精品解析：广西壮族自治区来宾市第一中学2026-2027学年高二上学期10月自主检测数学试题

来宾一中2028届高二（上）数学10月自主检测 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 若圆的一条直径的端点是，，则此圆的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆C：经过点，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列结论正确的是（ ） A. 零向量是任意直线的方向向量 B. 方向相同且模相等的两个向量是相等向量 C. 空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底 D. 任意两个非零空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 10. 已知椭圆E：的上顶点为M，左、右焦点分别为，，则（ ） A. 长轴长为4 B. C. 离心率为 D. 的周长为6 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的一个对称中心为 C. 在区间内单调递增 D. 将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 三、填空题 12. 计算：_______． 13. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别是，过的直线与椭圆交于两点．若，则该椭圆的离心率为_____． 四、解答题 15. 已知斜率为,经过点的直线l，交圆于两点． （1）求直线l的方程； （2）求AB的长度． 16. 某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数； （3）试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数． 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由． 19. 已知椭圆：过点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，若点为线段的中点，求直线的方程； （3）过点的直线与椭圆交于，两点，若原点总在以为直径的圆内，求直线斜率的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 来宾一中2028届高二（上）数学10月自主检测 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知集合，，则 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对分母实数化：，再根据复数模的公式得. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题知，， 由，可得， 得到，解得. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用余弦二倍角公式，代入已知的的值计算即可求解. 【详解】因为，所以 ， 因此. 5. 若圆的一条直径的端点是，，则此圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由已知，圆心为直径端点，的中点， 圆心坐标：， 半径， 圆的标准方程为， 即. 6. 已知椭圆C：经过点，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知椭圆C：经过点， 则，解得， ， ． 7. 若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据椭圆定义和余弦定理求出，再根据面积公式求出答案. 【详解】因为椭圆方程为，，. 根据椭圆的定义，对于椭圆上的任意一点有： ，. 因为，在中使用余弦定理有：. . 即，. . 故选：B 8. 已知圆，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接由题意可得：，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由求得，则点的轨迹方程可求. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为8． 依题意知：， 点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，，， 所求点的轨迹方程为． 二、多选题 9. 下列结论正确的是（ ） A. 零向量是任意直线的方向向量 B. 方向相同且模相等的两个向量是相等向量 C. 空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底 D. 任意两个非零空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查空间向量的基础概念，结合直线方向向量、相等向量、空间向量基底、空间向量共面的定义逐一判断各选项即可. 【详解】选项A：直线的方向向量定义为与直线平行的非零向量，零向量不能作为直线的方向向量，A错误； 选项B：相等向量的定义就是方向相同且模相等的向量，与向量起点位置无关，B正确； 选项C：空间中只有三个不共面的向量才能构成空间的一个基底，共面的三个向量无法作为基底，C错误； 选项D：任意两个空间向量都可以通过平移使起点重合，两个共起点的向量可确定唯一平面，因此可转化为同一平面内的向量，非零向量也满足该性质，D正确. 10. 已知椭圆E：的上顶点为M，左、右焦点分别为，，则（ ） A. 长轴长为4 B. C. 离心率为 D. 的周长为6 【答案】ABD 【解析】 【详解】椭圆中，，， 则，焦点，，上顶点， 选项A：长轴长，故A正确； 选项B：，故B正确； 选项C：离心率，故C错误； 选项D：的周长为，故D正确． 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的一个对称中心为 C. 在区间内单调递增 D. 将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】辅助角公式化简函数，根据三角函数的基本性质即可求解. 【详解】因为， A选项，的最小正周期为，故A选项正确； B选项，，故B选项错误； C选项，因为，则， 所以函数在区间内单调递增，故C选项正确； D选项，将函数的图象上所有点向右平移个单位长度得，的图象，故D选项正确； 故选：ACD 三、填空题 12. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】运用对数的运算公式进行求解即可. 【详解】. 故答案为： 13. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以， 解得. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别是，过的直线与椭圆交于两点．若，则该椭圆的离心率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆定义，都用表示，由，构造齐次式即可求解. 【详解】 依题得，，又， 则，， 则， 则， 即， 则，则， 即. 四、解答题 15. 已知斜率为,经过点的直线l，交圆于两点． （1）求直线l的方程； （2）求AB的长度． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【小问1详解】 由题可设直线的点斜式，整理得直线. 【小问2详解】 由题可知，圆的圆心，半径， 又因为圆心到直线的距离， 所以弦长. 16. 某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数； （3）试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数． 【答案】（1） （2） （3）15.3125 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中频率之和为1可求得的值. （2）首先求出该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率，从而求得人数. （3）根据中位数的概念即可求出该单位职工参与志愿服务次数的中位数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，解得． 【小问2详解】 由图可知该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率为， 则该单位参加志愿服务次数不低于15次的人数为． 【小问3详解】 因为， 所以该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值在内． 设该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为，则， 解得，即该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为15.3125． 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【小问1详解】 由题意得， 由正弦定理得， 由两角和的正弦公式得， 可得，即， 在中，可得，得到， 又因为，所以. 【小问2详解】 由三角形面积公式得， 解得，由余弦定理得， 化简得，而，， 故的周长为 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接，点是的中点，点是的中点， 所以，平面，平面，所以平面. （2） （3）存在，的长为或 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角. （3）假设在棱上存在一点使得，且，即可求出，利用向量的夹角公式列出关于的方程求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 以为坐标原点，以，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，所以，. 设平面的法向量， 则，令，则，， 所以平面的法向量， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 所以， 即平面与平面夹角的正弦值为. 【小问3详解】 由题，，，， 则，， 假设存在这样的点，设， 则， 由（2）知平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则， 整理得，所以，解得或， 当时，；当时，， 故存在一点满足条件，线段的长为或. 19. 已知椭圆：过点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，若点为线段的中点，求直线的方程； （3）过点的直线与椭圆交于，两点，若原点总在以为直径的圆内，求直线斜率的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目所给信息以及之间的关系，列出等式求解即可； （2）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出斜率的值，进而可解； （3）先考虑斜率不存在的情况，不符合条件；进而设直线的方程为，，联立方程，结合韦达定理，求解即可. 【小问1详解】 因为椭圆过点，离心率为， 所以，解得， 所以，椭圆的方程为； 【小问2详解】 易知直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立，消去并整理得 ， 由韦达定理得， 若点为线段的中点，此时，解得， 将代入判别式，满足题意； 所以，直线的方程为，即； 【小问3详解】 斜率不存在的情况：直线，代入椭圆得交点， 此时，原点在以为直径的圆外，不符合条件； 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，， 联立方程，整理得 所以， 因为原点在以为直径的圆内，所以， 整理得： 进一步整理得：，解得 综上，直线斜率的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $