北京市通州区第二中学2026-2027学年北京版八年级上学期数学期中数学模拟试卷

北京市通州区第二中学2026-2027学年八年级上学期 数学期中模拟试卷 （卷面总分100分 考试用时120分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 2 分，共16分） 1．若分式的值为0，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 2．化简－的结果是（        ）． A．a－b B．a+b C． D． 3．在中，作出边上的高，正确的是（） A．   B．   C．   D．   4．如图，A，B为池塘岸边的两点，小明在池塘的一侧取一点O，测得米，米，则A，B两点间的距离可能是（    ） A．50米 B．58米 C．62米 D．46米 5．的值均扩大为原来的3倍，下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 6．一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 8．对于正数，规定，例如：，，则的值为（   ） A．2025 B． C．2026 D． 二、填空题（每题 2 分，共16分） 9．如图，已知，，，相交于点，则的度数是______． 10．当______________时，分式有意义. 11．如图，在四边形中，连接，平分，添加一个条件后，能证明的是________． 12．方程的解为__________． 13．有一个长方体，它的底面积为，体积为，则它的高为_______． 14．如图，中，，平分交于点，，，则长为_____． 15．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为________． 16．如图，在中，，为边上的高，点E从点B出发，沿射线或反方向以的速度移动，过点E作交直线于F．当点E运动______s时，． 三、解答题（共68分） 17．计算：． 18．解方程：． 19．计算：． 20．甲、乙两工程队承接某段高铁隧道挖掘工程．已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，并且挖掘240米的高铁隧道甲工程队比乙工程队少用4天．求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘多少米的隧道？ 21．如图，已知点B，C，E，F在同一直线上，，，．求证：． 22．先化简，再从，0，1中选择一个恰当的数代入求值． 23．老师所留的作业中有这样一个分式的计算题，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学：     ①     ②     ③     ④ 乙同学：     ①     ②     ③     ④ 老师发现这两位同学的解答都有错误． 请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． (1)我选择________同学的解答过程进行分析．（填“甲”或“乙”） 该同学的解答从第_______步开始出现错误，错误的原因是_______； (2)请重新写出完成此题的正确解答过程． 24．如图，与相交于点，于点，于点，，． (1)求证：；(2)求证：． 25．人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业，某物流园区利用A，B两种自主移动机器人搬运化工原料． (1)若有化工原料，A型机器人小时搬运完成，则每小时搬运______化工原料，B型机器人小时搬运完成，则每小时搬运______化工原料，两种机器人合作需______小时搬运完成． (2)若A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 26．如图，在中，点D为边上一点，连接并延长到点E，过点E作交于点F，交于点G． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 27．如图，在中，，，为射线上一点（不与点，重合），连接并延长到点，使得，连接，过点作的垂线交直线于点． (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． 28．【先导问题】 通过计算我们发现，关于x的分式方程，当，时，使得关于x的分式方程的解为成立，那么我们称数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． 【提炼模型】 我们定义：如果两个实数a、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a、b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)【识别模型】 判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”（请在横线上填“是”或“否”）． ①________    ②________ (2)【应用模型】 若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． (3)【总结提升】 若数对（且，）是关于x的分式方程的“关联数对”．当k为整数时，求整数m的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市通州区第二中学2026-2027学年八年级上学期 数学期中模拟试卷 （卷面总分100分 考试用时120分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 2 分，共16分） 1．若分式的值为0，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据且，计算即可． 本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分子为零，且分母不为零是解题的关键． 【详解】解：分式的值为0， 故且， 解得， 故选：A． 2．化简－的结果是（        ）． A．a－b B．a+b C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式=， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 3．在中，作出边上的高，正确的是（） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，熟练掌握“从三角形的一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段即为该边上的高”是解题的关键． 根据三角形高的定义，判断从顶点向边（或其延长线）作垂线，垂足在边（或其延长线）上的图形． 【详解】解：A选项：所作垂线不是从点出发，故A项错误； B选项：所作垂线是从点出发，不是从点出发，故B项错误； C选项：所作垂线不是从点出发，故C项错误； D选项：所作垂线是从点出发，且垂足在的延长线上，符合边上高的定义，故D项正确 故选：D． 4．如图，A，B为池塘岸边的两点，小明在池塘的一侧取一点O，测得米，米，则A，B两点间的距离可能是（    ） A．50米 B．58米 C．62米 D．46米 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：∵米，米， ∴， 即， ∴， ∴、间的距离可能是46米， 故选：D． 5．的值均扩大为原来的3倍，下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，将对应选项中的式子中的x、y分别替换为，计算替换后的式子的结果，判断是否与原式相等即可得到答案． 【详解】解：A、原式为，替换后为，分子为，分母为，无法约去公因数3，故值改变，不符合题意． B、原式为，替换后为，分子分母约去3后，分母变为原式的3倍，值改变，不符合题意． C、原式为，替换后为，分子分母约去公因数3，值不变，符合题意． D、原式为，替换后为，分子变为原式的3倍，值改变，不符合题意． 故选：C． 6．一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质．结合三角板的特征得到，，，再由是的外角，是的外角即可得解． 【详解】解：如下图： 三角板是等腰直角三角形，三角板是含角的直角三角形， ，，， 是的外角，与是对顶角， ， 是的外角， 根据三角形外角的性质得，． 则图中的度数为． 故选：C． 7．如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积即可得出结果． 【详解】解：∵是的中线， ∴； ∵是的中线， ∴； 故选C． 8．对于正数，规定，例如：，，则的值为（   ） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，分式化简求值，已知式子的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．利用性质 ，将求和中的项配对计算，每对和为1，再单独计算 ． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 对于从2到 2026， 与 配对，每对和为 1， 共有 对， ∴ 这些对的总和为． 又， ∴ 原式 ． 故选B． 二、填空题（每题 2 分，共16分） 9．如图，已知，，，相交于点，则的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及全等三角形性质、对顶角相等、三角形内角和定理等知识，先由全等性质得到，，等量代换得到，进而由已知求出，在和中，由三角形内角和定理即可得到答案．熟练掌握全等三角形性质、三角形内角和定理等知识是解决问题的关键． 【详解】解： ， ，， ，， ， ，， ， 在和中，，，则由三角形内角和定理可知， 故答案为：． 10．当______________时，分式有意义. 【答案】x≠3且x≠-3 【分析】分式有意义的条件是分母不为0． 【详解】解：∵分式有意义， ∴x2-9≠0，解得x≠3且x≠-3． 故答案为x≠3且x≠-3 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，即分式的分母不为0． 11．如图，在四边形中，连接，平分，添加一个条件后，能证明的是________． 【答案】（答案不唯一，填或亦可） 【分析】根据角平分线的定义可得，结合图形中的公共边，根据全等三角形的判定定理、或添加相应的条件即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵在和中，， 若添加， ∴； 若添加， ∴； 若添加， ∴． 12．方程的解为__________． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可．熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原分式方程的解为， 故答案为：． 13．有一个长方体，它的底面积为，体积为，则它的高为_______． 【答案】/ 【分析】根据长方体体积公式得到高等于体积除以底面积，列式后利用多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：设长方体的高为， ∵长方体体积公式， ∴， ∵体积，底面积， ∴ 即它的高为． 14．如图，中，，平分交于点，，，则长为_____． 【答案】 【分析】通过作辅助线，利用角平分线的性质得到，再结合勾股定理求出，设，根据和的关系列方程求解．本题主要考查了角平分线的性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和勾股定理，通过作辅助线构建全等三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作于点． 平分，，， ． 在中，，， ∴． ，，， ， ． 设，则，． 在中，根据勾股定理，即． 解得，即长为． 故答案为：． 15．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为________． 【答案】 【分析】本题主要考查余角的性质，将角度进行转化得到关系是解题的关键． 首先根据正方形的性质得到角度为，再进行角度转化即可得到、、三个角的数量关系． 【详解】解：如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点O重合放置， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16．如图，在中，，为边上的高，点E从点B出发，沿射线或反方向以的速度移动，过点E作交直线于F．当点E运动______s时，． 【答案】2或7/7或2 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，理解题意，注意分类讨论是解题关键．当点E从点B出发，沿射线方向运动时，证明，得到，，此时运动时间为；当点E从点B出发，沿射线反方向运动时，同理可得，得到，，此时运动时间为． 【详解】解：如图，当点E从点B出发，沿射线方向运动时， ∵ ， ∴，， ∵为边上的高， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 此时运动时间为； 当点E从点B出发，沿射线反方向运动时， 同理可得∴， ∴， ∴， 此时运动时间为． 故答案为：2或7 三、解答题（共68分） 17．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，根据平方差公式和分式的运算法则求解即可，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 18．解方程：． 【答案】x＝﹣1 【分析】根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：， 2x＝x﹣2+1， x＝﹣1， 经检验x＝﹣1是原方程的解， 则原方程的解是x＝﹣1． 【点睛】本题考查解分式方程，得出方程的解之后一定要验根． 19．计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键； 根据分式加减乘除运算法则和运算步骤求解即可． 【详解】解：， ． 20．甲、乙两工程队承接某段高铁隧道挖掘工程．已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，并且挖掘240米的高铁隧道甲工程队比乙工程队少用4天．求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘多少米的隧道？ 【答案】甲工程队每天可挖掘30米的隧道，乙工程队每天可挖掘20米的隧道． 【分析】本题考查了分式方程的应用．设乙工程队每天可挖掘x米的隧道，则甲工程队每天可挖掘米的隧道，根据挖掘240米的高铁隧道甲工程队比乙工程队少用4天，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设乙工程队每天可挖掘x米的隧道，则甲工程队每天可挖掘米的隧道， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲工程队每天可挖掘30米的隧道，乙工程队每天可挖掘20米的隧道． 21．如图，已知点B，C，E，F在同一直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ， ， ， 在与中， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．根据平行线的性质和证明即可． 【详解】略 22．先化简，再从，0，1中选择一个恰当的数代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分括号内的式子，再算括号外的乘法，然后从，0，1中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， ， ， 当时，原式． 23．老师所留的作业中有这样一个分式的计算题，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学：     ①     ②     ③     ④ 乙同学：     ①     ②     ③     ④ 老师发现这两位同学的解答都有错误． 请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． (1)我选择________同学的解答过程进行分析．（填“甲”或“乙”） 该同学的解答从第_______步开始出现错误，错误的原因是_______； (2)请重新写出完成此题的正确解答过程． 【答案】(1)甲，②，通分时分子分母没有都乘以 (2) 正确解答为： 解： ． 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式的混合运算一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （1）利用分式的基本性质对甲同学的解法进行判断； （2）先通分，再根据同分母的减法运算，然后约分即可． 【详解】（1）选择甲同学的解答过程进行分析，该同学的解答从第②步开始出现错误，错误的原因是通分时分子分母没有都乘以； 故答案为：甲，②，通分时分子分母没有都乘以； （2）略 24．如图，与相交于点，于点，于点，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质： （1）利用角角边证明，即可求证； （2）证明，可得，即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 25．人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业，某物流园区利用A，B两种自主移动机器人搬运化工原料． (1)若有化工原料，A型机器人小时搬运完成，则每小时搬运______化工原料，B型机器人小时搬运完成，则每小时搬运______化工原料，两种机器人合作需______小时搬运完成． (2)若A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 【答案】(1)，，． (2)A型机器人每小时搬运化工原料，B型机器人每小时搬运化工原料． 【分析】本题考查分式方程的应用，准确的表示A，B两种自主移动机器人搬运化工原料的工作时间是解本题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料，根据题意列出方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意可得A型机器人每小时搬运化工原料， B型机器人每小时搬运化工原料， 两种机器人合作搬运完成需要的时间为：， 故答案为：，，； （2）解：设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料， 根据题意可得，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：A型机器人每小时搬运化工原料，B型机器人每小时搬运化工原料． 26．如图，在中，点D为边上一点，连接并延长到点E，过点E作交于点F，交于点G． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）只需要证明，则可证明； （2）由等边对等角得到的度数，由平行线的性质得到的度数，则可求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 27．如图，在中，，，为射线上一点（不与点，重合），连接并延长到点，使得，连接，过点作的垂线交直线于点． (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)①补全图形如图所示： ②， 证明：如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； (2)画出如图所示，． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质； （1）①根据题意画出图形即可；②作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （2）根据题意画出图形，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证． 【详解】（1）略 （2）解：关系：， 作交的延长线于，则， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 28．【先导问题】 通过计算我们发现，关于x的分式方程，当，时，使得关于x的分式方程的解为成立，那么我们称数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． 【提炼模型】 我们定义：如果两个实数a、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a、b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)【识别模型】 判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”（请在横线上填“是”或“否”）． ①________    ②________ (2)【应用模型】 若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． (3)【总结提升】 若数对（且，）是关于x的分式方程的“关联数对”．当k为整数时，求整数m的值． 【答案】(1)①否；②是 (2) (3)或 【分析】（）根据“关联数对”定义分别判断即可； （）根据“关联数对”定义得到，然后求解即可； （）根据“关联数对”定义得到，然后根据k为整数求解即可． 【详解】（1）解：当，时，分式方程无解，不符合“关联数对”的定义， ∴不是关于的分式方程的“关联数对”； ②当，时，解分式方程得：， 又，符合“关联数对”的定义， ∴是关于的分式方程的“关联数对”； （2）解：∵数对是关于的分式方程的“关联数对”， ∴， ∴， 整理得：， 解得：； （3）解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵k为整数，m为待求的整数， ∴为整数， ∴或， 解得或或0或1． ∵， ∴， ∵且， ∴或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $