精品解析：山西忻州市原平市范亭中学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二数学试卷 满分150分，时间120分钟 注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上． 2、不得随意在答题卡上涂改、乱画．使用黑色中性笔，认真规范答题，不得使用涂改液、修正带、透明胶等方法改错． 3、考试结束后，试卷本人留存将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l过、两点，则直线l的倾斜角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两点坐标求出斜率，即可得出倾斜角 【详解】直线过、两点，则直线的斜率，∴直线的倾斜角为． 故选：A． 2. 已知向量，，若，，三点共线，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件得到，再利用向量相等，即可求出结果. 【详解】因为，，三点共线，则，又向量，， 所以，解得， 故选：B. 3. 如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示即可. 【详解】由题意，得 . 4. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求向量在向量上的投影向量的模，再结勾股定理求结论. 【详解】由已知可得，又， 所以向量在向量上的投影向量的模为，又 所以点到直线的距离为, 故选：B. 6. 设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合的图象，进行求解. 【详解】设直线的倾斜角为， 则有，且， 作出的图象，如图所示： 由此可得. 7. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可． 【详解】因为四点共面，则有 由共面定理可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选：C. 8. 如图，正方形的棱长为分别是的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设，由空间向量法求出点轨迹方程，然后再由向量的模的坐标表示求得模，再化为关于的函数，结合函数知识得最小值． 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，. 设平面的法向量为， 则，即 令，可得. 设，则. 因为直线与平面没有公共点，所以平面，则， 所以，即. 当时，取得最小值，最小值为 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法及数乘运算化简即可逐项判断得解. 【详解】因为E，F分别为BC，CD的中点，所以由中位线性质可知，故A正确； 若可得，由图可知不共线，矛盾，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D正确. 故选：ACD 10. 下列结论错误的是（ ） A. 过点，的直线的倾斜角为 B. 若直线与直线垂直，则 C. 直线与直线之间的距离是 D. 已知，，点在轴上，则的最小值是5 【答案】ABC 【解析】 【分析】先求得直线的斜率，再根据直线斜率与倾斜角的关系，可判断A选项错误；根据两直线垂直的条件，可求得，故B选项错误；根据平行线间的距离公式，求得直线间的距离为，故C选项错误；根据对称性求得点关于轴的对称点，结合三角不等式，可知当共线时，取得最小值5，故D选项正确. 【详解】对于A选项，因为，，所以直线的斜率为， 又，所以直线的倾斜角不是，故选项A错误； 对于B选项，直线的斜率为，直线的斜率为， 若两直线垂直，则，解得，故选项B错误； 对于C选项，直线可化为， 所以两直线间的距离为，故选项C错误； 对于D选项，点关于轴的对称点为，则， 又，，所以，所以， 即的最小值是5，故选项D正确. 11. 在正方体中，，点在底面正方形内及边界上运动，则（ ） A. 存在点，使得平面 B. 若，则动点的轨迹长度为 C. 若平面，则动点的轨迹长度为 D. 若平面，则三棱锥的体积为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断AC；利用空间中两点间的距离公式计算判断B；利用锥体的体积公式推理判断D. 【详解】以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则、、、，，， 设点，其中， 设平面的法向量为，，， 则，取，得， ，若平面，则， 则，解得，，与已知矛盾，A错误； 由，得， 则点在平面内的轨迹是以点为圆心，半径为的圆的， 因此动点的轨迹长度为，B正确； 若平面，则，即， 因此点在底面的轨迹为线段，点的轨迹长度为，C正确； 由于平面平面，平面，则点的轨迹为线段， 显然，，因此平面，而平面， 即平面，点到平面的距离为定值， 又的面积为定值，从而为定值，D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题的关键是建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法判断线面位置关系. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点到直线的距离为________． 【答案】1 【解析】 【分析】直接代入点到直线的距离公式计算即可. 【详解】点到直线的距离为. 故答案为：. 13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是________． 【答案】 【解析】 【详解】设向量在向量上的投影向量的坐标为， 由投影向量公式得， 所以向量在向量上的投影向量的坐标是. 14. 如图，在正四棱柱 中，AB＝AD＝3，AA1＝4，P是侧面 BCC1B1内的动点，且AP⊥BD1，记AP 与平面BCC1B1所成的角为θ，则tanθ 的最大值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，根据AP⊥BD1，求得a,c的关系，再利用线面角的向量公式结合三角函数基本关系式求解. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系： 设，则， 所以， 因为AP⊥BD1， 所以，解得， 此时， 平面BCC1B1一个法向量为， 记AP 与平面BCC1B1所成的角为θ， 则， 当时，取得最大值，此时， 所以的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点分别为，，，中点为点，求： （1）边上中线所在直线的方程； （2）边的垂直平分线的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出点坐标，再利用直线的截距式方程求解即得. （2）求出直线的斜率，结合垂直关系，利用直线的斜截式求解. 【小问1详解】 由，，得，而点， 则直线方程为，即， 所以边上中线所在直线的方程为. 【小问2详解】 直线的斜率，则边的垂直平分线的斜率， 所以边的垂直平分线的方程为. 16. 如图，三棱柱的所有棱长都相等，，点M为的重心，AM的延长线交BC于点N，连接．设，，． （1）用，，表示； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明如下： 设三棱柱的棱长为m， 则， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的运算求得正确答案. （2）通过计算来证得. 【小问1详解】 因为为正三角形，点M为的重心，所以N为BC的中点， 所以，， 所以． 【小问2详解】 略 17. 如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，， 所以，，. 设是平面的一个法向量， 则令，得，， 所以. 因为， 所以，又因为平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量与平面的法向量垂直可证结论正确； （2）根据点面距的向量公式可求出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， 设是平面的一个法向量， 则令，得，，所以. 所以点到平面的距离. 18. 设直线的方程为． （1）证明：直线恒过一定点； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （3）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为，求的最小值并求此时直线的方程． 【答案】（1）证明：， ，， 所以直线经过定点. （2）或 （3）的最小值是，此时直线的方程为，即． 【解析】 【分析】（1）将转化为，对于任意的都恒成立，则，求解后即可证明过定点； （2）由截距相等可得直线过原点或者斜率为，分类讨论即可求出答案； （3）分别求出点和点的坐标，代入三角形面积公式，化简后利用基本不等式即可得出答案. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 当直线过原点时满足条件，此时，解得，化为． 当直线不过原点时，则直线斜率为，故，解得， 可得直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或． 【小问3详解】 令，得，解得； 令，得，解得或．综上有． 所以， 当且仅当时取等号． 所以的最小值是，此时直线的方程为，即． 19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面， 所以平面，平面，所以， 又已知，且都在面内，所以平面； （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系； （2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小； （3）假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 不妨令，则，，. 设与平面所成角的大小为， 则有， 设为与平面所成角，故， 即与平面所成角的大小为； 【小问3详解】 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为. 在空间直角坐标系中，，，， 设，则，， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 若平面与平面成角余弦值为. 则满足， 化简得，解得或，即或， 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 满分150分，时间120分钟 注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上． 2、不得随意在答题卡上涂改、乱画．使用黑色中性笔，认真规范答题，不得使用涂改液、修正带、透明胶等方法改错． 3、考试结束后，试卷本人留存将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l过、两点，则直线l的倾斜角的大小为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，，三点共线，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 3. 如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为（  ） A. B. C. D. 6. 设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （    ） A. B. C. D. 7. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9 8. 如图，正方形的棱长为分别是的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论错误的是（ ） A. 过点，的直线的倾斜角为 B. 若直线与直线垂直，则 C. 直线与直线之间的距离是 D. 已知，，点在轴上，则的最小值是5 11. 在正方体中，，点在底面正方形内及边界上运动，则（ ） A. 存在点，使得平面 B. 若，则动点的轨迹长度为 C. 若平面，则动点的轨迹长度为 D. 若平面，则三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点到直线的距离为________． 13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是________． 14. 如图，在正四棱柱 中，AB＝AD＝3，AA1＝4，P是侧面 BCC1B1内的动点，且AP⊥BD1，记AP 与平面BCC1B1所成的角为θ，则tanθ 的最大值为_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点分别为，，，中点为点，求： （1）边上中线所在直线的方程； （2）边的垂直平分线的方程. 16. 如图，三棱柱的所有棱长都相等，，点M为的重心，AM的延长线交BC于点N，连接．设，，． （1）用，，表示； （2）证明：． 17. 如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 18. 设直线的方程为． （1）证明：直线恒过一定点； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （3）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为，求的最小值并求此时直线的方程． 19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $