第4章二次函数单元练习提高卷2 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第4章　二次函数 单元练习提高卷2 （新湘教版·九年级上册） 姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 时间：120分钟　　满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若函数是关于x的二次函数，则m的值为（　　） 　　　　　　D．±1 2．已知抛物线（a≠0）开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，且与x轴有两个交点。有下列结论：①abc>0；；③若点、在抛物线上，则；④关于x的方程有实数解，则m≤顶点纵坐标。其中正确结论的个数是（　　）（改编自九年级上学期期末数学真题） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 3．将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，然后绕其顶点旋转180°，所得抛物线的解析式为（　　） 　　　　　　 4．已知点、、都在抛物线上，则、、的大小关系是（　　） 　　　　　　 5．已知二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1，且经过点(-1,0)（如图）。有下列结论：①abc<0；②2a+b=0；③a-b+c=0；。其中正确结论的个数是（　　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 6．已知二次函数，当 0≤x≤m 时，函数值的最大值为-3、最小值为-4，则m的取值范围是（　　） A．1≤m≤2　　B．1≤m≤3　　C．2≤m≤3　　D．0≤m≤2 7．若关于x的方程在 -1≤x≤3 的范围内有实数根，则m的取值范围是（　　） A．-3≤m≤1　　B．m≤1　　C．-3≤m≤0　　D．0≤m≤1 8．抛物线与直线 y=kx-1 没有交点，则k的取值范围是（　　） A．k>2　　B．k<-2　　C．-2<k<2　　D．k<-2或k>2 9．已知二次函数的图象经过 (0,0)、(4,0) 两点，且函数的最大值为4。若点、在该函数图象上，则的值为（　　） A．-2　　B．0　　C．2　　D．4 10．已知抛物线与x轴只有一个交点，且经过点(2,0)。将该抛物线向右平移1个单位，则平移后抛物线与y轴的交点坐标为（　　） A．(0,1)　　B．(0,9)　　C．(0,4)　　D．(0,-1) 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知抛物线与x轴交于 (-1,0)、(3,0) 两点，则关于x的一元二次方程的解是________。 12．若二次函数的对称轴为直线x=1，则b=________；将它的图象沿y轴翻折后所得抛物线的解析式为________。 13．抛物线与直线 y=k 有两个不同的交点，则k的取值范围是________。 14．用长为24 m的篱笆围成一边靠墙（墙长10 m）的矩形菜园，则菜园面积的最大值为。 15．已知抛物线经过 A(-3,8)、B(5,8) 两点，则该抛物线的对称轴是直线________。 16．已知二次函数，当 0≤x≤a 时，函数的最大值为4，则a的取值范围是________。 三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）已知二次函数的图象（如图）经过点 A(1,-1) 和点 B(-3,-9)。（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点 P(m,-m) 与点Q均在该函数图象上（其中m>0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离。 18．（8分）已知二次函数（如图），自变量x的取值范围是 0≤x≤t。（1）求这个函数在该区间上的最小值（结果用含t的式子表示，并对t分类讨论）；（2）若该区间上的最小值为-4，求t的取值范围。 19．（10分）某商品每件进价为40元。调查发现：当售价为50元时，每月可售出500件；售价每上涨1元，月销量就减少10件。设每件商品涨价x元（x≥0），每月利润为y元。（1）求y与x之间的函数关系式；（2）每件商品售价定为多少元时，每月利润最大？最大月利润是多少元？（3）若要使每月利润不低于8000元，求每件商品售价的取值范围。 20．（10分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，点D与C关于抛物线的对称轴对称。（1）求A、B、C三点的坐标及抛物线的对称轴；（2）求点D的坐标及直线AD的解析式；（3）点P是第一象限内抛物线上一动点（不与D重合），过P作PQ∥y轴交直线AD于点Q，求线段PQ的最大值及此时点P的坐标。（改编自中考数学压轴真题） 21．（8分）如图，抛物线经过点 A(-3,0)、B(1,0)、C(0,-3)。（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。（改编自九年级上学期期末数学真题） 22．（8分）已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C(0,3)（如图）。点P是抛物线对称轴上一点，求△PBC周长的最小值及此时点P的坐标。 23．（10分）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如(1，3)、(-2，-6)等都是“三倍点”。（1）判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）：①函数的图象上存在“三倍点”；（　　）②函数的图象上有且只有一个“三倍点”；（　　）③函数的图象上有两个“三倍点”。（　　）（2）若二次函数的图象在0≤x≤2的范围内总有两个相异的“三倍点”，求a的取值范围。（改编自九年级上学期期末数学真题） 24．（10分）如图，抛物线经过 A(-1,0)、B(3,0) 两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上一动点。（1）求b、c的值及点C的坐标；（2）连接PB、PC，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；（3）连接AP并延长，交直线BC于点E。若直线AP把△ABC的面积分成1:2两部分，求此时点P的坐标。（考查面积等分模型，为中考常见压轴题型） 第4章　二次函数　单元练习拔尖卷　参考答案 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．C　2．D　3．A　4．A　5．C　6．A　7．A　8．C　9．A　10．B 二、填空题（每小题3分，共18分） ，　　12．b=-4；　　13．k>-4　　14．70　　15．x=1　　16．a≥1 三、解答题（共72分） 17．（改编自九年级上学期期末数学真题） （1）把 A(1,-1) 代入：a+4+c=-1，即 a+c=-5。把 B(-3,-9) 代入：9a-12+c=-9，即 9a+c=3。 两式相减得8a=8，a=1，代入得c=-6。∴表达式为。 （2）对称轴。把x=-2代入，y=4-8-6=-10，∴顶点坐标为(-2,-10)。 （3）P(m,-m) 在抛物线上：，即，(m+6)(m-1)=0，解得m=-6或m=1。 ∵m>0，取m=1，∴P(1,-1)。Q与P关于直线x=-2对称，∴Q的横坐标为 2×(-2)-1=-5，纵坐标仍为-1，即Q(-5,-1)。 ∴点Q到x轴的距离为|-1|=1。 18． 配方，对称轴为直线x=1，开口向上。 （1）当 0≤t<1 时，区间在对称轴左侧，y随x增大而减小，最小值为。 当 t≥1 时，顶点在区间内，最小值为 f(1)=-4。 （2）∵最小值为-4，即顶点在区间内，∴t≥1。 19． （1）每件利润为(50+x-40)=(10+x)元，月销量为(500-10x)件。 。 （2）对称轴。∵a=-10<0，∴当x=20时y取最大值。 此时售价为50+20=70元，y=-10×400+400×20+5000=9000元。 （3）令y≥8000，，整理得， 即 (x-10)(x-30)≤0，解得10≤x≤30。∴售价为60～80元时，月利润不低于8000元。 20．（改编自中考数学压轴真题） （1）令y=0，，解得x=-1或3，∴A(-1,0)，B(3,0)。 令x=0，y=3，∴C(0,3)。配方，对称轴为直线x=1。 （2）∵D与C(0,3)关于直线x=1对称，∴D(2,3)。 设直线AD解析式为 y=kx+b，代入A(-1,0)、D(2,3)：-k+b=0，2k+b=3，解得k=1，b=1。 ∴直线AD的解析式为 y=x+1。 （3）设（0<t<3，t≠2），Q在AD上且x=t，∴Q(t,t+1)。 。 对称轴，此时。 P的横坐标为，纵坐标为，即。 21． （1）抛物线与x轴交于A(-3,0)、B(1,0)，设交点式y＝a(x＋3)(x－1)，代入C(0,-3)：-3＝a·3·(-1)，a＝1。。 （2）直线AC过A(-3,0)、C(0,-3)，解析式为y＝-x－3。设P(t，（-3＜t＜0）。点P到直线AC的距离。∵-3＜t＜0，，。又，。 ，开口向下，顶点在(-3,0)内，。此时P的纵坐标为，故，。 （3）配方，顶点D(-1,-4)。设M(0，m)，则，，。 ①∠DAM＝90°：，，；②∠ADM＝90°：，，；③∠AMD＝90°：，，，m＝-1或-3。 综上，存在4个点M：(0，、(0，、(0，-1)、(0，-3)。 解：BC＝√((3−0)²+(0−3)²)＝3√2。 抛物线对称轴为直线 x＝1，A(−1,0) 与 B(3,0) 关于直线 x＝1 对称，∴PA＝PB，PB＋PC＝PA＋PC。 把点 C(0,3) 关于直线 x＝1 对称，得 C′(2,3)，则 PA＋PC≥AC′，当 A、P、C′ 三点共线（P 在线段 AC′ 上）时取等号。 直线 AC′ 过 A(−1,0)、C′(2,3)，解析式为 y＝x＋1；令 x＝1，得 y＝2，∴P(1,2)。 ∴△PBC 周长的最小值为 BC＋AC′＝3√2＋3√2＝6√2，此时点 P 的坐标为(1,2)。 23． （1）①√；②×；③√（每小题1分，共3分。①令y＝3x，，x(x＋3)＝0，有两个“三倍点”；得x＝0或3，有两个，不是“有且只有一个”；，Δ＝5＞0，有两个）。 （2）“三倍点”满足y＝3x，代入得。记，题意即f(x)＝0在0≤x≤2内有两个相异实根。须同时满足： Δ＝12a＋17＞0，得；对称轴在(0，2)内，得；，得或；，得或。 取交集（与矛盾，舍去）：。答：a的取值范围是。 24．（面积等分模型参考中考常见压轴题型） （1）把 A(-1,0)、B(3,0) 代入，解得 b=2，c=3。令x=0得y=3，∴C(0,3)。 （2）直线BC过 B(3,0)、C(0,3)，解析式为 y=-x+3。设（0<t<3），铅垂高。 ，对称轴。 此时，。 （3）E在BC上，△ABE与△ACE同高（A到直线BC），面积比=BE:CE。由题意 BE:CE=1:2或2:1。 当BE:CE=1:2时，E=(2B+C)/3=(2,1)。直线AE过A(-1,0)、E(2,1)，解析式为。 联立抛物线：，即，解得 x=-1（即A，舍去）或，得。 当BE:CE=2:1时，E=(B+2C)/3=(1,2)。直线AE过A(-1,0)、E(1,2)，解析式为 y=x+1。 联立得，解得 x=-1（舍去）或 x=2，得P(2,3)。 综上，点P的坐标为 (2,3) 或。 学科网（北京）股份有限公司 $