第2章锐角三角函数单元练习提高卷 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第2章　锐角三角函数　单元测试卷（提高卷） 2026—2027学年湘教版九年级数学上册 时间：120分钟　　满分：120分 姓名：__________　　班级：__________　　考号：__________ 注意事项： 1．本试卷共三大题24小题，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前请将姓名、班级、考号填写清楚； 解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项） 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，AC＝6，BC＝8。下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 2．某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里。客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时后到达B处，则（　　） A． B．2 C． D． 3．一个直角三角形的两边长分别为3和4，则较小锐角的正切值是（　　） A． B． C．或 D． 4．等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，AB＝5，BC＝6，则的值是（　　） A． B． C． D． 5．如图，某主楼楼顶立有广告牌DE。小辉沿坡度i＝1∶0.75的斜坡从地面B处步行50 m到达C处，在C处测得广告牌底部D的仰角为45°、顶部E的仰角为53°（身高忽略不计）。已知广告牌DE＝15 m，则主楼AD的高度约为（　　）（sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3） A．80 m B．85 m C．89 m D．90 m 6．下列结论：①sin55°＞cos55°；②在Rt△中各边长都扩大为原来的2倍，锐角A的三角函数值不变；③若∠A＋∠B＝90°，则sin A＝cos B；④若α为锐角，则tan α＝tan(90°-α)。其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．楼梯坡面AB的坡比，坡长AB＝24 m；现将它改造为坡角15°的新坡面AC（C在地面的延长线上，坡高不变），则新坡长AC约为（　　）（sin15°≈0.259） A．23 m B．48 m C．24 m D．46 m 8．已知α为锐角，且cos(α＋30°)＝sin2α，则α等于（　　） A．30° B．25° C．35° D．20° 9．在△ABC中，AB＝15，BC＝14，△ABC的面积为84，则tan C的值是（　　） A． B． C． D． 10．已知关于x的方程有两个相等的实数根，且α为锐角，则α等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，斜边AB上的高CD＝12，则AB＝________。 12．已知α为锐角，且tan α＝2，则________。 13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝24，则sin B＝________。 14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的底角为________°。 15．等腰三角形的一腰长为10，面积为48，则它的底角的余弦值为________。 16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在斜边AB上且AD＝2，则________。 三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算：（1）；（2）已知α为锐角，且，求tan α的值（结果保留根号）。 18．（8分）如图，河流两岸有甲、乙两座山，从甲山A处向乙山B处拉电线。已知甲山上A点到河边C点的距离AC＝130 m，点A到河面CD的垂直高度为120 m；乙山BD的坡比为4∶3，乙山上B点到河边D点的距离BD＝450 m，从B处测得A处的俯角为25°。（参考数据：tan25°≈0.466）（1）求乙山B处到河面CD的垂直距离；（2）求河宽CD（结果保留整数）。 （18）题图 19．（8分）如图，斜坡CD底端C距楼栋AB底端A处30 m，斜坡CD长42 m，坡角为30°。现需在距斜坡底端C沿坡面12 m的M处，修建一条平行于水平线的观景平台MN和一条坡角为45°的新斜坡DN。（，）（1）求观景平台MN的长（结果保留根号）；（2）在N处测得楼栋顶端B的仰角为30°，且AB垂直于地面，求楼栋AB的高（结果精确到0.1 m）。 （19）题图 20．（8分）中国“蛟龙”号深潜器最大深潜极限为7062.68米。某天该深潜器在海面下2000米的A点处作业，测得俯角为30°正前方海底C处有黑匣子信号发出；该深潜器在同一深度直线航行3000米后到达B点处，再次测得俯角为45°正前方海底C处有信号发出。请通过计算判断“蛟龙”号能否在保证安全的情况下打捞黑匣子。（） （20）题图 21．（10分）在△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高AD＝12，求BC的长（注意分类讨论）。 22．（10分）某校学生在湖南烈士公园利用测角仪测量烈士纪念碑通高CD（碑顶D到水平地面的距离）。他们在地面A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30°，在B点测得碑顶D的仰角为60°，已知AB＝66 m，测角仪高度为1.5 m（A、B、C在同一直线上，C为碑底）。求纪念碑通高CD。（，结果保留一位小数） （22）题图 23．（10分）某机场地面雷达观测站O观测一架飞机。飞机在A处时，从O测得仰角为45°；飞机沿水平方向（高度不变）飞行到达B处，从O测得仰角为30°；随后飞机沿与水平线成60°角的方向爬升到C处，从O测得仰角又为45°。已知A、B间的距离为千米，且O、A、B、C在同一竖直平面内。（1）求飞机的飞行高度；（2）求B、C间的距离；（3）若飞机保持12千米/分钟的匀速飞行，求从B飞到C所用的时间。 （23）题图 24．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8。点P从点A出发，沿AC边以每秒1个单位的速度向点C匀速运动；同时点Q从点C出发，沿CB边以每秒2个单位的速度向点B匀速运动，当其中一点到达端点时另一点也随之停止。设运动时间为t秒。（1）用含t的代数式表示PC和CQ；（2）当t为何值时，△PCQ的面积等于8？（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（4）当t为何值时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？（写出所有情况）。 （24）题图 第2章　锐角三角函数　单元测试卷（提高卷） 参考答案与解析 一、选择题 1．【答案】D 【解析】AB＝10，（A正确）；（B正确）；（C正确）；，D错误，选D。 2．【答案】A 【解析】海里。北偏东30°与北偏西60°两方向的夹角∠APB＝90°，在Rt△APB中，选A。 3．【答案】C 【解析】①3、4为直角边时，斜边为5，较小锐角对边为3，；②4为斜边、3为直角边时，另一直角边，较小锐角对边为3，。故为或，选C。 4．【答案】B 【解析】取BC中点E，则AE⊥BC，。，；，，选B。 5．【答案】D 【解析】坡度i＝1∶0.75＝4∶3，坡长50 m，故铅直上升40 m、水平前进30 m。设主楼AD＝h。在C处测D仰角45°：D的水平距离等于C相对D的铅直高度，即。测E仰角53°：E距C的铅直高为h-40＋15，且，，解得h-40＝50，h＝90。故AD≈90 m，选D。 6．【答案】C 【解析】①sin55°＝cos35°＞cos55°，正确；②三角函数值只与角的大小有关，正确；③互余两角正余弦互换，正确；④tan α＝cot(90°-α)而非tan，错误。共3个正确，选C。 7．【答案】D 【解析】原坡角为30°（坡比1∶），坡高 m。新坡角15°，，约为46 m，选D。 8．【答案】D 【解析】cos(α＋30°)＝sin(60°-α)，故sin2α＝sin(60°-α)，2α＝60°-α，α＝20°，选D。 9．【答案】B 【解析】作AD⊥BC于D：，AD＝12。在Rt△ABD中，则DC＝14-9＝5，，选B。 10．【答案】B 【解析】Δ＝0：，（正值），α＝45°，选B。 二、填空题 11．【答案】25 【解析】由设BC＝3k，AC＝4k，AB＝5k。面积，，k＝5，AB＝25。 12．【答案】 【解析】分子分母同除cos²α：。 13．【答案】 【解析】由、AC＝24得BC＝10，。∠B与∠A互余，。 14．【答案】65或25 【解析】①高在三角形内部（顶角为锐角50°）：底角；②高在三角形外部（顶角为钝角130°）：底角。 15．【答案】或 【解析】底边上的高h：。设底的一半为x，且，解得x＝6，h＝8或x＝8，h＝6。，故为或。 16．【答案】 【解析】以C为原点、CA为x轴正方向建系：C(0，0)，A(6，0)，B(0，8)，AB＝10。D在AB上且AD＝2，故。。 三、解答题 17．【答案】（1）；（2）。 【解析】（1）原式（列式3分，结果1分）。 （2）∵α为锐角，（2分）。（2分）。 18．【答案】（1）360 m；（2）约835 m。 【解析】（1）过B作BF⊥CD于F。乙山坡比BF∶DF＝4∶3，设BF＝4t，DF＝3t，则BD＝5t＝450，t＝90，故BF＝360 m（3分）。 （2）过A作AE⊥CD于E、AH⊥BF于H。AE＝120，（1分）；矩形AEFH中HF＝AE＝120，BH＝360-120＝240（1分）。由俯角25°：，（1分）；DF＝3t＝270（1分）。故CD＝CE＋EF＋FD＝50＋514.7＋270≈835 m（1分）。 19．【答案】（1） m；（2）AB≈35.7 m。 【解析】（1）斜坡CD坡角30°、长42 m，D点铅直高＝42·sin30°＝21 m，水平投影 m（1分）。M沿坡面距C 12 m：M的高＝12·sin30°＝6 m，M距C的水平距离 m（1分）。新坡DN坡角45°，D比N高21-6＝15 m，故N比D水平后退15 m（1分）。 m（2分）。 （2）N距C的水平距离（1分），N距A的水平距离，N的高为6 m。由仰角30°：，（1分）， m（1分）。 20．【答案】能安全打捞（黑匣子深度约6098米＜7062.68米）。 【解析】设C到A、B所在水平面的铅直深度为h，B到C正上方点的水平距离为x。在B处俯角45°，，h＝x（2分）；在A处俯角30°，，（2分）。联立，，（1分）。h≈4098，故黑匣子所在深度为2000＋4098＝6098米（2分）。∵6098＜7062.68，∴“蛟龙”号能安全打捞（1分）。 21．【答案】BC＝14或4。 【解析】在Rt△ABD中，（2分）；在Rt△ACD中，（2分）。当高AD在△ABC内部时，BC＝BD＋DC＝5＋9＝14（3分）；当高AD落在△ABC外部（∠B为钝角）时，BC＝DC-BD＝9-5＝4（3分）。故BC＝14或4。 22．【答案】CD≈58.7 m。 【解析】设测角仪水平视线到碑顶D的铅直高度为h，B点到碑的水平距离为x。在B处仰角60°，（2分）；在A处仰角30°，（2分）。联立，3x＝x＋66，x＝33（3分）。 m（2分），∴通高CD＝h＋1.5≈58.7 m（1分）。 23．【答案】（1）飞行高度6千米；（2）BC＝12千米；（3）1分钟。 【解析】（1）设飞机的飞行高度为h千米，飞机在A处时到O的水平距离为x千米。在A处仰角45°，，故x＝h（2分）。飞机水平飞到B处高度仍为h，仰角30°，此时到O的水平距离为x＋AB，，即（2分）。两式相减，得h＝6，即飞行高度为6千米（1分）。 （2）设从B沿水平方向前进u千米到达C的正下方投影点，则C的高度为，到O的水平距离为（2分）。由C处仰角45°，，解得u＝6（1分）。故千米（1分）。 （3）时间分钟（1分）。 24．【答案】（1）PC＝6-t，CQ＝2t（0≤t≤4）；（2）t＝2或4；（3）存在，；（4）或。 【解析】（1）PC＝AC-AP＝6-t，CQ＝2t。P到C需6 s，Q到B需 s，故0≤t≤4（2分）。 （2）。令t(6-t)＝8，得，解得t＝2或t＝4，均在0≤t≤4内（2分）。 （3）在Rt△PCQ中，。令，解得，在0≤t≤4内，故存在（2分）。 （4）△PCQ与△ABC均为直角三角形且∠C＝90°，分两种对应：①△PCQ∽△ACB，则，即，解得（2分）；②△PCQ∽△BCA，则，即，解得（1分）。两解均在范围内，故或（1分）。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $