广东省惠州市光正实验学校2026-2027学年高二上学期期中联考数学仿真卷1

2026年10月惠州光正高二数学期中联考仿真卷1 一、单选题 1．设两条异面直线、的方向向量分别为，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 2．若，，三点共线，则（    ） A．4 B．-2 C．1 D．3 3．经过，两点的直线的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 4．直线被圆截得的弦长为（    ） A． B．2 C． D．与k的取值有关 5．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（    ）    A． B． C． D． 6．已知向量，若，则的值为（    ） A． B．2 C． D．6 7．已知圆：和圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 8．曲线与直线有两个相异的交点时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列关于空间向量的命题中，是真命题的是（    ） A．若三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们一定不共面 B．若，则，的夹角是锐角 C．不相等的两个空间向量的模可能相等 D．若，是两个不共线的向量，且且，则构成空间的一个基底 10．下列说法错误的是（    ） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．点关于直线的对称点为 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 11．设O为坐标原点，已知直线l：与圆：有两个交点M，N，则（    ） A．直线l过定点 B． C．当时， D．当时，的最小值为 三、填空题 12．已知直线与垂直，则__________. 13．在空间直角坐标系O-xyz中，已知平面α的一个法向量是，且平面α过点A(0,3,1).若P(x,y,z)是平面α上任意一点，则点P的坐标满足的方程是_____. 14．当直线被圆所截得的弦长最短时，实数_____． 四、解答题 15．已知的三个顶点，，. (1)求边AB上的中线所在直线的一般式方程； (2)求边AB上的高所在直线的斜截式方程. 16．已知圆过三点． (1)求的方程； (2)求直线被所截得的弦长． 17．在棱长为4的正方体中，点P在棱上，且． (1)求直线与平面所成的角的正弦值大小； (2)求点P到平面的距离． 18．已知圆：. (1)求过圆心且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； (2)若直线与圆相交所得的弦长为4，求实数的值. 19．如图，三棱柱的所有棱长都为2，，. (1)求证：平面⊥平面； (2)在棱上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若不存在，请说明理由：若存在，求的长. 2026年10月惠州光正高二数学期中联考仿真卷1 一、单选题 1．设两条异面直线、的方向向量分别为，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】因为两条异面直线、的方向向量分别为，， ，所以与所成的角的余弦值为，所以，与所成的角为. 2．若，，三点共线，则（    ） A．4 B．-2 C．1 D．3 【答案】D【详解】若，，三点共线， 由，，则有，得，解得，所以. 3．经过，两点的直线的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B【详解】由斜率公式可得，故经过，两点的直线的倾斜角为60°. 4．直线被圆截得的弦长为（    ） A． B．2 C． D．与k的取值有关 【答案】A【详解】由于圆的圆心在直线上， 所以截得弦为圆的直径，又其半径为，故截得的弦长为. 5．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】因为，点N为BC中点，所以， 故 . 6．已知向量，若，则的值为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】C【详解】由，可得， 因为，所以，解得. 7．已知圆：和圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C【详解】圆：和圆：， 可知：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 因为，即，所以两圆的位置关系为相交. 8．曲线与直线有两个相异的交点时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】由曲线可得，则曲线表示的是为圆心，2为半径的上半圆，由直线可得，则直线是过定点的动直线．如图设点，显然当直线过点A时有两个交点，此时；当直线与圆相切时，即直线在PB位置时，由圆心到直线距离等于半径得，解得．由图知，当直线在PA（含PA）与PB（不含PB）之间移动时均符合题意，所以． 二、多选题 9．下列关于空间向量的命题中，是真命题的是（    ） A．若三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们一定不共面 B．若，则，的夹角是锐角 C．不相等的两个空间向量的模可能相等 D．若，是两个不共线的向量，且且，则构成空间的一个基底 【答案】AC 【详解】选项A，由空间向量基本定理可知正确；选项B，当且，时，，故B错误；选项C，由空间向量定义可知正确；选项D，由空间向量基本定理可知，与，共面，则不能构成空间的一个基底，故D错误. 10．下列说法错误的是（    ） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．点关于直线的对称点为 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 【答案】AD【详解】A：垂直于x轴的直线不存在斜率，错误； B：由、中点为且，两点所在直线的斜率为，故与垂直，正确； C：令有，令有，所以围成的三角形的面积是，正确； D：由也过且在x轴和y轴上截距都为0，错误. 11．设O为坐标原点，已知直线l：与圆：有两个交点M，N，则（    ） A．直线l过定点 B． C．当时， D．当时，的最小值为 【答案】BCD【详解】选项A，直线l可化为，则l过定点，所以A错误； 选项B，因为直线l与圆总有两个公共点，且定点在圆内，故，解得，所以B正确；选项C，当时，圆：，所以，又，则， 则的最小值为，最大值即为，所以C正确； 选项D，当时，圆：，则， 当直线l过时，取得最小值，所以的最小值为，所以D正确． 三、填空题 12．已知直线与垂直，则__________. 【答案】9【详解】由题可得，解得. 13．在空间直角坐标系O-xyz中，已知平面α的一个法向量是，且平面α过点A(0,3,1).若P(x,y,z)是平面α上任意一点，则点P的坐标满足的方程是_____. 【答案】【详解】由题意可知，，又平面α的一个法向量是，所以即，则，化简为， 14．当直线被圆所截得的弦长最短时，实数_____． 【答案】0【详解】直线的方程变形为，则由得，所以直线过定点．圆，因为，所以点在圆内．设直线与圆交于，两点，则当时，取最小值，由，得，解得． 四、解答题 15．已知的三个顶点，，. (1)求边AB上的中线所在直线的一般式方程； (2)求边AB上的高所在直线的斜截式方程. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）设是边AB的中点，则即得， 边AB上的中线CD的斜率为故其方程为,即得 ， 故边AB上的中线所在直线的一般式方程为； （2），，，边AB上的高所在直线的斜率， 边AB上的高所在直线的方程为,其斜截式方程. 16．已知圆过三点． (1)求的方程； (2)求直线被所截得的弦长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）设圆为， 将，，分别代入得：，所以， 所以圆的方程为. （2）由（1）得圆心，半径， 圆心到直线距离， 所以弦长. 17．在棱长为4的正方体中，点P在棱上，且． (1)求直线与平面所成的角的正弦值大小； (2)求点P到平面的距离． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）连接，由正方体的结构特点易知面，为垂足，所以即为所求的线面角，∵，∴，由勾股定理知，，∴． （2）以D为坐标原点，以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 由已知，，，，， 所以，，， 设面的法向量为， 故有， 令，则，故， 故点P到平面的距离． 18．已知圆：. (1)求过圆心且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； (2)若直线与圆相交所得的弦长为4，求实数的值. 【答案】(1)或(2)或4 【详解】（1）圆的标准方程为，故圆心，半径为3. 若直线不过原点，设直线的方程为（）， 又在直线上，所以，解得，故直线的方程为； 若直线过原点，则直线的方程为，即，符合题意； 综上，直线的方程为或. （2）由题意知到直线的距离为，所以，解得或4. 19．如图，三棱柱的所有棱长都为2，，. (1)求证：平面⊥平面； (2)在棱上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若不存在，请说明理由：若存在，求的长. 【答案】(1)证明：取中点连接，如图所示：因为三棱柱的所有棱长都为2，所以，又因为且平面，所以平面，又因为平面，所以．在直角三角形中，，所以， 在三角形中，， 所以，所以， 又因为平面 所以平面．又因为平面，所以平面平面． (2)假设在棱上存在点，使直线与平面所成角的正弦值为， 则以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因此，，． 因为点在棱上，则设，其中． 则 设平面的法向量为， 由得，取 所以平面的一个法向量为． 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 化简得解得，所以， 所以在棱上存在点，使直线与平面所成角的正弦值为， 此时的长为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $