北京市丰台区太平桥学校2026-2027学年人教版八年级上学期期中考试数学模拟试卷

北京市丰台区太平桥学校2026-2027学年八年级上学期 期中考试数学试题 （卷面总分100分 考试用时120分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 2 分，共16分） 1．能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的线段是这个三角形的（   ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．垂线 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解决此题的关键．观察各选项可知，只有三角形的中线把三角形分成等底同高的两个三角形，再根据三角形的面积公式，即可得解． 【详解】解：∵三角形的中线把三角形分成的两个三角形，底边相等，高是同一条高， ∴分成的两三角形的面积相等， 故选：B． 2．一等腰三角形两边长分别为3，4．则这个等腰三角形的周长为（　　） A．7 B．11 C．7或10 D．10或11 【答案】D 【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析． 【详解】①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4， 能组成三角形，周长=3+3+4=10， ②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4， 能组成三角形，周长=3+4+4=11， 综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11， 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形三边关系，分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形是解题的关键. 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题包括同底数幂乘除法、幂的乘方、合并同类项，根据对应运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A. 根据同底数幂乘法法则，，故A错误； B. 根据幂的乘方法则，，运算正确，故B符合题意； C. 与不是同类项，不能合并，故C错误； D. 根据同底数幂除法法则，，故D错误． 4．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．利用因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A、，从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、，右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； C、，右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意 D、，符合因式分解的定义，故本选项符合题意． 故选：D． 5．下列选项中，作中边上的高正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形高的定义，从三角形一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线．根据三角形高的定义判断即可． 【详解】解：A、没有经过顶点B，不是边上的高，不符合题意； B、高垂直于于D，是边上的高，符合题意； C、没有经过顶点B，不是边上的高，不符合题意； D、没有经过顶点B，不是边上的高，不符合题意； 故选：B． 6．将一副三角板按照如图方式摆放，点B，C，D共线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质，先由三角形外角的定义及性质求出，从而得出，即可得解，熟练掌握三角形外角的定义及性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．如图，，，，垂足分别为，，与交于点．下列结论正确的个数是（    ） ①；②；③点在的平分线上    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，从已知条件进行分析，首先可得得到角相等和边相等，运用这些结论，进而得到更多的结论，最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案． 【详解】解：∵，，垂足分别为，， ∴， ∵， ∴（①正确） ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴（②正确） ∴， 连接，    ∵， ∴， ∴， 即点D在的平分线上（③正确） 所以，正确的结论有3个， 故选：D． 8．我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（    ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二项式的乘方展开式中的系数规律，由特殊到一般的探究发现是解题的关键．根据题目中给定系数的排列发现，每一个数等于上方两个数的和，据此规律求解即可． 【详解】解：由题意可知：每个数等于上方两个数的和， 的展开式中系数从左向右分别是1，5，10，10，5，1， 的展开式中系数从左向右分别是1，6，15，20，15，6，1， 又的指数从左向右逐渐变小，的指数由左向右逐渐变大， 的展开式中，含项的系数是6． 故选：D． 二、填空题（每题 2 分，共16分） 9．______． 【答案】1 【分析】根据零指数幂的定义，任何非零数的零次幂都等于1，解答即可． 本题考查了零指数幂，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故， 故答案为：1． 10．分解因式：_________． 【答案】 【详解】此题考查因式分解知识点，考查提取公因式法、公式法的因式分解的方法；首先看是否有公因式，如果有先提取公因式，然后利用公式法进行分解，要分解到不能再分解为止； 解：原式=； 11．如图是两个全等三角形，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的性质，先求解，再根据全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵， 由全等三角形的性质可得：， 故答案为：． 12．已知，，则a，b的大小关系是______（请用字母表示，并用“”连接）． 【答案】 【分析】根据幂的乘方运算法则将原式化为同指数幂，再比较底数大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 13．如图，C是的中点，，添加一个条件使得，这个条件可以是_____________ （添加一个条件即可）． 【答案】或或 【分析】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：．添加时注意：不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 要使，已知，则可以添加角的另一个边从而利用来判定其全等，或添加另一个角从而利用或来判定其全等． 【详解】解：添加或， 当添加时， ∵C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 当添加时，∴， 当添加时，∴ 故答案为：或或． 14．如图，在的正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，则_________°． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理与网格，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据勾股定理与网格，勾股逆定理，得出是直角三角形，且，再结合网格特征，证明，则，故，则，即可作答． 【详解】解：连接， 依题意，，， ∵， ∵是直角三角形，且， ∵， ∴， 则， 结合网格特征，得， 则， ∴， 故答案为：． 15．点 P 在的平分线上，M、N分别是两边上的动点，连接、．若，则与之间的关系是___________ 【答案】或 【分析】根据点的位置分类讨论，作角两边的垂线，利用角平分线的性质和直角三角形全等的判定推导两角的关系． 【详解】解：作于点，于点，则， 点 P 在的平分线上， ， 在和中， ， ①当点在线段延长线上，点在线段延长线上时， ，即； ②当点在线段上，点在线段上时， ， ， ， ； ③当点在线段延长线上，点在线段上时， ， ，即， ， ； ④当点在线段上，点在线段延长线上时， ， ，即， ， ； 16．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为18，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2、图3中正方形纸片均无重叠部分），则图3阴影部分面积为______． 【答案】38 【分析】此题考查完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解图形的构成，正确掌握完全平方公式是解题的关键．由图1可知，阴影部分面积，图2可知，阴影部分面积，进而得到，由图3可知，阴影部分面积，进而即可求解． 【详解】解：设A卡片的边长为a，B卡片的边长为b，则A卡片的面积为，B卡片的面积为， 图1中阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，， 图2阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，， 图3阴影部分的面积可以表示为 ， 故答案为：． 三、解答题（共68分） 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查积的乘方，单项式乘单项式，单项式乘多项式： （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式即可； （2）运用乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．计算： 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式法则计算即可，掌握同底数幂的乘法是解题的关键． 【详解】解： 19．计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 20．先化简，再求值：（m﹣2n）（m+n）﹣（m﹣n）2．其中m=，n=﹣2． 【答案】－13 【分析】根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：当m=，n=﹣2时， 原式=m2﹣mn﹣2n2﹣（m2﹣2mn+n2） =mn﹣3n2 =﹣1﹣3×4 =﹣13 【点睛】考查学生的运算法则，解题的关键是熟练运用运算法则． 21．下面是小东设计的尺规作图过程． 已知：如图，在中，， 求作：点，使点在边上，且到和的距离相等． 作法：①如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； ③画射线，交于点． 所以点即为所求． 根据小东设计的尺规作图过程： (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明．（每空1分，共4分） 证明：过点作于点，连接，． 在与中， ∵，，， ∴， ∴____________________． ∵， ∴___________． 又∵， ∴（           ）（填推理的依据） 【答案】(1)图形补全如下： (2)证明：过点作于点，连接，， 在与中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴（角平分线的性质）． 【分析】（1）根据题干的操作进行尺规作图即可； （2）容易证明，则，利用角平分线的性质定理即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 22．如图，点、、、在一条直线上，，，，证明：且． 【答案】 ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 【分析】本题考查了平行线的判定和全等三角形的性质和判定的应用．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．根据线段的关系得出，根据证，推出，，根据平行线的判定推出． 【详解】 略 23．如图，在中，，，平分交于点． (1)求的度数． (2)若于点，是上一点，且．求证：是直角三角形． 【答案】(1) (2) 证明：∵， ∴． 在中， ． 由（1）知，即． 在中， =． ∴是直角三角形． 【分析】（1）先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数； （2）先由垂直的定义得到，结合的度数求出度数，再结合（1）中的度数推出的度数，最后在中利用三角形内角和定理求出的度数，从而证明是直角三角形． 【详解】（1）解：在中，，， ． 平分， ． （2）略 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、垂直的定义以及直角三角形的判定，解题关键是熟练运用三角形内角和定理计算角度，结合角平分线和垂直的条件推导相关角的度数，进而完成证明． 24．如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)试判断与之间存在的数量关系．并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （2）证明，根据全等三角形的性质证明． 【详解】（1）证明：∵是的平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 25．在幂的运算中规定：若（且，、是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若，，用含的代数式表示（结果写成最简形式）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，然后根据题干“若（且，、是正整数），则”即可解题； （2）将原式转化为，进一步解方程即可； （3）根据题意，，结合，即可解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ， ； （2）解：∵， ∴， ， ， ， ； （3）解：∵， ∴， ∵， ． 26．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图可以用来解释．现有足够多的正方形卡片1号，2号和长方形卡片3号，如图． (1)根据图B完成因式分解：___________： (2)现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张．在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为___________； (3)现要拼出一个面积为的长方形，则需要1号卡片___________张，2号卡片___________张，3号卡片___________张； (4)若，比较图中的两个正方形面积之和与两个长方形面积之和的大小关系．并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)1，3，4； (4)，理由如下： 由题意可知，，， ， ， ， ，即． 【分析】本题考查完全平方公式和几何图形的应用，主要考查学生的画图能力和计算能力． （1）观察可知大长方形面积等于两个小正方形的面积和加上两个长方形面积和，即可得到结论； （2）画出图形，观察可知大长方形面积等于两个正方形面积加上两个长方形面积，即可得到结论； （3）根据画出的图形，即可得到结论； （4）由题意可知，，，则，由完全平方公式的非负性可得结论． 【详解】（1）解：大长方形的面积可以表示为四个图形之和，即，也可以利用面积公式表示为， 即， 故答案为：； （2）解：如图， ， 即这个大正方形的边长为， 故答案为： （3）解：如图， ， 即要拼出一个面积为的长方形，则需要1号卡片1张，2号卡片4张，3号卡片3张， 故答案为：1，3，4； （4）略 27．已知：在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小宁同学先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小宁的解题思路是：先证明_______；再证明______；即可得出，，之间的数量关系是______． (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：_______． 【答案】(1)，， (2) 解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得出线段，，之间的数量关系； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，先利用证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：补全小宁的解题思路如下： 先证明；再证明；即可得出线段，，之间的数量关系是， 故答案为：，，； （2）略 （3）解：①或或，理由如下： ，如图：在上截取，使，连接， ∵ ∴ 在与中， ∴ ∴， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②，如图，在上截取， 同第一种情况，先证得，再证得， ∴ ； ③由（1）、（2）可知，； ④如图，点E在延长线上，点F在延长线上， 此时线段之间并无直接数量关系； 综上，线段，，之间的数量关系为或或． 28．【问题提出】 （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作“偏等积三角形”．如图1，在中，，，，为上一点，当________时，与是偏等积三角形． 【问题探究】 （2）如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点，求的长度． 【问题解决】 （3）如图3，四边形是一个花园，，，（）与是偏等积三角形吗？请说明理由． 【答案】（1）3； （2）3； （3）与是偏等积三角形，理由如下： 如图：如图：过A作于M，过B作于N，则， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握“偏等积三角形”的定义是解题的关键． （1）当，与是偏等积三角形，证，再证与不全等，即可解答； （2）由偏等积三角形的定义得，则，再证，则，易得，再根据线段的长度为正整数可知的长为偶数，然后再运用三角形的三边关系确定的长，进而确定的长； （3）如图：过A作于M，过B作于N，证，得，则，再证与不全等，即可解答． 【详解】解：（1）当时，与是偏等积三角形，理由如下： 设点B到AC的距离为h，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形. 故答案为：3. （2）设点A到的距离为n，则， ∵与是偏等积三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵线段的长度为正整数， ∴的长度为偶数， 在中，， ∴，即：， ∴,即. 故答案为：3； （3）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市丰台区太平桥学校2026-2027学年八年级上学期 期中考试数学试题 （卷面总分100分 考试用时120分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 2 分，共16分） 1．能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的线段是这个三角形的（   ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．垂线 2．一等腰三角形两边长分别为3，4．则这个等腰三角形的周长为（　　） A．7 B．11 C．7或10 D．10或11 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．下列选项中，作中边上的高正确的是（） A． B． C． D． 6．将一副三角板按照如图方式摆放，点B，C，D共线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，，，，垂足分别为，，与交于点．下列结论正确的个数是（    ） ①；②；③点在的平分线上    A．0 B．1 C．2 D．3 8．我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（    ） A．15 B．10 C．9 D．6 二、填空题（每题 2 分，共16分） 9．______． 10．分解因式：_________． 11．如图是两个全等三角形，则的度数为______． 12．已知，，则a，b的大小关系是______（请用字母表示，并用“”连接）． 13．如图，C是的中点，，添加一个条件使得，这个条件可以是_____________ （添加一个条件即可）． 14．如图，在的正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，则_________°． 15．点 P 在的平分线上，M、N分别是两边上的动点，连接、．若，则与之间的关系是___________ 16．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为18，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2、图3中正方形纸片均无重叠部分），则图3阴影部分面积为______． 三、解答题（共68分） 17．计算： (1) (2) 18．计算： 19．计算：． 20．先化简，再求值：（m﹣2n）（m+n）﹣（m﹣n）2．其中m=，n=﹣2． 21．下面是小东设计的尺规作图过程． 已知：如图，在中，， 求作：点，使点在边上，且到和的距离相等． 作法：①如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； ③画射线，交于点． 所以点即为所求． 根据小东设计的尺规作图过程： (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明．（每空1分，共4分） 证明：过点作于点，连接，． 在与中， ∵，，， ∴， ∴____________________． ∵， ∴___________． 又∵， ∴（           ）（填推理的依据） 22．如图，点、、、在一条直线上，，，，证明：且． 23．如图，在中，，，平分交于点． (1)求的度数． (2)若于点，是上一点，且．求证：是直角三角形． 24．如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)试判断与之间存在的数量关系．并说明理由． 25．在幂的运算中规定：若（且，、是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若，，用含的代数式表示（结果写成最简形式）． 26．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图可以用来解释．现有足够多的正方形卡片1号，2号和长方形卡片3号，如图． (1)根据图B完成因式分解：___________： (2)现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张．在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为___________； (3)现要拼出一个面积为的长方形，则需要1号卡片___________张，2号卡片___________张，3号卡片___________张； (4)若，比较图中的两个正方形面积之和与两个长方形面积之和的大小关系．并说明理由． 27．已知：在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小宁同学先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小宁的解题思路是：先证明_______；再证明______；即可得出，，之间的数量关系是______． (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：_______． 28．【问题提出】 （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作“偏等积三角形”．如图1，在中，，，，为上一点，当________时，与是偏等积三角形． 【问题探究】 （2）如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点，求的长度． 【问题解决】 （3）如图3，四边形是一个花园，，，（）与是偏等积三角形吗？请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 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