北京市房山区2026-2027学年北京版上学期八年级数学期中考试模拟试卷

北京市房山区2026-2027学年上学期八年级期中考试 数学模拟试卷 （卷面总分100分 考试用时120分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 2 分，共16分） 1．要使分式有意义，则x应满足条件（　　） A．x≠1 B．x≠﹣2 C．x＞1 D．x＞﹣2 2．化简的结果是（    ） A． B． C．4 D．2 3．下列式子从左到右运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 5．把分式的分子分母中的a，b都缩小到原来的，则分式的值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 6．完成某工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现由甲先做3天，乙再加入合作，直至完成这项工程，求甲、乙合作完成这项工程所用的时间；若设甲、乙合作完成此项工程一共用x天，则下列方程正确的是（    ） A． B． C．1 D．1 7．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 8．用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a和b，，例如：，则的值为（    ） A． B．5 C．13 D． 二、填空题（每题 2 分，共16分） 9．若分式值为0，则______. 10．请写出一个的值，使二次根式有意义：______． 11．计算：_______． 12．的算术平方根为________． 13．写一个实数，它与的和是有理数，这个实数可以是______． 14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______． 15．当整数_____时，分式的值为正整数． 16．已知，，，⋯，，其中为正整数．设，则的值是________． 三、解答题（共68分） 17．计算：． 18．计算：． 19．计算：． 20．计算：． 21．计算： (1) (2) (3) (4) 22．计算：． 23．解分式方程： (1)； (2)． 24．已知，求代数式的值． 25．随着人们环保意识的增强，混动汽车也成了广大消费者的宠儿．某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，费用为70元；若完全用电做动力行驶，费用为30元．已知汽车行驶中每千米的油费比电费多0.4元．求汽车行驶中每千米电费是多少元？ 26．阅读下列材料： 材料1：我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式。我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式．如将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． 原式 材料2：“我们把多项式叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法可以求代数式最大值、最小值等． 例如求代数式的最小值． 可知当时，有最小值，最小值是． 根据上面材料回答下列问题： (1)下列分式中，属于“假分式”的是：________（填序号） ①  ②  ③  ④ (2)当________时，代数式有最大值________； (3)将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为________； (4)求分式的最值． 27．若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，求所有满足条件的整数的值之和． 28．【先导问题】 通过计算我们发现，关于x的分式方程，当，时，使得关于x的分式方程的解为成立，那么我们称数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． 【提炼模型】 我们定义：如果两个实数a、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a、b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)【识别模型】 判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”（请在横线上填“是”或“否”）． ①________    ②________ (2)【应用模型】 若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． (3)【总结提升】 若数对（且，）是关于x的分式方程的“关联数对”．当k为整数时，求整数m的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市房山区2026-2027学年上学期八年级期中考试 数学模拟试卷 （卷面总分100分 考试用时120分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 2 分，共16分） 1．要使分式有意义，则x应满足条件（　　） A．x≠1 B．x≠﹣2 C．x＞1 D．x＞﹣2 【答案】A 【详解】由题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1， 故选A． 2．化简的结果是（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【详解】解：． 3．下列式子从左到右运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，以及分式的加减，根据分式的性质可判断A，B，C，根据分式的加减可判断D． 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，正确； D．，故不正确； 故选C． 4．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进而判断得出答案． 【详解】A．是最简二次根式，故此选项符合题意； B．不是最简二次根式，故此选项不合题意； C．不是最简二次根式，故此选项不合题意； D．不是最简二次根式，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题关键． 5．把分式的分子分母中的a，b都缩小到原来的，则分式的值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】C 【分析】本题考查分式的性质，a，b都缩小到原来的代入计算即可． 【详解】解：把分式的分子分母中的a，b都缩小到原来的得， ∴分式的值缩小为原来的， 故选：C． 6．完成某工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现由甲先做3天，乙再加入合作，直至完成这项工程，求甲、乙合作完成这项工程所用的时间；若设甲、乙合作完成此项工程一共用x天，则下列方程正确的是（    ） A． B． C．1 D．1 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题，列一元一次方程，根据各工作量之和等于总量，列出方程即可． 【详解】解：设甲、乙合作完成此项工程一共用x天，由题意，得：； 故选A． 7．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出、的长度，从而求出空白部分面积．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片， 小正方形边长为：，大正方形边长为， ， 图中空白部分的面积为：， 故选：B． 8．用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a和b，，例如：，则的值为（    ） A． B．5 C．13 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题目所给新运算的运算顺序和运算法则．根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 二、填空题（每题 2 分，共16分） 9．若分式值为0，则______. 【答案】-3 【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案. 【详解】∵分式值为0， ∴x+3=0，2x-6≠0， 解得，x=-3, 故答案为:-3. 【点睛】此题主要考查了分式的值为0的条件，正确把握定义是解题的关键. 10．请写出一个的值，使二次根式有意义：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数列出不等式解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴的值可以是， 故答案为：． 11．计算：_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算、约分等知识点，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 先根据分式加减运算法则计算，然后再约分即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．的算术平方根为________． 【答案】10 【详解】解：， 的算术平方根为． 13．写一个实数，它与的和是有理数，这个实数可以是______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减，有理数的定义，掌握知识点是解题的关键． 由于含有无理数部分，要使得与另一个实数的和是有理数，则另一个实数必须含有项，以抵消无理部分即可． 【详解】解：设所求实数为，则为有理数．设其和为（为有理数），则 ．取， 则． 此时，为有理数． 故答案为． 14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______． 【答案】/ 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，注意二次根式的性质：．根据数轴判断出和的取值范围，再根据二次根式的非负性化简式子即可得出答案． 【详解】解：根据数轴可得： ∴ ∴ 故答案为． 15．当整数_____时，分式的值为正整数． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质，分式有意义的条件，掌握分式的性质是解题关键． 由分式值为正可得，再由分式值为整数推出是的正约数，最后结合分母不为零的条件，得到唯一解． 【详解】解：∵的值为正整数，且是整数， ∴要使，则，要使为整数，必是的约数， ∵的正约数只有， ∴当，分母，且，满足条件． 故答案为：． 16．已知，，，⋯，，其中为正整数．设，则的值是________． 【答案】 【分析】根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】， ， ， ， ． 三、解答题（共68分） 17．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据二次根式的性质，化简绝对值，零指数幂与负整数指数幂进行计算即可求解． 【详解】解： 18．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法法则是解题关键． 根据分式的乘除法法则计算即可得出答案． 【详解】解： ． 19．计算：． 【答案】 【分析】先化简二次根式，再计算二次根式的乘除法，最后化简得到结果． 【详解】解： ． 20．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算二次根式的乘法，再进行加减计算． 【详解】解： ． 21．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式加减的运算法则． （1）先通分，再进行同分母的分式加法运算； （2）先通分，再进行同分母的分式减法运算； （3）先通分，再进行同分母的分式减法运算； （4）先通分，再进行同分母的分式加法运算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 22．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先分别利用完全平方公式以及平方差公式进行展开，然后再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 23．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程，熟练解分式方程是解题的关键． 解分式方程，先去分母，去括号，移项，合并同类项，求得后代入方程检验，即可解决问题． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， ． 经检验，原分式方程的解是． （2）解：原方程转化为， 去分母，得， 移项，合并同类项，得， ． 经检验，原分式方程的解是． 24．已知，求代数式的值． 【答案】6 【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据单项式乘以多项式、完全平方公式和平方差公式将括号展开后合并同类项得最简结果，再把代入计算即可得到结果． 【详解】解： ， ， 原式． 25．随着人们环保意识的增强，混动汽车也成了广大消费者的宠儿．某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，费用为70元；若完全用电做动力行驶，费用为30元．已知汽车行驶中每千米的油费比电费多0.4元．求汽车行驶中每千米电费是多少元？ 【答案】汽车行驶中每千米电费是0.3元． 【分析】设汽车行驶中每千米电费是x元，则每千米油费为元．由题意易得，进而求解即可． 【详解】解：设汽车行驶中每千米电费是x元，则每千米油费为元． 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：汽车行驶中每千米电费是0.3元． 26．阅读下列材料： 材料1：我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式。我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式．如将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． 原式 材料2：“我们把多项式叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法可以求代数式最大值、最小值等． 例如求代数式的最小值． 可知当时，有最小值，最小值是． 根据上面材料回答下列问题： (1)下列分式中，属于“假分式”的是：________（填序号） ①  ②  ③  ④ (2)当________时，代数式有最大值________； (3)将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为________； (4)求分式的最值． 【答案】(1)①④ (2)3； (3) (4)最大值为，无最小值 【分析】（1）根据题中所给新定义进行排除答案即可； （2）根据配方法进行求解即可； （3）令，则有，然后进行求解即可； （4）由可令，则，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：属于“假分式”的是①④； （2）解：∵ ， ∵， ∴当时，代数式有最大值； （3）解：由可令，则有， ∴原式， ∴； （4）解：由可令， ∴原式， ∵， ∴， ∴， ∴有最大值，无最小值． 27．若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，求所有满足条件的整数的值之和． 【答案】所有满足条件的整数的值之和是 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组． 先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负整数，确定的取值范围且，进而得到且，根据范围确定出的取值，相加即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得． 关于的不等式组至少有2个整数解， ，解得． 解分式方程，得． 关于的分式方程的解为非负整数， 为不等于1的非负整数， 可得，为偶数，且， 且，是偶数，则所有满足条件的整数的值之和是． 28．【先导问题】 通过计算我们发现，关于x的分式方程，当，时，使得关于x的分式方程的解为成立，那么我们称数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． 【提炼模型】 我们定义：如果两个实数a、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a、b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)【识别模型】 判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”（请在横线上填“是”或“否”）． ①________    ②________ (2)【应用模型】 若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． (3)【总结提升】 若数对（且，）是关于x的分式方程的“关联数对”．当k为整数时，求整数m的值． 【答案】(1)①否；②是 (2) (3)或 【分析】（）根据“关联数对”定义分别判断即可； （）根据“关联数对”定义得到，然后求解即可； （）根据“关联数对”定义得到，然后根据k为整数求解即可． 【详解】（1）解：当，时，分式方程无解，不符合“关联数对”的定义， ∴不是关于的分式方程的“关联数对”； ②当，时，解分式方程得：， 又，符合“关联数对”的定义， ∴是关于的分式方程的“关联数对”； （2）解：∵数对是关于的分式方程的“关联数对”， ∴， ∴， 整理得：， 解得：； （3）解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵k为整数，m为待求的整数， ∴为整数， ∴或， 解得或或0或1． ∵， ∴， ∵且， ∴或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $