北京市丰台区第二中学北校区2026-2027学年人教版八年级上学期期中考试数学模拟试卷

北京市丰台区第二中学北校区2026-2027学年八年级上学期期中考试数学模拟试卷 （卷面总分100分 考试用时120分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 2 分，共16分） 1．以下微信图标中不是轴对称图形的是(  ) A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念求解，看图形是不是关于直线对称. 【详解】解：A、是轴对称图形； B、是轴对称图形； C、是轴对称图形； D、不是轴对称图形. 【点睛】本题主要考查轴对称的概念，轴对称关键是寻找对称轴，两边图像沿对称轴折叠可重合. 2．下列运算正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的乘方与积的乘方、合并同类项的运算法则进行逐一计算即可. 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、应为，故本选项错误； C、，正确； D、，故本选项错误． 故选C． 【点睛】（1）本题综合考查了整式运算的多个考点，包括合并同类项，积的乘方、单项式的乘法，需要熟练掌握性质和法则；（2）同类项的概念是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项，不是同类项的一定不能合并． 3．能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的线段是这个三角形的（   ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．垂线 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解决此题的关键．观察各选项可知，只有三角形的中线把三角形分成等底同高的两个三角形，再根据三角形的面积公式，即可得解． 【详解】解：∵三角形的中线把三角形分成的两个三角形，底边相等，高是同一条高， ∴分成的两三角形的面积相等， 故选：B． 4．三角形的两边长分别是9、17，则此三角形第三边的长不可能是（    ） A．15 B．21 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据三角形三边的关系进行求解即可． 【详解】解；设此三角形第三边长为x， ∵三角形的两边长分别是9、17， ∴， ∴， 观察四个选项，此三角形的第三边的长不可能是8， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 5．小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，作边上的高即过点向边引垂线，垂足为即可． 【详解】解：由题意，作图正确的是： 故选D． 6．等腰三角形的一个角是，则其中一个底角的度数为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形性质及三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．等腰三角形有两个相等的底角，给定角不能是底角（否则内角和超过），因此是顶角，由此确定底角度数． 【详解】解：∵等腰三角形两底角相等，设底角为， ∵三角形内角和为， ∴若为顶角， 则， ； 若为底角，则另一底角也为， 则顶角为，不成立； ∴必为顶角，底角为 故选：A． 7．图，某物流公司计划在一条笔直的道路l上新设两个物流转运点P，Q，两转运点的间距固定为a（即）．无人驾驶物流车每天从起点A出发，先到转运点P取物品，然后沿道路l到转运点Q取物品，最后送到道路另一侧的快递驿站B．为节能提效，物流公司希望无人驾驶物流车所走的总路程最短．下列四种关于转运点P，Q位置的设计方案中，符合物流公司要求的是（     ） A．于点 B．于点 C．且，交于点 D．交于点 【答案】C 【分析】根据若使总路程最短，其中的长度不变，则只需最小即可，将与转化为首尾衔接的路径，由此求解即可． 【详解】解：当且， 则有四边形为平行四边形， ∴， 当点，点Q，点B，三点共线时，最小， 即符合物流公司要求的是： 8．如图，点在的延长线上，交于点且，比的余角大为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．有下列结论：①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的序号是（   ） A．①②③④⑤ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①② 【答案】C 【分析】根据平行线的判定即可判断；根据平行线的判定和性质，证明即可；根据，得出，证明，得出平分即可；根据，得出，根据比的余角大，求出，根据，，得出，即可证明④错误；根据为的平分线，得出，根据，得出，即可求出． 【详解】解：①∵， ∴，结论①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴，结论②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分，结论③正确； ④∵， ∴， ∵比的余角大， ∴， ∵，， ∴，结论④错误； ⑤∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，结论⑤正确． 综上所述：正确的结论有①②③⑤． 二、填空题（每题 2 分，共16分） 9．港珠澳大桥全长约为55千米，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥． 如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________． 【答案】稳定性 【详解】解：∵斜拉索桥、索塔、斜拉索、桥面构成了三角形， ∴运用的数学原理是三角形的稳定性． 10．点的坐标为，点关于轴的对称点为点，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据关于x轴对称横坐标不变纵坐标互为相反数即可得解； 【详解】∵点的坐标为， ∴关于轴的对称点为点 ； 故答案是． 【点睛】本题主要考查了关于x轴对称点的坐标，准确计算是解题的关键． 11．命题“边数相等的两个正多边形一定相似”的逆命题是_______． 【答案】两个相似的正多边形的边数一定相等 【分析】本题考查的是命题和定理．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】解：命题“边数相等的两个正多边形一定相似”的逆命题是两个相似的正多边形的边数一定相等， 故答案为：两个相似的正多边形的边数一定相等． 12．如图，点，，，在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．根据题目给出的条件，可以用、、证明，所以补充的条件不唯一，写出一个即可． 【详解】解：∵，． ∴当添加时，根据“”可判断； 当添加时，根据“”可判断； 当添加时，根据“”可判断；等等． 故答案为：（答案不唯一）． 13．如图，射线是的角平分线，点为射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积为 _______． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于， ∵射线是的角平分线，， ， ， 故答案为：． 14．某数学兴趣小组的同学打算测量一个小口圆形容器内径时遇到了困难，小组同学们借用学习过的三角形全等的知识合作制作了特制工具测量器．如图所示，将等长的钢条和的中点焊接在一起，制作了一把“形卡钳”．根据“形卡钳”的制作原理能判断，从而测量出的长就等于内径的长．请写出的理由：______．    【答案】 【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．根据全等三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：∵，O是的中点， ∴， 在和中， ， ， 故选：． 15．如图，点、在的边上，，．若，则______． 【答案】/111度 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形的外角性质．由等边对等角求得，，根据三角形内角和定理和三角形的外角性质求得，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 16．如图，等腰中，，，以为底边作等腰，，与交于E，将沿折叠，点B落到点处，连接刚好经过点，连接，分别交于，交于H．在下列结论中：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤．其中正确的结论有_____．（填写所有正确的序号）． 【答案】②③④ 【分析】由题意可知，，，，接着证明，不妨设，那么，，利用，可求得，那么可求得，再利用等腰三角形的性质，可求得；接着求出以及，即可判断②；利用三角形内角和定理，可求出的每个角，即可判断③；证明，即可判断④；作于，易证，，结合，即可判断⑤． 【详解】解：由题意可得， ∴，，，， ∵等腰中，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 不妨设， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴，故①错误； ∴, 同理，可求得， ∴， ∴为等腰直角三角形，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，故④正确； 作于，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤错误； 综上，正确的有②③④． 三、解答题（共68分） 17．计算：； 【答案】3 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先计算绝对值、负整数指数幂、零指数幂，再计算加法即可得解． 【详解】解：原式． 18．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方、合并同类项，首先根据整式的运算法则把各项计算出来，再合并同类项． 【详解】解： ． 19．计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 20．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的混合运算及求值，平方差公式，先根据多项式除以单项式以及平方差公式去括号，再合并即可化简，最后代入的值计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ； 当，时，原式． 21．已知：如图，点、在线段上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由平行线可得，再根据线段的和差得到，运用证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 22．如图，已知，垂足分别为E，F，，求证：． 【答案】 证明：, , 又, ,即, 在和中， , ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义等知识，先证出,即可证出,熟练掌握全等三角形的判定并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】略 23．已知：如图，点C在的边上． 求作：射线，使，且点D在的角平分线上． 作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点A，B； ②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q； ③画射线； ④以点C为圆心，长为半径画弧，交射线于点D； ⑤画射线，射线就是所求作的射线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 平分， _______． ， _______． ． （_______）（填推理的依据）． 【答案】(1) 依作法补全图形如下图． (2)；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查尺规作图，等边对等角，平行线的判定，解题的关键是正确理解作图过程． （1）根据题意,作的平分线，然后作同时使点D同时在角平分线上，依作法补全图形即可； （2）根据角平分线的定义，等边对等角，平行线的判定，补全证明过程即可． 【详解】（1）略 （2）证明：平分， ． ， ． ． （内错角相等，两直线平行）． 故答案为： ；；内错角相等，两直线平行． 24．如图，在中，平分．请从条件①，条件②中选择一个作为已知，使得成立，并证明． 条件①于点E，于点F； 条件②． 【答案】 解：当条件①为已知，证明如下： ∵平分，且于点E，于点F， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是是垂直平分线， ∴； 当条件②为已知，证明如下： 过点D分别作于点M，于点N， ∵平分，且过点D分别作于点M，于点N， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ∵，， ∴； ∴， ∴， ∴ ∵ ∴∴是是垂直平分线， ∴ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，垂直平分线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 理解题意，当条件①为已知，证明，则，又结合，即可得是是垂直平分线；当条件②为已知，证明，再证明，故，则，得，即可作答． 【详解】略 25．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图①可以得到．请解答下列问题： (1)求出图②所表示的数学等式； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知，，求的值； (3)小明同学用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张相邻两边长分别为a，b的长方形纸片拼出了一个面积为的长方形，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）从整体看正方形的边长为，因此可得到正方形的面积；再计算各部分面积的和，即可解答； （2）根据（1）的结论化简求值即可； （3）根据面积的计算方法求出系数、、的值，进而得出结果． 【详解】（1）解：由题可知，图②是边长为的正方形，故面积表示为； 还可以看作3个小正方形、6个矩形的面积之和，故面积表示为， 图②所表示的数学等式为． （2）解：由（1）可知，， ． （3）解：由题意可知，拼出的长方形面积为， ， ，，， ． 26．【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如图①②③④． 所以① 所以② 所以③ 所以④ 【理解应用】 (1)请你仿照上面的竖式运算方法进行计算：； (2)若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式； (3)如图，一个长为，宽为的长方形，将它的长增加8，宽增加a得到一个新长方形B，且长方形B的周长是长方形A的周长的3倍． （i）求的值；（用含的代数式表示） （ii）长方形B的面积和另一个边长为的长方形C的面积相等，则长方形C已知边长的邻边长为___________．（用含x的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)（i），（ii） 【分析】（1）由题中乘法运算的竖式运算方法求解即可； （2）由题中除法运算的竖式运算方法求解即可； （3）（i）用大长方形的周长减去小长方形的周长求解即可； （ii）首先求出长方形B的面积，然后利用题中除法运算的竖式运算方法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， ∴； （2）解：根据题意得， ∴另一个多项式为； （3）解：（i）根据题意得，， 解得； （ii）长方形B的长为，宽为， 长方形B的面积， ∵长方形C的一个边长为， ∴长方形C已知边长的邻边长为． 27．（1）如图1， 和都是等边三角形，求证：； （2）如图2，在（1）的基础上，若与交于点，与交于点，与交于点， 连接，求证：平分； （3）在（2）的条件下，请直接写出之间的数量关系． 【答案】 （1）证明：∵ 和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点分别作，，垂足分别为，， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∴ 点在的平分线上，即平分； （3） 【分析】（1）根据等边三角形性质得出，，，求出，根据证即可得到结论； （2）过点分别作，，垂足分别为，，由（1）得到，从而，故有，根据角平分线判定定理即可证明结论； （3）在上截取一点，使得，证明是等边三角形，即可证明，进而完成解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：，理由如下： 如图，在上截取一点，使得， 由 （1） 知 ， ∴， ∴， ∴在中， ， ∴， 由（2）知平分， ， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵是等边三角形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形性质、三角形的面积、全等三角形的性质和判定、角平分线的判定、三角形的内角和定理的综合运用等知识点，熟练掌握以上知识是解答的关键． 28．在平面直角坐标系中，直线为经过且垂直于轴的直线，图形T关于轴的对称图形称为图形T的一次对称图形，记作图形，图形关于直线的对称图形称为图形的二次对称图形，记作图形．例如，点的一次对称点为，二次对称点为，根据定义，回答下列问题： (1)点的一次对称点为___________，二次对称点为___________． (2)若点在第二象限，点分别是点的一次对称点、二次对称点，若为等腰直角三角形，求，应满足的关系式； (3)已知点，．若以为边的正方形，在线段的上方）的二次对称图形与过且垂直于轴的直线有公共点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，等腰直角三角形的定义，正确理解一次对称点和二次对称点的定义是解题的关键． （1）根据题意可知一次对称点是原来的点关于x轴对称的点，二次对称点是原来的点关于x轴对称的点关于直线对称的点，据此求解即可； （2）根据题意可求出，，则可证明，再由等腰直角三角形的定义可得，则可推出，据此可得答案； （3）根据题意可求出，，再分点在该直线上和点在该直线上，两种情况分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，直线l即为直线， ∵点关于x轴对称的点的坐标为，点关于直线的对称点的坐标为， ∴点的一次对称点为，二次对称点为； （2）解：∵点关于x轴对称的点的坐标为，点关于直线的对称点的坐标为， ∴，， ∴轴，轴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点A在第二象限， ∴， ∴点在第三象限，点在第四象限， ∴， ∴， ∴； （3）解：点，，且四边形是以为边的（，在线段的上方）的正方形， ∴轴， ∴， ， ∴正方形的一次对称图形，即正方形的顶点坐标分别为， ∴正方形的二次对称图形，即正方形的各顶点的坐标分别为，， 二次对称图形与过且垂直于轴的直线有公共点， 若点在该直线上，则 解得， 若点在该直线上，则： 解得， 的取值范围是． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市丰台区第二中学北校区2026-2027学年八年级上学期期中考试数学模拟试卷 （卷面总分100分 考试用时120分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 2 分，共16分） 1．以下微信图标中不是轴对称图形的是(  ) A．A B．B C．C D．D 2．下列运算正确的是（      ） A． B． C． D． 3．能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的线段是这个三角形的（   ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．垂线 4．三角形的两边长分别是9、17，则此三角形第三边的长不可能是（    ） A．15 B．21 C．8 D．9 5．小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（   ） A． B． C． D． 6．等腰三角形的一个角是，则其中一个底角的度数为（） A． B． C． D． 7．图，某物流公司计划在一条笔直的道路l上新设两个物流转运点P，Q，两转运点的间距固定为a（即）．无人驾驶物流车每天从起点A出发，先到转运点P取物品，然后沿道路l到转运点Q取物品，最后送到道路另一侧的快递驿站B．为节能提效，物流公司希望无人驾驶物流车所走的总路程最短．下列四种关于转运点P，Q位置的设计方案中，符合物流公司要求的是（     ） A．于点 B．于点 C．且，交于点 D．交于点 8．如图，点在的延长线上，交于点且，比的余角大为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．有下列结论：①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的序号是（   ） A．①②③④⑤ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①② 二、填空题（每题 2 分，共16分） 9．港珠澳大桥全长约为55千米，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥． 如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________． 10．点的坐标为，点关于轴的对称点为点，则点的坐标是______． 11．命题“边数相等的两个正多边形一定相似”的逆命题是_______． 12．如图，点，，，在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_____．（写出一个即可） 13．如图，射线是的角平分线，点为射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积为 _______． 14．某数学兴趣小组的同学打算测量一个小口圆形容器内径时遇到了困难，小组同学们借用学习过的三角形全等的知识合作制作了特制工具测量器．如图所示，将等长的钢条和的中点焊接在一起，制作了一把“形卡钳”．根据“形卡钳”的制作原理能判断，从而测量出的长就等于内径的长．请写出的理由：______．    15．如图，点、在的边上，，．若，则______． 16．如图，等腰中，，，以为底边作等腰，，与交于E，将沿折叠，点B落到点处，连接刚好经过点，连接，分别交于，交于H．在下列结论中：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤．其中正确的结论有_____．（填写所有正确的序号）． 三、解答题（共68分） 17．计算：； 18．计算：． 19．计算： 20．先化简，再求值：，其中，． 21．已知：如图，点、在线段上，，，．求证：． 22．如图，已知，垂足分别为E，F，，求证：． 23．已知：如图，点C在的边上． 求作：射线，使，且点D在的角平分线上． 作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点A，B； ②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q； ③画射线； ④以点C为圆心，长为半径画弧，交射线于点D； ⑤画射线，射线就是所求作的射线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 平分， _______． ， _______． ． （_______）（填推理的依据）． 24．如图，在中，平分．请从条件①，条件②中选择一个作为已知，使得成立，并证明． 条件①于点E，于点F； 条件②． 25．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图①可以得到．请解答下列问题： (1)求出图②所表示的数学等式； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知，，求的值； (3)小明同学用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张相邻两边长分别为a，b的长方形纸片拼出了一个面积为的长方形，求的值． 26．【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如图①②③④． 所以① 所以② 所以③ 所以④ 【理解应用】 (1)请你仿照上面的竖式运算方法进行计算：； (2)若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式； (3)如图，一个长为，宽为的长方形，将它的长增加8，宽增加a得到一个新长方形B，且长方形B的周长是长方形A的周长的3倍． （i）求的值；（用含的代数式表示） （ii）长方形B的面积和另一个边长为的长方形C的面积相等，则长方形C已知边长的邻边长为___________．（用含x的代数式表示） 27．（1）如图1， 和都是等边三角形，求证：； （2）如图2，在（1）的基础上，若与交于点，与交于点，与交于点， 连接，求证：平分； （3）在（2）的条件下，请直接写出之间的数量关系． 28．在平面直角坐标系中，直线为经过且垂直于轴的直线，图形T关于轴的对称图形称为图形T的一次对称图形，记作图形，图形关于直线的对称图形称为图形的二次对称图形，记作图形．例如，点的一次对称点为，二次对称点为，根据定义，回答下列问题： (1)点的一次对称点为___________，二次对称点为___________． (2)若点在第二象限，点分别是点的一次对称点、二次对称点，若为等腰直角三角形，求，应满足的关系式； (3)已知点，．若以为边的正方形，在线段的上方）的二次对称图形与过且垂直于轴的直线有公共点，求的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $