期中复习专题2——综合运算与应用- 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

期中复习专题2——综合运算与应用 （浙教版八年级数学上册：期中核心综合考点） 目录 一、专题定位 1 二、核心考点梳理 2 三、必考、常考题型 2 题型1：有理数混合运算运算律巧算（凑整、分配律） 2 题型2：数轴上的点与距离、绝对值分类讨论 5 题型3：绝对值非负性求值（|a|+(b+2)=0型） 9 题型4：平方根、立方根与绝对值混合运算 12 题型5：实数的大小比较与估算（整数部分、小数部分） 14 题型6：整式先化简再求值（含整体代入） 18 题型7：含绝对值的式子化简 20 题型8：科学记数法与近似数综合应用 23 题型9：图形、数字找规律（用代数式表示） 25 题型10：新定义运算 28 题型11：数轴单动点综合 34 题型12：实数与代数式跨章节综合 37 一、专题定位 本专题面向浙江地区浙教版七年级上册期中第二轮中档复习，聚焦第1章有理数、第2章有理数的运算、第3章实数、第4章代数式的综合运用。重点整合有理数混合运算与运算律巧算、绝对值分类讨论与数轴距离、平方根立方根与绝对值的混合运算、实数大小比较与估算、代数式化简求值与整体代入、图形与数字找规律、新定义运算等中档核心考点。强化运算准确性、分类讨论意识与代数变形能力，解决学生中档题运算粗心、步骤疏漏、知识割裂的高频失分问题。适配期中第二轮专题复习、课堂专项讲练、中档题型限时训练。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 有理数 有理数运算律巧算（凑整、分配律逆用、拆项）；数轴上的点、两点间距离；绝对值分类讨论（含零点分段化简）；绝对值非负性求值（|a|+(b+2)=0型）；含绝对值的式子化简 有理数的运算 有理数乘方与混合运算综合（区分(-a)的n次方与-a的n次方）；科学记数法与近似数综合应用；运算律在分数、小数混合中的巧妙运用 实数 平方根、立方根与绝对值混合运算；实数的大小比较与估算（确定整数部分、小数部分）；带根号与π的运算保留最简形式 代数式 整式先化简再求值；整体代入法求代数式的值；图形与数字规律用代数式表示；新定义运算问题 跨章节综合 数轴动点（单动点）结合绝对值求距离与位置；实数运算与代数式化简综合；有理数、实数与代数式的多步综合题 三、必考、常考题型 题型1：有理数混合运算运算律巧算（凑整、分配律） 1.（24-25七年级上·西藏林芝·期中）简便运算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了乘法分配律在计算中的简便计算，掌握以上知识是解题的关键； （1）观察算式可以利用乘法分配律的逆运算，然后即可求解； （2）观察算式可以利用乘法分配律，然后即可求解； （1）解：原式 ； （2）解：原式 2.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是理解乘法分配律的意义，以及除以一个数等于乘以这个数的倒数，乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把乘得的两个积加起来，掌握概念并灵活运用即可解题． 解：A、除法不具有分配律，不符合题意． B、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． C、，可以使用分配律，且运算更简便，符合题意． D、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． 故选：C． 3.（25-26六年级上·全国·课后作业）填空： _______+_____________+____________． 从中可知，分别把 ____数和 ____数结合在一起相加，计算更简便． 【答案】 正 负 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，解题关键是熟练掌握有理数加法运算律． 先交换加数的位置，然后根据加法的结合律，把正数和正数，负数和负数相结合，进行简便计算即可． 解： ， 从中可知，分别把正数和负数结合在一起相加，计算更简便， 故答案为：，，，，，正，负． 4.（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把小数化为分数，把分母相同的有理数结合在一起求解即可； （2）把小数化为分数，再逆用分配律求解即可． （1）解：原式 （2）解： ； 题型2：数轴上的点与距离、绝对值分类讨论 1.（25-26七年级上·福建福州·期中）如图，的几何意义：数轴上表示a的点到原点的距离． （1）与a的绝对值是______关系； （2）根据以上知识解决以下问题：已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的两点之间的距离为8，求这两个数． 【答案】（1）相等；（2）甲数为，乙数为或甲数为12，乙数为4或甲数为，乙数为2或甲数为，乙数为 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点距离计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据绝对值的意义即可得到答案； （2）根据题意可得甲数到原点的距离等于乙数到原点的距离的3倍，可分甲数和乙数都在原点左侧，甲数和乙数都在原点右侧，甲数在原点左侧，乙数在原点右侧和甲数在原点右侧，乙数在原点左侧，四则情况分别求出两个数到原点的距离即可得到答案． （1）解：， 故与a的绝对值是相等的关系； （2）解：∵甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍， ∴甲数到原点的距离等于乙数到原点的距离的3倍， 当甲数和乙数都在原点左侧时， ∵在数轴上表示这两数的两点之间的距离为8， ∴甲数到原点的距离为，乙数到原点的距离为， ∴甲数为，乙数为； 当甲数和乙数都在原点右侧时， ∵在数轴上表示这两数的两点之间的距离为8， ∴甲数到原点的距离为，乙数到原点的距离为， ∴甲数为12，乙数为4； 当甲数在原点左侧，乙数在原点右侧时， ∵在数轴上表示这两数的两点之间的距离为8， ∴甲数到原点的距离为，乙数到原点的距离为， ∴甲数为，乙数为2； 当甲数在原点右侧，乙数在原点左侧时， ∵在数轴上表示这两数的两点之间的距离为8， ∴甲数到原点的距离为，乙数到原点的距离为， ∴甲数为，乙数为； 综上所述，甲数为，乙数为或甲数为12，乙数为4或甲数为，乙数为2或甲数为，乙数为． 2.（24-25七年级上·河北唐山·期末）在数轴上有A，B，C三点，其中点A表示的数是2，点B表示的数是，如果其中一点为另外两点形成的线段的中点，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或8或2 C．或8或1 D．或或8 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的基本性质和数轴上两点间的距离计算，本题的解题关键是数轴上两点间的距离计算，根据数轴的基本性质和数轴上两点间的距离即可求解． 解：、、是数轴上三点，且点表示的数是，点表示的数为1， 设点表示的数为， 当其中一点是另外两点构成的线段中点， ①为线段的中点， 的值为：； ②为线段的中点， 的值为：； ③为线段的中点， 的值为：； 则点C表示的数是或或8， 故选：D． 3.（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）在纸条上画一数轴，是数轴上的三个点，点表示数，且点，点之间的距离为3，将纸条上的数轴折叠，使得重合，则折痕表示的数是___________． 【答案】或 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，绝对值，整式的加减，解题的关键是掌握整式加减的运算法则． 先求得点B表示的数，再求折痕点C表示的数即可解答． 解：点表示数，且点，点之间的距离为3， 点表示数为或， 则折痕表示的数是或， 故答案为：或． 4.（24-25七年级上·全国·随堂练习）定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020的线段． （1）某数轴的单位长度是1，求盖住的整点的个数； （2）若将数轴的单位长度改为2，求盖住的整点的个数． 【答案】（1）2021或2020个；（2）1011或1010个 【分析】本题主要考查了数轴的应用．对于多解问题要注意分类讨论． （1）以线段的端点与数轴上的整点是否重合进行讨论可得结论． （2）先用，得出相当于多少个单位，再进行分类讨论即可得出结论． 解：（1）∵数轴的单位长度是1，， ∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有2019个整点． ∴线段共盖住了2021个整点． 若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有2020个整点． 综上，线段盖住的整点的个数为2021或2020个． （2）（个单位）， ∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有1009个整点． ∴线段共盖住了1011个整点． 若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有1010个整点． 综上，线段盖住的整点的个数为1011或1010个． 题型3：绝对值非负性求值（|a|+(b+2)=0型） 1.（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）若，． （1）若，，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）2；（2）或 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的加减运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据绝对值的意义，的符号，求出的值，再进行加法运算即可； （2）根据绝对值的非负性，求出的值，再进行减法运算即可． （1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴或． 2.（24-25七年级上·全国·单元复习）已知，则的值是（   ） A． B．1 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的非负性，相反数的意义，乘方运算，根据“互为相反数的两个非负数相加得0，这两个数都为0”求出的值是解题关键． 解：∵ 故选A 3.（24-25七年级下·浙江金华·阶段检测）若，满足，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质、求代数式的值，掌握几个非负数的和为零，则每个数均为0成为解题的关键． 先根据非负数的性质求解得到x、y的值，最后代入求解即可． 解：∵， ∴，解得：， ∴． 故答案为：． 4.（25-26七年级上·浙江·阶段检测）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，代数式求值． 根据绝对值的非负性求出，，再代入计算即可． 解：根据题意得，，， 解得，， ． 题型4：平方根、立方根与绝对值混合运算 1.（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）计算： （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据有理数的加减法则计算即可； （2）先计算乘方与绝对值，同步进行乘法运算，最后进行加减运算即可； （3）先分别计算算术平方根和立方根，再进行加减运算即可． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 2.（25-26七年级上·浙江温州·期末）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．没有立方根 C．的立方根是 D．的算术平方根是 【答案】D 【分析】根据平方根，立方根和算术平方根的定义即可求出答案． 解：、根据平方根的定义可知的平方根是，该选项不符合题意； B、根据立方根的定义可知的立方根是，该选项不符合题意； C、根据立方根的定义可知的立方根是，该选项不符合题意； D、根据算术平方根的定义可知的算术平方根是，该选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查平方根，立方根和算术平方根，解题的关键是熟练运用其定义，本题属于基础题型． 3.（25-26七年级下·青海西宁·期中）已知实数满足：，则的平方根__________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求得，然后求出的值，最后求平方根即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴的平方根为． 4.（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）计算 （1）； （2）； 【答案】（1）；（2） （1）解： ； （2）解： ． 题型5：实数的大小比较与估算（整数部分、小数部分） 1.（25-26八年级上·全国·单元测试）通过估算，比较下列各组数中两个数的大小． （1）与； （2）与； （3）与； （4）与． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了实数大小比较，熟练掌握利用无理数的估算比较大小的方法是解题的关键． （1）两数平方，然后比较大小即可； （2）对和求立方，然后比较大小即可； （3）两数平方，然后估算无理数即可得解； （4）比较分子的大小即可得解． （1）解：∵，， ， ； （2）解：∵， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：∵， ， ， ． 2.（25-26八年级上·四川资阳·期中）估算的值是在（） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】C 【分析】先估算出的取值范围，再得出的取值范围． 解：∵， 的值是在5和6之间； 故选：C． 【点睛】这道题主要考查了二次根式的估算，关键是要理解算术平方根与平方互为逆运算． 3.（25-26七年级上·浙江台州·期末）小潘同学估算大小的计算过程如图所示，用这种方法估算的大小，则的大小约为______．（精确到0.01） 因为，所以的整数部分是3． 因为，， 所以的小数部分约为， 所以． 【答案】4.33 【分析】本题考查了无理数的估算，理解题干中无理数的估算方法是解题关键．仿照小潘同学估算的方法，先确定的整数部分，再通过计算与平方数的差值估算小数部分，最后求和并精确到，即可得解． 解：因为，所以的整数部分是4． 因为，， 所以的小数部分约为， 所以， 故答案为：4.33． 4.（25-26七年级下·广西南宁·期中）【阅读理解】我们都知道，是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完整地写出来，于是有同学用来表示的小数部分，这个方法是因为，所以的整数部分是1，而对于任意一个正实数，用这个数减去它的整数部分，所得的差就是它的小数部分，所以可以用来表示的小数部分． 再比如，我们要估算一个体积为的正方体魔方的棱长： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 根据上面问题的思路与方法，解决下列问题： （1）的整数部分是____，小数部分是___，的整数部分是___； （2）【类比应用】如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根； 【答案】（1）3，；3；（2）0 【分析】（1）根据算术平方根的定义，估算无理数的大小即可； （2）估算无理数的大小，进而得出a的值，估算无理数的大小，进而得出b的大小，再代入计算即可得出的平方根． （1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是； ∵， ∴， ∴的整数部分是3； （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分为； ∵， ∴， ∴的整数部分； ∴， 又0的平方根是0， ∴的平方根是0． 题型6：整式先化简再求值（含整体代入） 1.（25-26七年级上·浙江丽水·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】先化简整式，第一步需运用去括号法则去掉式子中的括号，注意括号前的系数和符号对括号内各项的影响；去括号后，要找出式子中的同类项，再运用合并同类项法则进行合并；化简完成后，将给定的、代入化简后的式子，计算出最终结果． 解： ， 当，时， 原式 ． 2.（25-26七年级上·云南昭通·期中）若代数式的值是10，则代数式的值是（    ） A．3 B．6 C．10 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查代数式求值，由已知条件求出 的值，再代入所求代数式计算. 解：∵， ∴， ∴. 故选：B． 3.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减的应用．通过将两个已知等式相加，即可求解． 解：∵，， ∴， 即， 故答案为：． 4.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知代数式． （1）化简：； （2）当时，求的值． 【答案】（1）；（2）10 【分析】本题考查整式的加减运算，化简求值： （1）根据整式的加减运算法则进行计算即可； （2）将字母的值代入（1）中化简的代数式中，进行计算即可． （1）解：； （2）解：当时， ． 题型7：含绝对值的式子化简 1.（25-26七年级上·江苏苏州·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． （1）用“>”“<”或“=”填空：______0，______0，______0． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查数轴上有理数的比较大小，绝对值的化简，整式的加减． （1）根据数轴上点的位置判断各式的正负； （2）根据绝对值的意义去掉绝对值符号并合并同类项． （1）解：由数轴可知， ∴，，． 故答案为：； （2）解：      2.（25-26七年级上·重庆·期中）若，则的值是（   ） A． B．1 C．1或 D．或3 【答案】C 【分析】由题意可得，或，然后分两种情况，分别去绝对值后计算即可． 解：∵， ∴，或， 当，时，； 当，时，． 综上，的值是1或． 3.（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）已知，，是有理数，它们在数轴上对应点，，的位置如图所示，则化简代数式的结果是_______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，整式的加减，数轴的应用是解题关键． 根据数轴得出各部分的取值，再利用绝对值的性质化简，最后合并同类项即可． 解：由图得，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 4.（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如下图所示． （1）________0，c________0，________0；（用“>”或“<”填空） （2）化简：． 【答案】（1）>，<，>；（2） 【分析】本题考查了化简绝对值，整式的加减运算，根据点在数轴上的位置判断式子的正负，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用数形结合思想，得，且，则，，即可． （2）结合，，，则，再分别化简绝对值，然后进行整式的加减运算，即可． （1）解：观察数轴得，且， ∴，， 故答案为：>，<，> （2）解：由（1）得，，， ∴，            ． 题型8：科学记数法与近似数综合应用 1.（25-26七年级上·安徽·期中）一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． （1）数的最大值和最小值分别是多少？ （2）将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． 【答案】（1）最大值是544，最小值是445；（2） 【分析】本题考查了四舍五入和科学记数法，熟悉掌握四舍五入的运算特征和科学记数法是解题的关键． （1）根据四舍五入的运算特征解答即可； （2）先运算出差值进行四舍五入，再进行科学记数法即可． （1）解：∵ ∴四舍五入到十位后的数最大是540，四舍五入到十位后的数最小是450， ∴的最大值是，最小值是； （2）解：∵， ∴． 2.（25-26九年级下·浙江金华·阶段检测）中国邮政计划于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票共计2668万套，将数据“2668万”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将中文单位“万”转换为标准数字形式，再将其写成科学记数法的标准形式。科学记数法的形式为，其中，为整数，特别注意指数的确定方式。 解：“万”表示， 2668万 3.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）近似数万精确到___位；___（精确到百分位）． 【答案】 百 【分析】此题考查了近似数．根据近似数的意义进行解答即可． 解：近似数万精确到百位；精确到百分位是． 故答案为：百，． 4.（第15讲近似数（2考点3题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（苏科版））小亮：把按四舍五入法近似到千位，得．小明：把按四舍五入法近似到千位，可以先将按四舍五入法近似到百位，得到，接着再把按四舍五入法近似到千位，得到，你认为谁的说法正确？请说明你的理由． 【答案】解：小亮的说法正确．理由如下： 把按四舍五入法近似到千位，应该保留到千位，百位后面的舍去，得，所以小亮的说法正确； 而小明先将按四舍五入法近似到百位再按四舍五入法近似到千位是不对的， 故小亮的说法正确． 【分析】本题考查了近似数，科学记数法，要精确到千位就是科学记数法的标准形式中的末尾数字所在的位置是原数的千位，然后根据四舍五入的原理进行取舍即可求解，掌握科学记数法中的近似数的取值是解题的关键． 解：略 题型9：图形、数字找规律（用代数式表示） 1.（26-27七年级上·福建福州·阶段检测）动脑筋、找规律． 严老师给小米出了下面的一道题，如图，请根据数字排列的规律，探索下列问题： （1）在A处的数是正数还是负数？ （2）负数排在A，B，C，D中的什么位置？ （3）第2026个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 【答案】（1）在A位置的数是正数；（2）在B和D位置的数是负数；（3）第2026个数是正数，排在对应于C的位置 【分析】（1）根据A是向上箭头的上方对应的数解答； （2）根据箭头的方向与所对应的数的正、负情况解答； （3）根据4个数为一个循环组依次循环，用2026除以4，根据余数的情况确定对应的位置即可． 解：（1）A是向上箭头的上方对应的数，与4的符号相同，在A处的数是正数； （2）观察图形可知，向下箭头的上边的数是正数，下方是负数，向上箭头的下方是正数，上方是负数， 所以，B和D的位置是负数； （3）， ∴第2026个数是正数，对应的是C的位置． 2.（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）观察下列等式：，，，，，，，…解答问题：…的末位数字是（   ） A．9 B．0 C．3 D．2 【答案】D 【分析】通过观察已知等式，找出3的正整数次幂的末位数字的循环规律，计算总项数除以周期的余数，即可求出原式和的末位数字． 解：∵，末位数字为；，末位数字为；，末位数字为；，末位数字为；，末位数字回到， ∴的末位数字每个为一个循环，依次为， ∴一个循环内四个数的末位和为，末位数字是， ∵ 原式从到，共项， ， ∴个完整循环的各项末位数字之和的末位数字为，余下两个项的末位分别为和， ∴原式总和的末位数字为，末位数字为． 3.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第（）个图案中有个圆圈，第（）个图案中有个圆圈，第（）个图案中有个圆圈，第（）个图案中有个圆圈，按此规律排列下去，则第（）个图案中圆圈的个数是______． 【答案】 【分析】观察图形中圆圈数量的变化，发现相邻两个图案圆圈数量之差为定值，据此归纳出第个图案圆圈个数的表达式即可求解． 解：观察图形可知： 第（）个图案中有个圆圈，； 第（）个图案中有个圆圈，； 第（）个图案中有个圆圈，； 第（）个图案中有个圆圈，； ∴第个图案中圆圈的个数为， 当时，圆圈的个数为， ∴第（）个图案中圆圈的个数是． 4.（24-25七年级上·河南开封·期末）如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有阴影． （1）①第3个图案中涂阴影的小正方形的个数为______． ②第4个图案中涂阴影的小正方形的个数为______． （2）用含的代数式表示第个图案中涂阴影的小正方形的个数． 【答案】（1）13，17；（2） 【分析】本题考查图形类规律探究，解一元一次方程，从已有图形中找到规律，是解题的关键： （1）观察可知，后一个图形中涂有阴影的小正方形的个数比前一个图形多4个，进而求出第个图形中涂有阴影的小正方体的个数，即可； （2）根据规律，列出方程进行求解即可． （1）解：观察可知：第一个图形中涂有阴影的小正方形的个数为5，后一个图形中涂有阴影的小正方形的个数比前一个图形多4个， ∴第个图形中涂有阴影的小正方体的个数为：； ∴第个图形中涂有阴影的小正方体的个数为：； 第个图形中涂有阴影的小正方体的个数为：； 故答案为：13，； （2）第个图形中涂有阴影的小正方体的个数为：． 题型10：新定义运算 1.（24-25七年级上·江苏淮安·期末）定义：对于“☆”运算，若，则称“☆”运算满足“反换律”．例如：，故乘法运算满足“反换律”． （1）下列运算满足“反换律”的是______．（填序号） ①加法，②减法，③除法． （2）规定“”运算：． ①若，，则______； ②请你判断“”运算是否满足“反换律”，并说明理由． 【答案】（1）②；（2）①11；②满足，理由如下： ，， ， “”运算满足“反换律”． 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的混合运算、代数式的求值，根据新定义进行计算是解题的关键． （1）根据“反换律”的定义，对题目的运算逐个分析判断即可； （2）①根据“”运算的定义，代入，计算即可；②分别计算和，比较计算结果即可得出答案． （1）解：与不一定相等，故①不满足“反换律”； ，故②满足“反换律”； 与不一定相等，故③不满足“反换律”； 满足“反换律”的是②． 故答案为：②． （2）解：①当，时， ； 故答案为：11． ②略 2.（25-26七年级上·重庆万州·期末）定义一种新运算“”，规定：等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，．则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新运算的运算法则，先计算，再计算即可得解． 解：由题意，得：， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查定义新运算．理解并掌握新运算的运算法则，是解题的关键． 3.（24-25八年级上·重庆·阶段检测）喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义∶对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：这三个数，，其结果分别为，都是整数，所以三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是，最大的算术平方根是．则三个数______（是或否）“和谐组合”．已知三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的倍，则的值______． 【答案】 是 【分析】①根据“和谐组合”的定义求解即可； ②根据题意分种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的倍，分别列方程求解即可； 本题考查了新定义问题，算术平方根，解题的关键是正确分析新定义的运算法则． 解：①∵，，， ∴三个数是“和谐组合”， 故答案为：是； ②分三种情况：①当时， ∴， ∴最大的算术平方根为，最小算术平方根， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， 解得（不合，舍去）； ②当时，， ∴， ∴最大的算术平方根为，最小算术平方根， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， 解得（不合，舍去）； ③当时，， ∴， ∴最大的算术平方根为，最小算术平方根， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， 解得； 综上所述，的值为， 故答案为：． 4.（24-25七年级上·安徽合肥·期中）定义新运算“”：对于任意的有理数 a 和 b ，． （1）分别求出 ，的值； （2）若，求代数式 的值； （3）若 ，且的运算结果与n 的 取值无关，求 m 的值及的值． 【答案】（1），；（2）；（3）， 【分析】本题考查了有理数的运算，整式的加减，理解定义的新运算是解题的关键． （1）根据定义的新运算进行计算，即可解答； （2）根据定义的新运算得到，再将代数式去括号合并化简后，将整体代入计算即可解答； （3）根据定义的新运算列出的式子，代入已知数据利用整式加减法则化简，根据的运算结果与n 的 取值无关，先求出的值，然后代入m的值即可解答． （1）解：由题意得：， ； （2）解：∵， ∴，即， ∵ ； ∴原式； （3）解： ； ∵ ， ∴ ； ∵的运算结果与n 的 取值无关， ∴中， 解得：， ∴的值为． 题型11：数轴单动点综合 1.（25-26七年级上·浙江台州·期中）如图，为数轴上的三点，为数轴的原点，点表示的数为6，线段的长为的长为12． （1）求点在数轴上表示的数． （2）点从出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时，点从出发，每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为（单位：秒）．请写出动点所表示的数（分别用含的整式表示）． 【答案】（1）点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为2；（2）点所表示的数为，点所表示的数为 【分析】本题考查了数轴、有理数的减法、列代数式，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据数轴的性质列式，计算有理数的减法即可得； （2）根据数轴的性质可得点所表示的数等于点所表示的数加上点的运动距离，点所表示的数等于点所表示的数减去点的运动距离，由此即可得． （1）解：∵点表示的数为6，线段的长为4，且点在点的左侧， ∴点在数轴上表示的数为， ∵的长为12，且点在点的左侧， ∴点在数轴上表示的数为． （2）解：设运动时间为秒， ∵点从出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，且点在数轴上表示的数为， ∴点所表示的数为， ∵点从出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，且点在数轴上表示的数为6， ∴点所表示的数为． 2.（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，数轴上一动点A向右移动4个单位长度到达点，再向左移动3个单位长度到达点，点A表示的数为，若将，，三点表示的数进行混合运算（每个数只能用一次），则可得到最大数为（   ） A．9 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴以及有理数的乘方，解题的关键是利用数轴确定A、B的值． 先求出点B和点C对应的数，再将A，B，C三点通过构造乘方运算求出最大数． 解：数轴上一动点A向右移动4个单位长度到达点B，再向左移动3个单位长度到达点C，点A表示的数为， ∴点B表示的数为，点C表示的数为， ∴ ∴ 故选：A 3.（25-26七年级上·江苏徐州·期中）点A为数轴上的一点，动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B．若点B到原点的距离为6个单位长度，则点A表示的数是________． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，熟练掌握数轴的动点问题是解题关键． 根据数轴上的点的移动规则，左移减，右移加，分点B在原点的左侧和右侧两种情况进行求解即可． 解：∵点B与原点的距离是个单位长度， ∴点B表示的数为或， ∵动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B， ∴点A表示的数为或； 故答案为：或． 4.（25-26七年级上·浙江温州·期中）已知：是最小的正整数，且、满足，请回答： （1）请直接写出、、的值：________；________；________； （2）若、、所对应的点分别为、、，点为数轴上一动点，其对应的数为，当点在、两点之间运动时（点不与点、重合），请化简下列式子并判断该式子的值是否随点的运动而改变？若不变，请求出该式子的值，若改变，请说明理由． 化简：． 【答案】（1）；；；（2），该式子的值不随点的运动而改变． 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的非负性，解题的关键是掌握实数的性质，非负数的性质，数轴知识． （1）利用非负数的性质计算； （2）利用数轴知识绝对值的定义计算． （1）解：∵是最小的正整数，且、满足， ∴ ，，， 则，， 故答案为：；；； （2）∵点在、两点之间运动点不与点、重合， ，，，， ， 该式子的值不随点的运动而改变． 题型12：实数与代数式跨章节综合 1.（24-25七年级下·重庆铜梁·期中）（1）若与互为相反数，求的值． （2）已知，与互为相反数，求代数式的值． 【答案】（1）    （2）或 【分析】本题考查了相反数的应用，算术平方根、立方根的性质和代数式求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据相反数的定义得到，再根据算术平方根的性质得到，，进而求得、的值，最后将、的值代入即可得解； （2）由得，再根据相反数的定义得，进而得到，再分情况把、的值代入即可得解． （1）解：与互为相反数， ， ，， ，， ； （2）， ， 与互为相反数， ， ，即， 当时，，， 当时，，， 综上，代数式的值为或． 2.（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图所示，数轴上的点A，B分别表示实数1，，点C是点B关于点A的对称点，点C表示的实数为x，则代数式的值为（      ） A．1.9 B．2 C．2.1 D．2.2 【答案】B 【分析】由于与l、两个实数对应的点分别为A、B，所以得到AB=-1，而点C与点B关于点A对称（即AB=AC），由此得到AC=-1，又A对应的数为l，由此即可求出点C表示的数，即可得出答案． 解：∵数轴上与、两个实数对应的点分别是、， ∴， 而点与点关于点对称（即）， ∴， 而对应的数为， ∴点表示的数是， ． 故选：B． 【点睛】此题考查了实数与数轴的对应关系，同时也利用了关于点对称的性质和数形结合的思想 3.（25-26七年级下·河南商丘·期中）下面是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第行（从左往右数）最后一个数是_____．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】从数阵的每一行可以找到规律是二次根式里面依次加1，观察每行的最后1个数，总结规律即可得答案． 解：第1行的最后一个数为， 第2行的最后一个数为， 第3行的最后一个数为， 第4行的最后一个数为， ……． 第n行的最后一个数为． 4.（山东省青岛市青岛高新技术产业开发区青岛实验学校2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题）根据已知条件求值： （1）已知实数、、在数轴上的位置如图所示，试化简：． （2）已知，、互为倒数，、互为相反数，求的值． （3）若9的平方根是，的绝对值是4，求的值？ （4）已知的平方根为，的算术平方根为4，求的平方根． （5）若、、满足，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）0；（3）的值为或1或或7；（4）；（5） 【分析】（1）根据实数、、在数轴上的位置得出，，，，然后进行化简即可； （2）根据倒数，相反数的定义得出，，然后代入求值即可； （3）根据平方根定义和绝对值意义求出a、b的值，然后代入求值即可； （4）的平方根为，的算术平方根为4求出a、b的值，然后代入求值即可； （5）根据非负数的性质求出、、的值，然后再代入求值即可． （1）解：根据实数、、在数轴上的位置可知，，，，， ∴ ； （2）解：∵、互为倒数，、互为相反数， ∴，， ∴ ； （3）解：∵9的平方根是，的绝对值是4， ∴，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上分析可知，的值为或1或或7． （4）解：∵的平方根为，的算术平方根为4， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根为； （5）解：∵， ∴，，， 解得：，，， ∴． 【点睛】本题主要考查了平方根、立方根、算术平方根定义，非负数的性质，绝对值的意义，解题的关键是理解相关的定义和性质，准确计算． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习专题2——综合运算与应用 （浙教版八年级数学上册：期中核心综合考点） 目录 一、专题定位 1 二、核心考点梳理 2 三、必考、常考题型 2 题型1：有理数混合运算运算律巧算（凑整、分配律） 2 题型2：数轴上的点与距离、绝对值分类讨论 3 题型3：绝对值非负性求值（|a|+(b+2)=0型） 4 题型4：平方根、立方根与绝对值混合运算 4 题型5：实数的大小比较与估算（整数部分、小数部分） 5 题型6：整式先化简再求值（含整体代入） 6 题型7：含绝对值的式子化简 7 题型8：科学记数法与近似数综合应用 7 题型9：图形、数字找规律（用代数式表示） 8 题型10：新定义运算 9 题型11：数轴单动点综合 10 题型12：实数与代数式跨章节综合 11 一、专题定位 本专题面向浙江地区浙教版七年级上册期中第二轮中档复习，聚焦第1章有理数、第2章有理数的运算、第3章实数、第4章代数式的综合运用。重点整合有理数混合运算与运算律巧算、绝对值分类讨论与数轴距离、平方根立方根与绝对值的混合运算、实数大小比较与估算、代数式化简求值与整体代入、图形与数字找规律、新定义运算等中档核心考点。强化运算准确性、分类讨论意识与代数变形能力，解决学生中档题运算粗心、步骤疏漏、知识割裂的高频失分问题。适配期中第二轮专题复习、课堂专项讲练、中档题型限时训练。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 有理数 有理数运算律巧算（凑整、分配律逆用、拆项）；数轴上的点、两点间距离；绝对值分类讨论（含零点分段化简）；绝对值非负性求值（|a|+(b+2)=0型）；含绝对值的式子化简 有理数的运算 有理数乘方与混合运算综合（区分(-a)的n次方与-a的n次方）；科学记数法与近似数综合应用；运算律在分数、小数混合中的巧妙运用 实数 平方根、立方根与绝对值混合运算；实数的大小比较与估算（确定整数部分、小数部分）；带根号与π的运算保留最简形式 代数式 整式先化简再求值；整体代入法求代数式的值；图形与数字规律用代数式表示；新定义运算问题 跨章节综合 数轴动点（单动点）结合绝对值求距离与位置；实数运算与代数式化简综合；有理数、实数与代数式的多步综合题 三、必考、常考题型 题型1：有理数混合运算运算律巧算（凑整、分配律） 1.（24-25七年级上·西藏林芝·期中）简便运算： （1）； （2）． 2.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 3.（25-26六年级上·全国·课后作业）填空： _______+_____________+____________． 从中可知，分别把 ____数和 ____数结合在一起相加，计算更简便． 4.（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： （1）； （2）． 题型2：数轴上的点与距离、绝对值分类讨论 1.（25-26七年级上·福建福州·期中）如图，的几何意义：数轴上表示a的点到原点的距离． （1）与a的绝对值是______关系； （2）根据以上知识解决以下问题：已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的两点之间的距离为8，求这两个数． 2.（24-25七年级上·河北唐山·期末）在数轴上有A，B，C三点，其中点A表示的数是2，点B表示的数是，如果其中一点为另外两点形成的线段的中点，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或8或2 C．或8或1 D．或或8 3.（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）在纸条上画一数轴，是数轴上的三个点，点表示数，且点，点之间的距离为3，将纸条上的数轴折叠，使得重合，则折痕表示的数是___________． 4.（24-25七年级上·全国·随堂练习）定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020的线段． （1）某数轴的单位长度是1，求盖住的整点的个数； （2）若将数轴的单位长度改为2，求盖住的整点的个数． 题型3：绝对值非负性求值（|a|+(b+2)=0型） 1.（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）若，． （1）若，，求的值； （2）若，求的值． 2.（24-25七年级上·全国·单元复习）已知，则的值是（   ） A． B．1 C． D．6 3.（24-25七年级下·浙江金华·阶段检测）若，满足，则______． 4.（25-26七年级上·浙江·阶段检测）若，求的值． 题型4：平方根、立方根与绝对值混合运算 1.（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）计算： （1） （2） （3） 2.（25-26七年级上·浙江温州·期末）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．没有立方根 C．的立方根是 D．的算术平方根是 3.（25-26七年级下·青海西宁·期中）已知实数满足：，则的平方根__________． 4.（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）计算 （1）； （2）； 题型5：实数的大小比较与估算（整数部分、小数部分） 1.（25-26八年级上·全国·单元测试）通过估算，比较下列各组数中两个数的大小． （1）与； （2）与； （3）与； （4）与． 2.（25-26八年级上·四川资阳·期中）估算的值是在（） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 3.（25-26七年级上·浙江台州·期末）小潘同学估算大小的计算过程如图所示，用这种方法估算的大小，则的大小约为______．（精确到0.01） 因为，所以的整数部分是3． 因为，， 所以的小数部分约为， 所以． 4.（25-26七年级下·广西南宁·期中）【阅读理解】我们都知道，是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完整地写出来，于是有同学用来表示的小数部分，这个方法是因为，所以的整数部分是1，而对于任意一个正实数，用这个数减去它的整数部分，所得的差就是它的小数部分，所以可以用来表示的小数部分． 再比如，我们要估算一个体积为的正方体魔方的棱长： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 根据上面问题的思路与方法，解决下列问题： （1）的整数部分是____，小数部分是___，的整数部分是___； （2）【类比应用】如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根； 题型6：整式先化简再求值（含整体代入） 1.（25-26七年级上·浙江丽水·期末）先化简，再求值：，其中，． 2.（25-26七年级上·云南昭通·期中）若代数式的值是10，则代数式的值是（    ） A．3 B．6 C．10 D．7 3.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知，，则_____． 4.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知代数式． （1）化简：； （2）当时，求的值． 题型7：含绝对值的式子化简 1.（25-26七年级上·江苏苏州·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． （1）用“>”“<”或“=”填空：______0，______0，______0． （2）化简：． 2.（25-26七年级上·重庆·期中）若，则的值是（   ） A． B．1 C．1或 D．或3 3.（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）已知，，是有理数，它们在数轴上对应点，，的位置如图所示，则化简代数式的结果是_______． 4.（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如下图所示． （1）________0，c________0，________0；（用“>”或“<”填空） （2）化简：． 题型8：科学记数法与近似数综合应用 1.（25-26七年级上·安徽·期中）一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． （1）数的最大值和最小值分别是多少？ （2）将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． 2.（25-26九年级下·浙江金华·阶段检测）中国邮政计划于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票共计2668万套，将数据“2668万”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）近似数万精确到___位；___（精确到百分位）． 4.（第15讲近似数（2考点3题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（苏科版））小亮：把按四舍五入法近似到千位，得．小明：把按四舍五入法近似到千位，可以先将按四舍五入法近似到百位，得到，接着再把按四舍五入法近似到千位，得到，你认为谁的说法正确？请说明你的理由． 题型9：图形、数字找规律（用代数式表示） 1.（26-27七年级上·福建福州·阶段检测）动脑筋、找规律． 严老师给小米出了下面的一道题，如图，请根据数字排列的规律，探索下列问题： （1）在A处的数是正数还是负数？ （2）负数排在A，B，C，D中的什么位置？ （3）第2026个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 2.（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）观察下列等式：，，，，，，，…解答问题：…的末位数字是（   ） A．9 B．0 C．3 D．2 3.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第（）个图案中有个圆圈，第（）个图案中有个圆圈，第（）个图案中有个圆圈，第（）个图案中有个圆圈，按此规律排列下去，则第（）个图案中圆圈的个数是______． 4.（24-25七年级上·河南开封·期末）如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有阴影． （1）①第3个图案中涂阴影的小正方形的个数为______． ②第4个图案中涂阴影的小正方形的个数为______． （2）用含的代数式表示第个图案中涂阴影的小正方形的个数． 题型10：新定义运算 1.（24-25七年级上·江苏淮安·期末）定义：对于“☆”运算，若，则称“☆”运算满足“反换律”．例如：，故乘法运算满足“反换律”． （1）下列运算满足“反换律”的是______．（填序号） ①加法，②减法，③除法． （2）规定“”运算：． ①若，，则______； ②请你判断“”运算是否满足“反换律”，并说明理由． 2.（25-26七年级上·重庆万州·期末）定义一种新运算“”，规定：等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，．则的值是（    ）． A． B． C． D． 3.（24-25八年级上·重庆·阶段检测）喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义∶对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：这三个数，，其结果分别为，都是整数，所以三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是，最大的算术平方根是．则三个数______（是或否）“和谐组合”．已知三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的倍，则的值______． 4.（24-25七年级上·安徽合肥·期中）定义新运算“”：对于任意的有理数 a 和 b ，． （1）分别求出 ，的值； （2）若，求代数式 的值； （3）若 ，且的运算结果与n 的 取值无关，求 m 的值及的值． 题型11：数轴单动点综合 1.（25-26七年级上·浙江台州·期中）如图，为数轴上的三点，为数轴的原点，点表示的数为6，线段的长为的长为12． （1）求点在数轴上表示的数． （2）点从出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时，点从出发，每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为（单位：秒）．请写出动点所表示的数（分别用含的整式表示）． 2.（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，数轴上一动点A向右移动4个单位长度到达点，再向左移动3个单位长度到达点，点A表示的数为，若将，，三点表示的数进行混合运算（每个数只能用一次），则可得到最大数为（   ） A．9 B．8 C．4 D．2 3.（25-26七年级上·江苏徐州·期中）点A为数轴上的一点，动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B．若点B到原点的距离为6个单位长度，则点A表示的数是________． 4.（25-26七年级上·浙江温州·期中）已知：是最小的正整数，且、满足，请回答： （1）请直接写出、、的值：________；________；________； （2）若、、所对应的点分别为、、，点为数轴上一动点，其对应的数为，当点在、两点之间运动时（点不与点、重合），请化简下列式子并判断该式子的值是否随点的运动而改变？若不变，请求出该式子的值，若改变，请说明理由． 化简：． 题型12：实数与代数式跨章节综合 1.（24-25七年级下·重庆铜梁·期中）（1）若与互为相反数，求的值． （2）已知，与互为相反数，求代数式的值． 2.（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图所示，数轴上的点A，B分别表示实数1，，点C是点B关于点A的对称点，点C表示的实数为x，则代数式的值为（      ） A．1.9 B．2 C．2.1 D．2.2 3.（25-26七年级下·河南商丘·期中）下面是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第行（从左往右数）最后一个数是_____．（用含的代数式表示） 4.（山东省青岛市青岛高新技术产业开发区青岛实验学校2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题）根据已知条件求值： （1）已知实数、、在数轴上的位置如图所示，试化简：． （2）已知，、互为倒数，、互为相反数，求的值． （3）若9的平方根是，的绝对值是4，求的值？ （4）已知的平方根为，的算术平方根为4，求的平方根． （5）若、、满足，求代数式的值． 学科网（北京）股份有限公司 $