期中复习专题3——拓展探究与压轴突破- 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

期中复习专题3——拓展探究与压轴突破 （浙教版八年级数学上册：期中压轴考点） 目录 一、专题定位 1 二、核心考点梳理 2 三、压轴与拓展 2 题型1：数轴双动点相遇、追及与距离分类讨论压轴题 2 题型2：绝对值最值问题（|x-a|+|x-b|最小值） 4 题型3：图形规律探究（火柴棒、点阵） 5 题型4：数字与周期规律探究 7 题型5：新定义运算与平方根、立方根结合 8 题型6：实数估算与无理数整数部分、小数部分综合 9 题型7：整体思想求高次代数式值 11 题型8：列代数式解决较复杂实际问题（方案优化） 12 题型9：数轴动点+绝对值+规律链式综合压轴大题 14 一、专题定位 本专题面向浙江地区浙教版七年级上册期中第三轮培优冲刺，聚焦第1章有理数、第2章有理数的运算、第3章实数、第4章代数式的单章难点与跨章节综合压轴考点。重点训练数形结合（数轴动点、绝对值最值）、分类讨论（绝对值零点分段、实数值讨论）、找规律建模（图形、数字、周期）、整体思想求代数式值、新定义运算与实数估算等核心数学思想与综合能力。精准对标浙教版七上期中多问压轴大题，帮助优生突破中档与压轴分水岭，攻克运算复杂、条件隐含、分类遗漏等高难度拉分题型。适配期中第三轮培优冲刺、压轴专项讲评、优生拔高限时训练。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 数轴与绝对值 数轴双动点相遇、追及、距离与分类讨论；绝对值零点分段化简；含绝对值方程讨论；|x-a|+|x-b|型最值问题（几何意义） 找规律 图形规律（火柴棒、点阵、几何图形计数）；数字规律；周期规律；用含n代数式表示规律并求特定项 新定义与运算 新定义运算与平方根、立方根结合；含参新定义运算求值；有理数、实数混合复杂运算 实数 无理数估算与整数部分、小数部分；带根号式子的化简求值；实数运算与代数式结合 代数式 整体思想求高次代数式的值；列代数式解决较复杂实际问题（方案、优化）；代数式的值综合探究 跨章节压轴综合 数轴动点+绝对值+找规律链式综合；新定义+实数估算+代数式多问综合；分类讨论与整体思想融合压轴大题 三、压轴与拓展 题型1：数轴双动点相遇、追及与距离分类讨论压轴题 1.（25-26七年级上·吉林长春·期中）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． （1）a = ，b= ，c= ； （2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； （3）若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 2.（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2025次相遇的位置在（   ） A．边上 B．边上 C．边上 D．边上 3.（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，在数轴上点，表示的数分别为，，动点从点出发以每秒个单位的速度先沿正方向运动，到达原点后立即按原速返回，动点从点出发以每秒个单位的速度沿负方向运动，动点从原点出发以每秒个单位的速度沿负方向运动，三点同时出发，当点回到点时，三点停止运动．存在常数，当在某段时间内为定值时，的值是__________． 4.（25-26七年级上·安徽安庆·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上A、B两点所对应的数分别是和． （1）则_____，_____；A，B两点之间的距离为_____； （2）有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…．按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2025次时，求点所对应的有理数． （3）若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒5个单位长度的速度向右运动，动点从原点开始以每秒个单位长度在A，B之间运动（到达或即停止运动），运动时间为秒，在运动过程中，的值始终保持不变，求点运动的方向及的值． 题型2：绝对值最值问题（|x-a|+|x-b|最小值） 1.（25-26七年级上·全国·期中）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是 ，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是 ； （2）数轴上点A用数a表示，则 ①若，那么a的值是 ； ②当 时，有最小值，最小值是 ； ③有最小值，最小值是 ； ④求的最小值． 2.（25-26七年级上·全国·阶段检测）已知，，，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知为有理数，则的最小值为______． 4.（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）结合数轴，回答下列问题： （1）数轴上表示3和8的两点之间的距离是___________；数轴上表示和2的两点之间的距离是___________；数轴上表示和的两点之间的距离是___________； （2）数轴上表示和的两点和之间的距离是___________；如果和两点之间的距离是4，那么为___________； （3）求出所有符合条件的整数，使它在数轴上对应的点到3和的距离之和为6，并求出所有这些整数的和； （4）已知是有理数，则的最小值为___________；此时相应的的最大值是___________；最小值是___________． 题型3：图形规律探究（火柴棒、点阵） 1.（25-26六年级上·山东烟台·期末）为厚植雷锋精神，涵养时代新风，某校准备打造一条“雷锋精神”文化长廊．如图，长廊的地面宽为5米，并按如图方式在地面铺设边长为1米的正方形地砖．其中，阴影部分为彩色地砖，白色部分为普通地砖． （1）若长廊长8米，则需彩色地砖_________块，普通地砖_________块； （2）若长廊长米（m为正整数），则需彩色地砖_________块； （3）学校拟向某商家购买地砖，该商家彩色地砖原价90元/块，普通地砖原价40元/块．经协商，商家推出如下优惠：买一块彩色地砖赠送一块普通地砖．已知购买的所有地砖的边长均为1米． ①若长廊长n米（n为正整数），请用含n的代数式表示购买地砖所需的费用； ②已知学校采购地砖的预算为3600元，求可打造的长廊的最大长度． 2.（26-27七年级上·全国·开学考试）观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三角形中白色的三角形有（     ）个． A．121 B．154 C．364 D．467 3.（2026·黑龙江大庆·一模）在一次模拟编程设计中，无人机群按如下规律组成方阵图形：图①有2架无人机，图②有8架无人机，图③有18架无人机，按此规律，图⑤有____架无人机． 4.（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用黑色和白色两种正方形地砖拼成图案铺设长方形绿化路． 【项目设计】 图案拼接规则：用形状、大小完全相同的黑色和白色正方形进行拼接，使图案之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片． 图案构建：运用拼接规则得到第1个、第2个、第3个图案，如下图所示． 【规律发现】 第5个图案中黑色正方形的个数为 ① ，黑、白两种正方形的总个数为 ② ． 第n个图案中黑色正方形的个数为 ③ ，黑、白两种正方形的总个数为 ④ ． （用含n的代数式表示） 【项目实施】 （1）将上述分析中横线上所缺的内容补充完整． ①______；②______；③______；④______． （2）每块正方形地砖的边长为，用第n个图案铺设的长方形绿化路的长为，这条小路用了多少块黑色地砖？ 题型4：数字与周期规律探究 1.（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请解决如下问题： （1）请在图中括号内的数为________；展开式共有________项，第19项系数为________； （2）根据上面的规律，写出的展开式：________________； （3）利用上面的规律计算：； 2.（26-27七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知整数，，，，……满足下列条件：，，，，……依此类推，则的值为（     ） A． B． C． D． 3.（2026七年级上·江苏无锡·专题练习）我们可以用符号表示代数式的值．当是正整数时，我们规定如果为偶数， ；如果为奇数，，例如：， ，设，， ；依此规律进行下去，得到一列数：，，，，，（为正整数），则 __________． 4.（25-26七年级上·全国·期中）观察下面三行数： ，9，，81，…；………………………第①行 1，，9，，…；………………………第②行 ，10，，82，…．……………………第③行 （1）第①行数按什么规律排列？ （2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？ （3）设x，y，z分别为第①②③行的第2025个数，求的值． 题型5：新定义运算与平方根、立方根结合 1.（24-25七年级下·河南信阳·期末）某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． （1），，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由． （2）若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值． （3）写出两组含有的“组合平方数”． 2.（25-26七年级下·安徽淮北·期中）定义表示不超过的最大整数，如，，设，若，则的值为（    ） A．48 B．49 C．50 D．55 3.（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）定义：若点满足，则称点为“理想点”．例如：，故点是“理想点”，若点是“理想点”，且为正整数，则的值为_____． 4.（24-25七年级下·山东德州·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． （1）依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； （2）若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ （3）求的值：． 题型6：实数估算与无理数整数部分、小数部分综合 1.（25-26八年级上·湖南株洲·期末）若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“湘一区间”为；同理规定无理数的“湘一区间”为．例如：因为，所以，所以的“湘一区间”为，的“湘一区间”为．请解答下列问题： （1）的“湘一区间”是___________；的“湘一区间”是___________； （2）若无理数（为正整数）的“湘一区间”为，且的“湘一区间”为，求的值； （3）实数满足关系式：，求的“湘一区间”． 2.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（    ）（式子中的“”，“”依次相间） A． B． C． D． 3.（25-26七年级下·福建福州·期中）用表示最接近的整数（为正整数），例如： ，，，，，…， ，，，，，…， 那么________． 4.（25-26七年级下·福建厦门·期中）小李同学探索的近似值的过程步骤如下： 步骤（1）：∵面积为137的正方形的边长是，估计在两个正整数之间，即①②， ∴可将表示为整数部分加上小数部分的形式，即③，其中， 步骤（2）：画出示意图，如图所示． 可得图中正方形的面积④．（要求：用含x的二次三项式表示） 又∵，∴④． 步骤（3）：当时，可忽略不计的值，得⑤，得到， 步骤（4）：∴． （1）请仔细阅读以上探究过程，根据上下文和图示，在横线处按序号①、②、③、④、⑤依次填写对应内容．（注：两处序号④填写内容相同．） ①______；②______；③______；④______；⑤______． （2）结合上述具体实例，已知非负整数a，b，m，若，且，求的近似值．（用含有a，b的式子表示） 题型7：整体思想求高次代数式值 1.（25-26七年级上·四川乐山·期末）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．以下是老师安排的作业题． 代数式的值为7，则代数式的值为_______． 阅读理解： 小乐在做作业时采用的方法如下： ， ， ， ∴代数式的值为5． 方法运用： （1）若代数式，则代数式_______； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 拓展运用： （3）已知，，，求的值； （4）已知，的值为最大负整数，求的值． 2.（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）若，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 3.（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）设，则的值为___． 4.（25-26七年级上·湖北孝感·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请阅读下面材料解决问题． 代数式的值为，则代数式的值为______． 【阅读理解】 小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，，则有，，所以代数式的值为． 【方法运用】 （1）若代数式的值为，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，．则的值为　　　　． 题型8：列代数式解决较复杂实际问题（方案优化） 1.（25-26七年级上·四川乐山·期末）一个三位数，百位为，十位为，个位为，可以记作． （1）若把两位数的十位数字与个位数字对调，得到一个新的两位数，试说明一定是11的倍数； （2）若，试说明一定是11的倍数； （3）若为11的倍数，探索之间的等量关系． 2.（25-26七年级上·山东德州·期中）甲、乙两店卖豆浆，每杯售价均相同．已知甲店的促销方式是：每买2杯，第1杯原价，第2杯半价；乙店的促销方式是；每买3杯，第1、2杯原价，第3杯免费．若东东想买12杯豆浆，则下列所花的钱最少的方式是（    ） A．在甲店买12杯 B．在甲店买8杯，在乙店买4杯 C．在甲店买6杯，在乙店买6杯 D．在乙店买12杯 3.（25-26七年级上·福建泉州·期中）《朝花夕拾》全书共页，小明按计划分两天阅读：第一天读了全书的一半多1页，第二天阅读后，剩余的页数是第一天剩余页数的一半少1页．请用代数式表示小明阅读两天后，还剩下___________页未读． 4.（25-26七年级下·广东茂名·期末）项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 （1）请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． （2）已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． （3）预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 题型9：数轴动点+绝对值+规律链式综合压轴大题 1.（25-26七年级上·湖南长沙·期中）阅读以下材料解决问题，如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“5格距点”． （1）若点表示的数是0，则的值为____________； （2）数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“5格距点”，则这样的整点对应的点的值分别是____________； （3）若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的3倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 2.（25-26七年级上·海南海口·期中）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 3.（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点表示的数为0，点表示的数为． （1）将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是______； （2）将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数2025表示的点与点______重合． 4.（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P，把与点P相距b个单位长度是正数的两点所表示的数分别记作m和其中，并把m、n这两个数叫做“点P关于b的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于2的对称数组是． （1）如果点P表示数2，那么点P关于4的对称数组是______； （2）如果，求出点P表示的数以及b的值； （3）如果点P、Q是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P在数轴上以每秒3个单位长度沿着数轴正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，已知，，经过t秒后，是否存在常数k，使得为定值？若存在，请求出k的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习专题3——拓展探究与压轴突破 （浙教版八年级数学上册：期中压轴考点） 目录 一、专题定位 1 二、核心考点梳理 1 三、压轴与拓展 2 题型1：数轴双动点相遇、追及与距离分类讨论压轴题 2 题型2：绝对值最值问题（|x-a|+|x-b|最小值） 9 题型3：图形规律探究（火柴棒、点阵） 13 题型4：数字与周期规律探究 19 题型5：新定义运算与平方根、立方根结合 24 题型6：实数估算与无理数整数部分、小数部分综合 28 题型7：整体思想求高次代数式值 35 题型8：列代数式解决较复杂实际问题（方案优化） 39 题型9：数轴动点+绝对值+规律链式综合压轴大题 45 一、专题定位 本专题面向浙江地区浙教版七年级上册期中第三轮培优冲刺，聚焦第1章有理数、第2章有理数的运算、第3章实数、第4章代数式的单章难点与跨章节综合压轴考点。重点训练数形结合（数轴动点、绝对值最值）、分类讨论（绝对值零点分段、实数值讨论）、找规律建模（图形、数字、周期）、整体思想求代数式值、新定义运算与实数估算等核心数学思想与综合能力。精准对标浙教版七上期中多问压轴大题，帮助优生突破中档与压轴分水岭，攻克运算复杂、条件隐含、分类遗漏等高难度拉分题型。适配期中第三轮培优冲刺、压轴专项讲评、优生拔高限时训练。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 数轴与绝对值 数轴双动点相遇、追及、距离与分类讨论；绝对值零点分段化简；含绝对值方程讨论；|x-a|+|x-b|型最值问题（几何意义） 找规律 图形规律（火柴棒、点阵、几何图形计数）；数字规律；周期规律；用含n代数式表示规律并求特定项 新定义与运算 新定义运算与平方根、立方根结合；含参新定义运算求值；有理数、实数混合复杂运算 实数 无理数估算与整数部分、小数部分；带根号式子的化简求值；实数运算与代数式结合 代数式 整体思想求高次代数式的值；列代数式解决较复杂实际问题（方案、优化）；代数式的值综合探究 跨章节压轴综合 数轴动点+绝对值+找规律链式综合；新定义+实数估算+代数式多问综合；分类讨论与整体思想融合压轴大题 三、压轴与拓展 题型1：数轴双动点相遇、追及与距离分类讨论压轴题 1.（25-26七年级上·吉林长春·期中）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． （1）a = ，b= ，c= ； （2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； （3）若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 【答案】（1），，9；（2）7；（3）①2.5或7.5；②或 【分析】（1）由b是最大的负整数，可得．由，可求得，． （2）设点B与数x表示的点对应，根据折叠点既是的中点，也是B点及其对应点的中点，可得，求得x的值即可． （3）①由题意得t秒时，P点对应的数为，分两种情况：P点在 B点右侧时和P点在 B点左侧时，分别计算即可． ②由“点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍”列方程得，求出t的值即可． （1）解：∵b是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，，9． （2）解：设点B与数x表示的点对应，则 ， 解得， 故答案为：7． （3）解：①情况1：P点在 B点右侧时， ， 解得； 情况2：P点在 B点左侧时， ， 解得． 综上，t的值为2.5或7.5时，点P到点B的距离是5． ②由题意得， 整理得， ∴或， 解得或． ∴点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍时t的值为或． 【点睛】本题考查了数轴，数轴上两点之间的距离，以及数轴上的动点问题，正确的表示出t秒后P、Q所对应的数，以及分类讨论是解题的关键． 2.（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2025次相遇的位置在（   ） A．边上 B．边上 C．边上 D．边上 【答案】A 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 先根据甲、乙的运动速度和运动方向分别得出第1、2、3、4、5次相遇位置，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 解：设正方形的边长为，乙的速度为，则甲的速度为， 则第1次相遇时，乙行走的路程为，即它们相遇在边的中点处， 第2次相遇时，乙行走的路程为，即它们相遇在边的中点处， 第3次相遇时，乙行走的路程为，即它们相遇在边的中点处， 第4次相遇时，乙行走的路程为，即它们相遇在边的中点处， 第5次相遇时，乙行走的路程为，即它们相遇在边的中点处， 归纳类推得：它们相遇位置每四次一循环， ∴甲、乙相遇位置每四次一循环， ∵， ∴甲、乙第2025次相遇在边上． 故选：A． 3.（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，在数轴上点，表示的数分别为，，动点从点出发以每秒个单位的速度先沿正方向运动，到达原点后立即按原速返回，动点从点出发以每秒个单位的速度沿负方向运动，动点从原点出发以每秒个单位的速度沿负方向运动，三点同时出发，当点回到点时，三点停止运动．存在常数，当在某段时间内为定值时，的值是__________． 【答案】，， 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，关键是根据点的运动速度和方向，表示的长度，进而求得的值． 解：当时，， ∴， ∵上式为定值， ∴， 即：； 当时，，， ∴ ∵上式为定值， ∴； 当时，， ∴， ∵上式为定值， ∴； 故答案为： ． 4.（25-26七年级上·安徽安庆·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上A、B两点所对应的数分别是和． （1）则_____，_____；A，B两点之间的距离为_____； （2）有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…．按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2025次时，求点所对应的有理数． （3）若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒5个单位长度的速度向右运动，动点从原点开始以每秒个单位长度在A，B之间运动（到达或即停止运动），运动时间为秒，在运动过程中，的值始终保持不变，求点运动的方向及的值． 【答案】（1），6；10；（2）；（3）D点运动的方向：向左， 【分析】本题考查了多项式的系数与次数、数轴的动点问题和整式加减的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，正确的表示数轴上的有理数． （1）根据二次多项式的定义得到，由此求得a的值；然后由多项式的系数的定义得到b的值，根据求解的值即可； （2）向左运动记为负，向右运动记为正，找到规律，可得点P对应的有理数；然后根据题意列式计算即可； （3）分点D从原点向左运动和点D从原点向右运动两种情况求解即可 （1）解：是关于的二次多项式，且二次项系数为， ， ， ； （2）解：第1次运动P点对应的数为； 第2次运动P点对应的数为； 第3次运动P点对应的数为； 第4次运动P点对应的数为； ， 第2025次运动P点对应的数为； （3）解：运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为， 当点D从原点向左运动时，点对应的数为， ， ∵的值始终是一个定值， ∴． ∴． ∴D点运动的方向为从原点向左运动，m的值为． 当点D从原点向右运动时，点对应的数为， ， ∵的值始终是一个定值， ∴． ∴． ∵， ∴此种情形不存在． ∴D点运动的方向为从原点向左运动，m的值为． 题型2：绝对值最值问题（|x-a|+|x-b|最小值） 1.（25-26七年级上·全国·期中）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是 ，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是 ； （2）数轴上点A用数a表示，则 ①若，那么a的值是 ； ②当 时，有最小值，最小值是 ； ③有最小值，最小值是 ； ④求的最小值． 【答案】（1）5；2；（2）①8或；②3，0；③9；④1025156 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离计算，绝对值的几何意义，熟知绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离计算公式求解即可； （2）①根据绝对值的几何意义求解即可；②根据绝对值的几何意义即可得到答案；③表示的是数轴上表示数a的点到表示数的点和到表示的点的距离之和，则当时，有最小值，据此求解即可；④根据绝对值的几何意义可得当时有最小值，据此求解即可． （1）解：由题意得，数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是； （2）解：①由题意得，表示的是数轴表示数a的点与表示数3的点的距离为5， ∴或； ②∵表示的是数轴上表示数a的点到表示数的点的距离， ∴当时，有最小值，最小值是0； ③∵表示的是数轴上表示数a的点到表示数的点和到表示的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为； ④由（2）③可知当时，有最小值，最小值为， 同理当时，有最小值，最小值为， 当时，有最小值，最小值为， ……， 当时，有最小值，最小值为， 又∵， ∴当时，有最小值，最小值为0， ∴当时，，，…，，能同时取得最小值， ∴当时 有最小值， ∴的最小值为． 2.（25-26七年级上·全国·阶段检测）已知，，，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值的性质（绝对值等于一个正数的数有两个，互为相反数）、绝对值的运算规律；掌握将拆分为的形式，通过分析各差值的符号组合求的最小值，是解题的关键．先根据绝对值的性质，得出两种情况；再将差值转化为前三个差值的和，通过绝对值的运算性质表示出；最后分析不同符号组合下的结果，找出最小值． 解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 3.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知为有理数，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，可得，即可求解． 利用绝对值的非负性，确定代数式的最小值． 解：∵， ∴的最小值为 故答案为：． 4.（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）结合数轴，回答下列问题： （1）数轴上表示3和8的两点之间的距离是___________；数轴上表示和2的两点之间的距离是___________；数轴上表示和的两点之间的距离是___________； （2）数轴上表示和的两点和之间的距离是___________；如果和两点之间的距离是4，那么为___________； （3）求出所有符合条件的整数，使它在数轴上对应的点到3和的距离之和为6，并求出所有这些整数的和； （4）已知是有理数，则的最小值为___________；此时相应的的最大值是___________；最小值是___________． 【答案】（1），，；（2），或；（3）0；（4），， 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值方程，绝对值的几何意义． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式即可得到和之间的距离为，即可得到方程，再求解即可； （3）可知数轴上到3之间的整数对应的点到3和的距离之和为6，即可得到，再相加即可； （4）为数轴上表示有理数的点到表示的点和表示的点的距离之和，然后分类讨论求解即可． （1）解：数轴上表示3和8的两点之间的距离是；数轴上表示和2的两点之间的距离是；数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：，，； （2）解：数轴上表示和的两点和之间的距离是， 故答案为：； ∵和两点之间的距离是4， ∴ ， 或， 故答案为：或； （3）解：， ∴数轴上到3之间的整数对应的点到3和的距离之和为6， ∴符合条件的整数有， ∴ （4）解：， ∴为数轴上表示有理数的点到表示的点和表示的点的距离之和， 当时，； 当时，； 当时，， ∴最小值为，此时相应的最大值是，最小值是， 故答案为：，，． 题型3：图形规律探究（火柴棒、点阵） 1.（25-26六年级上·山东烟台·期末）为厚植雷锋精神，涵养时代新风，某校准备打造一条“雷锋精神”文化长廊．如图，长廊的地面宽为5米，并按如图方式在地面铺设边长为1米的正方形地砖．其中，阴影部分为彩色地砖，白色部分为普通地砖． （1）若长廊长8米，则需彩色地砖_________块，普通地砖_________块； （2）若长廊长米（m为正整数），则需彩色地砖_________块； （3）学校拟向某商家购买地砖，该商家彩色地砖原价90元/块，普通地砖原价40元/块．经协商，商家推出如下优惠：买一块彩色地砖赠送一块普通地砖．已知购买的所有地砖的边长均为1米． ①若长廊长n米（n为正整数），请用含n的代数式表示购买地砖所需的费用； ②已知学校采购地砖的预算为3600元，求可打造的长廊的最大长度． 【答案】（1）12；28；（2）；（3）①元；②可打造的长廊的最大长度为16米 【分析】本题考查了图形规律，整式的加减运算的应用，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，观察图形规律，再结合长廊长8米进行列式计算，即可作答． （2）结合长廊长米（m为正整数），得出是奇数，然后列式化简，即可作答． （3）①先理解题意，进行分类讨论，当n为偶数时，以及当n为奇数时，分别算出彩色地砖以及普通地砖的数量，再根据商家彩色地砖原价90元/块，普通地砖原价40元/块进行列式计算，即可作答． ②先理解题意，进行分类讨论，当n为偶数时，当n为奇数时，列式计算分析，得可打造的长廊的最大长度为16米． （1）解：依题意，（块）， ∴当长廊长8米，则需彩色地砖12块， ∵长廊的地面宽为5米，并按如图方式在地面铺设边长为1米的正方形地砖 ∴（块）， ∴当长廊长8米，则普通地砖28块； （2）解：∵长廊长米（m为正整数）， ∴是奇数， 则（块）， ∴当长廊长米（m为正整数），则需彩色地砖块； （3）解：①当n为偶数时， 彩砖数量为（块）， 普砖数量为（块）， 此时，所需钱数为（元）， 当n为奇数时， 彩砖数量为（块）， 普砖数量为（块）．   此时，所需钱数为（元）； ②当n为偶数时，，，此时最大偶数为16， 则剩余钱数为（元）， 不足再铺1米，故长廊长度为16米， 当n为奇数时，，，此时最大奇数为15， 剩余钱数为（元）， 可再铺1米，故长廊长度为16米， 因此，可打造的长廊的最大长度为16米． 2.（26-27七年级上·全国·开学考试）观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三角形中白色的三角形有（     ）个． A．121 B．154 C．364 D．467 【答案】C 【分析】观察可知第2个图在第1个图的基础上增加3个白色三角形，第3个图在第2个图的基础上增加个三角形，第4个图在第3个图的基础上增加个三角形，，第n个图在第个图的基础上增加个三角形，据此规律求解即可． 解：第①个大三角形中白色三角形有个， 第②个大三角形中白色三角形有个， 第③个大三角形中白色三角形有个， ， 以此类推可知，第个大三角形中白色三角形有个， ∴第⑥个大三角形中白色的三角形有个． 3.（2026·黑龙江大庆·一模）在一次模拟编程设计中，无人机群按如下规律组成方阵图形：图①有2架无人机，图②有8架无人机，图③有18架无人机，按此规律，图⑤有____架无人机． 【答案】50 【分析】根据前3个图无人机的数量，推算出第n个图无人机的数量为架，再将代入，即可求解． 解：第①个图无人机的数量为（架）， 第②个图无人机的数量为（架）， 第③个图无人机的数量为（架）， …… 第n个图无人机的数量为架， 当时，（架）． 4.（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用黑色和白色两种正方形地砖拼成图案铺设长方形绿化路． 【项目设计】 图案拼接规则：用形状、大小完全相同的黑色和白色正方形进行拼接，使图案之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片． 图案构建：运用拼接规则得到第1个、第2个、第3个图案，如下图所示． 【规律发现】 第5个图案中黑色正方形的个数为 ① ，黑、白两种正方形的总个数为 ② ． 第n个图案中黑色正方形的个数为 ③ ，黑、白两种正方形的总个数为 ④ ． （用含n的代数式表示） 【项目实施】 （1）将上述分析中横线上所缺的内容补充完整． ①______；②______；③______；④______． （2）每块正方形地砖的边长为，用第n个图案铺设的长方形绿化路的长为，这条小路用了多少块黑色地砖？ 【答案】（1）16；55；；；（2）这条小路用了241块黑色地砖． 【分析】本题考查了规律型－图形的变化类．解题的关键是通过归纳与总结，得到其中的规律． （1）找出数量上的变化规律即可求解，从而推出一般性的结论； （2）先找到规律求得共有80个图案，再利用（1）中得到的代数式列出方程可求解． 解：（1）第1个图案黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为块； 第2个图案黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为块； 第3个图案黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为块； ， 第个图案中黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为， ∴第5个图案中黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为块， 故答案为：16；55；；； （2）第1个图案长有3个正方形； 第2个图案长有5个正方形； 第3个图案长有7个正方形； ， 第个图案长有个正方形， ∵长为， ∴有个正方形， ∴，解得， ∴共有80个图案， ∴共有黑色方块的个数为， 答：这条小路用了241块黑色地砖． 题型4：数字与周期规律探究 1.（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请解决如下问题： （1）请在图中括号内的数为________；展开式共有________项，第19项系数为________； （2）根据上面的规律，写出的展开式：________________； （3）利用上面的规律计算：； 【答案】（1）6，22，1330；（2）；（3）32 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的规律，数字的变化规律，解题关键是找出规律． （1）根据表中数据特点即可求出括号内数字；先找出规律，再求解即可； （2）根据图示顺推即可得到展开式； （3）根据展开式，令时代入展开式即可得到所求代数式的值； （1）解：图中括号内的数为， 展开式有项， ，展开式有项， ，展开式有项， ，展开式有项， 展开式有项，第 4项为； ； 以此类推，展开式中共有项， ∴展开式共有 22项，第4项系数为，根据对称性可知第19项系数为1330， 故答案为：6， 22，1330 ； （2）解：根据图示，， 故答案为：； （3）解：， 当时，， ． 2.（26-27七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知整数，，，，……满足下列条件：，，，，……依此类推，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】需通过前几项归纳数列的数值变化规律求解． 解：由题意得，，，，，，…… 观察得，当为正奇数时，；当为正偶数时，． ∵为奇数． ∴． 3.（2026七年级上·江苏无锡·专题练习）我们可以用符号表示代数式的值．当是正整数时，我们规定如果为偶数， ；如果为奇数，，例如：， ，设，， ；依此规律进行下去，得到一列数：，，，，，（为正整数），则 __________． 【答案】 【分析】根据新定义计算前几项，得到数列每个数为一个周期循环，将所求式子按周期分组，计算每组的和，进而得到最终结果． 解：由题意可得：， ， ， ， ， ， 可得数列每个数为一个周期循环，循环为 ，，， 对于式子，从到共项，每项分为一个周期，其和为 ， ∵， ∴原式 ． 4.（25-26七年级上·全国·期中）观察下面三行数： ，9，，81，…；………………………第①行 1，，9，，…；………………………第②行 ，10，，82，…．……………………第③行 （1）第①行数按什么规律排列？ （2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？ （3）设x，y，z分别为第①②③行的第2025个数，求的值． 【答案】（1）第①行数按（n为正整数）规律排列；（2）解：第②行数是第①行数相应位置的数乘，即； 第③行数比第①行数相应位置的数大1，即； （3）1 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式． （1）观察可看出第一行的数分别是的1次方，二次方，三次方，四次方…且偶数项是正数，奇数项是负数，用式子表示规律为：； （2）观察②，③两行的数与第①行的联系，即可得出答案； （3）分别表示出第①②③行的2025个数，再将x，y，z代入所求式子计算即可． （1）解：∵，9，，81，，729…； ∴第①行数是：，，，，…， 即第①行数按（n为正整数）规律排列； （2）略 （3）解：∵，，， ∴ ． 题型5：新定义运算与平方根、立方根结合 1.（24-25七年级下·河南信阳·期末）某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． （1），，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由． （2）若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值． （3）写出两组含有的“组合平方数”． 【答案】（1），，这三个数是“组合平方数”，理由如下． ∵，，， ∴，，这三个数是“组合平方数”． （2）m的值为；（3），，；，，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了新定义，解题关键是能够熟练理解新定义的含义． （1）先分别求出这三个数两两乘积的算术平方根，然后根据已知条件中的新定义，进行判断即可； （2）根据两个数乘积的算术平方根为，求出这两个数的乘积，列出关于m的方程，解之可得； （3）根据“组合平方数”的定义，写出一组“组合平方数”． 解：（1）略 （2）解：∵三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为， ∴，，都是整数． ∴或． ∴或（不合题意，舍去）． 当时，这三个数，，是“组合平方数”． 综上所述，m的值为． （3）解：两组含有的“组合平方数”为：，，或，，（答案不唯一） 故答案为：，，或，，（答案不唯一）． 2.（25-26七年级下·安徽淮北·期中）定义表示不超过的最大整数，如，，设，若，则的值为（    ） A．48 B．49 C．50 D．55 【答案】B 【分析】根据的定义，推导 时的取值范围，计算相同对应的项数和部分和，逐步累加得到总和为时的． 解：根据定义，若 ，则 ，即 ，满足条件的共有 个，每个项的值为，这部分的和为 ． 逐步累加计算： 当，和为，累计和为，对应最大； 当，和为，累计和为，对应最大； 当，和为，累计和为，对应最大； 当，和为，累计和为，对应最大； 当，和为，累计和为，对应最大； 当，和为，累计和为 ，对应最大； ，还差 ，下一项时， ，累加后总和为 ，符合要求， ． 故选：B. 3.（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）定义：若点满足，则称点为“理想点”．例如：，故点是“理想点”，若点是“理想点”，且为正整数，则的值为_____． 【答案】 【分析】先得出，根据算术平方根的性质和为正整数可得，再代入计算即可． 解：∵点是“理想点”， ∴， ∴， 由算术平方根的性质可知，或， ∵为正整数， ∴， ∴． 4.（24-25七年级下·山东德州·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． （1）依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； （2）若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ （3）求的值：． 【答案】（1）；（2）为任意实数；（3）或 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）进行开方运算即可； （2）根据定义，进行计算即可； （3）利用四次方根解方程即可． （1）解：； 故答案为：； （2）解：∵是一个数的四次方， ， ， ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的三次方， ∴为任意实数． 故答案为：为任意实数； （3）解：， ， ， ， 或， 或． 题型6：实数估算与无理数整数部分、小数部分综合 1.（25-26八年级上·湖南株洲·期末）若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“湘一区间”为；同理规定无理数的“湘一区间”为．例如：因为，所以，所以的“湘一区间”为，的“湘一区间”为．请解答下列问题： （1）的“湘一区间”是___________；的“湘一区间”是___________； （2）若无理数（为正整数）的“湘一区间”为，且的“湘一区间”为，求的值； （3）实数满足关系式：，求的“湘一区间”． 【答案】（1），；（2）或3；（3） 【分析】本题考查无理数的估值，二次根式的双重非负性，理解题干中的湘一区间的概念是解题关键． （1）根据湘一区间的概念求解即可； （2）根据湘一区间的概念列出关于a的不等式，求出a的范围，根据a为正整数确定a的值，进而求解即可； （3）观察出和中，根号下的式子为相反数，从而利用根号下的式子大于等于0，确定的值和已知等式右边式子的值为0，再利用二次根式的双重非负性得到关于m和x，y的关系，进而求解即可． （1）解：∵， ∴的“湘一区间”是； ∵， ∴， ∴根据题意，无理数的“湘一区间”是； （2）解：由题意，得，， ∴ ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，； 当时，； （3）解：由题意，可知和有意义， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴的“湘一区间”是． 2.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（    ）（式子中的“”，“”依次相间） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，正确理解新定义的含义．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论．根据的定义，将式子按的值分组，每组内符号交替，分别计算每组和再求和． 解：，， 、这个数等于1， ，， 到有个数等于2， ，， 到共有个数等于3， ， ，， 到之间共有个数等于44， ． 故选：C． 3.（25-26七年级下·福建福州·期中）用表示最接近的整数（为正整数），例如： ，，，，，…， ，，，，，…， 那么________． 【答案】 【分析】根据无理数的估算以及四舍五入法则，得出的值，求解即可． 解：， ， ， ， ，， ，， ，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，， ． 4.（25-26七年级下·福建厦门·期中）小李同学探索的近似值的过程步骤如下： 步骤（1）：∵面积为137的正方形的边长是，估计在两个正整数之间，即①②， ∴可将表示为整数部分加上小数部分的形式，即③，其中， 步骤（2）：画出示意图，如图所示． 可得图中正方形的面积④．（要求：用含x的二次三项式表示） 又∵，∴④． 步骤（3）：当时，可忽略不计的值，得⑤，得到， 步骤（4）：∴． （1）请仔细阅读以上探究过程，根据上下文和图示，在横线处按序号①、②、③、④、⑤依次填写对应内容．（注：两处序号④填写内容相同．） ①______；②______；③______；④______；⑤______． （2）结合上述具体实例，已知非负整数a，b，m，若，且，求的近似值．（用含有a，b的式子表示） 【答案】（1）11，12，11，；；（2） 【分析】（1）根据题目提供的示例解答即可； （2）设，两边平方得，，依照示例得，可得结论． （1）解：步骤（1）：∵面积为137的正方形的边长是，估计在两个正整数之间，即， ∴可将表示为整数部分加上小数部分的形式，即，其中， 步骤（2）：画出示意图，如图所示． 可得图中正方形的面积．（要求：用含x的二次三项式表示） 又∵， ∴． 步骤（3）：当时，可忽略不计的值，得⑤，得到， 步骤（4）：∴． （2）解：∵，且， ∴设， 两边平方得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型7：整体思想求高次代数式值 1.（25-26七年级上·四川乐山·期末）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．以下是老师安排的作业题． 代数式的值为7，则代数式的值为_______． 阅读理解： 小乐在做作业时采用的方法如下： ， ， ， ∴代数式的值为5． 方法运用： （1）若代数式，则代数式_______； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 拓展运用： （3）已知，，，求的值； （4）已知，的值为最大负整数，求的值． 【答案】（1）11；（2）；（3）2022；（4）19 【分析】本题考查了整体代入求值，准确计算是解题的关键． （1）原式整理成，再整体代入，即可求解； （2）先将代入得出，再将代入得到，整体代入，即可求解； （3）由当，时得到，再整体代入，即可求解； （4）先求得，再将原式整理成，再整体代入，即可求解． （1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：11； （2）解：把代入，得 ， ， 当时， ； （3）解：当，时， ， 当，即时， ∴原式； （4）解：∵的值为最大负整数， ∴， ∵， ∴    ． 2.（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）若，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查代数式化简求值，熟练掌握提公因式法则是解题的关键，通过提取公因式，将所求表达式转化为已知条件的形式，直接代入求解． 解：∵ ， ∴ ， 又 ∵ ， ∴ ， 故选：A． 3.（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）设，则的值为___． 【答案】1518 【分析】本题考查代数式求值，通过赋值法，利用二项式展开式的性质，计算特定系数和． 解：由二项式定理，设 ． 计算 ， ， ． 由 ， 得 ． 又 ， 且 ， 所以 ． 于是 ． 因此 ． 故答案为 ：1518． 4.（25-26七年级上·湖北孝感·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请阅读下面材料解决问题． 代数式的值为，则代数式的值为______． 【阅读理解】 小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，，则有，，所以代数式的值为． 【方法运用】 （1）若代数式的值为，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，．则的值为　　　　． 【答案】（1）19；（2）；（3）－8 【分析】本题考查 “整体思想” 在代数式求值中的应用，涉及知识点：代数式的变形、整体代入求值、相反数的性质．解题技巧是将已知条件中的代数式视为一个整体，通过变形将所求代数式转化为整体的倍数或加减形式；解题关键是准确识别整体并进行合理变形；易错点是符号处理错误或整体代入时的系数计算错误． 解：（1）由 ，得 将 变形为，代入 ： （2）当 时， 当 时， 所以 （3）先化简所求代数式： 将其变形为 ，代入 ，： 题型8：列代数式解决较复杂实际问题（方案优化） 1.（25-26七年级上·四川乐山·期末）一个三位数，百位为，十位为，个位为，可以记作． （1）若把两位数的十位数字与个位数字对调，得到一个新的两位数，试说明一定是11的倍数； （2）若，试说明一定是11的倍数； （3）若为11的倍数，探索之间的等量关系． 【答案】（1）解：， ∵为整数， ∴是11的倍数 ∴一定是11的倍数； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∵为整数， ∴一定是11的倍数； （3）或 【分析】本题考查了整式的加减的应用，整除的性质，熟练掌握整式的加减混合运算法则和整除的性质是解题的关键． （1）对进行化简得到，即可说理； （2），再变形为，再由即可代入证明； （3）先得到，则只需满足是11的倍数即可，即可分析求解． 解：（1）略 （2）略 （3）解： ， ∵是的倍数， ∴要使得是的倍数， ∴是的倍数， ∵的取值为1到9的整数，的取值为到9的整数， ∴的最小值为，最大值为， ∴或． 2.（25-26七年级上·山东德州·期中）甲、乙两店卖豆浆，每杯售价均相同．已知甲店的促销方式是：每买2杯，第1杯原价，第2杯半价；乙店的促销方式是；每买3杯，第1、2杯原价，第3杯免费．若东东想买12杯豆浆，则下列所花的钱最少的方式是（    ） A．在甲店买12杯 B．在甲店买8杯，在乙店买4杯 C．在甲店买6杯，在乙店买6杯 D．在乙店买12杯 【答案】D 【分析】设每杯售价元，分别计算每个选项中的花费，再进行比较即可．本题考查了整式加减的应用，读懂题意并根据题意表示出所花费用是解题的关键． 解：设每杯售价x元， 在甲店购买12杯的费用为（元）； 在甲店买8杯，在乙店买4杯的费用为（元）； 在甲店买6杯，在乙店买6杯的费用为（元）； 在乙店购买12杯的费用为（元）； 在乙店买12杯花钱最少， 故选：D． 3.（25-26七年级上·福建泉州·期中）《朝花夕拾》全书共页，小明按计划分两天阅读：第一天读了全书的一半多1页，第二天阅读后，剩余的页数是第一天剩余页数的一半少1页．请用代数式表示小明阅读两天后，还剩下___________页未读． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，设总页数为 ，先表示第一天读的页数和剩余页数，再表示第二天阅读后剩余的页数即可． 解：第一天读的页数为 ，剩余页数为 ， 第二天阅读后剩余页数为 ， 故答案为：． 4.（25-26七年级下·广东茂名·期末）项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 （1）请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． （2）已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． （3）预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 【答案】（1）；（2），所有支管道的总长度为米；（3）①由题意得主管道共有米，所需成本为（元）， 支管道共有米，所需成本为（元），所需固定装置成本为（元）， ， ， ， ； ②当，，时， ， ， ， ，超出了给定总预算， 支管道间距d不可以是2； 【分析】（1）由基地宽和支管间距得出总区域数，结合边界不需要安装支管道即可得到需要的支管道总条数； （2）代入，，算出，再计算可得支管总长； （3）①分别算出主管道、支管道、固定装置成本，把这些成本加起来可得到总成本关系式；②将，，代入求得的值，将这个值与进行比较可得支管道间距d不可以是2． （1）解：由题意得基地宽度为，每间隔米划分一个灌溉区域， 总区域数为， 边界不需要安装支管道， 需要的支管道总条数； （2）解：，，， ， 所有支管道的总长度为（米）； （3）略 题型9：数轴动点+绝对值+规律链式综合压轴大题 1.（25-26七年级上·湖南长沙·期中）阅读以下材料解决问题，如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“5格距点”． （1）若点表示的数是0，则的值为____________； （2）数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“5格距点”，则这样的整点对应的点的值分别是____________； （3）若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的3倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【答案】（1）5；（2），，0，1，2，3；；（3）点P表示的数为： ，此时；点P表示的数为：，此时 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为5，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数即可； （3）分两种情况讨论，当在之间时和当在点的左边时，进行求解即可． （1）解：∵点P表示的数为0， ∴点P到点A距离与点P到点B的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴ ， 故答案为：5； （2）∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴ ，即P在线段上， ∴整点P所表示的数是，，0，1，2，3， 故答案为：，，0，1，2，3； （3）①当P在之间时，， ∵点到点的距离等于点到点的距离的3倍， ∴， ，点P表示的数为：，此时； ②当P在点A左边时，，， 点P表示的数为：，此时． 综上所述，点P表示的数为： ，此时；点P表示的数为：，此时． 2.（25-26七年级上·海南海口·期中）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； 点对应的数轴上的数可能为2024. 故选：B． 3.（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点表示的数为0，点表示的数为． （1）将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是______； （2）将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数2025表示的点与点______重合． 【答案】 【分析】此题主要考查数轴的特点，解题的关键是根据题意得到正方形滚动一周，正方形的顶点移动4个单位． （1）根据正方形滚动1周后点的位置得出点对应的数； （2）根据正方形滚动的规律，得到经过数轴上的数的点． 解：（1）由题可得，正方形向左滚动一周，正方形的顶点向左移动4个单位， 所以正方形向左滚动一周后，点对应的数为：， 故答案为：； （2）∵ 所以将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2025表示的点与点B重合； 故答案为：． 4.（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P，把与点P相距b个单位长度是正数的两点所表示的数分别记作m和其中，并把m、n这两个数叫做“点P关于b的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于2的对称数组是． （1）如果点P表示数2，那么点P关于4的对称数组是______； （2）如果，求出点P表示的数以及b的值； （3）如果点P、Q是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P在数轴上以每秒3个单位长度沿着数轴正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，已知，，经过t秒后，是否存在常数k，使得为定值？若存在，请求出k的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）点P表示的数是2026，的值是2023；（3），定值为 【分析】（1）根据“对称数组”的定义，点P表示数2，与P相距4个单位的两点m、可通过“，”计算； （2）设点P表示的数为x，根据对称数组的定义，，，因此，，代入，即可求解； （3）先根据点P、Q的运动速度和时间t，表示出t秒后P、Q的位置，再结合“对称数组”的定义求出n和q，最后分析为定值的条件． 解：（1）∵点P表示数2， ∴，， 对称数组是； （2）∵， ∴点P表示的数， ∴； （3）秒后，点P表示的数为， 由，得， 点Q表示的数为，由， 得， 假设存在常数k，使得为定值： ， 要使为定值，则t的系数为0，即， 解得， 此时定值为． 【点睛】本题考查了数轴上的新定义“对称数组”，理解定义并结合数轴运动、代数运算求解，熟练掌握“对称数组”的定义是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $