第二章 有理数及其运算 单元练习题 2026--2027学年北师大版七年级数学上册

北师大版七年级数学上册第二章 有理数及其运算单元练习题 一、单选题 1．下列运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列两个数中，互为相反数的是(　　) A．+2025和-(-2025) B．+(-2025)和-(-2025) C．-2025和 D．2025和 3．凝固点是晶体物质凝固时的温度，则在标准大气压下，下列物质的凝固点最低的是（　　） 物质 酒精 铝 甲苯 水 凝固点 660℃ 0℃ A．酒精 B．铝 C．甲苯 D．水 4．如图为我县一月份某一天的天气预报，该天最高气温比最低气温高（　　） A．3℃ B．- 3℃ C．7℃ D．- 7℃ 5．在数-3，-2，0，3中，最小的数是(　　) A．– 3 B．– 2 C．0 D．3 6．已知x的相反数是，且满足，则的值为（　　） A．8 B．2 C． D． 7．如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示和1的两点对齐，则数轴上与刻度尺的0刻度线对齐的点表示的数为（　　） A．0 B． C．9 D． 8．计算1的结果是（　　） A．-1 B．1 C． D． 9． 株洲市2025年地区生产总值（GDP）达4063亿元，同比增长4%，其中4063亿用科学记数法表示为（　　） A．0. 4063×1012 B．4. 063×1011 C．4063×108 D．4. 063×1012 10．下列说法中，错误的个数是（　　） ①若，则； ②若，则有是负数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与无关，则该代数式值为2025； ⑤若，则的值为1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11． 的倒数是　 　. 12．在后面括号内的横线上填上一个数，使计算结果为负数：（　 　）． 13．如果一对有理数a、b使等式成立，那么这对有理数a、b叫做“幻生有理数对”，记为．根据上述定义，下列四对有理数 ；；；中不是“幻生有理数对”的是　 　． 14．对于有理数a，b，定义运算“*”： 例如： 4×2=8，则(-3)*(-2)=　 　. 三、解答题 15．计算． （1） （2） （3） （4）． 16．简便计算 （1）； （2）； （3）； 17．某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品10袋，用以检测每袋的重量是否符合标准，超过或不足标准重量的部分用正数或负数来表示（单位：克），记录如下表： 袋数 2 1 3 2 2 与标准重量的差值 （1）与标准重量相比较，这10袋样品总计超过或不足多少克？ （2）若每袋的标准重量为50克，每克的生产成本2元，求这批样品的总成本． 18．在学习完有理数的混合运算后，老师让小明进行板演，如图是小明板演中的第一步，请根据板演内容解答下面的问题： （1）小明第一步板演中共出现______次错误； （2）请完整的写出此题正确的运算过程． 19．如图，一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为24；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得到木棒长为______． （2）由（1）的启发，请你借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，小丽问马老师年龄时，马老师说：“我像你这么大时，你只有1岁；等你到我这年龄的时候，我已经52岁了．”请求出小丽和马老师现在多少岁了？ 20．如图，分别是数轴上四个点，其中有一点是原点，且，两点分别在线段上，点对应的数为，点对应的数为，且． （1）该数轴的原点是点____________； （2）若，求线段的长． 21．请根据图示的对话解答下列问题． 求： （1）a，b的值； （2）8-a+b-c的值． 22．综合与实践 【实践主题】估计某款空心卷筒缎带展开的总长度。 【实践背景】欢欢与乐乐在用某款缎带包扎礼品时，计划在不把缎带全部展开的情况下，分别用不同的方法估计已使用过的两卷不同的空心卷筒缎带还有多长? 【方法一：称重法】 欢欢用电子秤称出整卷缎带（含中心纸筒，如图1）的总质量M=50.9g，并称出同款已用完全部缎带后的中心纸筒的质量m0=14.9g。 （1）已知缎带净重m=总质量M-中心纸筒的质量m0，则这卷缎带的净重m是　 　g； （2）剪下一段长度为的缎带，称出其质量假设这卷缎带质地均匀，则欢欢的这卷缎带在剪下1米之前的总长度大约是多少米? （3）【方法二：等体积法】 一卷空心卷筒缎带未展开时可近似为“空心圆柱”状，底面可看作圆环，如图2，乐乐测得外直径为8cm，内直径为6cm（不包括中心纸筒）。然后展开一小段缎带，展开后缎带可近似为“薄长方体”状（如图3）。由于一层缎带太薄，无法精确测量，为了减小测量误差，乐乐将展开的这一小段缎带平整折叠成20层，经过多次测量取平均值后，得到20层缎带的总厚度为0.3cm。 为了估计这卷缎带长度，可先求出每层缎带的厚度d为　 　cm； （4）若这卷缎带厚度均匀，则乐乐的这卷缎带的总长度大约是多少米?（π的值取3） 23．数轴上表示数的点与原点的距离可记作；表示数的点与表示数的点的距离可记作．也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为点表示的数记为b．则两点间的距离就可记作． 回答下列问题： （1）数轴上表示和2的两点之间的距离是_____________，数轴上表示和3的两点之间的距离是_____________； （2）数轴上表示x与的两点A和B之间的距离为5，那么x为_____________； （3）①找出所有使得的整数x； ②求的最小值． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：A、，原计算错误，该选项不符合题意； B、，原计算错误，该选项不符合题意； C、，原计算正确，该选项符合题意； D、，原计算错误，该选项不符合题意． 故答案为：C． 【分析】利用有理数的减法和有理数的加法的计算方法逐项分析判断即可. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：A、+2025=2025，-(-2025)=2025， 相等，故此选项不符合题意； B、+(-2025)=-2025，-(-2025)=2025，互为相反数，故此选项符合题意； C、-2025和互为倒数，故此选项不符合题意； D、2025和互为倒数，故此选项不符合题意； 故答案为：B. 【分析】先化简，再根据相反数的定义判断即可. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：比较，，，的大小， 凝固点最低的是酒精。 故答案为：A 【分析】本题考查有理数大小比较。温度越低，对应的数越小；负数比较大小时，绝对值越大，数反而越小，因此比更低。 4．【答案】C 【解析】【解答】解：根据所给图可知该天的最高气温为5℃，最低气温为-2℃， 故该天最高气温比最低气温高5-(-2)=7℃. 故答案为：C. 【分析】根据所给图可知该天的最高气温为5℃，最低气温为-2℃，继而作差求解即可. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得 -3<-2<0<3， ∴在数-3、-2、0、3中，最小的数是-3. 故选： A. 【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可. 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】C 【解析】【解答】解：原式=﹣1×× =﹣． 故选C． 【分析】原式从左到右依次计算即可得到结果． 9．【答案】B 【解析】【解答】解：4063亿=4063×108=4.063×1011. 故答案为：B. 【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数. 10．【答案】C 11．【答案】 【解析】【解答】解： = . 所以 的倒数是 . 故答案为： . 【分析】先把带分数化为假分数，再根据乘积为1的两个数互为倒数可得结果. 12．【答案】（答案不唯一） 13．【答案】 14．【答案】3 【解析】【解答】解：根据题中的新定义得： =9-6 =3. 故答案为：3. 【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果. 15．【答案】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式．​​​​​​​ （4）解：原式． 【解析】【分析】（1）本题考查有理数的加减混合运算，先根据有理数减法法则，将所有减法转化为加法，写成省略加号的和的形式，再依次进行有理数的加法运算即可； （2）本题考查绝对值的化简与有理数的加减运算，先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，再按照从左到右的顺序进行加减计算； （3）本题考查有理数的乘法与加减混合运算，先将带分数化为假分数，再分别计算两处乘法运算，计算时注意符号法则，最后进行减法运算； （4）本题考查根据有理数的混合运算，结合有理数的乘方，绝对值性质即可求出答案. （1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 16．【答案】（1） （2） （3） 17．【答案】（1）总计超过1.4克 （2）1002.8元 18．【答案】（1）2 （2）解： ． 【解析】【解答】解：由题意得，小明第一步板演中共出现2次错误，第一次错误为计算时漏掉了符号，第二次计算的结果时计算错误； 【分析】（1）观察可知，在计算和时都出现了错误，； （2）计算乘方=-1，=9， 再计算括号里的结果为（-11），计算乘除法，最后计算加减法结果为5． （1）解：由题意得，小明第一步板演中共出现2次错误，第一次错误为计算时漏掉了符号，第二次计算的结果时计算错误； （2）解： ． 19．【答案】（1）6 （2）解：如图，设小丽的年龄为表示的数，马老师的年龄为表示的数， ∵马老师像小丽这么大时，小丽只有1岁；等小丽到马老师这年龄的时候，马老师已经52岁了． ∴马老师与小丽的3倍龄差为（岁）， ∴马老师与小丽的差为（岁）， ∴小丽的年龄为（岁）， ∴小丽的年龄为（岁）， ∴小丽现在18岁，马老师现在35岁． 【解析】【解答】（1）解：由数轴观察可得：三根木棒长是， ∴木棒长为； 【分析】（1）本题考查数轴上的移动问题，核心是抓住木棒长度不变的特点。木棒向右移动时，左端从点A移到点B，移动的距离等于木棒自身的长度，此时右端对应数24；木棒向左移动时，右端从点B移到点A，移动的距离也等于木棒自身的长度，此时左端对应数6。由此可知24与6的差值恰好等于3根木棒的总长度，用差值除以3即可求出单根木棒的长度。 （2）本题考查利用数轴思想解决年龄问题，核心是年龄差始终不变。将年龄看作数轴上的点，马老师像小丽这么大时，相当于两人的年龄点同时向左移动一个年龄差，此时小丽对应1岁；小丽长到马老师这么大时，相当于两人的年龄点同时向右移动一个年龄差，此时马老师对应52岁。因此52与1的差值等于3个年龄差，先求出年龄差，再分别计算两人现在的年龄即可。 （1）解：由数轴观察可得：三根木棒长是， ∴木棒长为； （2）解：如图，设小丽的年龄为表示的数，马老师的年龄为表示的数， ∵马老师像小丽这么大时，小丽只有1岁；等小丽到马老师这年龄的时候，马老师已经52岁了． ∴马老师与小丽的3倍龄差为（岁）， ∴马老师与小丽的差为（岁）， ∴小丽的年龄为（岁）， ∴小丽的年龄为（岁）， ∴小丽现在18岁，马老师现在35岁． 20．【答案】（1）点 （2） 21．【答案】（1）解：因为a的相反数是3， 所以a＝-3， 因为b的绝对值是7， 所以b＝±7 （2）解：因为c和b的和是-8， 所以，当b＝7时，c＝-15；当b＝-7时，c＝-1 所以，当a＝-3，b＝7，c＝-15时，8-a+b-c＝8-（-3）+7-（-15）＝33； 当a＝-3，b＝-7，c＝-1时，8-a+b-c＝8-（-3）+（-7）-（-1）＝5． 所以，8-a+b-c的值为33或5 【解析】【分析】（1）根据相反数的定义和绝对值的性质，即可得出a，b的值； 22．【答案】（1）36 （2）方法一：36÷1.8=20（米） 答：欢欢的这卷缎带在剪下1米之前的总长度大约是20米 方法二：解：这卷缎带在剪下1米之前的总长度大约是x米。 1.8x=36 x=20 答：欢欢的这卷缎带在剪下1米之前的总长度大约是20米 （3）0.015 （4） =1400cm =14m 答：乐乐的这卷缎带的总长度大约是14米 【解析】【解答】解：（1）， 故答案为：36； （3）， 故答案为：0.015； 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用以及圆柱与长方体体积的转化。 (1)直接根据题目给出的净重公式，用总质量减去纸筒质量即可求出缎带净重； (2)利用“总长度=总质量÷单位长度质量”的关系，结合已知的1米缎带质量，求出总长度； (3)用折叠后20层的总厚度除以层数，得到每层缎带的厚度； (4)根据体积相等原理，空心圆柱的体积（圆环面积×缎带宽度）等于展开后长方体的体积（长度×宽度×厚度），宽度相同可抵消，因此总长度=圆环面积÷每层厚度，再进行单位换算得到最终结果。 （2）先确定c的值，再分别代入原式进行计算，即可得出答案. 23．【答案】（1）5，5 （2）3， （3）①，0，1，2． ②4 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $