专题 29.1.2 过三点的圆同步分层作业【基础巩固+拓展培优】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题 29.1.2 过三点的圆同步分层作业【基础巩固+拓展培优】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】过点作圆与三点定圆概念辨析 2 【题型2】三角形外接圆与外心基础判断 2 【题型3】三角形外接圆简单计算 3 三.拓展培优 4 【题型1】过三点作圆综合计算 4 【题型2】反证法基础证明 5 四.中考链接 6 五.自我评价 8 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 1. 经过一个点可以作________个圆；经过两个点可以作________个圆，圆心在两点连线的____________上。 2. ________________的三个点确定一个圆，经过同一直线上的三个点________（填“能”或“不能”）作圆。 3. 三角形的外接圆是经过三角形______的圆，外接圆的圆心叫做三角形的_______，它是三角形三边____________的交点。 4. 锐角三角形外心在三角形________，直角三角形外心在________，钝角三角形外心在三角形________。 5. 反证法的三步流程：先________，再归谬推理，最后________。 二.基础巩固 【题型1】过点作圆与三点定圆概念辨析 1．（第二十九章圆高效同步练习29.1.1圆的有关概念）平面内已知点P，以P为圆心，为半径作圆，这样的圆可以作（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 2．（25-26九年级上·北京·课后作业）已知线段，经过A，B两点作半径为的圆，这样的圆（　　） A．可作一个 B．可作两个 C．可作无数个 D．不能作出 3．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 4．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 【题型2】三角形外接圆与外心基础判断 1．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）三角形的外心是三角形中（　　） A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 2．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，是的外接圆，则点O是的（    ） A．三条高线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三角形三内角角平分线的交点 3．（2016·贵州毕节·中考真题）三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（   ） A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点 【题型3】三角形外接圆简单计算 1．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江舟山·阶段检测）在中，两直角边分别为6和8，那么这个三角形的外接圆直径是（    ） A．5 B．4 C．10 D．8 3．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，点是的外心，连接、，若，则的度数为___________． 4．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）（1）作出的外接圆 （2）连接，如果，则________ 三.拓展培优 【题型1】过三点作圆综合计算 1．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）下列说法中，错误的是（    ） A．用反证法证明“”时，应假设“” B．若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形是六边形 C．若，则是直角三角形 D．“面积相等的两个三角形是全等三角形”的逆命题是假命题 2．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）请写出能判断命题“若，则”是假命题的一组实数，的值：_____，_____． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）求证：如果整数m的平方是一个偶数，那么m必为偶数． 4．（26-27八年级上·全国·课后作业）证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 已知：． 求证：中至少有一个内角小于或等于． 【题型2】反证法基础证明 1．（2026·山东德州·一模）如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知中，，点O为的外心，且，则度数为_________． 3．（2026·河南三门峡·二模）如图，已知点P是的边上一点．完成下列问题． （1）尺规作图：过点P作的平行线MN，以P为圆心，长为半径画圆交于点C，D（点C在点D左侧），连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2） ； （3）求证：平分． 4．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，中， （1）用直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的外接圆的半径． 四.中考链接 一、单选题 1．（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 2．（2026·湖北随州·二模）如图，在中，，，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧相交于点H，作射线；②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧相交于点M、N，作直线，交射线于点O；③以点O为圆心，线段长为半径作圆，则的半径为（    ）    A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 二、填空题 3．（2026·江苏无锡·二模）用反证法证明“在中，如果，那么”，第一步应假设_________． 4．（2026·河北唐山·二模）如图，点O为的外心，连接，作正方形，其中E点在的外部，则外心不是点O的三角形是______（填“”或“”或“”或“”）． 三、解答题 5．（2025·江苏南通·中考真题）请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． （1）若，则； （2）对于任意实数，一定有； （3）两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； （4）一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 6．（2026·江苏南通·二模）请从下面两个命题中选取一个命题，判断该命题是真命题还是假命题，若是真命题，请给出证明；若是假命题，请举出反例． （1）任意两个连续偶数的平方差都是8的倍数； （2）如果四边形的两条对角线互相垂直，那么该四边形的面积等于这两条对角线乘积的一半． 五.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础巩固 □顺利 □有困难 拓展培优 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 29.1.2 过三点的圆同步分层作业【基础巩固+拓展培优】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】过点作圆与三点定圆概念辨析 2 【题型2】三角形外接圆与外心基础判断 4 【题型3】三角形外接圆简单计算 6 三.拓展培优 9 【题型1】过三点作圆综合计算 9 【题型2】反证法基础证明 11 四.中考链接 16 五.自我评价 22 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 1. 经过一个点可以作________个圆；经过两个点可以作________个圆，圆心在两点连线的____________上。 2. ________________的三个点确定一个圆，经过同一直线上的三个点________（填“能”或“不能”）作圆。 3. 三角形的外接圆是经过三角形____________的圆，外接圆的圆心叫做三角形的________，它是三角形三边____________的交点。 4. 锐角三角形外心在三角形________，直角三角形外心在________，钝角三角形外心在三角形________。 5. 反证法的三步流程：先________，再归谬推理，最后________。 【前置作业参考答案】 1. 无数；无数；垂直平分线 2. 不在同一直线上；不能 3. 三个顶点；外心；垂直平分线 4. 内部；斜边中点；外部 5. 反设（假设结论不成立）；肯定原结论 二.基础巩固 【题型1】过点作圆与三点定圆概念辨析 1．（第二十九章圆高效同步练习29.1.1圆的有关概念）平面内已知点P，以P为圆心，为半径作圆，这样的圆可以作（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】A 【分析】根据圆的概念求解． 解：∵圆心P为定点，半径为是定长， ∴满足条件的圆有1个． 2．（25-26九年级上·北京·课后作业）已知线段，经过A，B两点作半径为的圆，这样的圆（　　） A．可作一个 B．可作两个 C．可作无数个 D．不能作出 【答案】B 【分析】本题考查确定圆的条件，两圆的位置关系；圆心需同时满足到A和B的距离均为，即是以A和B为圆心、半径的两圆的交点，根据两圆位置关系，当圆心距，半径时，两圆相交，有两个交点，故可作两个圆． 解：∵圆经过A、B两点且半径为， ∴圆心O满足，， ∴O点是以A为圆心、为半径的圆和以B为圆心、为半径的圆的交点， 又∵，且两圆半径均为， ∴两圆圆心距，半径和，半径差， ∴两圆相交，有两个交点， ∴这样的圆可作两个． 故选：B． 3．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】A 【分析】本题考查圆的确定，牢记平面内已知圆心与半径可以唯一确定圆是解决问题的关键． 解：∵点为圆心，1为半径作圆， ∴可以唯一确定圆，即：这样的圆只有1个， 故选：A． 4．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外心的定义．根据三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，据此即可求得答案． 解：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，故A、B错误；D正确；锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部，故C错误． 故选：D． 【题型2】三角形外接圆与外心基础判断 1．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）三角形的外心是三角形中（　　） A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外心的定义． 根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点作答即可． 解：三角形的外心是三角形中三边垂直平分线的交点， 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，是的外接圆，则点O是的（    ） A．三条高线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三角形三内角角平分线的交点 【答案】B 【分析】根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而得出答案． 解：是的外接圆， 点O是的三条边的垂直平分线的交点， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的外接圆和外心，正确把握外心的定义是解题的关键． 3．（2016·贵州毕节·中考真题）三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（   ） A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，三角形的外心就是三角形外接圆的圆心，就是三角形的三边的垂直平分线的交点． 解：三角形的外心就是三角形外接圆圆心， 角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等， 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上， 三角形的外心就是三角形的三边的垂直平分线的交点． 故选： C． 【题型3】三角形外接圆简单计算 1．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的外心，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；根据三角形的外心可分别作出线段的垂直平分线，它们的交点即为三角形的外心，进而问题可求解． 解：如图， 由图可知：的外心坐标是； 故选B． 2．（25-26九年级上·浙江舟山·阶段检测）在中，两直角边分别为6和8，那么这个三角形的外接圆直径是（    ） A．5 B．4 C．10 D．8 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，求特殊三角形的外接圆直径． 根据勾股定理可得的斜边长，即为这个三角形的外接圆直径． 解：∵在中，两直角边分别为6和8， ∴斜边长为 ， ∵的圆周角所对的弦是直径， ∴这个三角形的外接圆直径是． 故选：C． 3．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，点是的外心，连接、，若，则的度数为___________． 【答案】/140度 【分析】根据三角形外心的性质，等腰三角形的性质，再结合三角形内角和定理计算即可． 解：点是的外心 是等腰三角形 故答案为： 【点睛】本题主要考查三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形外心的性质解题的关键． 4．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）（1）作出的外接圆 （2）连接，如果，则________ 【答案】（1）如图即为所求， （2） 【分析】本题考查了尺规作图，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的外心是三边垂直平分线的交点是解题的关键； （1）分别作的垂直平分线，交点即为圆心O，再以为半径画圆即可； （2）根据圆周角可得，再根据等腰三角形的性质即可得解． 解：（1）略 （2）解：连接， ， ， ， ， 故答案为：． 三.拓展培优 【题型1】过三点作圆综合计算 1．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）下列说法中，错误的是（    ） A．用反证法证明“”时，应假设“” B．若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形是六边形 C．若，则是直角三角形 D．“面积相等的两个三角形是全等三角形”的逆命题是假命题 【答案】D 【分析】利用反证法、多边形外角和、三角形内角和以及命题逆命题的相关知识，只需逐个判断选项正误，找出错误说法即可． 解：A项：反证法证明命题时，需假设原结论不成立，原结论为，其否定为，A说法正确； B项：任意多边形的外角和为，所以该多边形的边数为，是六边形，B说法正确； C项：中，内角和为，即，由于，则，得，是直角三角形，C说法正确； D项：原命题“面积相等的两个三角形是全等三角形”的逆命题是“全等三角形的面积相等”，该2．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）请写出能判断命题“若，则”是假命题的一组实数，的值：_____，_____． 【答案】 1 【分析】要证明原命题为假命题，只需找到一组满足但不满足的实数，即可． 解：取，时， ，，可得，即，满足原命题的条件； ，，可得，即，不满足命题的结论，可说明原命题是假命题． 逆命题是真命题，D说法错误． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）求证：如果整数m的平方是一个偶数，那么m必为偶数． 【答案】证明：假设整数不是偶数，则是奇数， 设（为整数）， 则， ∵为整数， ∴是整数， ∴是奇数，即是奇数， 这与已知“的平方是偶数”矛盾，故假设不成立， ∴整数必为偶数． 【分析】根据反证法，假设整数不是偶数，则是奇数，设（为整数），求出解答即可； 解：略 4．（26-27八年级上·全国·课后作业）证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 已知：． 求证：中至少有一个内角小于或等于． 【答案】证明：假设中没有内角小于或等于． 即，，． ． 这与三角形的内角和为矛盾， ∴该假设不成立． 中至少有一个内角小于或等于． 【分析】假设中没有内角小于或等于，根据三角形内角和定理得出矛盾，即可解答． 解：略 【题型2】反证法基础证明 1．（2026·山东德州·一模）如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据得出，即可求出，利用三角形外角的性质即可得答案． 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是的外接圆圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知中，，点O为的外心，且，则度数为_________． 【答案】或 【分析】根据三角形外心的不同位置分情况讨论，结合圆周角定理计算即可得到的度数． 解：分两种情况讨论： ①当点在内部时， ； ②当点在外部时， 根据圆周角定理可得． 3．（2026·河南三门峡·二模）如图，已知点P是的边上一点．完成下列问题． （1）尺规作图：过点P作的平行线MN，以P为圆心，长为半径画圆交于点C，D（点C在点D左侧），连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2） ； （3）求证：平分． 【答案】（1）；（2）；；（3）由作图可知， ， ， ， ， 即平分． 【分析】（1）按题意要求作的平行线及即可； （2）根据直径所对的圆周角是得到答案； （3）由作图得，根据平行线的性质得 ，从而得到，得出结论． 解：（1）略 （2）解：∵是的直径， ∴； （3）略 4．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，中， （1）用直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的外接圆的半径． 【答案】（1）即为所求． （2） 【分析】本题考查作图，复杂作图、等腰三角形的性质、三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得的外接圆． （2）连接并延长，交于点D，连接，可得，即可得，，在中，根据勾股定理得，，设的外接圆的半径为x，则，，在中，根据勾股定理得，，代入求出x的值即可． （1）解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆； （2）解：连接并延长，交于点D，连接， 得， ， 在中，根据勾股定理得，， 设的外接圆的半径为x， 则，， 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得 的外接圆的半径为． 四.中考链接 一、单选题 1．（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 2．（2026·湖北随州·二模）如图，在中，，，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧相交于点H，作射线；②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧相交于点M、N，作直线，交射线于点O；③以点O为圆心，线段长为半径作圆，则的半径为（    ）    A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】C 【分析】利用基本作图得到平分，垂直平分，利用等腰三角形的性质得到，，连接，如图，设的半径为，利用勾股定理计算出，则，再利用勾股定理得到，然后解方程即可． 解：由作法得平分，垂直平分， 设交于， ， ，， 连接，如图，设的半径为， 在中，， 在中，，， ， 解得， 即的半径为2.5．    二、填空题 3．（2026·江苏无锡·二模）用反证法证明“在中，如果，那么”，第一步应假设_________． 【答案】 解：用反证法证明命题时，第一步需假设结论不成立，原命题结论为，因此第一步应假设． 4．（2026·河北唐山·二模）如图，点O为的外心，连接，作正方形，其中E点在的外部，则外心不是点O的三角形是______（填“”或“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】连接，推导出，，再根据三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，逐个分析判断即可． 解：如图，连接． ∵O是的外心， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴O是的外心； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴O不是的外心； ∵， ∴O是的外心； ∵， ∴O是的外心． 三、解答题 5．（2025·江苏南通·中考真题）请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． （1）若，则； （2）对于任意实数，一定有； （3）两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； （4）一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 【答案】（1）假命题，反例： 当时， ，， ∴结论不成立； （2）假命题， 反例： 当时， ， ∴结论不成立； （3）真命题， 证明： 设两个连续的正奇数为，（为正整数）， 则 ∵为正整数， ∴是8的倍数， ∴两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； （4）假命题， 反例： 当四边形为等腰梯形时结论不成立． 【分析】本题考查了真命题与假命题．熟练掌握真命题与假命题的定义是解题的关键．题设成立结论也成立的命题叫做真命题，题设成立结论不成立的命题叫做假命题．判断一个命题是真命题通常由已知条件出发，经过一步步推理，最后推出结论正确；要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例（具备命题的条件，不具备命题的结论的例子）即可 根据真命题和假命题的定义判断并说明即可． 解：（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 6．（2026·江苏南通·二模）请从下面两个命题中选取一个命题，判断该命题是真命题还是假命题，若是真命题，请给出证明；若是假命题，请举出反例． （1）任意两个连续偶数的平方差都是8的倍数； （2）如果四边形的两条对角线互相垂直，那么该四边形的面积等于这两条对角线乘积的一半． 【答案】（1）是假命题，，不是8的倍数；（2）是真命题，如图，在四边形中，，交点为，求证：． 证明： ． 【分析】（1）举“，不是8的倍数”作为反例，即可得出这个命题是假命题； （2）该命题是真命题，先根据命题的文字描述，写出已知条件和要求证的结论，将四边形的面积分为两个三角形的面积来分别计算，即可得证． 解：（1）略 （2）略 五.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础巩固 □顺利 □有困难 拓展培优 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $