精品解析：北京市丰台区太平桥学校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

北京市丰台区太平桥学校2025-2026学年第一学期阶段性诊断 初二年级数学学科 （满分100分，时间90分钟） 第一部分选择题 一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 能将任意一个三角形分成面积相等的两部分的是（ ） A. 三角形的一条高 B. 三角形的一条中线 C. 三角形的一条角平分线 D. 三角形一边的垂直平分线 2. 已知等腰三角形两条边的长分别为3和6，则它的周长为（ ） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 9或15 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于（　　） A. 50° B. 60° C. 75° D. 85° 7. 如图，，垂足分别为E，F，与交于点D，下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 8. “杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释（＝，，，，5，6）的展开式的系数规律．例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数，，，恰好对应着展开式中各项的系数；第4行的4个数，，，，恰好对应着展开式中各项的系数，等等．当n是大于6的自然数时，上述规律仍然成立，那么展开式中的系数是（ ） A. B. C. D. 第二部分非选择题 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 计算：_____． 10. 分解因式：_____． 11. 如图是两个全等的三角形，图中字母表示三角形的边长，则的度数为_____． 12. 比较两个数的大小关系：______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 13. 如图，点C是线段AB的中点，．请你只添加一个条件，使得≌． （1）你添加的条件是______；（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可） （2）依据所添条件，判定与全等的理由是______． 14. 如图所示的网格为正方形网格，则______． 15. 如图，平分，点在上，点，分别在，边上，有如下条件：①，；②；③．选取其中一个可以得到的条件，序号是______．（写出所有可能的情况．） 16. 如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为4，下列说法正确的有______．①正方形A和B的面积和是34；②图2中新的正方形的面积是64；③正方形A和B的面积差是16；④正方形A的边长是． 三．解答题（本题共60分．17题4分；18题3分；19-26题每题5分；27题7分；28题6分） 17. 计算： （1） （2） 18. 计算： 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 下面是小东设计的尺规作图过程． 已知：如图，在中，， 求作：点，使点在边上，且到和的距离相等． 作法： 如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； 分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； 画射线，交于点． 所以点即为所求． 根据小东设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：过点作于点，连接，， 在与中， ∵，，， ∴(______)， ∴____________， ∵， ∴， 又∵， ∴(______)． 22. 如图，点A，，，在一条直线上，，，．求证：． 23. 如图，在中，，，是的角平分线． （1）求的度数； （2）若，垂足为D，，求证：是直角三角形． 24. 如图，在中，，平分，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）请你判断与之间的数量关系，并说明理由． 25. 在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： （1）若，求x的值． （2）若，求x的值． （3）若，，用含m的代数式表示 ． 26. 在“整式乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如，利用图中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式：． 请你解答下面的问题： （1）利用图1中的三种卡片若干张拼成图，可以解释等式：_____________； （2）利用图1中三种卡片若干张拼出一个面积为的长方形ABCD，请你分析这个长方形的长和宽． 27. 已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． （1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． （2）请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． （3）如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 28. 【数学理解】 （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图1，中，，，，P为上一点，当______时，与是偏等积三角形； 【数学应用】 （2）如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，求的长度； 【联系拓广】 （3）如图3，四边形是一片绿色花园，，，．与是偏等积三角形吗？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市丰台区太平桥学校2025-2026学年第一学期阶段性诊断 初二年级数学学科 （满分100分，时间90分钟） 第一部分选择题 一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 能将任意一个三角形分成面积相等的两部分的是（ ） A. 三角形的一条高 B. 三角形的一条中线 C. 三角形的一条角平分线 D. 三角形一边的垂直平分线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线，由等底同高的三角形面积相等即可判断；理解三角形的中线是解题的关键． 【详解】解：A.三角形的一条高将任意一个三角形分成的两部分面积不一定相等，结论错误，故不符合题意； B.由等底同高的三角形面积相等得，三角形的一条中线将任意一个三角形分成的两部分积一定相等，结论正确，故符合题意； C.三角形的一条角平分线将任意一个三角形分成的两部分面积不一定相等，结论错误，故不符合题意； D.三角形一边的垂直平分线将任意一个三角形分成的两部分面积不一定相等，结论错误，故不符合题意； 故选：B． 2. 已知等腰三角形两条边的长分别为3和6，则它的周长为（ ） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 9或15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，三角形的周长，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的三边关系是解题的关键． 分腰长为和，根据三角形三边关系计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两边长分别是和， ∴当腰长为时，，三角形的周长为； 当腰长为时，，不能构成三角形； ∴此等腰三角形的周长为， 故选：B ． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查指数运算和合并同类项，根据同底数幂的除法运算法则，同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方运算法则，合并同类项法则一一计算并判断即可． 【详解】解：A：∵，∴ A正确． B：∵，∴B错误． C：∵ ，∴ C错误． D：∵ ，∴D错误． 故选A 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：A. ，是整式的乘法，不是因式分解，故本项不符合题意； B. ， 该等式右边不是整式积的形式，故本项不符合题意； C. ，符合因式分解的定义，故本项符合题意； D. ，该等式右边含有分式，故本项不符合题意； 故选：C． 5. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出． 【详解】根据定义可得A选项是作BC边上的高，符合题意， B选项作的不是三角形ABC的高，不符合题意， C选项是作AB边上的高，不符合题意， D选项是作AC边上的高，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形高线的作法，熟练掌握定义是解题关键． 6. 将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于（　　） A. 50° B. 60° C. 75° D. 85° 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理和三角形的外角的性质计算即可． 【详解】∵∠DAC＝∠DFE+∠C＝60°+45°＝105°， ∴∠CAF＝180°﹣∠DAC＝75°， 故选C． 【点睛】考查了三角形外角的性质，解题关键是利用了三角形的外角的性质． 7. 如图，，垂足分别为E，F，与交于点D，下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直定义，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟记三角形判定定理是解决问题的关键．根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和得到，由全等三角形的判定定理得到，故①选项正确，由，得，于是得到，选项②正确，根据全等三角形的性质得到，连接，证得，根据全等三角形的性质得到，即点D在的平分线上，选项③正确，由，得到，根据，，选项④错误，进而得到答案． 【详解】解：∵， ， 在中，，在中， ， 在和中， ， ∴，故①选项正确； ， ， ， 得， 在和中， ， ∴，选项②正确； ， ， 连接， 在和中， ， ∴， ，即点D在的平分线上，选项③正确； ， ， ， ， ，选项④错误； 故正确的为①②③， 故选：C． 8. “杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释（＝，，，，5，6）的展开式的系数规律．例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数，，，恰好对应着展开式中各项的系数；第4行的4个数，，，，恰好对应着展开式中各项的系数，等等．当n是大于6的自然数时，上述规律仍然成立，那么展开式中的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合“杨辉三角”得出的各项系数，然后考虑符号计算即可． 【详解】解：结合“杨辉三角”可得的各项系数（不考虑符号）为： 1，9，36，84，126，126，84，36，9，1， 由可得，符号为负号，系数为倒数第二个系数9， ∴的系数为， 故选：B． 【点睛】题目主要考查整式的乘法运算规律，理解题意中的“杨辉三角”是解题关键． 第二部分非选择题 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 计算：_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据零指数幂的意义即可求出答案． 【详解】∵，∴，故答案为1. 【点睛】本题考查零指数幂的意义，解题的关键是熟练运用零指数幂的意义，本题属于基础题型． 10. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 11. 如图是两个全等的三角形，图中字母表示三角形的边长，则的度数为_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，先根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的性质得出答案．掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 【详解】解：如图所示： ， ∵两个三角形全等， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 12. 比较两个数的大小关系：______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方，有理数的大小比较，先把两个数变形得出，，再比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，点C是线段AB的中点，．请你只添加一个条件，使得≌． （1）你添加的条件是______；（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可） （2）依据所添条件，判定与全等的理由是______． 【答案】 ①. AD=CE（或∠D=∠E或∠ACD=∠B）（答案不唯一） ②. SAS 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得两个三角形有一组对应边相等，一组对应角相等，根据三角形全等的判定方法添加条件即可； （2）根据添加的条件，写出判断的理由即可． 【详解】解：（1）添加的条件是：AD=CE（或∠D=∠E或∠ACD=∠B） 故答案为：AD=CE（或∠D=∠E或∠ACD=∠B） （2）若添加：AD=CE ∵点C是线段AB的中点， ∴AC=BC ∵ ∴ ∴≌(SAS) 故答案为：SAS 【点睛】本题主要考查了添加条件判断三角形全等，熟练掌握全等三角形的判断方法是解答本题的关键． 14. 如图所示的网格为正方形网格，则______． 【答案】90 【解析】 【分析】先证，则可得，再根据三角形外角定理即可得解． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形外角定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解： ∵和中， ， ， ， ∵是的一个外角， ， 即， ， ． 故答案为：90 15. 如图，平分，点在上，点，分别在，边上，有如下条件：①，；②；③．选取其中一个可以得到的条件，序号是______．（写出所有可能的情况．） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】此题重点考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． 由平分，点在上，于点于点，根据角平分线的性质得，可判断①符合题意；若，由，根据“”证明，得，可判断②符合题意；若，由，根据“”证明，得，可判断③符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：①∵平分，点在上，于点于点， ，故①符合题意； ②∵平分，点分别在边上， ， 在和中， ， ， ，故②符合题意； 在和中， ， ， ，故③符合题意， 故答案为：①②③． 16. 如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为4，下列说法正确的有______．①正方形A和B的面积和是34；②图2中新的正方形的面积是64；③正方形A和B的面积差是16；④正方形A的边长是． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据图1、图2与正方形A、正方形B的关系以及正方形面积的计算方法逐项进行判断即可． 本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 图1的阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 图2的阴影部分是边长为的大正方形与边长为a，边长为b的两个正方形的面积差，即， 又图1，图2中阴影部分的面积分别为4， ，，即， ， 即， 因此①正确； ， 因此②正确； ，，， ，， ，， ， 即正方形A与正方形B的面积差为16， 因此③正确； 由于，即正方形A的边长为5， 因此④正确； 综上所述，正确的结论有①②③④， 故答案为：①②③④． 三．解答题（本题共60分．17题4分；18题3分；19-26题每题5分；27题7分；28题6分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了单项式的乘方、乘法与除法运算，熟练运用幂的运算法则（ 积和幂的乘方、同底数幂的乘除）是解答本题的关键． （1）先运用积和幂的乘方法则计算乘方项，再运用单项式乘法法则计算乘积； （2）先运用幂的乘方法则计算乘方项，再运用单项式除法法则计算商式． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式． 18. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，根据单项式乘多项式法则计算即可． 【详解】解： 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式法则计算即可． 【详解】解： 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先利用平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时， 原式． 21. 下面是小东设计的尺规作图过程． 已知：如图，在中，， 求作：点，使点在边上，且到和的距离相等． 作法： 如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； 分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； 画射线，交于点． 所以点即为所求． 根据小东设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：过点作于点，连接，， 在与中， ∵，，， ∴(______)， ∴____________， ∵， ∴， 又∵， ∴(______)． 【答案】（1） 如图，即为补全的图形； （2），，，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 【解析】 【分析】（）根据题意补全图形，即可； （）证明，可得，再根据角平分线的性质定理即可求证； 本题考查了尺规作图——作已知角的平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出图形是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：过点作于点，连接，， 在与中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴(角平分线上的点到角的两边的距离相等)， 故答案为：，，，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 22. 如图，点A，，，在一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：， ． 在和中， ． ． 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等．解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定与性质． 根据得到，结合，，，得到，即可得到证明． 【详解】略 23. 如图，在中，，，是的角平分线． （1）求的度数； （2）若，垂足为D，，求证：是直角三角形． 【答案】（1） （2） 证明：， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义，掌握三角形内角和等于是解题关键． （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）由垂直可得，再根据三角形内角和定理，得到，进而得出，最后再利用三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：，， ， 是的角平分线， 【小问2详解】 略 24. 如图，在中，，平分，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）请你判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵平分，， ∴，， 在中， ， ∴， ∴； （2） ， 理由如下， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）根据角平分线的性质定理得到，再运用斜边直角边证明三角形全等即可求解； （2）根据题意得到，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： （1）若，求x的值． （2）若，求x的值． （3）若，，用含m的代数式表示 ． 【答案】（1）6 （2）3 （3） 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）利用幂的乘方的逆运算将变形为，再根据题目中的规定即可求解； （2）将变形为，计算出，即可求解； （3）由得，再将变形为即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， 故答案为：． 26. 在“整式乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如，利用图中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式：． 请你解答下面的问题： （1）利用图1中的三种卡片若干张拼成图，可以解释等式：_____________； （2）利用图1中三种卡片若干张拼出一个面积为的长方形ABCD，请你分析这个长方形的长和宽． 【答案】（1） （2）长为，宽为． 【解析】 【分析】（1）根据图形，有直接求和间接求两种方法，列出等式即可； （2）根据已知等式画出相应的图形，然后根据图形写出等式即可． 【小问1详解】 解: 【小问2详解】 解: 答：由图形可知，长为，宽为． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，面积与代数式恒等式的关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 27. 已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． （1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． （2）请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． （3）如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 【答案】（1） 补全图形，如图： ，， （2） 成立，证明如下： 延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 【小问1详解】 解：解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在上取一点，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 28. 【数学理解】 （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图1，中，，，，P为上一点，当______时，与是偏等积三角形； 【数学应用】 （2）如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，求的长度； 【联系拓广】 （3）如图3，四边形是一片绿色花园，，，．与是偏等积三角形吗？请说明理由． 【答案】（1）3； （2）3； （3）与是偏等积三角形，理由：如图3， ， ， ， ， ， ，， 与不全等， 作于点F，交的延长线于点G，则， ， ， 在和中，， ， ， ， 与面积相等， 与是偏等积三角形． 【解析】 【分析】（1）连接，由与在、边上的高相等，可知当点P为中点时，与的面积相等，且与不全等，即可求解； （2）过C作交的延长线于E，根据与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等，则有，再证明，得，再根据三角形的三边关系可知，进而可求解； （3）先证明，再由，，说明与不全等，作于点F，交的延长线于点G，可证明得，即可证明与面积相等，即可解答． 【详解】解：（1）如图1，连接， 与在、边上的高相等， 当时，与的面积相等， ， ， ， 与不全等， 与是偏等积三角形； 故答案为：3； （2）如图2，过C作交的延长线于E， 与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， 线段的长度为正整数， ； （3）略 【点睛】本题是四边形的综合题，此题重点考查新定义问题的求解、三角形的三边关系、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $