专题 29.1.1 圆的有关概念同步分层作业【基础巩固+拓展培优】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 该同步练习通过“基础巩固+拓展培优+中考链接”三级分层设计，构建从概念辨析到综合应用的知识巩固路径，培养抽象能力、推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|核心概念预习|填空式梳理圆的定义、半径等要素，强化抽象能力| |基础巩固|基础概念辨析与简单应用|选择填空结合，辨析弦、弧等概念，突出几何直观| |拓展培优|综合计算与证明|半径计算、多点共圆证明等题型，发展推理能力| |中考链接|中考真题应用|真题演练对接考试要求，培养应用意识|

专题 29.1.1 圆的有关概念同步分层作业【基础巩固+拓展培优】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】圆相关概念辨析 2 【题型2】弦、直径、弧概念判断 4 【题型3】点与圆的位置关系简单应用 7 三.拓展培优 9 【题型1】利用半径相等线段计算 9 【题型2】多点共圆证明（教材重点） 14 【题型3】圆的半径性质与最值问题 17 四.中考链接 21 五.自我评价 26 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 请完成下列填空： 1. 在平面内，线段绕固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做______固定的端点叫做____，线段的长度叫做_____；以点O为圆心的圆记作______。圆也可以看成：平面内到________的距离等于________的点的集合。确定圆的两个条件：_______确定圆的位置，________确定圆的大小。 2. 设⊙O半径为r，点P到圆心距离OP=d：点P在圆外 ⇔ ________；点P在圆上 ⇔ ________；点P在圆内 ⇔ ________。 3. 连接圆上任意两点的线段叫作________；经过圆心的弦叫作________，它是圆中最________的弦，长度等于________。 圆上两点间的部分叫做弧；小于半圆的弧叫________，用两个字母表示；大于半圆的弧叫________，必须用________个字母表示；________把圆分成两条半圆。 4. 能够互相重合的圆叫________；在________________中，能够互相重合的弧叫做等弧。 【前置作业参考答案】 1. 圆；圆心；半径；⊙O；定点（圆心）；定长（半径）；圆心；半径 2. d＞r；d＝r；d＜r 3. 弦；直径；长；2r；劣弧；优弧；三；直径 4. 等圆；同圆或等圆 二.基础巩固 【题型1】圆相关概念辨析 1．（24-25六年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列关于圆的说法中，正确的是（　　） ①两端都在圆上的线段是直径．②圆周率表示圆面积和直径的倍数关系． ③一个圆的两条不同直径相交的点一定是圆心． ④两条同样长的铁丝分别围成圆和正方形，圆的面积大． A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．③④ 【答案】D 【分析】本题考查了圆的相关知识，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键； 根据直径的意义，圆的有关知识，即可求解； 解：①经过圆心，两端都在圆上的线段是直径，所以该说法错误； ②圆周率表示圆周长和直径的倍数关系，所以该说法错误； ③一个圆的两条不同直径相交的点一定是圆心，所以该说法正确； ④两条同样长的铁丝分别围成圆和正方形，圆的面积大，所以该说法正确； 正确的是③④； 故选：D 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列说法：①一个圆上的各点都在这个圆的圆周上；②以圆心为端点的线段是半径；③同一圆上的点到圆心的距离相等；④半径确定了，圆就确定了其中正确的是（    ） A．①② B．①③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据圆的定义，半径，确定一个圆的基本要素进行判定即可． 解：圆周上的各点是组成圆的要素，故①正确； 以圆心为端点，另一个端点在圆上的线段是圆的半径，故②错误； 同一圆上的点到圆心的距离相等，且都等于半径，故③正确； 圆心和半径共同确定一个圆，半径确定了，圆心位置不确定，圆也不能确定，故④错误． 故选：C． 【点拨】本题考查了圆的定义，半径的概念以及确定一个圆的基本要素，熟悉基本概念是解决本题的关键． 3．（24-25九年级上·河南商丘·期中）早在两千多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圜（这里读yuan），一中同长也”，这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中“定长”指的是______． 【答案】半径 【分析】本题考查了圆的认识．根据圆的集合定义直接回答即可． 解：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中，定点是圆心，定长是半径． 故答案为：半径． 4．（24-25八年级上·上海·阶段检测）经过定点，且半径为8厘米的圆的圆心轨迹是________． 【答案】以点A为圆心，8厘米长为半径的圆 【分析】此题考查了点的运动轨迹问题和点和圆的位置关系与数量之间的联系．注意：点在圆上，即点到圆心的距离等于该圆的半径．要求作经过定点A，且半径为8厘米的圆的圆心，则圆心应满足到点A的距离恒等于8厘米，根据点和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析． 解：根据题意，得圆心应满足到点A的距离恒等于8厘米，即经过定点A，且半径为8厘米的圆的圆心轨迹是以点A为圆心，8厘米长为半径的圆． 故答案为以点A为圆心，8厘米长为半径的圆． 【题型2】弦、直径、弧概念判断 1．（25-26九年级上·吉林长春·期中）下列说法中正确的是（   ） A．弦是直径 B．弧是半圆 C．直径是圆中最长的弦 D．半径是弦 【答案】C 【分析】掌握圆的基本概念是解题的关键，注意区分弦、直径、弧和半径的定义． 根据圆的基本概念，弦是连接圆上两点的线段，直径是经过圆心的弦且是圆中最长的弦；弧是圆上两点间的部分，不一定是半圆；半径不是弦． 解：∵ 弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦，但弦不一定是直径； ∴ A错误． ∵ 弧是圆上两点间的部分，半圆是弧的一种，但弧可以是优弧或劣弧，不一定是半圆； ∴ B错误． ∵ 直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦，因为任何其他弦的长度都小于直径； ∴ C正确． ∵ 半径是从圆心到圆上一点的线段，而弦需要两个端点都在圆上； ∴ D错误． 故选：C． 2．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）下列命题中错误的有（    ） ①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是一个圆中最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，解题的关键是要熟悉圆的有关概念．根据圆的弦、弧的概念判断即可． 解：①弦是圆上任意两点之间的线段，故原说法错误； ②半径不是弦，故原说法错误； ③直径是一个圆中最长的弦，说法正确； ④弧不一定是半圆，半圆是弧，故原说法错误， 故选：C． 3．（25-26九年级上·北京·课后作业）下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有_______．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了圆的认识．利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 解：①直径是弦，但弦不一定是直径，故原说法错误； ②半圆是弧，说法正确； ③过圆心的弦是直径，故原说法错误； ④圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故原说法错误． 故答案为：①③④． 4．（25-26九年级上·山东临沂·期中）下列说法中正确的有__（填序号）． （1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧． 【答案】（1）（3）（4） 【分析】根据弦、等圆、等弧的定义分别分析即可． 解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确； （2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同； （3）半径相等的两个圆是等圆，说法正确； （4）面积相等的两个圆是等圆，说法正确； （5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦是直径． 故答案为：（1）（3）（4）． 【点拨】本题考查了圆的有关概念，熟练掌握弦、等圆、等弧的定义是解题的关键． 【题型3】点与圆的位置关系简单应用 1．（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）在直角坐标平面内，的半径为，圆心的坐标为，试判断点与的位置关系． 【答案】在圆外 【分析】确定的长度，然后与半径比较即可得出点与的位置关系． 解：∵圆心的坐标为，点， ∴， ∵， ∴， ∴在圆外． 【点拨】本题考查了点与圆的位置关系、坐标与图形性质的知识，解题的关键是能够求得线段OP的长，难度不大． 2．（2026·北京门头沟·模拟预测）已知点A是数轴上一定点，点B是数轴上一动点，点A表示的实数为，点B所表示的实数为b，作以A为圆心，2为半径的，若点B在外，则b的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据点与圆位置关系得到，结合数轴距离写出，解不等式得到的取值区间，估算值后求解即可． 解：∵点B在外， ∴． ∵点A、B在数轴上，分别表示和， ∴． ∴． ∴或． ∵， ∴，， ∴的值可能是． 3．（2026·云南昆明·模拟预测）已知的直径为，若点到点的距离为，则点在________．（填“内”“外”或“上”） 【答案】外 【分析】先根据的直径求出圆的半径，再比较点到圆心的距离与半径的大小关系，根据点与圆的位置关系判断点的位置即可． 解：的直径为， 的半径， 点到圆心的距离， ， 点在外． 4．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，点O处有一灯塔，警示内部为危险区，一渔船误入危险区点P处，该渔船应该按什么方向航行才能尽快离开危险区？试说明理由． 【答案】渔船应沿着灯塔O过点P的射线方向航行才能尽快离开危险区．理由如下： 解：设射线交与点A，过点P任意作一条弦，连接， 在中，， ∵， ∴， ∴， 即渔船沿射线方向航行才能尽快离开危险区． 【分析】本题考查了点与圆的关系，设射线交与点A，过点P任意作一条弦，连接，在中可得，根据得，即可得；掌握点与圆的关系是解题的关键． 解：略． 三.拓展培优 【题型1】利用半径相等线段计算 1．（2026·北京房山·二模）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点．以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方交于点，连接交于点．若，，，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点A作于点H，求出，，再利用勾股定理求解． 解：如图，过点A作于点H， ，， ． ． 以点为圆心，长为半径画弧交于点， ． ． ． ． ． 2．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，在含的直角三角板中，以点为圆心，为半径作弧，交边于点，，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由中垂线的性质知，从而得，，进而得出答案． 解：连接， 由尺规作图可得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在含的直角三角板中，， ∴ 3．（2026·安徽安庆·一模）如图，是的直径，点C，D在的异侧，连接，，，若，且，则的度数为__________． 【答案】/50度 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得的度数，再根据平行线的性质即可得出． 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，正方形在半圆内部，顶点在圆上，在直径上． （1）______（填“”“”或“”）； （2）在正方形右侧再作一个小正方形，点在直径上，点在上，点在半圆弧上；若正方形的边长为，求正方形的边长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题是关于圆和正方形的题目，涉及到正方形、圆的有关性质以及勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和圆的知识是解决本题的关键． （1）连接，则，在、中利用勾股定理即可得到结论； （2）连接，设正方形的边长为，在中利用勾股定理，得到关于的方程，解方程，问题即可解答． （1）解：如图，连接，，则．   四边形为正方形， ，， ， ． 故答案为： （2）解：如上图，连接，则． 由题意，得，， ． 设正方形的边长为． 在中，， 即，解得（负值已舍去）． 故正方形的边长为． 【题型2】多点共圆证明（教材重点） 1．（2025九年级上·全国·专题练习）将一副斜边相等的直角三角板按如图所示的方式在平面内拼成一个四边形．A，B，C，D四点在同一个圆上吗？如果在，请写出证明过程；如果不在，请说明理由． 【答案】解：A，B，C，D四点在同一个圆上；证明如下： 如图，取的中点O，连接，， ． 和是直角三角形， ，． ， ，B，C，D四点都在以O为圆心，以为半径的上， 即A，B，C，D四点在同一个圆上． 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质和圆的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，圆上的点到圆心的距离相等．取的中点O，连接，，根据直角三角形斜边上中线性质得出，根据圆的性质得出答案． 解：略 2．（24-25九年级上·山西忻州·阶段检测）如图所示，已知矩形的对角线和相交于点，试判断，，，四个点是否在同一个圆上．如果在，请给予证明；如果不在，请说明理由． 【答案】，，，四个点在同一个圆上． 证明：四边形是矩形， ，，， ， 、、、四点在以圆心长为半径的同一个圆上． 【分析】根据矩形的性质得到，，，进而说明即可证明． 解：略 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，四边形是矩形．求证：四点在同一个圆上． 【答案】证明：如图，连接矩形的对角线、，交于点． ∵四边形是矩形， ∴，，． ∴． ∴点、、、四点在以为圆心，为半径的同一个圆上． 【分析】连接矩形的两条对角线，利用矩形对角线相等且互相平分的性质，推导出四个顶点到对角线交点的距离相等，再根据“到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”的圆的定义，即可证明四点共圆． 解：略 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图所示，在中，，分别是，边上的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 【答案】证明：如图所示，取的中点，连接，． ，是的高， 和都是直角三角形． ，分别为和斜边上的中线， ． ，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上． 【分析】求证，，，四点在同一个圆上，是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明到得中点的距离等于的一半就可以．此题主要考查了确定圆的条件，求证几个点在同一个圆上就是证明这几个点到一个点的距离相等． 解：略 【题型3】圆的半径性质与最值问题 1．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【答案】B 【分析】根据点P在内或外分类讨论，由最长最短距离与圆直径的关系计算半径即可． 解：当点P在外时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴ 的直径为 ，半径为 ． 当点P在内时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴的直径为 ，半径为 ． 因此的半径为或． 2．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系．由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，当点在线段上时，取得最小值，据此求解可得． 解：连接， ， ， ， ， 若要使取得最小值，则需取得最小值， 连接，当点在线段上时，取得最小值， 过点作轴于点， 圆心的坐标为， 则，， ， 又的半径为2， 的最小值为， ， 故选：C 3．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C的坐标为，的半径为2，P为上的一点，轴，垂足为M，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，一次函数与坐标轴的交点问题；设，则，得出，则直线与相切时，求得最小值，即可求解． 解：设，则 ∴ 设，则 ∵点C的坐标为，的半径为2，P为上的一点，轴， 根据勾股定理可得 代入，得， 整理得 当时直线与相切，则取的最小值， ∴ 解得： ∴当切点在点的左侧时，取得最小值， 即的最小值为 故答案为：． 四.中考链接 一、单选题 1．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 【答案】C 【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧． 解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点的运动轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧， 故选：C． 2．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，扇形，点C在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，则，根据等边对等角与三角形内角和定理得到，，根据即可求出的度数． 解：连接，则， ∴， ， ∴． 二、填空题 3．（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为______． 【答案】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，解题的关键是理解设点到圆心的距离为，圆的半径为，若点在圆外，则时，当点在圆上时，则时；当点在圆内时，则． 解：∵点在上， ∴点到圆心的距离为， 故答案为：． 4．（2026·四川巴中·中考真题）如图，是⊙的一条弦，A为圆上一点，，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据题意可得为等边三角形，进而可得，再求即可． 解：，， ，则， 为等边三角形， ， ， ． 三、解答题 5．（2025·河南·中考真题）如图，四边形是平行四边形，以为直径的圆交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若点是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）如图所示， （2）证明：如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，，即， ∴四边形是平行四边形． 【分析】本题主要考查圆的基本性质，尺规作垂线，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）运用尺规作直径的垂直平分线即可； （2）根据平行四边形的性质结合题意得到，，即，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证． （1）解：∵是直径， ∴运用尺规作直径的垂直平分线交于点， ∴点即为所求点的位置； （2）略 6．（2026·江苏徐州·中考真题）在四边形中，如果，，那么四边形叫作筝形． （1）从角、对角线这两个方面进行研究，写出筝形有别于一般四边形的条特殊性质．（无需证明） （2）如图，已知，为筝形的一组邻边．用三种不同的方法将筝形补全；要求：①用无刻度直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】（1）筝形的对角线互相垂直；筝形有一组对角相等 （2），， 【分析】（1）连接、，得到，推出，与关于对称，且点与点为对应点，推出； （2）①连接，作，再在射线上截取，连接，则四边形即为所求；②连接，作点关于的对称点，连接、，则四边形即为所求；③分别以、为圆心，、为半径作圆，两圆交于一点，连接、，则四边形即为所求． （1）解：连接、， ，，， ，与关于对称， ，， 故筝形的两条性质为：筝形的对角线互相垂直；筝形有一组对角相等； （2）略 五.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础巩固 □顺利 □有困难 拓展培优 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 29.1.1 圆的有关概念同步分层作业【基础巩固+拓展培优】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】圆相关概念辨析 2 【题型2】弦、直径、弧概念判断 3 【题型3】点与圆的位置关系简单应用 3 三.拓展培优 4 【题型1】利用半径相等线段计算 4 【题型2】多点共圆证明（教材重点） 5 【题型3】圆的半径性质与最值问题 6 四.中考链接 7 五.自我评价 9 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 请完成下列填空： 1. 在平面内，线段绕固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做______固定的端点叫做____，线段的长度叫做_____；以点O为圆心的圆记作______。圆也可以看成：平面内到________的距离等于________的点的集合。确定圆的两个条件：_______确定圆的位置，________确定圆的大小。 2. 设⊙O半径为r，点P到圆心距离OP=d：点P在圆外 ⇔ ________；点P在圆上 ⇔ ________；点P在圆内 ⇔ ________。 3. 连接圆上任意两点的线段叫作________；经过圆心的弦叫作________，它是圆中最________的弦，长度等于________。 圆上两点间的部分叫做弧；小于半圆的弧叫________，用两个字母表示；大于半圆的弧叫________，必须用________个字母表示；________把圆分成两条半圆。 4. 能够互相重合的圆叫________；在_____________中，能够互相重合的弧叫做等弧。 二.基础巩固 【题型1】圆相关概念辨析 1．（24-25六年级上·黑龙江·阶段检测）下列关于圆的说法中，正确的是（　　） ①两端都在圆上的线段是直径．②圆周率表示圆面积和直径的倍数关系． ③一个圆的两条不同直径相交的点一定是圆心． ④两条同样长的铁丝分别围成圆和正方形，圆的面积大． A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．③④ 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列说法：①一个圆上的各点都在这个圆的圆周上；②以圆心为端点的线段是半径；③同一圆上的点到圆心的距离相等；④半径确定了，圆就确定了其中正确的是（    ） A．①② B．①③④ C．①③ D．②④ 3．（24-25九年级上·河南商丘·期中）早在两千多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圜（这里读yuan），一中同长也”，这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中“定长”指的是______． 4．（24-25八年级上·上海·阶段检测）经过定点，且半径为8厘米的圆的圆心轨迹是________． 【题型2】弦、直径、弧概念判断 1．（25-26九年级上·吉林长春·期中）下列说法中正确的是（   ） A．弦是直径 B．弧是半圆 C．直径是圆中最长的弦 D．半径是弦 2．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）下列命题中错误的有（    ） ①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是一个圆中最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26九年级上·北京·课后作业）下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有_______．（填序号） 4．（25-26九年级上·山东临沂·期中）下列说法中正确的有__（填序号）． （1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧． 【题型3】点与圆的位置关系简单应用 1．（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）在直角坐标平面内，的半径为，圆心的坐标为，试判断点与的位置关系． 2．（2026·北京门头沟·模拟预测）已知点A是数轴上一定点，点B是数轴上一动点，点A表示的实数为，点B所表示的实数为b，作以A为圆心，2为半径的，若点B在外，则b的值可能是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·云南昆明·模拟预测）已知的直径为，若点到点的距离为，则点在________．（填“内”“外”或“上”） 4．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，点O处有一灯塔，警示内部为危险区，一渔船误入危险区点P处，该渔船应该按什么方向航行才能尽快离开危险区？试说明理由． 三.拓展培优 【题型1】利用半径相等线段计算 1．（2026·北京房山·二模）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点．以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方交于点，连接交于点．若，，，则长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，在含的直角三角板中，以点为圆心，为半径作弧，交边于点，，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽安庆·一模）如图，是的直径，点C，D在的异侧，连接，，，若，且，则的度数为__________． 4．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，正方形在半圆内部，顶点在圆上，在直径上． （1）______（填“”“”或“”）； （2）在正方形右侧再作一个小正方形，点在直径上，点在上，点在半圆弧上；若正方形的边长为，求正方形的边长． 【题型2】多点共圆证明（教材重点） 1．（2025九年级上·全国·专题练习）将一副斜边相等的直角三角板按如图所示的方式在平面内拼成一个四边形．A，B，C，D四点在同一个圆上吗？如果在，请写出证明过程；如果不在，请说明理由． 2．（24-25九年级上·山西忻州·阶段检测）如图所示，已知矩形的对角线和相交于点，试判断，，，四个点是否在同一个圆上．如果在，请给予证明；如果不在，请说明理由． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，四边形是矩形．求证：四点在同一个圆上． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图所示，在中，，分别是，边上的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 【题型3】圆的半径性质与最值问题 1．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 2．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C的坐标为，的半径为2，P为上的一点，轴，垂足为M，则的最小值为______． 四.中考链接 一、单选题 1．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 2．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，扇形，点C在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为______． 4．（2026·四川巴中·中考真题）如图，是⊙的一条弦，A为圆上一点，，，则的度数为____________． 三、解答题 5．（2025·河南·中考真题）如图，四边形是平行四边形，以为直径的圆交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若点是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 6．（2026·江苏徐州·中考真题）在四边形中，如果，，那么四边形叫作筝形． （1）从角、对角线这两个方面进行研究，写出筝形有别于一般四边形的条特殊性质．（无需证明） （2）如图，已知，为筝形的一组邻边．用三种不同的方法将筝形补全；要求：①用无刻度直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 五.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础巩固 □顺利 □有困难 拓展培优 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $