精品解析：广西壮族自治区贵港市达开高级中学2026-2027学年高二上学期10月自主检测数学试题

2028届高二（上）数学10月自主检测卷 注意：考试时间120分钟，满分150分，请在答题卡作答． 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. 11 C. 13 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】设，则， 又因为，所以，即 则，，所以 2. 已知函数的值域为集合，不等式的解集为集合，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先算出A集合，再算出B集合，根据并集运算法则计算即可. 【详解】易知函数的值域为 ， 不等式的解集为， 所以 ； 故选:C． 3. 设f(x)是定义域为的奇函数，且最小正周期为2，若 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以. 又因为是定义域为的奇函数，所以， 即. 所以. 4. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 25 【答案】D 【解析】 【详解】由椭圆方程，可知焦点在轴上， ，即， 根据椭圆的定义，点在椭圆上，有， 设，则，， 由基本不等式，代入得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 5. 如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法进行计算. 【详解】由题意，得 ． 故选：D． 6. 直线关于点对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用中心对称的坐标变换关系，将所求直线上点的对称点代入原直线方程，化简即可得到对称直线的方程． 【详解】设所求对称直线上任意一点的坐标为， 则该点关于点的对称点在原直线上， 根据中点坐标公式，可得：， 将代入原直线方程：， 整理得：， 因此所求对称直线方程为． 7. 若圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定圆心到直线的距离，再由题意得到，进而求解即可． 【详解】由圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，所以，解得， 即r的取值范围是． 故选：B． 8. 设，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若最大值为，则椭圆的离心率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图， 根据椭圆的定义，， 所以，当最小时，最大， 又当轴，即为椭圆通径时，最小，为， 此时，所以，所以， 所以，. 二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与的夹角为锐角，则 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A、利用垂直时数量积为0求解；选项B、由两向量平行，对应坐标成比例算出，该选项判断错误；选项C、利用投影向量公式验证成立；选项D、根据夹角为锐角时，数量积大于0求范围． 【详解】选项A，若，则， 代入坐标得，解得，选项A正确； 选项B，若，则存在实数使得，即， 解得，选项B错误； 选项C，在上的投影向量为，即， 因为，，所以，， ，整理得，解得或，选项C错误； 选项D，若与的夹角为锐角，则，且两向量不共线， 由，得，由选项B知，两向量共线时，不在的范围内， 故，选项D正确． 10. 已知，是椭圆的两个焦点，过的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 存在点A使得 C. 若，则 D. 面积的最大值为12 【答案】BD 【解析】 【分析】根据离心率的公式即可判断A；设，根据向量的数量积即可判断B；根据椭圆的定义可判断C；由点在左右顶点时，面积的最大值，可判断D. 【详解】由，则，，，焦点在轴上， ，， 对于A，离心率，故A错误； 对于B，设，， ，若，则, 即，解得， 故存在点A使得，故B正确； 对于C，在中，， 若，则，但，故C错误； 对于D，当点在左右顶点时，面积的最大值， 即. 故选：BD 11. 已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 过点作曲线的切线，则切线方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，找出圆心和半径，A、B、C三个选项分别利用“圆上点到定点距离”、“两点连线斜率”、“截距”的几何意义，结合圆心到直线距离公式求解；D选项利用“点在圆上，切线与半径垂直”的性质求出切线方程． 【详解】因为， 所以圆C的圆心，半径为. 对于A项，表示圆上的点到定点距离的平方，如图所示，    所以的最大值为， 故A项错误； 对于B项，表示圆上的点与点的连线的斜率，如图所示，    设，即，由题意直线与圆C有公共点， 故圆心到直线的距离， 解得，所以的最大值为，故B项正确； 对于选项C：设，则直线方程为， 当直线与圆C有公共点时，圆心到直线的距离 ，即， 即，解得，所以的最小值为，故C错误； 对于D项，设过点作曲线C的切线，则其斜率存在，故可设切线方程为， 由圆心到直线的距离可得，解得， 所以切线方程为，即，故D项正确； 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线过点，且与轴正半轴、轴正半轴分别交于，两点，若面积为12，则直线的方程为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】由直线的截距式方程列式求解，再化为一般式即可. 【详解】设直线方程为：， 所以， 因为，所以， 解得， 所以，即. 13. 已知直线过点，则被圆截得的弦长最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定圆的圆心与半径，判断点在圆内，明确过圆内一点的最短弦为与该点和圆心连线垂直的弦，结合两点间距离公式与弦长公式求解即可. 【详解】由圆的方程可知，圆心，半径. ∵ ，∴ 点在圆内部. ∵ 过圆内一点的弦中，当直线与点和圆心的连线垂直时，圆心到直线的距离最大，此时弦长最小， ∴ 此时圆心到直线的最大距离， ∴ 最短弦长为. 14. 焦点在x轴上的椭圆，离心率为，点分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任一点，则的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，从而得，设，根据向量的数量积运算即可求得的取值范围. 【详解】由椭圆的焦点在x轴上，得， 由，解得， 所以椭圆的方程为，则. 设， 则 ， 由可得， 则的取值范围为. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线：与椭圆相交于，两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件确定的值，确定椭圆方程. （2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求出，再利用求的面积即可. 【小问1详解】 由题知，，则， 又因为， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 由题意知，直线过右焦点，如图，作出符合题意的图形， 设，，联立， 消去得，所以由韦达定理得，， 则由弦长公式得， 所以的面积． 16. 已知圆过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若倾斜角为的直线与圆交于两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据圆心在直线上，设，设圆半径为，根据求解；（2）设直线的方程为，根据△是等腰直角三角形求出，利用求出，再根据求出. 【小问1详解】 ∵圆心在直线上，设，设圆半径为，则， ∴，化简展开得，解得， ∴，半径，∴圆的方程为：． 【小问2详解】 ∵直线的倾斜角为，∴直线的斜率，设直线的方程为， ∴，则△是等腰直角三角形，∴， 由弦长公式得，解得， 圆心到直线的距离：，解得或 ， ∴直线的方程为或． 17. 某公司举办乒乓球比赛，比赛采取5局3胜制（先赢3局者获胜），已知在甲、乙两人的比赛中，每局比赛甲获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立． （1）求前2局中，甲、乙各获胜1局的概率； （2）求第1局甲获胜且第4局乙获胜的概率； （3）求甲、乙比赛结束时所用局数不大于4的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知每局比赛乙获胜的概率为，记事件“第i局比赛甲获胜”，事件“第i局比赛乙获胜”，事件“前2局中，甲、乙各获胜1局”，由求解即可； （2）记事件“第1局甲获胜且第4局乙获胜”，则，由此求解即可； （3）记为甲、乙比赛结束时，只进行i（）局比赛的概率，分进行3局比赛和4局比赛两种情况求解即可. 【小问1详解】 由题意知：每局比赛乙获胜的概率为； 记事件“第i局比赛甲获胜”，事件“第i局比赛乙获胜”， 事件“前2局中，甲、乙各获胜1局”， 则， ． 【小问2详解】 记事件“第1局甲获胜且第4局乙获胜”， 则， ． 【小问3详解】 记为甲、乙比赛结束时，只进行i（）局比赛的概率， ∵只进行三局比赛的结果为，， ； ∵只进行四局比赛且甲获胜的结果为：，，， 只进行四局比赛且乙获胜的结果为：，，， ； ∴甲、乙比赛结束时所用局数不大于4的概率为． 18. 如图，四棱锥中，平面，，点在线段上，且． （1）求证． （2）若，，，，， ①求平面与平面的夹角； ②在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，确定位置． 【答案】（1）平面，平面，. 又，，. ，且平面，平面，平面. 又平面，. （2）①；②存在，中点 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理得到平面，利用线面垂直的定义得到结论. （2）①空间向量法求解，根据求出的坐标，求出平面和平面的法向量，利用向量的数量积公式求解；②设在棱上，根据，求出，利用向量的数量积求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①以为原点，分别以、、的方向为、、轴正方向， 建立空间直角坐标系， 由，，，得， ，、两点坐标相同， 设，则， ， ，， ， 解得，解得， 在线段上，，故，即， ， 平面的法向量为， 设平面的法向量为， ， 则，即，即， 解得，取，则，则， 设平面与平面的夹角为 ， 则，则. ②设在棱上，令，其中， ，， 则，， 设与平面所成的角为， 则， 因为，， 因为，所以， 则有，解得， 即，即， 解得，即，（舍去）， 因为，所以存在这样的点， 且，即， 即为棱的中点. 19. 已知椭圆：，且焦点在轴上，过点 （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长． 【答案】（1）. （2）直线的方程为或,弦长. 【解析】 【分析】（1）由椭圆焦点在轴上得,将点代入方程求. （2）设,联立椭圆方程,由韦达定理表示,利用求,再求弦长. 【小问1详解】 椭圆的焦点在轴上,所以. 将点代入方程,得,即,所以. 因此椭圆的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时,与椭圆交于,此时共线,,不合题意. 设,交点为. 将代入,整理得. 由韦达定理得. 又,所以. 由得,于是. 代入韦达定理的结果,得,即. 令,得,即,所以,即. 因此或,此时， 直线的方程为或. 弦长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高二（上）数学10月自主检测卷 注意：考试时间120分钟，满分150分，请在答题卡作答． 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. 11 C. 13 D. 5 2. 已知函数的值域为集合，不等式的解集为集合，则 A. B. C. D. 3. 设f(x)是定义域为的奇函数，且最小正周期为2，若 则 （ ） A. B. C. D. 4. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 25 5. 如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 直线关于点对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若最大值为，则椭圆的离心率为（ ）． A. B. C. D. 二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与的夹角为锐角，则 10. 已知，是椭圆的两个焦点，过的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 存在点A使得 C. 若，则 D. 面积的最大值为12 11. 已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 过点作曲线的切线，则切线方程为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线过点，且与轴正半轴、轴正半轴分别交于，两点，若面积为12，则直线的方程为_________________． 13. 已知直线过点，则被圆截得的弦长最小值为_________． 14. 焦点在x轴上的椭圆，离心率为，点分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任一点，则的取值范围为______ 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线：与椭圆相交于，两点，求的面积． 16. 已知圆过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若倾斜角为的直线与圆交于两点，且，求直线的方程． 17. 某公司举办乒乓球比赛，比赛采取5局3胜制（先赢3局者获胜），已知在甲、乙两人的比赛中，每局比赛甲获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立． （1）求前2局中，甲、乙各获胜1局的概率； （2）求第1局甲获胜且第4局乙获胜的概率； （3）求甲、乙比赛结束时所用局数不大于4的概率． 18. 如图，四棱锥中，平面，，点在线段上，且． （1）求证． （2）若，，，，， ①求平面与平面的夹角； ②在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，确定位置． 19. 已知椭圆：，且焦点在轴上，过点 （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $