第九章 统计与成对数据的统计分析（培优综合训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 聚焦统计全流程，从抽样、数据描述到推断分析，逻辑链条完整，情境题突出数学应用与现实问题解决。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数据收集与抽样|选择1/9|分层抽样、随机数表法|抽样方法→样本代表性| |数据描述与数字特征|选择2/3/12/13|平均数、方差、分位数计算|数字特征→数据分布规律| |数据推断与统计分析|选择4-8/10-11/解答15-19|相关关系、回归方程、独立性检验|变量关系→统计推断→决策支持|

第九章 统计与成对数据的统计分析（培优综合训练） 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A D C D B B B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD ABD AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 8 13．95 14．丙 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【解析】（1）由频率分布直方图中各小矩形面积和为1，得 ……………………………2分， 所以. ……………………………4分 （2）由频率分布直方图知，第2，3，4组的学生人数之比为 ………………………6分， 所以每组抽取的人数分别为：第2组抽人 …………………………………………8分； 第3组抽人 第4组抽人 …………………………10分 （3） 抽取学生测试分数的平均值为. ……………………………13分 16． （15分） 【解析】（1），则………………………2分， ；， 故40百分位数在， ……………………………4分， 则40百分位数为 ……………………………6分， 平均数为 ……………………………8分； （2）因为按比例分配的分层随机抽样，故，，，，，三层中抽取的样本量分别为： ， ， ……………………………11分， 从这6人中随机抽取两人， 记，中抽取的人编号为1， ，抽取的人编号为2、3， ，抽取的人编号为4、5、6， 记事件 “抽取的两人都及格”， ，，，，，，，，，，，，，，， 所以， ，，，，，，，，，， ………………………13分 所以（A）， 所以． ……………………………15分 17.（15分） 【解析】（1）由等高堆积条形图可知，男生样本中喜欢数学的频率为，人数为， 不喜欢数学的人数为；女生样本中喜欢数学的频率为，人数为， 不喜欢数学的人数为． ……………………………2分 填写列联表如下： 性别 是否喜欢数学 合计 是 否 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 （完成填对列联表 ……………………………4分） 零假设为该校学生的性别与喜欢数学无关联， ……………………………5分 根据列联表中的数据，计算的观测值： ， ……………………………8分 因为， ……………………………9分， 所以依据小概率值的独立性检验，我们没有充分证据推断成立，即认为该校学生的性别与喜欢数学有关联，此推断犯错误的概率不超过. ……………………………10分 （2）设事件为“抽取的学生喜欢数学”，事件为“抽取的学生为男生”，事件为“抽取的学生为女生” ……………………………11分． 由题意可知，该校男生和女生的人数之比为，所以，， 将样本的频率视为概率，所以，； ……………………………13分 由全概率公式得. 所以从全校中随机抽取1名学生，抽到学生喜欢数学的概率为. ……………………………15分 18.（17分） 【解析】（1）由题意知， ……………………………2分 ， ……………………………3分 故此模型的方程为； ……………………………4分 ， ． ……………………………6分 （2）将两边同时取对数，得，…………………………7分 令，则， ， ，…………………………10分 ， ， 故此模型的方程为．…………………………13分 （3）， 的拟合效果更好，…………………………15分 当时，， 即预测2025年该地区的新能源的产值为12.54亿元．…………………………17分 19.（17分） 【解析】(1)证明：，…………………………2分 而因为，，所以…………………………4分 （2）因为，， 所以，， ，…………………………………………………………………………6分 又因为，，所以，， 即， ， ，      …………………………………………………10分 则， 所以相关程度很强；…………………………12分 （3）因为， ，…………………………………………………13分 所以， 因为，…………………………………………………15分 ， 所以， 故所求的经验回归方程为：和.…………………………………………………17分 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 统计与成对数据的统计分析（培优综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·湖南株洲·模拟预测）甲校有2000名学生，乙校有2400名学生，丙校有2600名学生，为统计三校学生某方面的情况，采用分层随机抽样法抽取一个容量为70的样本，应在这三校分别抽取学生（     ） A．20人，24人，26人 B．26人，24人，20人 C．20人，26人，24人 D．24人，26人，20人 2．（2026•珠海模拟）已知数据2，8，3，7，，6的平均数是5，则这组数据的标准差为（　　） A． B． C． D． 3．（2026·安徽合肥·二模）Token是AI大模型处理信息的最小单元，2026年3月国家数据局正式确定Token的中文译名为“词元”，已知2024年—2029年中国“词元”调用数量及预测调用数量（单位：百万亿次）依次为9，246，1117，2875，8509，25033，则这组数据的分位数为（    ） A．2875 B．5692 C．8509 D．16771 4．（2026高二·全国·专题练习）下列命题正确的是（    ） A．任意两个变量都具有相关关系 B．圆的周长与该圆的直径具有相关关系 C．某商品的需求量与该商品的价格是一种确定性关系 D．当两个变量相关且样本相关系数时，表明两个变量正相关 5．（25-26高二下·山东东营·期末）若变量与之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的回归直线方程为，则样本点的残差为（    ） A． B．1.8 C． D．2.5 6．（25-26高二下·河北张家口·阶段检测）观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量，之间没有关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   7.（2026·山东烟台·模拟预测）某机构为调查居民对“生成式人工智能工具使用满意度”，采用分层抽样的方法，按职业类型分别从科技创新从业者和传统行业从业者中各抽取了50人，满意度采用百分制进行打分，统计数据如下表所示： 总人数（单位：万） 样本平均分 样本方差 科技创新从业者 10 90 36 传统行业从业者 10 70 64 根据分层抽样，估计这两类职业的满意度的总体方差为（    ） A．148 B．150 C．152 D．154 8.（25-26高二下·河南郑州·期末）某校高二年级研究“课后体育锻炼”与“数学成绩”是否有关联，随机抽取200名学生，得到如下列联表，经计算． 分组 数学成绩分 数学成绩<120分 合计 每天锻炼小时 60 40 100 每天锻炼<1小时 30 70 100 合计 90 110 200 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，． 下列关于独立性检验中卡方统计量的说法，正确的是（   ） A．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“体育锻炼”与“数学成绩”无关 B．在列联表中各单元格频数比例不变的前提下，样本容量越大，值越大 C．若样本容量增大为原来的2倍，且列联表中各单元格频数比例保持不变，则值增大为原来的4倍 D．值的大小与样本容量无关，只与各单元格频数的比例有关 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到前4个编号中的是（    ） 3221183429  7864540732  5242064438  1223435677  3578905642 8442125331  3457860736  2530073286  2345788907  2368960804 3256780843  6789535577  3489948375  2253557832  4577892345 A．328 B．457 C．253 D．007 10.（2026·陕西咸阳·三模）人工智能的普及使学生学习方式发生了改变，数字素养水平较高的学生能高效检索、筛选和整合信息，利用在线课程、模拟实验等工具进行深度学习.为了解学生的数字素养水平，某市采用分层抽样从全市10所学校中随机抽取500名学生进行问卷调查，并根据问卷结果进行打分记作学生的数字素养得分，满分100分，分数集中在内，频率分布表如下： 分组 频率 0.05 0.18 0.42 0.28 0.07 下列对本次调查的说法中正确的是（    ） A．学生数字素养得分的众数约为75 B．学生数字素养得分的中位数约为76.43 C．学生数字素养得分的第75百分位数约为84.6 D．学生数字素养得分的平均数约为76.4 11.（25-26高二下·浙江·阶段检测）某地区从某一年开始进行了环境污染整治，得到了如下的数据： 第x年 1 2 3 4 5 污染指数y 5.7 5.0 4.5 4.1 3.2 附： 已知与线性相关，回归直线方程为，下列说法正确的是（   ） A．与线性负相关 B．若删掉第3年数据，则回归直线方程中的变小 C．若y关于x的回归方程为，估计该地区第10年的污染指数为0.37 D．地区政府加大整治力度后重新检测得到新的一组数据，新数据都在直线上，这组新数据的样本相关系数为1 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．.（2026春•长顺县校级月考）一组数据，，，的方差为2，则，，，的方差为 　　 ． 13.（2026•渭南二模）中山大学同学参加了今年3月组织的考研复试测试，共有5名考官打分，如果去掉一个最高分和最低分，则同学的平均成绩为95.8；如果仅去掉一个最低分，则同学的平均成绩为96.6；如果仅去掉一个最高分，则同学的平均成绩为94分．如果5位考官的成绩都保留，则同学的平均分为　　 ． 14.（2026•广东校级模拟）在政府发布的光伏发电补贴政策的引导下，西北某地光伏发电装机量急剧上升，现对2016年至2023年的新增光伏装机量进行调查，根据散点图选择了两个模型进行拟合，并得到相应的经验回归方程．为判断模型的拟合效果，甲、乙、丙三位同学进行了如下分析： （1）甲同学通过计算残差作出了两个模型的残差图，如图所示； （2）乙同学求出模型①的残差平方和为0.4175、模型②的残差平方和为1.5625； （3）丙同学分别求出模型①的决定系数、模型②的决定系数为； 经检验，模型①拟合效果最佳，则甲、乙、丙三位同学中，运算结果肯定出错的同学是 　丙　．（填“甲”或“乙”或“丙” 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15.（2026·湖南株洲·模拟预测）某校在“普及环保知识节”后，为了进一步增强环保意识，从本校学生中随机抽取了一批学生参加环保基础知识测试．经统计，这批学生测试的分数全部介于75至100之间．将数据分成以下5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中随机抽取17名学生座谈，求每组抽取的学生人数； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计随机抽取学生所得测试分数的平均值． 16.（2026•江西校级模拟）某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从，，，，，三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人．求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率． 17.（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）随着科技的发展，数学在各个领域的应用越来越深入广泛，某中学为了增强在校学生学习数学的兴趣，提高本校的数学水平，学校准备开设数学兴趣培辅班，开班之前，学校用简单随机抽样的办法抽取了本校男生和女生各100人作为样本，调查学生的性别与喜欢数学是否有关，经统计后得到了如图所示的等高堆积条形图． (1)根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并根据的独立性检验，推断该校学生的性别是否与喜欢数学有关联； 性别 是否喜欢数学 合计 是 否 男生 女生 合计 (2)已知该校男生和女生的人数之比为，将样本的频率当作概率，现从全校中随机抽取1名学生，求抽取学生喜欢数学的概率． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 18.（2026•碑林区校级模拟）自2020年以来，某地区新能源产值规模呈快速增长态势，如表给出了近5年该地区的新能源产值（单位：亿元）． 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份编号 1 2 3 4 5 产值 1.5 2.5 3.4 4.9 7.8 （1）若用作为回归模型，且，求此模型的方程及其决定系数（精确到； （2）若用作为回归模型，求此模型的方程； （3）已知回归模型的决定系数，请说明哪种回归模型拟合效果更好，并用拟合效果好的模型预测2025年该地区的新能源的产值（精确到． 参考数据： 3 4.02 1.24 75.3 104.91 16.16 22.54 1.1 1.5 11.4 附：（1）表中； （2）对于一组数据，，，，，，，其经验回归方程为， ； 决定系数． 19.（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）对于变量x和变量y，设获得的成对数据为，，…，，其中，．在某实验过程中，随机抽样获得了如下成对样本数据： 表1： x 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 y 40 47 56 61 66 72 74 78 83 86 对表1中数据作变换，得到了如下表2： 表2： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 u -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -5 v -30 -23 -14 -9 -4 2 4 8 13 16 -37 150 92 42 18 4 0 4 16 39 64 429 设样本相关系数为r，当时，表明两个变量的线性相关程度较强，当时，表明两个变量的线性相关程度很强． 参考公式：；，． 参考数据：，，，，，，，，． (1)证明： (2)分别求表1中的两个变量x，y的样本相关系数r，并推断相关程度； (3)设y关于x的经验回归方程为，反之，x关于y的经验回归方程为．由实验数据，利用参考数据求经验回归方程和（计算结果精确到0.01）； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 统计与成对数据的统计分析（（培优综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·湖南株洲·模拟预测）甲校有2000名学生，乙校有2400名学生，丙校有2600名学生，为统计三校学生某方面的情况，采用分层随机抽样法抽取一个容量为70的样本，应在这三校分别抽取学生（     ） A．20人，24人，26人 B．26人，24人，20人 C．20人，26人，24人 D．24人，26人，20人 【答案】A 【详解】因为抽样比为， 所以甲校抽取人，乙校抽取人，丙校抽取人 2．（2026•珠海模拟）已知数据2，8，3，7，，6的平均数是5，则这组数据的标准差为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平均数得到，进而利用方差和标准差公式求出答案． 【详解】解：由题意得， 解得， 故这组数据的方差为， 故标准差为． 故选：． 3．（2026·安徽合肥·二模）Token是AI大模型处理信息的最小单元，2026年3月国家数据局正式确定Token的中文译名为“词元”，已知2024年—2029年中国“词元”调用数量及预测调用数量（单位：百万亿次）依次为9，246，1117，2875，8509，25033，则这组数据的分位数为（    ） A．2875 B．5692 C．8509 D．16771 【答案】C 【详解】因为，所以这组数据的分位数为8509. 4．（2026高二·全国·专题练习）下列命题正确的是（    ） A．任意两个变量都具有相关关系 B．圆的周长与该圆的直径具有相关关系 C．某商品的需求量与该商品的价格是一种确定性关系 D．当两个变量相关且样本相关系数时，表明两个变量正相关 【答案】D 【详解】A选项：并非任意两个变量之间都存在相关关系，例如毫不相关的两个变量之间可能没有统计关联，故A错误； B选项：圆的周长与直径是确定的函数关系（），属于确定性关系，不是相关关系，故B错误； C选项：商品的需求量与价格通常呈负相关关系（价格上升需求量下降），但并非严格的确定性关系，还受到收入、偏好等因素影响，故C错误； D选项：样本相关系数表示两个变量之间呈正相关，即一个变量增大时另一个也倾向于增大，故D正确. 5．（25-26高二下·山东东营·期末）若变量与之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的回归直线方程为，则样本点的残差为（    ） A． B．1.8 C． D．2.5 【答案】B 【分析】先将样本点的横坐标代入回归直线方程求得预测值，再根据残差等于实际观测值减去预测值计算即可. 【详解】由已知回归直线方程为，将代入方程，可得预测值， 又实际观测值，因此残差为 6．（25-26高二下·河北张家口·阶段检测）观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量，之间没有关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据题意，由等高条形图的意义分析可得答案． 【详解】根据题意，在等高的条形图中，当，所占比例相差越大时，越有把握认为两个分类变量，之间有关系， 由选项可得：B选项中，，所占比例相差无几，所以最有把握认为两个分类变量，之间没有关系， 故选：B 7.（2026·山东烟台·模拟预测）某机构为调查居民对“生成式人工智能工具使用满意度”，采用分层抽样的方法，按职业类型分别从科技创新从业者和传统行业从业者中各抽取了50人，满意度采用百分制进行打分，统计数据如下表所示： 总人数（单位：万） 样本平均分 样本方差 科技创新从业者 10 90 36 传统行业从业者 10 70 64 根据分层抽样，估计这两类职业的满意度的总体方差为（    ） A．148 B．150 C．152 D．154 【答案】B 【详解】由于两类从业者总人数均为10万，权重均为，分别为两组的样本平均， 两类职业满意度的总体均值的估计值， 又为两组的样本方差，代入数值计算：， 因此总体方差的估计值. 8.（25-26高二下·河南郑州·期末）某校高二年级研究“课后体育锻炼”与“数学成绩”是否有关联，随机抽取200名学生，得到如下列联表，经计算． 分组 数学成绩分 数学成绩<120分 合计 每天锻炼小时 60 40 100 每天锻炼<1小时 30 70 100 合计 90 110 200 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，． 下列关于独立性检验中卡方统计量的说法，正确的是（   ） A．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“体育锻炼”与“数学成绩”无关 B．在列联表中各单元格频数比例不变的前提下，样本容量越大，值越大 C．若样本容量增大为原来的2倍，且列联表中各单元格频数比例保持不变，则值增大为原来的4倍 D．值的大小与样本容量无关，只与各单元格频数的比例有关 【答案】B 【详解】对于A，，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“体育锻炼”与“数学成绩”有关，A错误； 设原列联表各单元格频数为，若各单元格频数比例不变，样本容量变为原来的倍， 则新的各单元格频数为，总样本量， 则， 即各单元格频数比例不变时，与样本容量成正比， 对于B，在列联表中各单元格频数比例不变的前提下，样本容量越大，值越大，B正确； 对于C，若样本容量增大为原来的2倍，且列联表中各单元格频数比例保持不变， 则值增大为原来的2倍，C错误； 对于D，各单元格频数比例不变时，与样本容量成正比，D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到前4个编号中的是（    ） 3221183429  7864540732  5242064438  1223435677  3578905642 8442125331  3457860736  2530073286  2345788907  2368960804 3256780843  6789535577  3489948375  2253557832  4577892345 A．328 B．457 C．253 D．007 【答案】BCD 【分析】根据随机数表法计算求解. 【详解】从第5行第6列开始向右读取数据， 第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007， 故得到的前4个编号是253，313，457，007． 故选：BCD． 10.（2026·陕西咸阳·三模）人工智能的普及使学生学习方式发生了改变，数字素养水平较高的学生能高效检索、筛选和整合信息，利用在线课程、模拟实验等工具进行深度学习.为了解学生的数字素养水平，某市采用分层抽样从全市10所学校中随机抽取500名学生进行问卷调查，并根据问卷结果进行打分记作学生的数字素养得分，满分100分，分数集中在内，频率分布表如下： 分组 频率 0.05 0.18 0.42 0.28 0.07 下列对本次调查的说法中正确的是（    ） A．学生数字素养得分的众数约为75 B．学生数字素养得分的中位数约为76.43 C．学生数字素养得分的第75百分位数约为84.6 D．学生数字素养得分的平均数约为76.4 【答案】ABD 【分析】根据众数，中位数，百分位数，平均数的定义，结合频率分布表计算即可. 【详解】对于A，学生数字素养得分的众数约为，故A正确； 对于B，因为， 所以中位数在区间内，设为， 则，解得， 所以学生数字素养得分的中位数约为，故B正确； 对于C，因为， 所以第75百分位数在区间内，设为， 则，解得， 所以学生数字素养得分的第75百分位数约为，故C错误； 对于D，学生数字素养得分的平均数约为 ，故D正确. 故选：ABD. 11.（25-26高二下·浙江·阶段检测）某地区从某一年开始进行了环境污染整治，得到了如下的数据： 第x年 1 2 3 4 5 污染指数y 5.7 5.0 4.5 4.1 3.2 附： 已知与线性相关，回归直线方程为，下列说法正确的是（   ） A．与线性负相关 B．若删掉第3年数据，则回归直线方程中的变小 C．若y关于x的回归方程为，估计该地区第10年的污染指数为0.37 D．地区政府加大整治力度后重新检测得到新的一组数据，新数据都在直线上，这组新数据的样本相关系数为1 【答案】AC 【分析】根据表中数据与的变化关系可判断A；根据删掉第3年数据为样本中心结合最小二乘法计算公式可判断B；结合B计算后，计算即可判断C；根据新直线方程结合相关系数可判断D. 【详解】对于A，由题中表格数据可知，污染指数随着年份的增大而减小，所以与线性负相关，故A正确； 对于B，，即回归方程的样本中心为， 所以删掉第3年数据为样本中心，由最小二乘法计算公式可知不变，故B错误； 对于C，由B可知，，即回归方程为， 所以地区第10年的污染指数为0.37，故C正确； 对于D，若新数据都在直线上， 则与线性负相关，故这组新数据的样本相关系数为，故D错误. 故选：AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．.（2026春•长顺县校级月考）一组数据，，，的方差为2，则，，，的方差为 　　 ． 【答案】8． 【分析】由方差的性质求解即可． 【详解】解：一组数据，，，的方差为2，则，，，的方差为． 故答案为：8． 13.（2026•渭南二模）中山大学同学参加了今年3月组织的考研复试测试，共有5名考官打分，如果去掉一个最高分和最低分，则同学的平均成绩为95.8；如果仅去掉一个最低分，则同学的平均成绩为96.6；如果仅去掉一个最高分，则同学的平均成绩为94分．如果5位考官的成绩都保留，则同学的平均分为　　 ． 【答案】95． 【分析】根据平均数的计算公式求解即可． 【详解】解：设5名考官打分由高到低的排列为，，，，， 因为仅去掉一个最低分，同学的平均成绩为96.6， 所以（1）， 因为去掉一个最高分和最低分，同学的平均成绩为95.8， 所以（2）， 因为去掉一个最高分，同学的平均成绩为94分， 所以（3）， （1）（2）整理得， （3）（2）整理得， 同学的平均分为． 故答案为：95． 14.（2026•广东校级模拟）在政府发布的光伏发电补贴政策的引导下，西北某地光伏发电装机量急剧上升，现对2016年至2023年的新增光伏装机量进行调查，根据散点图选择了两个模型进行拟合，并得到相应的经验回归方程．为判断模型的拟合效果，甲、乙、丙三位同学进行了如下分析： （1）甲同学通过计算残差作出了两个模型的残差图，如图所示； （2）乙同学求出模型①的残差平方和为0.4175、模型②的残差平方和为1.5625； （3）丙同学分别求出模型①的决定系数、模型②的决定系数为； 经检验，模型①拟合效果最佳，则甲、乙、丙三位同学中，运算结果肯定出错的同学是 　丙　．（填“甲”或“乙”或“丙” 【答案】丙． 【分析】根据残差图的性质和决定系数的性质判断． 【详解】解：甲的残差图中，模型①的残差点更均匀地分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内，且水平带状区域更窄， 说明模型①拟合效果更好， 残差平方和越大，即决定系数越小，说明数据点越离散， 所以乙的计算结果显示模型①的拟合效果更好， 而丙的计算结果显示模型②的拟合效果更好． 故答案为：丙． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15.（2026·湖南株洲·模拟预测）某校在“普及环保知识节”后，为了进一步增强环保意识，从本校学生中随机抽取了一批学生参加环保基础知识测试．经统计，这批学生测试的分数全部介于75至100之间．将数据分成以下5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中随机抽取17名学生座谈，求每组抽取的学生人数； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计随机抽取学生所得测试分数的平均值． 【答案】(1)； (2)从第，，组应依次抽取人，人，人； (3). 【分析】（1）利用频率分布直方图各小长方形面积和为1列式求解. （2）由分层抽样的抽样比求解. （3）由频率分布直方图计算出随机抽取学生所得测试分数的平均值. 【详解】（1）由频率分布直方图中各小矩形面积和为1，得， 所以. （2）由频率分布直方图知，第2，3，4组的学生人数之比为， 所以每组抽取的人数分别为：第2组抽人；第3组抽人；第4组抽人. （3）抽取学生测试分数的平均值为. 16.（2026•江西校级模拟）某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从，，，，，三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人．求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率． 【分析】（1）由频率分布直方图计算可得，再借助百分位数的定义与平均数定义计算即可得； （2）先借助分层随机抽样定义计算出从，，，，，三层中抽取的人数，并给抽取出的人数进行编号，结合古典概型公式，计算出所有可能的样本空间数即符合要求的样本空间数即可得． 【详解】解：（1），则， ；， 故40百分位数在，， 则40百分位数为， 平均数为； （2）因为按比例分配的分层随机抽样，故，，，，，三层中抽取的样本量分别为： ， ， ， 从这6人中随机抽取两人， 记，中抽取的人编号为1， ，抽取的人编号为2、3， ，抽取的人编号为4、5、6， 记事件 “抽取的两人都及格”， ，，，，，，，，，，，，，，， 所以， ，，，，，，，，，， 所以（A）， 所以． 17.（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）随着科技的发展，数学在各个领域的应用越来越深入广泛，某中学为了增强在校学生学习数学的兴趣，提高本校的数学水平，学校准备开设数学兴趣培辅班，开班之前，学校用简单随机抽样的办法抽取了本校男生和女生各100人作为样本，调查学生的性别与喜欢数学是否有关，经统计后得到了如图所示的等高堆积条形图． (1)根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并根据的独立性检验，推断该校学生的性别是否与喜欢数学有关联； 性别 是否喜欢数学 合计 是 否 男生 女生 合计 (2)已知该校男生和女生的人数之比为，将样本的频率当作概率，现从全校中随机抽取1名学生，求抽取学生喜欢数学的概率． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 【答案】(1) 性别 是否喜欢数学 合计 是 否 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 ，可以推断该校学生的性别与喜欢数学有关联 (2)（或） 【分析】（1）根据等高堆积条形图读取男生和女生喜欢数学的频率，结合样本容量计算频数并填写列联表，代入公式计算观测值，与临界值比较得出结论； （2）设事件为“抽取的学生喜欢数学”，利用男女生人数比例确定抽取到男生和女生的概率，结合样本频率作为条件概率，利用全概率公式求解． 【详解】（1）由等高堆积条形图可知，男生样本中喜欢数学的频率为，人数为， 不喜欢数学的人数为；女生样本中喜欢数学的频率为，人数为， 不喜欢数学的人数为．填写列联表如下： 性别 是否喜欢数学 合计 是 否 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 零假设为该校学生的性别与喜欢数学无关联， 根据列联表中的数据，计算的观测值： ， 因为，所以依据小概率值的独立性检验， 我们没有充分证据推断成立，即认为该校学生的性别与喜欢数学有关联，此推断犯错误的概率不超过. （2）设事件为“抽取的学生喜欢数学”，事件为“抽取的学生为男生”，事件为“抽取的学生为女生”． 由题意可知，该校男生和女生的人数之比为，所以，， 将样本的频率视为概率，所以，； 由全概率公式得. 所以从全校中随机抽取1名学生，抽到学生喜欢数学的概率为. 18.（2026•碑林区校级模拟）自2020年以来，某地区新能源产值规模呈快速增长态势，如表给出了近5年该地区的新能源产值（单位：亿元）． 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份编号 1 2 3 4 5 产值 1.5 2.5 3.4 4.9 7.8 （1）若用作为回归模型，且，求此模型的方程及其决定系数（精确到； （2）若用作为回归模型，求此模型的方程； （3）已知回归模型的决定系数，请说明哪种回归模型拟合效果更好，并用拟合效果好的模型预测2025年该地区的新能源的产值（精确到． 参考数据： 3 4.02 1.24 75.3 104.91 16.16 22.54 1.1 1.5 11.4 附：（1）表中； （2）对于一组数据，，，，，，，其经验回归方程为， ； 决定系数． 【答案】（1），0.93；（2）；（3）的拟合效果更好，12.54亿元． 【分析】（1）由最小二乘法求出回归系数与截距，即可得回归模型的方程；由决定系数的计算公式代入求解即可； （2）结合对数的运算得，再利用最小二乘法求解回归系数与截距即可得解； （3）比较决定系数的大小即可作出判断，再把代入模型方程求解即可． 【详解】解：（1）由题意知，， ， 故此模型的方程为； ， ． （2）将两边同时取对数，得， 令，则， ， ， ， ， 故此模型的方程为． （3）， 的拟合效果更好， 当时，， 即预测2025年该地区的新能源的产值为12.54亿元． 19.（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）对于变量x和变量y，设获得的成对数据为，，…，，其中，．在某实验过程中，随机抽样获得了如下成对样本数据： 表1： x 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 y 40 47 56 61 66 72 74 78 83 86 对表1中数据作变换，得到了如下表2： 表2： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 u -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -5 v -30 -23 -14 -9 -4 2 4 8 13 16 -37 150 92 42 18 4 0 4 16 39 64 429 设样本相关系数为r，当时，表明两个变量的线性相关程度较强，当时，表明两个变量的线性相关程度很强． 参考公式：；，． 参考数据：，，，，，，，，． (1)证明： (2)分别求表1中的两个变量x，y的样本相关系数r，并推断相关程度； (3)设y关于x的经验回归方程为，反之，x关于y的经验回归方程为．由实验数据，利用参考数据求经验回归方程和（计算结果精确到0.01）； 【答案】(1)证明：， 而因为，，所以 (2)0.9876，相关程度很强 (3)和 【分析】（1）利用多项式乘法和加法结合律即可得到证明； （2）利用公式代入数据，即可得到相关系数； （3）利用公式求解回归方程即可. 【详解】（1）略 （2）因为，， 所以，， ， 又因为，，所以，， 即， ， ，       则， 所以相关程度很强； （3）因为， ， 所以， 因为， ， 所以， 故所求的经验回归方程为：和. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $