14.3 角的平分线（第2课时 判定）课件-2026-2027学年人教版八年级数学上册

14.3 角的平分线 第2课时　角的平分线的判定 人教版　八年级数学上册 O A B P D E 本课 1 课时（45 分钟）。课前准备：直尺、三角板、量角器。 1 学习目标 ｜重点　难点 14.3 角的平分线（第2课时） 1．经历“交换题设和结论—画图验证—证明”的过程，掌握角的平分线的判定． 2．知道在角的内部，角的平分线可以看成到角两边距离相等的点的集合． 3．会证明三角形的三条角平分线交于一点，并能用于求角度、距离和面积． 重点：角的平分线的判定及其应用． 难点：判定的证明；在三角形中综合运用性质和判定． 用时 1 分钟。 2 情境导入 ｜选址 14.3 角的平分线（第2课时） 两条公路 OA，OB 相交于点 O．要在∠AOB 的内部建一个货站，使它到两条公路的距离相等． 想一想：货站可以建在哪里？这样的位置有几个？ 先猜一猜，学完本课再回答． O A B 示意图 学生自由猜想 1 分钟，多数会想到“角的平分线”，追问“为什么？依据是什么？”，引出本课。答案在第12页揭晓。 3 复习回顾 ｜角的平分线的性质 14.3 角的平分线（第2课时） 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等． 几何语言：∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD＝PE． 想一想：这个性质的题设是什么？结论是什么？ 题设：一个点在角的平分线上． 结论：这个点到角两边的距离相等． O A B P D E C 图14.3-5（示意） 性质原句见教材 P49。用时 1 分钟。 4 探究新知 ｜反过来想 14.3 角的平分线（第2课时） 教材 P50 提出：交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？ 也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？ 议一议：交换后的命题怎样叙述？ 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上． 问句出自教材 P50。先让学生口头说，再出现答案。用时 1 分钟。 5 探究新知 ｜画一画 14.3 角的平分线（第2课时） 如图，在∠AOB 的内部取一点 P，作 PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，使 PD＝PE． 连接 OP，量一量∠AOP 和∠BOP，你有什么发现？ ∠AOP＝∠BOP，点 P 在∠AOB 的平分线上． 想一想：如果点 P 在∠AOB 的外部呢？ 点 P 在角的外部时，不能说它在这个角的平分线上．所以要强调“在角的内部”． O A B P D E 学生用量角器量，允许 1° 误差。用时 2 分钟。 6 知识点1 ｜已知　求证 14.3 角的平分线（第2课时） 已知：如图，点 P 在∠AOB 的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，且 PD＝PE． 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上． 分析：连接 OP，只要证明∠AOP＝∠BOP． OP 是 Rt△PDO 和 Rt△PEO 的公共斜边，又 PD＝PE，可以用“HL”． O A B P D E 教材 P51 旁注“按照证明命题的步骤，自己证明这个结论”。先让学生说已知、求证。用时 2 分钟。 7 知识点1 ｜证明 14.3 角的平分线（第2课时） 证明：连接 OP． ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°． 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，OP＝OP，PD＝PE， ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）． ∴ ∠DOP＝∠EOP，即∠AOP＝∠BOP． ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上． O A B P D E 书写时“在 Rt△…和 Rt△…中”后用大括号写两组条件，这里横排。用时 3 分钟。 8 知识点1 ｜角的平分线的判定 14.3 角的平分线（第2课时） 教材 P51：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 几何语言：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上（OP 平分∠AOB）． 特别解读　用判定时，要说明三点：点在角的内部；PD，PE 都是垂线段；PD＝PE． O A B P D E 判定用来证明“角相等”或“射线是角平分线”，不用再证全等。用时 2 分钟。 9 知识点1 ｜性质与判定 14.3 角的平分线（第2课时） 从上面两个结论可以看出： 性质 判定 题设 点在角的平分线上 点在角的内部，且到角两边的距离相等 结论 点到角两边的距离相等 点在角的平分线上 作用 证线段相等 证角相等 两个命题的题设和结论正好互换． 让学生对比口述。用时 1 分钟。 10 跟踪训练 ｜辨一辨 14.3 角的平分线（第2课时） 判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）点 P 在∠AOB 的内部，PD＝PE，D，E 分别在 OA，OB 上，则 OP 平分∠AOB． ×　PD，PE 不一定是垂线段． （2）点 P 在∠AOB 的内部，点 P 到 OA，OB 的距离都是 2 cm，则 OP 平分∠AOB． √ （3）到∠AOB 两边所在直线距离相等的点，都在∠AOB 的平分线上． ×　点也可能在∠AOB 的外部． 每题请学生说理由。用时 2 分钟。 11 知识点2 ｜点的集合 14.3 角的平分线（第2课时） 教材 P51：在角的内部，角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合． 回到情境：货站应建在哪里？ 作∠AOB 的平分线 OC，货站建在射线 OC 上（点 O 除外）任意一处都可以，有无数个位置． O A B C P₁ P₂ 如果题目再要求“到某个村庄最近”等条件，位置才唯一。用时 1 分钟。 12 例1 ｜教材 P51 例（图14.3-6） 14.3 角的平分线（第2课时） 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P．求证： （1）点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等； （2）△ABC 的三条角平分线交于一点． 分析：（2）要证三条角平分线交于一点，只要证点 P 也在∠A 的平分线上． A B C M N P D E F 图14.3-6（示意） 例题与分析均来自教材 P51。用时 1 分钟。 13 例1 ｜证明（1） 14.3 角的平分线（第2课时） 证明：（1）过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为 D，E，F． ∵ BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上， ∴ PD＝PE． 同理　PE＝PF． ∴ PD＝PE＝PF． 即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等． A B C M N P D E F 图14.3-6（示意） PD＝PE 用的是上节课的性质。“同理”指 CN 是角平分线、点 P 在 CN 上。用时 2 分钟。 14 例1 ｜证明（2） 14.3 角的平分线（第2课时） （2）由（1）得，点 P 到边 AB，CA 的距离相等， ∴ 点 P 在∠A 的平分线上． ∴ △ABC 的三条角平分线交于一点． 特别解读　这个交点在三角形的内部，它到三角形三边的距离相等． A B C M N P D E F 图14.3-6（示意） （1）用性质，（2）用判定，一道题里两个结论都用到。用时 2 分钟。 15 跟踪训练 ｜教材 P51 练习第1题 14.3 角的平分线（第2课时） 如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为 B，E，AB＝CE，AB，CE 相交于点 F，连接 DF．求证：FD 平分∠BFE． 证明：∵ AB⊥CD，CE⊥AD，∴ ∠ABD＝∠CED＝90°． 又∠D＝∠D（公共角），AB＝CE，∴ △ABD≌△CED（AAS），∴ BD＝ED． ∵ DB⊥FB，DE⊥FE，BD＝ED，∴ FD 平分∠BFE． A B C D E F 关键是先由全等得 BD＝ED，再看点 D 到∠BFE 两边的距离。用时 3 分钟。 16 跟踪训练 ｜教材 P51 练习第2题 14.3 角的平分线（第2课时） 如图，已知△ABC，BF 是△ABC 的外角∠CBD 的平分线，CG 是△ABC 的外角∠BCE 的平分线，BF，CG 相交于点 P．求证：（1）点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等；（2）点 P 在∠A 的平分线上． （1）作 PM⊥AD，PN⊥BC，PQ⊥AE．由 BF 平分∠CBD 得 PM＝PN，由 CG 平分∠BCE 得 PN＝PQ，∴ PM＝PN＝PQ． （2）∵ PM＝PQ，∴ 点 P 在∠A 的平分线上． A B C D E F G P M N Q 题目在教材 P51–52。“所在直线”是因为点 P 在三角形外部。用时 3 分钟。 17 例2 14.3 角的平分线（第2课时） 如图，点 P 在∠AOB 的内部，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，PD＝PE，∠AOB＝70°．求∠BOP 和∠OPE 的度数． 解：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE， ∴ OP 平分∠AOB， ∵ ∠PEO＝90°，∴ ∠OPE＝90°－35°＝55°． O A B P D E 第一步直接用判定，不必再证全等。用时 3 分钟。 18 例3 14.3 角的平分线（第2课时） 如图，△ABC 的三条角平分线交于点 P，PD⊥BC 于点 D，PD＝4，△ABC 的周长为 42．求△ABC 的面积． 解：过点 P 作 PE⊥AB 于点 E，PF⊥CA 于点 F，连接 PA，PB，PC．由例1，PE＝PF＝PD＝4． S△ABC＝S△PAB＋S△PBC＋S△PCA A B C P D E F 验算：周长 42、内心到三边距离 4，面积为 4×42＝168 的一半，即 84。用时 3 分钟。 19 跟踪训练 ｜算一算 14.3 角的平分线（第2课时） 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，△ABC 的三条角平分线交于点 P．求点 P 到 AB 的距离． 解：设点 P 到三边的距离都为 h． ＝12h，∴ h＝2． 即点 P 到 AB 的距离为 2． A B C P Q 这是例3的逆用，面积相等列方程。用时 2 分钟。 20 当堂达标 ｜第1题 14.3 角的平分线（第2课时） 在△ABC 内部，到三边距离相等的点是（　） A．三条中线的交点　　B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点　　D．一条中线和一条高的交点 答案：C 依据例1。用时 1 分钟。 21 当堂达标 ｜第2题 14.3 角的平分线（第2课时） 如图，点 P 在∠AOB 的内部，PC⊥OA 于点 C，PD⊥OB 于点 D，PC＝PD．若∠AOP＝28°，则∠AOB＝______°，∠OPD＝______°． 答案：56；62 O A B P C D 由判定 OP 平分∠AOB，∠AOB＝2×28°＝56°，∠BOP＝28°，∠OPD＝90°－28°＝62°。用时 1 分钟。 22 当堂达标 ｜第3题 14.3 角的平分线（第2课时） 如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，且 BE＝CF．求证：AD 平分∠BAC． 证明：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∴ ∠BED＝∠CFD＝90°． 在 Rt△BED 和 Rt△CFD 中，BD＝CD，BE＝CF，∴ Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴ DE＝DF． 又 DE⊥AB，DF⊥AC，∴ AD 平分∠BAC． A B C D E F 先证全等得 DE＝DF，再用判定。用时 3 分钟。 23 当堂达标 ｜第4题 14.3 角的平分线（第2课时） 如图，三条公路两两相交，围成△ABC．要建一个货站，使它到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（　） A．1 处　　　　B．2 处 C．3 处　　　　D．4 处 答案：D 三角形内部 1 处（三条角平分线的交点）；外部 3 处（两个外角平分线的交点，如练习第2题中的点 P）． A B C 用时 2 分钟。 24 课堂小结 14.3 角的平分线（第2课时） 1．角的平分线的判定是什么？使用时要注意什么？ 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上；点要在角的内部，两条线段要是垂线段． 2．角的平分线的性质与判定有什么关系？ 题设和结论互换；性质用来证线段相等，判定用来证角相等． 3．三角形的三条角平分线有什么关系？ 交于一点，这个点到三角形三边的距离相等． 请学生先回答再出现。用时 2 分钟。 25 布置作业 14.3 角的平分线（第2课时） 必做：教材 P52 习题14.3 第1，2，3题． 选做：教材 P53 习题14.3 第8题． 备注（答案要点）： 第1题：∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ DE＝DF；又 BD＝CD，∴ Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴ EB＝FC。 第2题：∵ BD⊥AC，CE⊥AB，∴ ∠ADB＝∠AEC＝90°；又∠BAD＝∠CAE，AB＝AC，∴ △ABD≌△ACE（AAS），AD＝AE；又 AF＝AF，∴ Rt△AEF≌Rt△ADF（HL），∠AFE＝∠AFD，FA 平分∠DFE。 第3题：∠BDO＝∠CEO＝90°，∠BOD＝∠COE，OB＝OC，∴ △BOD≌△COE（AAS），OD＝OE；又 OD⊥AB，OE⊥AC，∴ 点 O 在∠BAC 的平分线上，∠1＝∠2。 第8题：过点 E 作 EF⊥AD 于 F。∵ DE 平分∠ADC，EC⊥DC，EF⊥AD，∴ EF＝EC；∵ E 是 BC 中点，∴ EC＝EB，EF＝EB；又 EB⊥AB，∴ AE 平分∠DAB。 26 $