山西现代双语学校学校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

■■■■ ■■■■ ■■■■ 山西现代双语学校联校高二年级10月考 ---- 数学试题·答题卡 姓名： 班级： 准考证号： 考生条形码粘贴处 一、 单选题 (共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、多选题 (共18分) O9[A][B][C] [D] 10[A][B][C][D] 11[AJ[B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 13. 14. 四、解答题（共77分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 15.（本小题满分13分)（续） 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(本小题满分17分) M 方C 情在各题且的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答室于效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.（本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！山西现代双语学校联校高二年级10月考 数学试卷2026.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.己知向量a=(1,-2,0),=(1,3,1),则a.b=（) A.-5 B.5 C.-4 D.4 2.若点(1,2)在圆x2+y2+x-y+a=0的外部，则实数a的取值范围是() A.（4,+∞) B.（4 D.（-4,2) 3.已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线1：mx+y-m-1=0与线段AB相交，则直线I的斜率k的取值范围是() A发成≤4B.4≤≤月 C.k<-5 1 D.-3sk≤4 4 4.己知直线3x-4y-2=0与直线6x-8y+m=0间的距离为1，则实数m的值为() A.14 B.-14 C.6 D.-14或6 5.已知直线1：xcos0+2ysin0-1=0被圆x2+y2=1截得的弦长为√2，则直线l的斜率为() A号另 C.±5 D.t/2 6.已知x、y∈R,则函数f(x,y)=V(x-2+y2+(x+1+(y-4)}的最小值是() A.5 B.6 C.7 D.8 7.如图，在平行六面体ABCD-AB,CD中，M为AC与BD的交点.若AB=a,AD=b,AA=C,则下列向量中与BM 相等的向量是() A. B. C.-gi-3bve D.0+d 8.如图直四棱柱ABCD-AB,CD,的各棱长均为2，且∠DAB=60°动点P在侧面BCCB内（不含边界），满足DP与 平面ADD,A所成角为60°，当点P在面对角线B,C上时，记作P,则B到直线AD的距离为() V15 A. B.V15 C.14 V14 2 3 3 Di. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列给出的命题正确的是() A.若{a,b,c为空间的一组基底，则{a+b,b+c,c-d也是空间的一组基底 B.点P为平面C上的点，且OF-oi-05+0c(xreR).则x-y=-号 C.若直线1的方向向量为i=(3,1,0),平面a的法向量n=（-l,3,1),则1/1a D.两个不重合的平面a,B的法向量分别是n=（-1,3,1),m=(3,l,0),则a⊥B 10.已知直线l:x+心-a=0和直线42：-(2a-3)y-1=0,下列说法正确的是() A.,始终过定点3) 21 B.若l11儿2，则a=-3 C.若l⊥12，则a=2 D.当a>0时，（始终不过第三象限 11.下列结论正确的是() A.直线(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)恒过定点(-3，-3) B,直线√3x+y+1=0的倾斜角为120° C.圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线：x-y+V2=0的距离都等于1 D.与圆(x-2)+y2=2相切，且在x轴、y轴上的截距相等的直线有两条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.己知圆C:（x-1)2+(y-2)=5,又点M在圆C上运动，点N(4,-2),则线段MN中点P的轨迹方程为： 13.过点(2,4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为. 14.已知圆C:(x-++4-》,线度AB在直线：x+y-1=0上运动，点P为B上任意一点，若圆C上存在两 点E,F,使得PEPF≤0成立，则线段AB长度的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图，M,N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点，P,Q是MN的三等分点（点P靠近点N), 若AO=a,AB=b,AC=c (1)以{a,b,c为基底表示00： (2)若制aHEHMcH2∠0MB=∠0MC-牙∠CMB-号求og的值， 16.(15分)在平面直角坐标系中，己知O,A,B三个点分别为O(0,0), (I)求直线AB的方程： (2)求过点O且与直线AB平行的直线的方程； (3)求过点O且与直线AB垂直的直线的方程」 17.(15分)已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线1：ax+y+2a=0. (1)求证：直线1恒过定点； (2)当a为何值时，直线I与圆C相切； (3)当直线1与圆C相交于A,B两点，且AB=2W2时，求直线I的方程. A1,3),B(6,8) 18.(17分)在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC∩BD=O,AD=BD=2,∠ADB=90°，∠BPD=90°， PB=PD,M为PD的中点，PO⊥AC. D (1)求证：OM∥平面BCP: (2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值 19(17分).如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB和BC的中点，将AAED,△BEF,△DCF分 别沿DE,EF,DF折起，使A,B,C三点重合于点P. --------D B (1)求证PD⊥EF; (2)求二面角P-ED-F的平面角的余弦值： (3)设动点M在线段EF上，是否存在一点M,使得直线DM与平面PED所成夹角的正弦值为 6 ,若存在，求出点 M的位置；若不存在请说明理由.山西现代双语学校联校高二年级10月考 数学答案 1、【答案】A 【详解】向量a=(1,-2,0),6=(1,3),则a6=(-2,0)-(1,31)=1×1+(-2)x3+0x1=-5 2、【答案】c 【详解1将圆+-+a=0化成标准方程，可闲+气-安： 由r2-弓a>0,解得a<号因为点，2)在圆++x-y+a=0的外部， 所以P+22+1-2+a>0,解得a>4.综上可得-4<a<2 3、【答案】A 【详解】m(x-)+(y-I)=0,所以直线I过定点P(1,1), 所以一子名=4， 3 直线在PB到PA之间， 所以k≥三或k≤-4，故选A 4 4、【答案】D -4-m 【详解】由题，直线3x-4y-2=0→6x-8y-4=0,则两直线距离为 V6+82 =1→m=-14或 5、【答案】B 【详解】由直线l:xcos0+2ysin0-1=0被圆x2+y2=1截得的弦长为√2， 每圆心00,0)到直线1的距离为，P-(2=2 2 √2 因此 Vcos20+4sin20 2 整理得2sin20=cos20,解得tan0=±日 所以直线的斜率k=- cos0 2sin0 2tan0 2 6、【答案】A 【详解】函数f(x,y)=V(x-2)+y2+V(x+1)2+(y-4)的几何意义是点P(x,y)和点A(2,0)与B(-山，4) 的距离的和 由不等式PA+PB≥AB,可得当P,A,B三点共线，且点P在线段AB上时，等号成立. 此时PA+PB取得最小值，最小值为AB=V[2-(-)]了+(0-4)2=5. 7、【答案】A 【详解】由感意，得丽=照+AN=M+D-网=++. 2 8、【答案】D 【详解】取B,C的中点O,连接D,O,OP,因为底面AB,CD是菱形，且∠D4B=60°， 所以DO⊥BC 又因为BB,⊥平面AB,CD,D,Oc平面AB,CD,所以BB⊥DO. 由于BB OBC=B,BB,BCC平面BCCB,所以DO⊥平面BCCB 因为D,P与平面ADD,A所成角为60°，所以D,P与平面BCCB,所成角也是60°. 由于OP为直线D,P在平面BCCB上的射影，所以∠D,PO=60°， 在Rt△DOP中，D0=2×sin60°=V5,所以OP=,D0 tan60° 所以点P的轨迹在正方形BCC,B,面内，以点O为圆心，以1为半径的半圆弧. 当点P在面对角线BC上时，记作P,可知点P恰好为正方形BCCB的中心. 取BC的中点E,连接DE,则直线DA,DE,DD两两垂直， 以D为坐标原点，分别以DA,DE,DD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图空间直角坐 标系。 则A2,0,0),B1,3,0,4(2,0,2),B5,2,D(0,0,2),E(0,5,1 e-m-则.语-袋2（兰a 所以乃到直线D的距离d=后-(@=8-之2 D B 9、BD【详解】对于A,c-a=(b+c-(a+b),所以a+b,b+c,c-a共面， 所以{a+b,b+c,c-d武不是空间的一组基底，A错误； 对于B,因为PAB,C四点共面，所以存在不全为0的m,t使得PA=mPB+tPC, 04-OP=m(OB-OP)+OC-OP), (m+t-1)OP=-04+moB+1OC,OA=mOB+1OC-(m+1-1)OP, OP=104-xOB+yOC(x.yER).30P+3x0B-3y0C-OA(x,yER), m=3x ,B正确； 2 所以1=-3y，故1-3x+3y=3,x-y= 1-m-t=3 对于C选项，ii=(（3l,0)(-l,3,1)=-3+3=0,所以111a或lca,所以C错误： 对于D选项，mn=(3,1,0)(-1,3,1)=-3+3=0,所以m⊥n,a⊥B,所以D正确. 10、【答案】ABD 【详解】对于A,直线l2:a(x-2y)+3y-1=0, 血，。有号始过淀点[》 x-2y=0 故A正确： -(2a-3)-a2=0 对于B,若.则有1x)一-xa0解得a=-3,故B正确： 对于C,4⊥2，则a-a(2a-3)=0,解得a=0或a=2,故C错误； 对于D,当a>0时，1：y=-1x+1始终过(0，)， 因为a>0,所以直线斜率-<0，不会过第三象限，故D正确。 11、【答案】BC 【详解】(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)可变形为m(x+3)++3x+4y-3=0, x+3=0 =-3 3x+4y-3=0’得 y=3 即(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)直线过定点(-3,3)，故A错： 直线V3x+y+1=0的斜率为-√3，故其倾斜角为120°，故B正确： 圆2+少=4的圆心到直线1：x-y+2=0的距离为d-2-1, 2 圆的半径为2，故圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线1：x-y+√2=0的距离都等于1，故C正确： 当直线不过原点时，设直线x+y=a,(a≠0)与圆(x-2)+y2=2相切， 则2-a=2,解得a=4,则x+y=4满足题意： √2 当直线不过原点时，设直线x-y=0与圆(x-2)2+y2=2相切， 则 12kL=√2，解得k=士1，则x土y=0满足题意： R2+1 所以满足题意得直线有三条，故D错误， 12、 【答案】 +y= 【详解】设M(x%)在圆C上运动，则：(x。-1)2+(。-2)2=5①， 股MN的中点P(y,由中点坐标公式：x=5号=名一2 2 解得x,=2x-4,=2y+2, 将x,代入①：得(2x-4-1)2+(2y+2-2)2=5. 化简得：(2x-5}+(2y)}=-5.即： 因此线段MN中点P的轨迹方程为： x- 13、【答案】2x-y=0或x-y+2=0 【详解】设直线y=c+b,截距分别为b和 k 因为截距互为相反数，所以b= k 若b=0,y=x,又过点(2,4)，所以k=2,直线为2x-y=0. 若b≠0，解得k=1,y=x+b,所以b=2,直线为x-y+2=0 14、【答案】2 【详解】由圆C:(-++4-?得圆心C化-4)，半径r=35 2 国6c+10d-2-后-合a,9 所以直线1与圆相离，点P在圆外. 因为圆C上存在两点E,F,使得PE.PF≤0成立， 所以∠EPF≥90°. 所以从点P向圆C作两条切线PG,PD，,设切线夹角为O,则0≥90°， 设切线与PC的夹角为a,则sina=D PC 又因为0=2a,所以u≥45°. G 32 元名2血5-2则心s3. 所以sina= 2 所以线段AB全部落在以C为圆心，半径为3的圆内部或圆上 直线1被以C为圆心，半径为3的圆截得的弦长为232-(2、2=2。 所以线段AB长度的最大值为2. 1、【答案】1)00=-名ā+5+e(2月 366 【小问1详解】 (1)00=OM+MO =号0+M++) 5+- 211 【小问2详解】 00r=4a+22+c2-2a-6-2a 9363691 ac+c.b 9 18 4+1+1_2x1x1221 二×1× ×2×」 9369929 2 -子所以o0- 16、【答案】(1)x-y+2=0(2)x-y=0(3)x+y=0 【详解】(1)由直线方程的两点式得 y-3_x-1 8-36-1 ,即x-y+2=0 (2)设过点O且与直线AB平行 的直线的斜率为k,由(1)知直线AB的斜率为1， 则有k=1,由直线方程的点斜式得y-0=1×(x-0), 即过点O且与直线AB平行的直线的方程为x-y=0. (3)设过点O且与直线AB垂直的直线的斜率为k2, 由(1)知直线AB的斜率为1，则有k2=-1, 由直线方程的点斜式得y-0=-1×(x-0), 即过点O且与直线AB垂直的直线的方程为x+y=O. 17、【答案】(1) 由直线l:x+y+2a=0,整理成(x+2)a+y=0, x+2=0 x=-2 由 y=0 ，解得 =0,则直线1恒过定点(-2,0) a=-3 4 (3)x-y+2=0或7x-y+14=0 【详解】(1)略 (2)根据题意，圆C:x2+y2-8y+12=0. 则圆C的标准方程x2+(y-4)2=4,圆心为(0,4)，半径r=2. 4+2a 若直线1与圆C相切，则有 V1+a2 =2，解得a=-3 4 3 即当a=-3时，直线1与圆C相切. 4 (3)设圆心C到直线l的距离为d, 依题意， +d=r2,即2+d2=4,解得d=2, 又由d= 4+2a=2,解得a=-1或a=-7. V1+a2 直线l的方程为x-y+2=0或7x-y+14=0. 18、【答案】(1)证明见解析.2) 3 【详解】(1)证明： 在平行四边形ABCD中，O为BD中点， 又.M为PD的中点， .在△PBD中，OMI/PB, .PBc平面BCP,OMd平面BCP, ∴.OMI∥平面BCP. (2)PB=PD,O为BD中点，∴.PO⊥BD, B 又.PO⊥AC,AC∩BD=O, ACC平面ABCD,BDc平面ABCD, ∴.PO⊥平面ABCD, ∠ADB=90°，.AD⊥BD, 以D为原点，DA,DB所在的直线分别为x轴，y轴， 过D且平行于OP的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 在RtAPBD中，BD=2,O为BD中点，PO⊥BD, ∴.D0=PO=1 由题意得，D(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,2,0),P(0,1,1), ∴PC=(-2,1,-1),PA=(2,-1,-1),PB=(0,1,-1), 设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则 n.PA=2x-y-z=0 ，令z=1,解得y=1,x=1, nPB=y-z=0 n=(11,1), 设直线PC与平面PAB所成角为O,则 PC.n sin=cos PC,n= -2+1-12V2 PC 1√6×3 323 所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为 3 19、 【答案】(1)由折叠的性质，PE=l,PF=l,PD=2,且PE,PF,PD两两垂直， 以P为坐标原点，PF方向为x轴，PE方向为y轴，PD方向为z轴，建立空间直角坐标系， 则P(0,0,0),F(1,0,0),E(01,0),D(0,0,2),则PD=(0,0,2),EF=(1,-1,0) PD.EF=1×0+(-1)×0+2×0=0, 故PD1原，即PDLF.号 (3)存在，M为线段EF的中点 【详解】(1)略 (2)平面PED中，PD=(0,0,2),PE=(0,1,0),设平面法向量为i=(x,y,z), 则 PD-i=2z=0,令x=1,则万=(0,00)： PE.=y=0 平面DEF中，DE=(0,l,-2),DF=(1,0,-2),设平面法向量为m=(x,y,z) 则 DEm=%-2名=0.令4=1，则m=(2,0 DF.m=x-231=0 n.m 1×2 2 设二面角P-ED-F为0，则cos0= m1×V22+22+123 (3)设M在线段EF上，令M(,1-t,0),t∈[0,1]， 则向量DM=（,1-4,-2), 直线DM与平面PED所成角为a,由线面角公式： DM.n sin a= DM-VP+0-+(-2V2r-21+5 已知sina=5,故 6 212-21+56 化简整理得16㎡+24-5=0，解得1=2或1= (含去) 故点M[0 即M为线段EF的中点.