广西壮族自治区钦州市灵山县新洲中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

2026年秋季学期高二年级10月份月考 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（） A. B. C. D. 2.若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a等于(　　) A. B.－ C.1 D.－1 3.平面几何中有定理：已知四边形的对角线与相交于点，且，过点分别作边，，，的垂线，垂足分别为，，，，则，，，在同一个圆上，记该圆为圆.若在此定理中，直线，，的方程分别为，，，点，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4.圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则实数m的值为(　　) A.2 B.－5 C.2或－5 D.不确定 5.若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是（） A.或 B. C. D. 6.已知直线l上两点A，B的坐标分别为(3,5)，(a，2)，且直线l与直线3x＋4y－5＝0垂直，则|AB|的值为(　　) A. B. C. D.5 7.已知是圆的直径，是圆上两点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8.已知直线l的方向向量，平面α的一个法向量为，则直线l与平面α所成的角为（　　） A.120°   B.60°   C.30°   D.150° 2、 多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9.如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线平面 C. 当时， D. 直线与平面所成角的正弦值为 10.已知棱长为1的正方体，空间内的动点满足，其中，，，且到棱的距离和到平面的距离相等，则（） A.当时，的轨迹长度为 B.当时，四面体的体积为定值 C.存在点，使得 D.直线与平面所成角的正弦值最大为 11.已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以下几个命题正确的有(　　) A.直线l恒过定点(3,1) B.圆C被y轴截得的弦长为4 C.直线l与圆C恒相离 D.直线l被圆C截得最短弦长时，直线l的方程为2x－y－5＝0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.点P(－1，2)到直线2x＋y－10＝0的距离为                  . 13.直线2x－y＋1＝0与2x－y＋6＝0之间的距离为                  . 14.设动点在棱长为的正方体的对角线上，记.当为钝角时，则的取值范围是                  ． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离． 16.如图，在三棱锥中，是二面角的平面角． (1)证明：； (2)已知，，，若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值． 17.如图，已知正方体的棱长为，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18.如图所示，线段AB为圆锥SO的底面圆的直径，C为底面圆周上异于A，B的动点，点P为AC的中点. （1） 证明：平面平面SOP （2）若，圆锥SO的母线与底面圆所成的角为60°，求三棱锥的体积最大时，平面SOP与平面SBC所成的锐二面角的余弦值 19.如图，正方形中，边长为为中点，是边上的动点，将分别沿着折起，使两点重合于点. (1)求证：； (2)当是边的中点时，将分别沿着折起，使三点重合于点，求三棱锥的外接球的表面积； (3)，若，设直线与平面所成角为，求的最大值. 答案解析 一、单选题 1.C 2.A 3.B 4.C 5.C 6.B 7.D 8.C 二、多选题 9.AD 10.ABD 11.ABD【 三、填空题 12.2 13. 14. 四、解答题 15.解　因为AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1,0,0)， 所以＝(1,2，－3)． 取a＝＝(0,2,0)，u＝＝，则a2＝4，a·u＝， 所以点B到直线A′C的距离为＝＝. 16. (1)证明：由是二面角的平面角，得，，又，平面， 故平面. 因为平面， 所以. (2)解：取中点，连接，， 由是中点得， 故为异面直线与所成的角（或其补角）. 由平面得，结合，，，得，，， 化简得，，. 在中， 由余弦定理得. 17. 解：(1)以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为正方体的棱长为，是的中点， 所以、、、、、、， ，. 设平面的法向量为，由， 令，则，，所以. 因为，所以， 因为平面，所以平面； (2)由(1)知，平面的法向量. 又平面的法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. （1）证明：由圆锥的性质可知平面 又因为平面， 所以， 在圆锥底面圆中，为中点，OA=OC 所以， 又因为，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2）解：当三棱锥的体积最大时， 此时到的距离最大且， 因为圆锥SO的母线与底面圆所成的角为60°， 所以，是等边三角形， ，则． 以为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， 由（1）知是平面的一个法向量， ，，平面的一个法向量是， 则，取，则， 设平面SOP与平面SBC所成的锐二面角为， 则． 19. (1)证明：正方形中，，翻折后得. 因为平面，所以平面， 又平面，故. (2)解：正方形中，，翻折后得， 结合，故两两垂直. 三棱锥的外接球与以为棱的长方体外接球相同， 直径，得， 故外接球表面积. (3)解：设，点到平面的距离为， 得. 计算得， 从而，可得， . 由(1)得平面，故， 结合，得，解得. 由线面角定义得， 函数在上单调递减， 故，从而，故的最大值为. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $