列结论不正确的是（    ） A．两个变量的线性相关系数反映了两个变量线性相关程度的强弱，且越大，线性相关性越强 B．若两个变量的线性相关系数，则之间不具有线性相关性 C．由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数不一定能确切地反映变量之间的相关关系. D．在一组样本数据的散点图中，若所有的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为0.8 【答案】D 【解题思路】根据相关系数的概念和性质逐项分析判断. 【解答过程】对于A，线性相关系数反映了两个变量线性相关程度的强弱，且越大，线性相关性越强，A正确； 对于B，变量的线性相关系数，则之间不具有线性相关性，B正确； 对于C，成对样本数据的样本相关系数反映变量间相关性强弱，不一定能确切地反映变量之间的相关关系，C正确； 对于D，样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为1，D错误. 故选：D. 3．（5分）（2026·山东聊城·三模）已知数据，9，7，9的中位数和平均数相等，那么的值为（    ） A．5 B．7 C．5或9 D．7或11 【答案】D 【解题思路】根据平均数的计算及中位数的定义，分类讨论，列出方程即可求解． 【解答过程】平均数为， 将这组数据排序，若，7，9，9，则中位数为， 所以，符合题意； 将这组数据排序，若7，，9，9，则中位数为， 所以，符合题意； 若7，9，9，，则中位数为， 所以，符合题意； 综上所述，的值为7或11， 故选：D． 4．（5分）（2026·云南·三模）已知变量x，y线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差为（   ） A． B． C．0.1 D．0.2 【答案】B 【解题思路】根据已知求原数据的样本中心，再确定增加数据后的样本中心，进而得到修正后的回归直线方程，估计的对应值，最后由残差的定义求解即可. 【解答过程】由题设，则， 增加数据后，，，且回归直线为， 所以，则， 所以时，有，故残差为， 故选：B． 5．（5分）（2026·贵州毕节·模拟预测）某中学共有名学生，该校从全校学生中随机抽取名，统计他们年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列关于估计中正确的是（    ） A．阅读量的众数估值为 B．阅读量的中位数估值为 C．阅读量的平均数估值为 D．第百分位数为 【答案】D 【解题思路】根据众数，中位数，平均数，百分位数相关知识可逐一求解． 【解答过程】对于，众数估值为，故错误； 对于，设中位数为，则在内，所以，解得，故错误； 对于，平均数，故错误； 对于，设第百分位数为，则在内，所以，解得，故正确． 故选：D. 6．（5分）（2026·广东广州·模拟预测）某学校高三学生共有900人，其中男生500人，为获取该校高三学生的身高信息，现采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为90的样本.计算得男生样本的身高均值为170，方差为19，女生样本的身高均值为161，方差为19，则下列说法正确的是（    ） A．抽取男生的样本量为40 B．估计该校高三学生身高的均值为165 C．抽样时女生甲被抽到的概率为 D．估计该校高三学生身高的方差为19 【答案】C 【解题思路】应用分层抽样判断A，应用分层抽样的均值及方差计算判断B，D，再应用分层抽样的概率计算判断C. 【解答过程】某学校高三学生共有900人，其中男生500人，采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为90的样本. 则抽取男生的样本量为，A选项错误； 男生样本的身高均值为170，方差为19，女生样本的身高均值为161，方差为19， 则估计该校高三学生身高的均值为，B选项错误； 抽样时女生甲被抽到的概率为，C选项正确； 估计该校高三学生身高的方差为，D选项错误； 故选：C. 7．（5分）（2026·甘肃金昌·二模）某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20.下列结论正确的是（    ） 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，其中. A．依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 B．依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 C．有的把握认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 D．是否接受去外地长时间出差与性别无关 【答案】B 【解题思路】求得卡方值，比对临界值，逐个判断即可. 【解答过程】由题意，列出列联表： 接受 不接受 合计 男 40 60 100 女 20 80 100 合计 60 140 200 零假设为：是否接受去外地长时间出差与性别相互独立，即是否接受去外地长时间出差与性别无关， 所以， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为是否接受去外地长时间出差与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005. 故选：B. 8．（5分）（2026·江西新余·模拟预测）某品牌啤酒厂，进行市场调研，发现该品牌啤酒在某地的月销量随着每瓶啤酒的定价不同而发生变化，连续调研5个月得到的数据如下表所示： 第1个月 第2个月 第3个月 第4个月 第5个月 单价/元 6 6.5 7 7.5 8 销量/万瓶 90 85 80 75 70 根据以上数据得到与具有较强的线性关系，若用最小二乘估计得到经验回归方程，则（    ） A．相关系数 B．点一定在经验回归直线上 C． D．当每瓶啤酒为9.5元时，月销量一定为50万瓶 【答案】B 【解题思路】根据相关系数的概念可以判断A；求出样本中心点即可判断B；根据线性回归方程过样本中心点即可判断C；根据线性回归方程的性质即可判断D. 【解答过程】由可得与具有负相关，故A错误； 由表中数据可得， 所以样本中心点为，将代入得， 解得，故C错误． 则回归方程为，当时，，故在回归直线上，故B正确： 当时，，这是一个估计值，不是精确值，故D错误． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2026·广西河池·三模）阅读不仅能帮助孩子积累知识，还能提升他们的语言表达能力和思维能力，从小培养阅读习惯显得尤为重要.为了了解小学生的阅读情况，随机调查了某市1000名小学生每日阅读的情况，并将这1000名小学生每日的阅读时间数据绘制成如图所示的频率分布直方图，则（   ） A． B．估计样本中有75%的小学生每日的阅读时间不超过40分钟 C．估计样本中小学生每日的阅读时间的中位数为40分钟 D．估计样本中小学生每日的平均阅读时间为33.6分钟（每组数据以该组区间的中间值作代表） 【答案】ABD 【解题思路】根据频率和为1求的值判断A的真假；求阅读时间不超过40分钟的频率判断B的真假；根据频率分布直方图估计中位数判断C的真假；估计平均数判断D的真假. 【解答过程】对A：由 ，故A正确； 对B：阅读时间不超过40分钟的频率为，即估计样本中有75%的小学生每日的阅读时间不超过40分钟，故B正确； 对C：由B的计算结果，40是该组数据的第百分位数，所以中位数应该小于40，故C错误； 对D：估计样本的平均数为： ，故D正确. 故选：ABD. 10．（6分）（2026·广东·模拟预测）已知某AI软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能AI写作软件，现将该软件上市后的月份以及每个月获得的利润（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（    ） 月份 1 2 3 4 5 利润 5 8 10 12 15 A． B．可以估计每增加1个月份，月利润提高2.8万元 C．可以估计10月份的利润为26.8万元 D．5月份利润的残差为0.4万元 【答案】AC 【解题思路】由回归方程过样本中心点即可求解判断A；由回归方程和残差定义即可逐项分析求解判断BCD. 【解答过程】依题意，， 将代入中，解得，故A正确； 可以估计每增加1个月份，月利润提高2.4万元，故B错误； 将代入中，得到，故C正确； 将代入中，得到，则所求残差为，故D错误. 故选：AC. 11．（6分）（2026·陕西汉中·一模）某人工智能研究实验室开发出一款全新的聊天机器人，该实验室对使用该款聊天机器人的120位用户进行调研，得到的调研数据如下表所示，则（   ） 年龄 周平均使用时间 超过4小时 不超过4小时 总计 不超过40岁 54 b 72 40岁以上 c d 总计 72 120 附：，． （1）当时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的； （2）当时，有90%的把握判断变量A，B有关联； （3）当时，有99%的把握判断变量A，B有关联； （4）当时，有99.9%的把握判断变量A，B有关联． A． B．用样本估计总体，每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4小时的概率为 C．没有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 D．有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 【答案】BD 【解题思路】先补全列联表的未知数值，再通过样本频率验证概率类选项，利用独立性检验的卡方公式计算统计量，结合临界值判断变量关联程度. 【解答过程】不超过40岁且周平均使用时间不超过4小时的； 40岁以上且周平均使用时间超过4小时的； 40岁以上的总计为， 故40岁以上且周平均使用时间不超过4小时的. 选项A：，A错误； 选项B：周平均使用时间超过4小时的样本数为72， 总样本数120，概率为，B正确； 年龄 周平均使用时间 超过4小时 不超过4小时 总计 不超过40岁 54 18 72 40岁以上 18 30 48 总计 72 48 120 ， 因， 故有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关. 所以C选项错误，D选项正确. 故选：BD. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2026·天津河北·模拟预测）某学校高一、高二、高三分别有600人、500人、700人，现采用分层随机抽样的方法从该校三个年级中抽取18人参加全市主题研学活动，则应从高三抽取______人． 【答案】7 【解题思路】应用分层抽样等比例性质求从高三抽取的人数. 【解答过程】根据分层抽样等比例性质，从高三抽取人. 故答案为：7. 13．（5分）（2026·湖北武汉·三模）某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100）．现随机抽取了其中10个数据依次为80，87，88，89，91，92，93，95，95，96，则这组数据的下四分位数为________． 【答案】88 【解题思路】根据下四分位数的概念求解即可. 【解答过程】10个数据从小到大为80，87，88，89，91，92，93，95，95，96， 则，故这组数据的下四分位数为88. 故答案为：88. 14．（5分）（2026·上海黄浦·三模）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考数据及公式如下：参考公式：，其中. 【答案】48 【解题思路】设男生人数为，依题意列出列联表，分析出根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则，再代入的公式求出的范围，再根据的实际意义即可求出男生的最少人数. 【解答过程】设男生人数为，依题意可得列联表为 喜欢追星 不喜欢追星 总计 男生 女生 总计 根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则， 由，解得. 由题意知，应为6的整数倍， 所以若根据小概率值的独立性检验， 判断中学生追星与性别有关，则男生至少有48人. 故答案为：48. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2026·四川南充·模拟预测）2026年9月19日南充市城市足球联赛（简称“充超”）火热开赛，赛场外同步开展特色好物展销活动，某特色产品商统计了其中5场比赛的观赛人数与产品单日销售额．设为单场观赛人数（单位：百人），为特色产品单日销售额（单位：百元），得到了如下数据： 6 7 8 9 10 3 5 6 7 9 (1)由数据可知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测单场观赛人数为13百人时特色产品单日销售额； (2)若观赛人数不低于8百人的场次称为“热门场次”，从这5场比赛中随机选出2场，记其中热门场次的数量为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，． 【答案】(1)，13百元 (2) 0 1 2 ． 【解题思路】(1)先计算样本的均值，再通过离均差计算回归方程的斜率与截距，得到线性回归方程后代入目标人数即可完成销售额预测； (2)先筛选出热门场次总数，确定随机变量的分布类型，通过组合数计算各取值概率得到分布列，再按期望定义计算最终结果. 【解答过程】（1）由数据可得，，， 则， ， 所以，， 因此，y关于x的线性回归方程为：， 当时，(百元)， 因此，预测单场观赛人数为13百人时特色产品单日销售额约为13百元. （2）由题意可知，“热门场次”共有3场，即的可能取值为0，1，2， ，，， 故的分布列为 0 1 2 ． 16．（15分）（2026·云南昆明·模拟预测）某市场调研小组为了解某款手机软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该软件的人群中随机抽取了名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的上四分位数； (2)为了解年龄在的居民的使用情况，按比例分层随机抽样的方式从，年龄段中随机共抽取名参加调研会．若从选定的这名居民中随机再抽取名，记人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2) 期望为1 【解题思路】（1）根据直方图计算四分位数位于内，再进行求解即可； （2）按照分层随机抽样，计算出年龄在，分别应抽取的人数，然后按照超几何分布计算即可. 【解答过程】（1）由频率分布直方图可知，，， 所以上四分位数位于内，设其为， 则，解， 所以估计年龄样本数据的上四分位数为． （2）被调查的居民年龄在，比例为，按照分层随机抽样， 应抽取人，应抽取人， 设随机抽取的名居民中年龄在的人数为，的可能取值为，，． ；；． 所以，随机变量X的分布列如下表所示： 所以数学期望为． 17．（15分）（2026·陕西咸阳·模拟预测）某健身俱乐部为研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下表： 会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 每周锻炼时长x/小时 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40 体重减少量y/千克 1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4 经过计算得，，． (1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系，请用样本相关系数加以说明（结果精确到0.01）； (2)求经验回归方程（，的结果均精确到0.01）； (3)该俱乐部在推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了0.8千克．请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释． 参考公式及数据：样本相关系数，经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．，． 【答案】(1)y与x的线性相关程度很高，可用一元线性回归模型刻画 (2) (3)答案见解析 【解题思路】(1) 利用相关系数公式直接代入数据求解即可； (2) 利用公式，先求一次项系数，再利用经过样本中心点，可求出，从而可得回归直线方程； (3)利用一次项系数可解释会员平均每周锻炼时长增加2个小时，预测平均体重减少量增加0.84千克，与实际效果相当，说明具有参考价值. 【解答过程】（1）解：由表可知，，                   所以，                         因为0.93非常接近1， 所以y与x的线性相关程度很高，可用一元线性回归模型刻画． （2）由题意可知，                 ，                 所以． （3）由（2）可知，根据线性回归方程预测，会员平均每周锻炼时长增加2个小时， 预测平均体重减少量增加0.84千克，与实际增加值0.8千克较为接近， 所以实际结果与预测结果基本一致，说明该回归模型具有参考价值． 造成一定差异的原因可能是样本数据过少，或者造成体重减少的原因还受其他因素影响， 比如睡眠、饮食、锻炼强度以及效果等． 18．（17分）（2026·广东深圳·模拟预测）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄都位于，得到如下直方图： (1)利用直方图中的数据，求的值，并估计该AI工具用户的平均年龄； (2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为s，第二组的人数为n．设，求的分布列及其期望； (3)已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，当t变化时，要使得恰好答对3个问题的概率取到最大值，求此时的取值． 【答案】(1)， (2) 0 1 2 3 4 (3) 【解题思路】（1）根据频率分布直方图的特征求即可，利用平均数的求解公式求解即可； （2）根据题意得到各组抽取的人数，进而可知的所有可能取值为0，1，2，3，4，结合组合数求出对应概率，列出分布列并得到期望即可； （3）由题可得恰好答对3个问题的概率为，设，求出，进而分析得出最值及的值． 【解答过程】（1）根据频率直方图的性质可得，解得, 利用中点值可估计平均年龄为； （2）由题意得，这12人中，年龄在第一组内的有（人）， 年龄在第二组内有 人，年龄在第三组内有 人， 年龄在第四组内有 人，年龄在第五组内有 人， 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 所以； （3）从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率为， 设，由，且得， 所以， 显然，， 令， 当时，有，，即， 此时； 当时，有，，即， 此时，即，所以． 19．（17分）（2026·湖北武汉·模拟预测）某校举行足球点球比赛，每位参赛者踢点球两次，设有两个点球位置A，B，约定如下规则：参赛者第一次踢点球从A，B中随机选择一个位置进行，若球进，则更换另一个位置进行第二次踢点球；若球未进，则不更换点球位置.规定在A位置球进得5分，在B位置球进得10分，未进均得0分. (1)从甲、乙两班各随机抽取30名参赛者，根据第一次选择点球位置情况，统计如下表： 第一次在A位置踢点球 第一次在B位置踢点球 合计 甲班 20 10 30 乙班 5 25 30 合计 25 35 60 根据小概率值的独立性检验，判断第一次选择点球位置是否与班级有关联？ (2)已知张同学在A处踢点球进球的概率为0.6，在B处踢点球进球的概率为0.4. （ⅰ）求张同学第一次踢点球进球的概率； （ⅱ）设X表示张同学的总得分，求X的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)第一次选择点球位置与班级有关联； (2)（ⅰ）； （ⅱ）分布列： 数学期望为. 【解题思路】（1）利用列联表数据计算卡方统计量，与给定临界值比较，完成独立性检验； （2）（i）根据全概率公式计算第一次进球的概率； （ii）分析所有得分情况，计算各取值概率，列出分布列并求数学期望. 【解答过程】（1）由列联表得 ，，，，. ， 当 时，临界值 . 因为 ，故拒绝原假设，即认为第一次选择点球位置与班级有关联. （2）（i）张同学第一次选择A、B位置的概率均为 ， 故第一次踢点球进球的概率：， （ii） 的所有可能取值为 . 故的分布列为： 数学期望：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $