22.4 相似三角形的性质1 课件 2026--2027学年沪科版九年级数学上册

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学九年级上册教学课件 第22章　相似形 22.3 相似三角形的性质 2026年10月26日 22.3 相似三角形的性质 核心知识点总结 一、相似三角形基础性质（核心必背） 若两个三角形相似，则满足两大基础性质，是所有题型的解题根基： 1. 对应角相等：所有对应位置的角度完全相等； 2. 对应边成比例：对应边的比值为定值，这个定值叫做相似比（k）。 注意：相似比有顺序性，△ABC∽△A'B'C'的相似比，与△A'B'C'∽△ABC的相似比互为倒数。 二、相似三角形五大拓展性质（考试高频） 2. 周长比 = 相似比 相似三角形的周长之比，严格等于对应边的相似比$$k$$ 3. 面积比 = 相似比的平方 4. 对应三线平分角、分线段成比例 相似三角形内部的高、中线、角平分线，分割出的小线段依旧符合相似比例关系。 5. 图形结构完全相同 相似三角形仅大小不同，形状完全一致，角度分布、边长比例结构完全相同。 三、相似多边形通用性质（拓展延伸） 所有相似多边形（四边形、五边形等）均沿用三角形相似性质： 1. 对应角相等，对应边成比例； 2. 周长比 = 相似比； 3. 面积比 = 相似比的平方。 口诀通用：一切线性线段同比，一切面积平方比。 四、相似比、周长比、面积比换算公式（万能公式） 已知相似比 $$k$$： 周长比 = $$k$$ 对应高/中线/角平分线比 = $$k$$ 面积比 =$$k^2$$ 反向推导： 已知面积比 = $$m$$，则相似比 = $$\sqrt{m}$$，周长比 = $$\sqrt{m}$$。 五、经典必考题型解题模板 1. 边长、周长计算题型 先确定相似比，直接利用「周长比=相似比」列比例方程，求解未知周长或边长。 2. 面积计算题型 先找相似比，平方得到面积比，再结合已知图形面积，计算未知面积。 3. 对应高线、中线计算题型 直接套用「对应线段比=相似比」，无需复杂推导，一步求值。 六、标准答题步骤（考试通用） 1. 证相似：通过AA、SAS、SSS、HL、平行线判定任意方法证明两三角形相似； 2. 求相似比：算出对应边的比值 $$k$$； 3. 套性质：根据所求量选择同比或平方比； 4. 列方程计算，写出最终结果。 七、高频易错点（考试重灾区） 1. 最致命错误：面积比直接等于相似比，忘记平方，直接整题扣分； 2. 相似比顺序颠倒，大比小、小比大混淆，导致周长、面积结果错误； 3. 混淆线段与面积：高、中线、周长是线性量，用原比；面积是二次量，用平方比； 4. 反向计算失误：已知面积比求相似比，忘记开平方； 5. 忽略对应关系，用非对应边求相似比，比例关系完全错误。 八、全章相似体系汇总（判定+性质） 五种相似判定：平行判定、AA、SAS、SSS、HL（直角专属） 三大核心性质：对应角相等、对应线段同比、面积平方比 九、本节总结口诀 相似三角角相等，对应边比定相似。 高线中线周长比，全和同比保持一。 面积比值最特殊，相似平方要牢记。 正向平方反向根，顺序不乱不丢分。 类比全等三角形的研究方法，来研究相似三角形的性质   全等三角形 相似三角形 图形 性质 C A B A' B' C ' C A B A' B' C ' 形状相同，大小相同，完全重合 整体： 角： 对应角相等 形状相同，大小不一定相同，不一定能重合 整体： 角： 对应角相等 线段： 对应边相等 对应边上的高线、中线相等 对应角的角平分线相等 线段： 对应边成比例，都等于相似比 对应边上的高线之比等于相似比吗？ 对应角的角平分线之比等于相似比吗？ 对应边上的中线之比等于相似比吗？ 在相似三角形中，对应边上的高线之比等于相似比吗？ 思路点拨：构造包含高线在内的相似三角形. A' B' C' D' A B C D 已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD，A′D′是对应的高. 求证： 合作探究 在相似三角形中，对应边上的高线之比等于相似比吗？ 证明：∵△ABC∽△A'B'C'， ∴∠B=∠B′． 又△ABD和△A′B′D′都是直角三角形， ∴∠ADB=∠ A′D′B′ ． ∴△ABD∽△A′B′D′． ∴ ． 反思：证明过程反复依赖于相似三角形的判定与性质，强化对相似三角形判定与性质的综合应用. A' B' C' D' A B C D 归纳总结 相似三角形对应高的比等于相似比. 符号语言： ∵△ABC∽△A′B′C′，相似比是k 且AD⊥BC，A′D′⊥B′C′． ∴ ． 相似三角形对应中线的比和对应角平分线的比呢？ 合作探究 已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD，A′D′是对应的中线. 求证： A' B' C' D' A B C D 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′， ∴ ∠B′= ∠B， 又∵AD，AD′分别为对应边BC， B ′ C′ 的中线， ∴ △ABD∽△A′B′D′. 三角形对应中线的比等于相似比 合作探究 已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD，A′D′是对应的角平分线. 求证： A' B' C' D' A B C D 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′， ∴∠B′=∠B，∠B′A′C′=∠BAC. 又∵AD，A′D′分别为对应角的平分线， ∴ ∠BAD=∠△B′A′D′. ∴ △ABD∽△A′B′D′. 三角形对应角平分线的比等于相似比 都等于相似比. 相似三角形的性质定理1 A' B' C' A B C D' D F F' E E' 符号语言 相似三角形对应高的比、 对应中线的比 ∵△ABC∽△ A′B′C′ ，相似比是k， 且AD、A′D′是对应边的高线， BF、B′F′是对应边的中线， CE、C′E′是对应角的角平分线， ∴ 和对应角平分线的比 归纳总结 1.如图、电灯 P 在横杆 AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为 CD，AB∥CD，AB = 2 m，CD = 4 m，点 P 到 CD 的距离是 3 m，则 P 到 AB 的距离是 m. P A D B C 2 4 1.5 2．已知两个相似三角形的一组对应边的长分别为2 cm和4 cm，若它们对应的两条角平分线的长度之和为9 cm，则这两条角平分线的长度分别为____________． 3 cm，6 cm 做一做 两个相似三角形相似比是2∶5，其中一个三角形的一条高线为10， 那么另一个三角形对应的高线长度是 . 4或25 分析：相似三角形的对应线段的比等于相似比. 解：设另一个三角形的对应的高线长度是h，则 解得，h=4或 h=25. 或 所以另一个三角形对应的高线长度是4或者是25. 不确定是哪个三角形 如图，AD 是 △ABC 的高，点 P，Q 在 BC 边上，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形. (1) AE 是 △ASR 的高吗？为什么？ (2) △ASR 与 △ABC 相似吗？为什么？ (3) 求正方形 PQRS 的边长. S R Q P E D C B A 典例分析： (1) AE 是 △ASR 的高吗？为什么？ S R Q P E D C B A 解： AE 是 △ASR 的高. 理由： ∵AD 是 △ABC 的高， ∴ ∠ADC = 90°. ∵四边形 PQRS 是正方形， ∴SR∥BC. ∴∠AER =∠ADC = 90°. ∴ AE 是 △ASR 的高. (2) △ASR 与 △ABC 相似吗？为什么？ 解： △ASR 与 △ABC 相似. 理由: ∵ SR∥BC， ∴ ∠ASR =∠B，∠ARS =∠C. ∴ △ASR 与 △ABC 相似. S R Q P E D C B A (3) 求正方形 PQRS 的边长. 解：∵ △ASR ∽ △ABC，AE、AD分别是 △ASR 和 △ABC 对应边上的高， ∴.设 PQ = x cm， 则 SR = DE = x cm，AE = (40 - x) cm . ∴ . 解得：x = 24. ∴正方形 PQRS 的边长为 24 cm. S R Q P E D C B A 3. 如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm.要把该铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为2∶1，且矩形长的一边位于边BC上，另两个顶点分别在AB，AC上.求这个矩形零件的边长. A B C D 80 cm 60 cm S R P Q 解：如图，矩形PQRS为加工后的矩形零件，边SR在边BC上，顶点P，Q分别在边AB，AC上，△ABC的高AD交PQ于点E. 设PS为xcm，则PQ为2xcm. ∵PQ∥BC， ∴△APQ∽ △ABC. 解这个方程，得x=24，2x=48. 答：这个矩形零件的边长分别是48cm和24cm. 变式1：一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm.要把该铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为2∶1，且矩形的一边位于边BC上，另两个顶点分别在AB，AC上.求这个矩形零件的边长. A B C D 变式1：一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm.要把该铁皮加工成矩形零件，使矩形的一边位于边BC上，另两个顶点分别在AB，AC上.求这个矩形零件面积的最大值. A B C D 4. 如图，E是△ABC的中线AD的延长线上一点，EG∥AC交BC于点G. 若DG＝2BG，则 ＝_____ 　 　 　 5. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B'，设AB＝36cm，A'B'＝24cm， 小孔O到AB的距离为30cm，则小孔 O到A'B'的距离为 cm. 20　 相似三角形的性质定理1 相似三角形的性质定理1： 用相似三角形的性质定理1解决问题： 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. ①找到对应的相似图形，并确定其相似比； ②根据相似图形确定对应线段； ③根据相似三角形的性质定理1计算. 课堂小结 $