22.4 相似三角形的性质第2课时 (课件) 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

22.4 相似三角形的性质 第2课时 相似三角形周长、面积的性质 第22章 相似形 1 导入新课 已学相似三角形的性质有哪些？ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比． 已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，两个三角形的周长、面积之间存在怎样的数量关系？ 知识模块一　相似三角形周长的性质 探究新知 图中 (1)(2)(3) 分别是边长为 1，2，3 的等边三角形，它们都相似吗？ 都相似 (2) (3) 1 2 3 (1) (1) (2) (3) 1 2 3 (1)与(2)的相似比=______, (1)与(2)的周长比=______， (1)与(3)的相似比=______, (1)与(3)的周长比=______. 有什么规律吗？ 结论： 相似三角形的周长比等于_______． 相似比 1 : 2 1 : 2 1 : 3 1 : 3 1.如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC 的周长是 24，求 △DEF 的周长． A B C D E F 练一练 6 ∴△DEF∽△ABC，相似比为. 解：在 △ABC 和 △DEF 中， ∵ AB＝2DE，AC＝2DF ∴ ∴△DEF的周长 = △ABC 的周长， △DEF 的周长 = 12. A B C D E F 求证：相似三角形的周长比等于相似比. 怎么证明这一结论呢？ 想一想 A B C A1 B1 C1 A B C A1 B1 C1 证明：设△ABC ∽ △A1B1C1，相似比为 k， ∴ k ∴AB= k, BC= k , CA= k, 有= k 相似三角形周长的比等于相似比. 归纳总结 练一练 1.如果△ABC∽△DEF，△ABC的三边长分别为3，4，6，△DEF的最小边的长为6，那么△DEF的周长是 ( ) A．26 B．13 C．28 D．52 A 2.已知两个相似三角形对应高之比为4∶9，那么这两个三角形的周长之比 ( ) A．2∶3 B．4∶9 C．16∶81 D．1∶2 B 知识模块二　相似三角形面积的性质 图中 (1)(2)(3) 分别是边长为 1，2，3 的等边三角形 (2) (3) 1 2 3 (1) 1 2 3 （1） （2） （3） (1)与(2)的相似比=______， (1)与(2)的面积比=______， (1)与(3)的相似比=______， (1)与(3)的面积比=______， 1 : 2 1 : 4 1 : 3 1 : 9 结论： 相似三角形的面积比等于____________． 相似比的平方 想一想：怎么证明这一结论呢？ 14 A B C D A′ B′ C′ D′ 证明：设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k， 如图，分别作出△ABC和△A′B′C′的高 AD 和A′D′. ∵△ABD 和 △A′B′D′ 都是直角三角形，且∠B =∠B′， ∴△ABD∽△A′B′D′. ∵△ABC∽△A′B′C′. ∴ ∴ ∴ ∴ = = 相似三角形的面积比等于相似比的平方. 相似三角形周长的比等于相似比. A B C A1 B1 C1 归纳总结 如图，△ABC 的面积为 25，直线DE//BC，如果 △ADE 的面积为 9，求 的值. ∴△ADE ∽△ABC. 解： ∵DE//BC， A B C D E 典例精析 ∴ ∴ ∴ 练一练 1.已知△ABC∽△DEF，相似比为2∶3. (1)两个三角形的周长比为________； (2)两个三角形的面积比为________． 2∶3 4∶9 2.两个相似三角形的面积比为16∶25，则它们的相似比为____，周长比为____． 2.如图，DE∥BC，△ADE∽△ABC，AD∶AB＝1∶4，若△ADE的面积为2. (1)求△ABC的面积； (2)求四边形DBCE的面积． 解：(1)∵AD∶AB＝1∶4， ∴相似比k＝1∶4， ∴ = . ∵S△ADE＝2， ∴S△ABC＝32. (2)四边形DBCE面积为32－2＝30. 3.已知一个三角形的三边长分别是1，2，3，与其相似的三角形的最大边长为3，求较大三角形的周长. 解:∵边长分别是1，2，3的三角形的最大边为3，小于另一三角形的最大边3， ∴它与另一三角形的相似比＝3∶3＝1∶，它与另一三角形的周长的比也为1∶， ∴另一三角形的周长＝(4＋2)×＝4＋4. ∴这个三角形的周长等于1＋2＋3＝4＋2， 1.若△AB C∽△AB'C，且面积比为4∶9，则其对应边上的高的比为 (　C　) A. B. C. D. C 巩固练习 2.如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2 m，CD＝5 m，点P到CD的距离是3 m，则P到AB的距离是 (　C　) A. m B. m C. m D. m C 3.如果两个相似三角形的面积之比为9∶4，那么这两个三角形的周长之比为 (　D　) A.81∶16 B.27∶12 C.9∶4 D.3∶2 D 4.如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上，已知直角三角形纸板中DE＝16 cm，EF＝12 cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8米，他与“步云阁”的水平距距离CD为104 m，则“步云阁”的高度AB是 (　C　) A.75.5 m B.77.1 m C.79.8 m D.82.5 m C 5.如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE＝CD. (1)求证:△ABF∽△CEB； 解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB∥CD， ∴∠ABF＝∠CEB， ∴△ABF∽△CEB. (2)∵四边形ABCD是平行四边形， (2)若△DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积. ∴AD∥BC，AB平行且等于CD， ∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF. ∵DE＝CD， ∴＝2＝，＝2＝. ∵S△DEF＝2， ∴S△CEB＝18，S△ABF＝8. ∵S四边形BCDF＝S△BCE－S△DEF＝16， ∴S四边形ABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24. 6. 如图，这是圆桌正上方的灯泡 (点 A) 发出的光线照 射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 1.2 米，桌面距离地面为 1 米，若灯泡距离地面 3 米，则地面上阴影部分的面积约为多少 (结果保留两位小数)？ A D E F C B H 解：∵ FH = 1 米，AH = 3 米，桌面的直径为 1.2 米， ∴ AF = AH－FH = 2 (米). DF = 1.2÷2 = 0.6 (米). ∵DF∥CH， ∴△ADF ∽△ACH. ∴ ,即,解得 CH = 0.9 (米). 答：地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米. ∴ 阴影部分的面积为： π= π×≈2.54(平方米). A D E F C B H 相似三角形的性质2 相似三角形周长之比等于相似比 相似三角形面积之比等于相似比的平方 课堂小结 $