第7期：第2章 锐角三角函数 章节测试卷-【数理报】2026-2027学年九年级(中考)数学学案（湘教版·新教材）

《锐角三角函数》章节检测卷 ◆数理报社试题研究中心 (答题时长120分钟，满分120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1.2sin30°的值为 ) λ方 B.1 C.2 2.如图1，在△ABC中，∠C=90°，BC=2,AC=3,则 郑 tanB的值是 A. 3√13 3 c.23 13 13 D.3 图1 图2 图3 3.如图2，某小区的一块草坪旁边有一条直角小路，社区 为了方便群众，沿AC修了一条近路，已知AB=80米，新修小 路与AB的夹角∠CAB为40°，则走这条近路AC的长可以表 示为 ) 拓 A.80sin40°米 B.80cos40°米 80 sin40°米 D.、 80 s40°米 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA= 子，则sinA的 值是 ( ) C. D 5-3 5.如图3，在△ABC中，已知AD是BC边上的高，DC=1, BD=2,tanB=cos∠DAC,则AB的值为 ( A.5 B.7 C.3 D.7 解 6.某商场有一自动扶梯AB,扶梯相关数据如图4所示， 则下列关系或说法不正确的是 ( A.扶梯AB的坡角是28° B.扶梯AB的坡度是tan28° C.用计算器求AB的长，按键为⑦日sim28= 7 D.AB tan 28 7米 )289 图4 图5 7.如图5，点A到点C的距离为200米，要测量河对岸B 点到河岸AD的距离.小明在A点测得B在北偏东60°的方向 上，在C点测得B在北偏东30°的方向上，则B点到河岸AD 的距离为 A.100米 B.200米C.205米D.1005米 3 8.如图6所示，某景区以山脚A为起点，沿途修建长度分 别为1200m,900m的两段索道AB和CD及观景平台BC(BC ∥AF),已知索道AB与AF的夹角是20°，CD与BC的延长线 的夹角是60°，则点D到AF的距离是 A.(450√3+1200sin20°)m B.(450√/3+1200cos20°)m C.(450+1200sin20°)m D.(450/3+1200tan20°)m M 22 45 C B 图6 图7 9.潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯 视景区全貌.某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高 度，测量方案如图7所示，无人机在距水平地面119m的点M 处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向 飞行74m到达点N,测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M, N,A,B在同一平面内)，则潮汐塔AB的高度为（结果精确到 1m.参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈ 0.40) A.41m B.42m C.48m D.51m 10.如图8，在平面直角坐标系xOy 中，AB=√5，连接AB并延长至点C,连接 0C,若满足0C=BCAC,ma=7,则 点C的坐标为 ( A.(-2,4) B(号) 图8 c（-) D.(-1,2) 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1.如图9，在R△ABC中，∠C=90°，imA=号，BC= 3,则AB= 3 图9 图10 12.如图10，一架落地座钟的钟摆长2m,钟摆摆动时，偏 离铅垂线的最大夹角为α，那么，钟摆摆至最高位置与摆至最 低位置的高度之差为 m(用含a的式子表示). 13.如图11，在△ABC中，sinB= 3,tan C=2,AB =3, 则AC的长为 航行方向 帆 F风向 B 01 B D 图11 图12 图13 14.无动力帆船是借助风力前行的.图12是帆船借助风 力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的 夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对 帆的作用力F为400N.根据物理知识，F可以分解为两个力 F,与F2,其中与帆平行的力F,不起作用，与帆垂直的力F, 可以分解为两个力f与，∫与航行方向垂直，被舵的阻力抵 消：近与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力.在物理 学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：F =AD=400,则f3=CD= （单位：N,参考数据： sin40°≈0.64，c0s40°≈0.77). 15.电力公司在农村电网改造升级工程中把某一输电线 铁塔AB建在了一个坡度为1：0.75的山坡CD的平台BC上 (如图13)，测得∠AED=52.5°，BC=5米，CD=35米，DE =19米，则铁塔AB的高度约为 （参考数据： sin52.5°≈0.79，cos52.5°≈0.61，tan52.5°≈1.30). 16.如图14，已知正方形ABCD边长为A D 1,E为AB边上一点，以点D为中心，将E △DAE按逆时针方向旋转得到△DCF,连 M 接BF,分别交BD,CD于点，N,老、 B C 图14 子则sin_KD#= 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17.(6分)计算： ）tan30°-2sin60c0s45°+3an30°sin45°； (1) 2 (2)已知1am(a+159)=号，求锐角a的度数 18.(6分)在△ABC中，∠C为直角，∠A,∠B,∠C所对 的边分别为a,b,c,且a=3,∠A=30°，解这个直角三角形. 19.(8分)如图15，在△ABC中，AB=AC=13,BD⊥AC 于点如4=是 (1)求BD的长； (2)求tanC的值. 图15 20.（8分)如图16，在口ABCD中，点E,F分别在BC,AD 上，BE=DF,AC=EF (1)求证：四边形AECF是矩形； (2)若AE=BE,AB=2,tan_ACB=之，求BC的长 D 图16 21.(10分)如图17，某渔船向正东方向以14海里/时的 速度航行，在A处测得小岛C在北偏东70°方向，2小时后渔 船到达B处，测得小岛C在北偏东45°方向，已知该岛周围20 海里范围内有暗礁（结果精确到0.1海里，参考数据：sin70° ≈0.94，c0s70°≈0.34，tan70°≈2.75，√2≈1.41). (1)求B处距离小岛C的距离； (2)为安全起见，渔船在B处向东偏南转了25°继续航 行，通过计算说明船是否安全？ 709 459 D B 25° 图17 22.(10分)综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海 河上一座桥的桥塔AB的高度（如图18-①）.某学习小组设 计了一个方案：如图18-②，点C,D,E依次在同一条水平直 线上，DE=36m,EC⊥AB,垂足为C.在D处测得桥塔顶部B 的仰角（∠CDB)为45°，测得桥塔底部A的俯角（∠CDA)为 6°，又在E处测得桥塔顶部B的仰角（∠CEB)为31°. (1)求线段CD的长（结果取整数）； (2)求桥塔AB的高度（结果取整数，参考数据：tan31° ≈0.6，tan6°≈0.1). B C ① ② 图18 23.(12分)如图19，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD,AE分别与CD,CB 相交于点H,E,AH=2CH, (1)求sinB的值； (2)如果CD=√5，求BE的值. 图19 脚 24.（12分)【学科综合】我们知道：光线从空气中射入水 中，会发生折射现象（如国20-①），我们把1=册合称为光 线从空气射入水中的折射率（其中代表入射角，B代表折射 角). 些 【观察实验】为了观察光线从空气射入水中的折射现 象，设计了如图20-②所示的实验，用激光笔MW发射激光， 图20-③是实验的示意图，矩形ABFE为水槽的截面图，水 槽未注水时，P点发出的一束激光正好在水槽底端B处形成 光斑，保持激光入射角度不变，注满水后，光斑移动到C点， 点A,C,B在同一直线上，测得BF=24cm,DF=32cm. (1)求tana的值； (2)若BC=14cm,求光线从空气射入水中的折射率n. 个射角0：法线 M 空气 D 折射角B 水 E 烯 B ① (② 图20 ® 参考答案见下期初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 发理柄 答案详解 2026~2027学年 初中数学湘教中考 第6~9期(2026年8月)》 6期2版 重点集训营 2.3解直角三角形 1.解：如右图，过点B作BM 1.B:2D:3(号6： 4.4+22 ⊥AD,过点E作EN⊥AD, 教 因为斜坡AB的坡度i=5:校门 B 5.解：(1)在△ABC中，因为AD是BC边上的高， 12, E 所以∠ADB=∠ADC=90° 所以M、5 因为C=是，C为能角. Aw=2: 又因为AB=13米， 所以∠C=45°. 所以BM=5米，AM=12米， 在△ADC中，因为∠ADC=90°，AD=1,∠C=45°， 所以BM=DF=5米. 所以DC=AD=1. 设EF为x米，则BF=(4+x)米， 在△ADB中，因为∠ADB=90°， 因为∠CBF=45°， 所以sinB=AD=⊥ 所以BF=CF=(4+x)米 因为∠CEF=60°， 又因为AD=1, AD 所以tam60:= =4+x 所以AB= sin B =3, 所以BD=√AB2-AD=22, 解得x=2+2米， 所以BC=BD+DC=2,2+1. 所以CF=(6+25米， (2)因为AE是BC边上的中线， 所以CE=BE=万+之， 所以CD=CF+FD=（11+2F）米 所以DE=CE-CD=万-之， 答：楼顶C的高度CD为11+2万）米 所以am∠D4E-6=E-子 2.解：延长AB交ED的延长线于点F,过点C作CG⊥AF, 垂足为G. 2.4解直角三角形的应用 (1)由题意，得CG=36米，∠BFD=90°， 1.B;2.8;3.105. 因为斜坡BD的坡度i=1:2.4, 4.解：如图1，过点C作CD1AE交AE 所以C=1.5 的延长线于点D, 0=2.4=2 设CD=xm, 所以BG=15米. 在Rt△CBD中，∠CBD=45° 在Rt△BCG中，由勾股定理，得 ∠BCD, 图1 BC=√/CG+BG=39(米). 所以BD=CD=xm. 答：BC的长度为39米 在Rt△CAD中，∠CAD=42°， (2)因为BC=39米，CD=260米， 所以AD=am2“0g 所以BD=299米. 因为斜坡BD的坡度i=1:2.4, 因为4B=10m,所以0)-x=10, 所以易得BF=115米，DF=276米， 因为AB=129米，所以AF=244米. 解得x≈90， 所以山顶C点处的海拔高度约为1600十90=1690(m). 在Rt△AEF中，tam27°=4g EF 初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 所以EF=AF an27≈478（米）， 所以TC=25. 因为CD≤DT+CT, 所以DE=EF-DF=478-276=202(米). 所以CD≤1+25， 答：轮船E距离海岸线D的距离ED的长约为202米 6期3,4版 所以CD的最大值为1+25. 一、选择题 二、填空题 9.60;10.6.4;11.10；12.(415-25): 题号12345 678 13.18. 答案BCBCCBAB 提示： 提示： 12.解：如图4，过点E作水平地面 6.解：如图1，过点0作EF1OM,A 的平行线，交AB的延长线于点H,则 过点A作AG⊥EF于点G, E G 0◆B LBEH=∠DCF. 因为AB=6米，0A:0B=2:1, B 在Rt△BEH中，tan∠BEH= B E 所以0A=4米，0A1=4米， 地面 图1 m∠BcF=g= C72ah 因为∠A,OM=120°，∠EOM= 图4 90°，所以∠A10E=30°. 设BH=x米，则EH=2x米， 在Rt△A10G中，A1G=A0·sin30°=2（米），点A位于最 所以BE=√EH+BⅢ=5x米， 高点时到地面的距离为2+3=5（米）， 所以5x=10,得x=25, 所以点A位于最高点A,时，点A1到地面的距离为5米. 所以BH=25米，EH=45米 7.解：如图2，过P作PC⊥AB于C, 北 因为∠EAH=180°-60°-90°=30°， 由题意知∠PAB=30°，∠PBC= 所以AH=√5EH=4√5米， 60°， 所以AB=AH-BH=(4√15-2√5)米， 所以∠APB=∠PBC-∠PAB= 图2 即大树AB的高为(4√5-25)米. 60°-30°=30°， 所以∠PAB=∠APB, 13.解：如图5所示，过点B作BE/AC,与 所以AB=PB. AD的延长线交于E,过点B作BF L AE于点 B F, 在Rt△PAC中，AP=65千米， 因为BE∥AC,所以∠E=∠CAD, 所以PC=sin∠PAC,PA=PM=35千米。 又因为∠ADC=∠EDB, 图5 在R△PBC中，sm∠PBC=常 所以△ADC△EDB, 所u品品-合号 3 所以-语， PB· 设AD=3x(x>0),则DE=5x, 所以PB=6千米 所以AE=AD+ED=8x. 所以AB=6千米 因为AD是∠BAC的平分线， 8.解：如图3，在AD的下方作Rt△ADT, 所以∠BAD=∠CAD, 使得∠ADT=90°，DT=1,连接CT, 所以∠BAD=∠E, 则AT=5, 所以AB=EB. 因为BF⊥AE, 因为品-是=2 所以EF=AP=分46=4， 所品C 图3 所以DF=AF-AD=4x-3x=x 又因为∠ADT=∠ABC=90°， 因为∠ADC=∠EDB, 所以△ADT△ABC, 所以os∠AC=s∠B0B-品-子 AT 厅以∠DAT=∠BAC,8花 因为BD=10,所以FD=6,所以x=6, 所以LDAB=∠TAC,4D=AB 所以AD=3x=3×6=18. ·AT=AC 三、解答题 所以△DAB△TAC, 14.解：因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90° 所以织-4D=2 因为∠B=30,所以AD=4B=3. 2 初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 因为tanC=3,所以0= 3 设CH=xm,则AH=4xm, =3, 在Rt△ACH中，由勾股定理，得x2+(4x)2=AC2=9, 所以CD=1. 所以AC=√A+CD=√32+1下=0. 解得=3侣（负位合， 15.解：如图6，过点C作CH 所以cH=3 LAB于点H,过点D作DG⊥AB, 17 -m, 60P 交AB的延长线于点G 45o 309 60°习 37 D 因为∠CAB=45°， CH 17 334 H B G 所以sinLAPC= CP = 34 AC 30 n mile, 图6 18.解：(1)如图8，过B作BM⊥I于M, 太阳 所以AH=CH=15√2 n mile. 光线 所以CD=BM=1.5米， 因为∠CBH=60°， BC=DM=1.5米， B 所以BC= cH-152=106(n mile). sin60°= 5 在Rt△BEM中，tan∠BEM=BM EM D EM 图8 因为∠DBG=180°-60°-30°-60°=30°， 即5=1.5 EM' 所以∠BDG=60°， 所以EM=0.3米， 所以∠CDB=180°-60°-60°=60°， 所以DE=DM-EM=1.5-0.3=1.2(米). 因为∠CBD=30°+60°=90°， 答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为1.2米. 所以cD=BC。=09=202(n mile). (2)如图9，过B作BF⊥AC于F,过B 光线 5 作BM⊥I于M, 2 则BF=DM=1.2米， 答：C,D间的距离为20√2 n mile. 所以CF = √BC-BFP 16.解：(1)如图7，过点B作BC D EM ⊥AF,则四边形BEFC是矩形， 1.52-1.22=0.9(米)， 图9 所以BM=DF=CD-CF=1.5-0.9=0.6(米)， 因为山坡AB的坡度i=1:√5， B人53 由表格可知，在12时。~14时，α的正切值逐渐减小， 所以∠A=30°， A30° 所以∠BEM逐渐变小， 由题意知AB=300m, 图7 所以14时，点E最靠近墙角，此时DE的长度就是绿萝摆 所议EF=BC=4B=150m, 放位置与装壁的最远距离，在△BV中，m∠BEM一微 因为DF=534m, 所以DE=DF-EF=384m. 即125=所以EM=04格米， 答：B,D两地间的垂直高度差DE为384m 所以DE=DM-EM=1.2-0.48=0.72(米). (2)由(1)知，在Rt△BDE中，∠DEB=90°，∠DBE= 答：绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是0.72米. 53°，DE=384m, 7期 所议B058=460(m. 384 一、选择题 300÷30+480÷16=40(min). 题号 1 2 4 6 7 8910 答：他们从山脚A处到山顶D处需要40mim. 答案BBDBBDDAB C 17.解：(1)由题意可得PQ上AE,PQ=2.6m,AB=CD= 提示： EO 1.6 m,AE BO 4 m,AC BD =3 m, 9.解：如图1，延长BA交MW于M 则CE=4-3=1(m),PE=2.6-1.6=1(m). 28 459 点C,则∠ACN=90°， 因为∠CEP=90°，CE=PE, 由题意可知，BC=119m,MW= 所以B=∠PCE=45°， 74m. ma=tm∠PME=-子 因为∠BWC=45°，∠BCN= 图1 (2)因为CE=PE=1m,∠CEP=90°， 90°， 所以CP=√2+1下=√2(m). 所以CN=CB=119m, 过点C作CH⊥AP于点H, 所以CM=CN+MW=119+74=193(m), 因为an&=tanL PAE=Cl-L AH=4 所以tan∠Awc=品-号 =tan22°， 3 初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 所以AC≈77.2m, 因为BM=CN=28米， 所以AB=BC-AC=119-77.2=41.8(m)≈42(m). 所以AB=AM-BM≈58.5-28=30.5（米）， 10.解：过点C作CD⊥x轴，垂足为D, 即铁塔AB的高度约为30.5米. 则∠OCD=∠B0C= 16.解：如图3，过点E作EG⊥BD于点A 因为ma:分：80 G 所以CD=2D0. 由已知5、2 因为OC=BC·AC, 设AE=2x,则DN=5x, 图3 所以%-总 由旋转性质得CF=AE=2x,∠DCF =∠A=90° 又因为∠AC0=∠BCO, 因为四边形ABCD是正方形， 所以△CB0∽△COA, 所以∠DCB=90°，∠ABC=90°，∠ABD=45°， 所以∠CA0=∠COB=. 所以∠DCB+∠DCF=180°， 1 因为tana=2, 所以点B,C,F在同一条直线上 因为∠NCF=∠EBF,∠NFC=∠EFB, 所以0=之 所以△FNC∽△FEB, 所以A0=2B0, 所以C。CF EB=BF 在Rt△AB0中，A0+B02=AB,AB=5, 所以4B02+B02=5, 即-5x 所以B0=1,所以A0=2B0=2. 因为∠CD0=∠BOA=90°，∠BA0=∠CAD, 解得=-1（含去），出=石 所以△BAO△CAD, 所以OB=40 所以AE=2x石=方 CD=AD' 即0020n 2 所以ED=√AE+AD2 +1= 2 解得0D=子， 2 EB=AB-AE=1-专 二3 在Rt△EBG中， 所0：手， EG=BE·sin45°= 2 3 2 31 所以c(子，专) 2 二、填空题 所以sin∠EDM= EG 3 ED= = 10 5 1.9:12.(2-2 cos):13.);14.1283 3 三、解答题 15305米：165 5 17.解：(1) -2sin60°cos45°+3tan30°sin45o tan30° 提示： 15.解：如图2，延长AB交ED的延长线 -2×x 2 3 +3×x号 3 于点M,则AM⊥ME,过点C作CN上MD,则 3 CN=BM,BC=MN=5米 B: 在Rt△CDN中，CD=35米，因为坡比i =25-9 2 =1:05所以会=手 MN D =25. 图2 设CN=4k,DN=3k, (2)因为tan(a+15°)= 3 所以CD=5k=35,解得k=7, 所以CN=28米，DWN=21米. 所以a+15°=30°， 又在Rt△AEM中，∠AEM=52.5° 所以a=15°. ME=MW+DW+DE=5+21+19=45(米)， 18.解：因为∠C=90°，∠A=30°，a=√5， 所以AM=ME·tan52.5°≈45×1.30=58.5（米）. 所以sinA=a=1 c=2,∠B=60, -4 初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 所以c=2a=25. 所以CN=BC·sin∠CBW≈162×0.94≈21.2（海里）. 因为csA=占=月 因为21.2>20，所以船能安全通过. c 2 答：船能安全通过。 所u6=吾-吾×25=8 22.解：(1)设CD=xm,由DE=36m,得CE=CD+DE =(x+36)m. 19.解：(1)因为在△ABC中，AB=AC=13,BD⊥AC于 因为EC⊥AB,垂足为C,∠BDC=45°， 点a,mA=吕。 所以BC=CD=xm. 所以器号即号号 在△BCE中，m∠cEB=器∠cEB=3, 解得BD=12. 所以BC=CE·tan∠CEB=(x+36)·tan31°， (2)因为AC=AB=13,BD=12,BD1AC, 所以x=(x+36)·tan31°， 所以AD=5,所以DC=AC-AD=13-5=8. 解得x=36×m3-36×0:6=54 1-tan3°≈-06 所以tanC=BD-l2.3 0=8=2 答：线段CD的长约为54m 20.(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形， (2)在△ACD中，am∠CDA=品∠CDA=6, 所以AD=BC,AD∥BC. 所以AC=CD·tan∠CDA=54×tamn6°≈54×0.1= 因为BE=DF,所以AD-DF=BC-BE, 5.4(m). 即AF=EC, 所以AB=AC+BC=5.4+54≈59(m). 所以四边形AECF是平行四边形. 答：桥塔AB的高度约为59m. 又因为AC=EF, 23.解：(1)因为∠ACB=90°，CD是AB边上的中线， 所以平行四边形AECF是矩形 所以CD=BD,∠ACD+∠BCD=90°， (2)解：因为四边形AECF是矩形， 所以∠AEC=∠AEB=90°. 所以∠B=∠BCD, 因为AE=BE,所以△ABE是等腰直角三角形， 所以∠B+∠ACD=90° 所板=能=竖6=反 因为AH⊥CD, 所以∠AHC=90°， 因为m∠4CB=瓷-号 所以∠ACD+∠CAH=90°， 所以∠B=∠CAH, 所以EC=2AE=22, 所以sinB=sin∠CAH. 所以BC=BE+EC=√2+22=32， 在Rt△ACH中，因为AH=2CH, 即BC的长为32. 所以AC=√Af+CH=W5CH, 21.解：(1)如图4，过点 所以sin∠CAH= CH=CH =5 C作CM⊥AD于M, AC √5CH 5 由题意得，∠CAD=90 70° 45 -70°=20°，∠CBD=90°-A 即snB=得 B 25°M 45°=45°，AB=14×2= (2)因为CD=5,sinB= 5 28(海里)， 5 图4 因为∠CBD=45°， 所以AB=2CD=25, 所以CM=BM, 所以AC=2. 在Rt△CAM中，.tanLACM=AM 因为∠CAH=∠B, CM 即tan70°=28+CM 所以sin∠CAH=sinB=尽 5 CM 解得CM≈16. 设CE=x(x>0),则AE=5x, 在Rt△BCM中，BC=2CM=162≈22.6（海里）. 由勾股定理，得x2+22=(5x)2, 答：B处距离小岛C的距离约为22.6海里。 所以CE=x=1(负值舍去)， (2)如图4，过点C作CN⊥BE于N. 在Rt△ABC中，因为AB=25,AC=2, 在Rt△BCN中，∠CBN=45°+25°=70°，BC=16√2海 所以由勾股定理得BC=4, 里， 所以BE=BC-CE=3. 初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 24.解：(1)如图5，过点D作DG1AB,垂P 所以x=1,志匝。1去面 足为G, 2×2 4 因为四边形ABFE是矩形， 所以∠ABF=90°，∠EFB=90°， 因此，原方程的根为x=二1+ ,龙2=二1-7 4 4 图5 所以四边形DGBF是矩形， (2)原方程可化为x2-4x+4=6-x, 所以DG=BF=24cm,BG=DF=32cm. 即x2-3x-2=0. 在△DGB中.m∠B0G-器-器=手 4 这里a=1,b=-3,c=-2, 因而62-4ac=(-3)2-4×1×(-2)=17, 由对顶角相等得∠BDG=a, 所以原方程的根为=3+，五，=3-，叵 所以ama=lam∠BDG=手 2 3.2.3因式分解法 (2)由(1)知BG=32cm,DG=24cm, 1.D;2.B;3.1; 因为BC=14cm,所以CG=BG-BC=18cm, 4.解：(1)原方程可化为 在Rt△CDG中，CD=√CG+DG=30cm, (2x-3)2-3(2x-3)=0, 所以血B=答=号 3 把方程左边因式分解，得 (2x-3)(2x-6)=0, 在Rt△BDG中，BG=32cm,DG=24cm, 由此得2x-3=0或2x-6=0, 所以BD=√BG+DG=40em, 3 所以sin&=sinL.BDG=BC-4 解得=之西=3， BD 5 (2)把方程左边因式分解，得 4 (x-4)(x+3)=0 所以折射率a-品治是- 5 4 由此得x-4=0或x+3=0, 5 解得x1=4,x2=-3. 答：光线从空气射人水中的折射率n为子 重点集训营 1.解：(1)移项，得3x2-4x+1=0. 8期2版 这里a=3,b=-4,c=1, 3.1一元二次方程的概念 因而b62-4ac=(-4)2-4×3×1=4, 1.B;2.D;3.1000(1+x)2=1690:4.2. 5.解：原方程可化为 所以x=49-2 3×2 3 2(x2-2x+1)+bx-b+c=0, 1 整理，得2x2+(b-4)x+2-b+c=0, 所以原方程的根为，=1，=3 所以b-4=-3,2-b+c=-1, (2)这里a=5,b=-5,c=3, 解得b=1,c=-2. 因而62-4ac=(-5)2-4×5×3=-35<0, 3.2.1配方法 所以方程无实数解. 1.C;2.m>1;3.14; (3)这里a=1,b=-26,c=-5, 4.解：(1)(x+3)2-25=0, 因而b2-4ac=(-26)2-4×1×(-5)=44, (x+3)2=25, 所以x=26主座=6±瓜， 开方，得x+3=5或x+3=-5, 2 解得1=2，=-8； 所以方程的根为x=6+, (2)x(x-6)=6, x2=6-. 配方，得(x-3)2=15, 2.解：(1)这里a=1,b=-2(k-3), 开方，得x-3=5或x-3=-√5， c=2-4h-1, 解得x=3+√15，x2=3-√15. 因而62-4ac=4(k-3)2-4(k2-4k-1) 3.2.2公式法 =-8k+40 1.B:2.B: 因为方程有实数根，则-8k+40≥0， 3.k<-3. 解得k≤5. 4.解：(1)这里a=2,b=1,c=-2, (2)由已知，得x=1是方程的根， 因而6-4ac=12-4×2×(-2)=17, 代人，得1-2(k-3)+2-4h-1=0, 6 初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 整理，得2-6k+6=0, 所以x4-2x3+3x=4-4x=4-2(-1+5)=6-25. 这里a=1,b=-6,c=6, 三、解答题 因而6-4ac=(-6)2-4×1×6=12, 17.解：(1)开方，得x-2=2或x-2=-2, 所以k=6±2 解得x1=4,x2=0, 2 =3±5， (2)左边因式分解，得(x-1)(x-5)=0, 所以k=3+5,2=3-5. 解得x1=1,x2=5. 8期3,4版 (3)这里a=4,b=-25,c=-1, 一、选择题 因而62-4ac=(-25)2-4×4×(-1)=28, 题号 1 3 6 7 10 所以x=25±2图-5±万 答案D B BB 2×4 4 提示： 解得41=5五，=5：五 4 4 10.解：分两种情况： 18.解：把x=3代入方程a2-bx=3,得 ①.当x>-x,即x>0时， 9a-3b=3,即3a-b=1, 因为maxx,-x=x2-3x-5, 所以2025-3a+b=2025-(3a-b) 所以x=x2-3x-5, =2025-1=2024 整理，得x2-4x-5=0, 19.解：他俩的解答都不正确。 因式分解，得(x-5)(x+1)=0, 我的解答：移项，得3(x-3)-(x-3)2=0, 所以x-5=0或x+1=0, 提取公因式，得(x-3)[3-(x-3)]=0, 解得x=5,:=-1(舍去)； 去括号，得(x-3)(3-x+3)=0, ②.当x<-x,即x<0时， 则x-3=0或6-x=0, 因为maxx,-x}=x2-3x-5, 解得x1=3,x2=6. 所以-x=x2-3x-5, 20.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下： 整理，得X2-2x-5=0, 因为x=-1是方程的根， 配方，得(x-1)2=6, 所以(a+c）×(-1)2-2b+(a-c)=0, 开方，得x-1=±6， 所以a+c-2b+a-c=0,即2a-2b=0, 所以x-1=√6或x-1=-6, 所以a=b, 解得x=1+√6（舍去），x2=1-√6. 所以△ABC是等腰三角形 综上所述，x=5或x=1-√6. (2)因为△ABC是等边三角形，所以a=b=c, 二、填空题 所以(a+c)x2+2bx+(a-c）=2ax2+2ax=0, 11.x1=6,x2=-6;12.-1; 所以x2+x=0,解得1=0，x2=1. 13.9,x1=x2=3;14.m≤2且m≠1； 21.(1)解：根据题意，得 15.x2-6x+6=0:16.6-25. (22+5x-3)-(x2+x-8)=2, 提示： 整理，得(x+2)2=1, 16.解：因为x2+x-1=0, 解得x1=-1,x2=-3, 所以x2+x=1,x2=1-x, 即当x为-1或-3时，代数式A比B的值大2. 所以x-2x3+3x (2)证明：A-B=(2x2+5x-3)-(x2+x-8) =x4+x3-3x2+3x =2x2+5x-3-x2-x+8 =x2(x+1)-3x·x2+3x =x2+4x+5 =1-x-3x(1-x）+3x =x2+4x+4+1 =1-x-3x+3x2+3x =(x+2)2+1, =1-4x+3(1-x）+3x 对于任意的x值，(x+2)2≥0， =1-4x+3-3x+3x 所以(x+2)2+1>0,即A-B>0, =4-4x. 所以对于任意的x值，代数式A-B的值恒为正数， 由x2+x-1=0,且x>0, 22.解：(1)③. 解得x=1+⑤ (2)因为3x2+mx+n=0是关于x的“完美方程”， 2 所以m=3+n,所以n=m-3, 初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 所以原方程为3x2+mx+m-3=0. 6.解：(1)将x1=1代人方程，得6+m=0,m=-6. 因为m是此“完美方程”的一个根， 由根与系数的关系，得1+2=-2， 所以3m2+m2+m-3=0,即4m2+m-3=0, 所以x2=-3. 解得m=-1或m=4 3 m的值为-6，方程的另一根为-3. 23.解：(1)因为(x+5)(x+9)=5, (2)由题意，得x+=-2,x名=受 所以[(x+7)-2][(x+7)+2]=5, 因为x+x号+212-xx号=(x1+x2)2-(x2)2=0, 所以(x+7)2-22=5, 所以(x+7)2=9, 所以4-牙=0，解得m=士4 所以x+7=3或x+7=-3, 又因为4=42-8m≥0，所以m≤2， 解得x=-4,x2=-10. 所以m=-4. 所以上述过程中的a,b,c,d表示的数分别为7,2，-4，-10. 3.5一元二次方程的应用 故填7；2；-4；-10. 1.B;2.D;3.2;4.9. (2)因为(x-5)(x+7)=12, 5.解：(I)因为四边形ECDF是矩形，所以CE=26-x 2 所以[(x+1)-6][(x+1)+6]=12, 所以(x+1)2-36=12, 由题意，得26x.x=60, 2 所以(x+1)2=48, 解得x1=6,x2=20. 所以x+1=43或x+1=-43, 因为0<x≤8，所以x=20不合题意，舍去， 解得x=-1+45,x2=-1-45. 所以x=6. 24.解：(1)3=2×i=-i, 答：当苗圃园的面积为60m2时，x的值为6. 4=2×2=1, (2)因为四边形ACDF是矩形， 6=(2)3=-1, 所以AC=26+8-2红=17-x 2 224=(2)102=1. 故填-i;1;-1;1. 依题意，得8≤七， 解得8≤x<17. l17-x>0, (2)因为(x-1)2=-1,所以(x-1)2=2, 由题意，得(17-x)x=60, 所以x-1=±i, 整理，得x2-17x+60=0, 所以x1=1+i,x2=1-i 解得x1=5(舍)，x2=12. (3)移项，得x2-4x=-8, 答：当苗圃园的面积为60m2时，x的值为12. 配方，得（(x-2)2=4i2, 重点集训营 所以x-2=±2i, 1.C;2.10. 解得x=2+2i,x2=2-2i. 3.解：(1)不存在.理由： 9期2版 过Q作QM⊥AD,交AD于M, 33一元二次方程根的判别式 则∠QMD=∠QMA=90°， 1.D;2.D;3.D;4.-3;5.3. 所以四边形ABQM是矩形， 6.解：(1)4=b2-8a 所以AM=BQ=tcm,QM=AB=3cm, =(a+4)2-8a 所以MP=(6-2t)cm, =a2+16>0, 所以PQ0=(6-2t)2+32. 所以方程有两个不相等的实数根。 因为四边形ABCD是矩形， (2)因为a2+bx+2=0有两个相等的实数根， 所以∠D=90°， 所以4=62-4a×2=62-8a=0,且a≠0， 所以PC=t+32 满足条件的a,b的值不唯一， 因为PQ1PC,所以∠QPC=90, 满足6-8a=0(a≠0)即可. 所以PQ+PC2=CQ, 例如：令a=2,b=4,则b2-8a=42-8×2=0, 即(6-2t)2+32+t+32=(6-t)2, 则原方程为2x2+4x+2=0, 化简，得2-6t+9=0. 解得x=x2=-1. 因为4=62-4ac=-36<0, 3.4一元二次方程的根与系数的关系 所以方程无实数根， 1.D;2.C;3.C;4.-5;5.15. 故不存在某一时刻t,使得PQ上PC. —8 初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 (2)由折叠的性质，得 因为点D为线段AB的中点，所以AD=BD, ∠AQB=∠AQB', 又因为∠ADP=∠BDE, AB'AB =3 cm,BO B'O t cm. 所以△APD≌△BED, 因为四边形ABCD是矩形， 所以AP=BE. 所以AD∥BC,所以∠AQB=∠PAQ, 因为AP=2t, 所以∠AQB'=∠PAQ, 所以BE=2t. 所以PA=PQ=(6-t)cm, 因为AB=BC=3,CQ=t, 所以B'P=6-t-t=(6-2t)cm. 所以BQ=3-t, 在Rt△AB'P中，∠AB'P=90°， 所以QE=3-t+2t=3+元. 所以32+(6-2t)2=(6-t)2, 因为点Q在线段BC上，点P不与点A重合， 即t2-4t+3=0,解得t=1,2=3. 所以0<t≤3. 答：当t等于1或3时，翻折后点B的对应点B'恰好落在PQ 过点P作PH⊥BC于点H,则PH=3,BH=2t 边上 由勾股定理，得 9期3,4版 PQ2=QⅢ+PH=(3-t-2t)2+32 一、选择题 =(3-3t)2+32. 题号1 3 4 6 7 8 10 QE2=(t+3)2, 答案ABC DD C B PE2=E+PH=(2t+2t)2+32=16t2+9. C 根据△PQE是以PE为腰的等腰三角形，分类计论： 提示： ①当PQ=PE时，(3-3t)2+32=162+9, 9.解：因为点P(a,c)在第四象限， 整理，得7+18t-9=0, 所以a>0,c<0, 所以ac<0, 解得：=子或6=-3（会）： 所以方程aax2+bx+c=0的判别式△=b2-4ac>0, ②当PE=QE时，162+9=(t+3)2, 所以方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根. 整理，得15-6t=0, 10解96+20256+5=0两边同乘京，得 解得1=号或1=0（合） ”+225x方+9=0 综上所述，4的值为号或号 因为5a2+2025a+9=0, 三、解答题 所以a,石为一元二次方程5x+2025x+9=0的两个根， 17.解：因为α，B为方程的两个实数根， 所以a+B=6①，B=-k. 因为ax+2B=14②， 二、填空题 由①②，解得Q=-2,B=8, 11.-7;12.k>-1;13.10: 所以k=-aB=16, 14-1:154:16号或号 所以方程的两个实数根为-2和8，k的值为16. 18.解：(1)设这两个月的月平均增长率为x, 提示： 根据题意，得30000(1+x)2=36300 15.解：因为关于x的一元一次方程x2-4x+k-1=0有 解得x=0.1=10%或x=-2.1(舍). 两个实数根1,2， 答：这两个月的月平均增长率是10%： 所以x+x2=4,x·x2=k-1. (2)36300×(1+10%)2=43923>43500. 因为若x1,,2分别是一个矩形的长和宽，矩形的对角线长 答：6月份接待人数能突破43500人 为0， 19.解：(1)因为关于x的方程2-(a+1)x+。2+1= 所以x+x号=（√10)2=10， 0有两个不相等的实数根， 即(x1+x2)2-2x1·x2=10. 由根与系数的关系，得42-2(k-1)=10, 所以4=[-(a+DP-4x1×(分a2+1） 解得k=4. =2a-3>0, 16.解：因为AG∥CF,AB⊥CF,所以AB⊥AG, 所以∠GAB=∠ABF=90°. 解得a>受， 初中数学湘教中考2026年8月第6~9期 所以a的最小整数值是2. (3)解：依题意，得x2-x+n=x, (2)因为x2-mx+2m-1=0有两个实数根， 即x2-(n+1)x+n=0有两个相等的实数根， 设原方程的两个实数根分别为a,b, 所以4=[-(n+1)]2-4×1×n=0, 则a+b=m,ab=2m-1, 整理，得n2-2n+1=0, 所以a2+62=(a+b)2-2ab, 解得n=1. =m2-2(2m-1), 23.解：(1)因为在方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0中， =m2-4m+2. 4=62-4ac 又因为a2+b2=7, =[-(2k+3)]2-4(2+3k+2) 所以m2-4m+2=7, =1>0, 解得m=5或m=-1. 所以方程有两个不相等的实数根。 当m=-1时，4=m2-4(2m-1)=13>0,符合题意； (2)因为x2-(2k+3)x+2+3k+2 当m=5时，4=m2-4(2m-1）=-11<0,不符合题意 =(x-k-1)(x-k-2)=0, 意 解得x1=k+1,2=k+2. 所以m=-1. ①不妨设AB=k+1,AC=k+2, 20.解：(1)x☆4=4x2+4=20, 所以当斜边BC=5时，有AB2+AC=BC, 即4x2=16, 即(k+1)2+(k+2)2=25, 解得x1=2,3=-2; 解得k1=2,k2=-5(舍去). (2)由已知，得22a+a=5a<0, 所以当k=2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形， 解得a<0. ②因为AB=k+1,AC=k+2,BC=5, 在方程22-bx+a=0中， 由(1)知AB≠AC,故有两种情况： 4=(-b)2-8a≥62-8a>0, (i)当AC=BC=5,即k+2=5时，解得k=3, 所以方程2x2-bx+a=0有两个不相等的实数根。 此时AB=3+1=4. 21(1)解：因为方程是勾系一元二次方程，且a=3,b= 因为4,5,5满足任意两边之和大于第三边， 4. 所以此时△ABC的周长为4+5+5=14； 所以c2=a2+62=32+42=25. (i)当AB=BC=5,即k+1=5时，解得k=4, 因为c>0, 此时AC=k+2=6. 所以c=5(负值舍去)， 因为6,5,5满足任意两边之和大于第三边， 所以原方程为：3x2+10x+4=0. 所以此时△ABC的周长为6+5+5=16. 因为4=102-4×3×4=52>0， 综上，当k=3时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周 所以x=-10±5匝=-10±2店。-5±页 长为14；当k=4时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长 2×3 6 3 为16. 所以55专压：5，厘 24.解：(1)因为x2-3x+2=0, 3 3 所以(x-2)(x-1)=0, (2)证明：因为x2+2cx+b=0是勾系一元二次方程， 所以x-2=0或x-1=0 所以c2=1+62, 解得x1=2,x2=1, 所以4=4e2-4b=4(1+62)-4b 因为2÷1=2， =462-4b+4 所以方程x2-3x+2=0是“倍根方程”. =46-广+3 (2)x2-(k+3)x+2k+2=0, 所以2-(k+3)x+2(k+1)=0, 因为-分）≥0， 所以(x-2)[x-(k+1)]=0, 所以4=4(6-)广°+3>0 所以x1=2,x2=k+1. 若x1=2x2,则2=2(k+1),解得k=0: 所以关于x的勾系一元二次方程x2+2cx+b=0必有实 若2=2x1,则k+1=2×2,解得=3； 数根 所以k=0或k=3. 22.(1)解：-3和4：7. (3)设两根分别为x1,2x1, (2)证明：依题意，得2x2-x+1=x, 则x1+2x1=6, 即2x2-2x+1=0. 解得x1=2,所以x2=4, 因为4=(-2)2-4×2×1=-4<0， 所以方程的两根为2和4. 所以2x2-x+1=x没有实数根， 由根与系数的关系知m=2+4=6,2n=2×4=8, 所以代数式2x2-x+1没有不变值. 解得n=4. -10