精品解析：北京市房山区2025-2026学年上学期学业水平调研（一）八年级数学试题

房山区2025-2026学年度第一学期学业水平调研（一）八年级数学 本试卷共6页，满分100分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 等于（ ） A. B. 3 C. D. 81 3. 下列等式成立的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 5. 若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的3倍 D. 不变 6. 《北京市中小学人工智能教育地方课程纲要（试行）（2025年版）》指出，从2025年秋季学期开始，全市中小学校开展人工智能通识教育，每学年不少于8课时，实现中小学生全面普及．为了响应号召，刘老师决定利用研发的两个模型和设计一节通识课。已知单独设计的时间比少3小时，若两模型合作设计，仅需2小时即可完成．设单独设计需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. ​ 7. 如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 对于任意不为零的实数，若定义新运算，给出下列三个结论： ①； ②； ③若且为整数，则代数式的最小值为．上述结论中，所有正确结论的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若分式的值为0，则x的值为____． 10. 实数x在______范围内取值时，表示二次根式． 11. 小亮和小茵两位同学对异分母分式加减法运算和解分式方程进行了对比学习： 小亮同学的做法： …第一步 …第二步 …第三步 小茵同学的做法： …第一步 …第二步 …第三步 …第四步 （1）小亮同学第一步的运算是通分，其依据是______； （2）小茵同学第一步的运算是去分母，其依据是______． 12. 的算术平方根是______． 13. 若，且b是一个单项式，则a可以是______．（写出一个即可） 14. 实数，在数轴上的位置如图所示，化简：____________． 15. 若分式的值为正整数，则实数m可取的所有整数值是_____． 16. 已知：，，，， ，其中为正整数，则（）______；（）的值是______． 三、解答题（共68分，第17-18，26题每题5分；第19，22，25题每题4分；第20，23，27题每题6分；第21题10分；第24题6分；第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 计算：． 20. 计算：． 21. 计算： （1）； （2）． 22. 计算：． 23. 解分式方程： （1） −1=​； （2）． 24. 已知，求代数式的值． 25. 中国是全球电动汽车最大市场，2025年9月全球电动汽车销量210万辆中，中国占比约三分之二（约130万辆），同比增长．中国汽车在2025年前9个月累计销售2436.3万辆，同比增长．其中，新能源汽车（包括纯电动和插电式混合动力）销量占比显著提升．小静家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动汽车，原来驾驶燃油汽车从A地到B地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来燃油汽车所需油费比纯电动汽车所需的电费多元，求新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费． 26. 材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：​，而且他发现这样的变形可以优化计算． 材料二： 求代数式的最小值． ， ， ， 的最小值为． 解决下列问题： （1）如果分式可以变形为（，为实数），则_____；_____； （2）求代数式的最大值． 27. 若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式的解是非负整数，求符合题意的整数a的所有取值． 28. 给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． （1）在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； （2）若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； （3）若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 房山区2025-2026学年度第一学期学业水平调研（一）八年级数学 本试卷共6页，满分100分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义，根据分母不为0进行分析，即可作答． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：D． 2. 等于（ ） A. B. 3 C. D. 81 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴9的算术平方根为， 故选：B． 3. 下列等式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，通过检查每个等式的恒等性，使用分式的基本性质和指数运算法则判断即可． 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意； B、与在x不为零时不一定相等（如，左边，右边），故B错误，不符合题意； C、， （当时），故C正确，符合题意； D、 （如时，左边，右边），故D错误，不符合题意； 故选：C． 4. 下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式定义，准确判断是解题的关键． 根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数），逐一判断各选项． 【详解】选项中， = ，被开方数含分母，不是最简； 选项中，，可化简为整数，不是最简； 选项中，，可化简，不是最简； 选项中，，被开方数7是质数，无平方因数，是最简二次根式； 故选． 5. 若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的3倍 D. 不变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，先整理新的分式，再与原分式进行比较，即可作答． 【详解】解：依题意，新的分式， ∵原分式，且， ∴新分式原分式， 故分式的值缩小为原来的， 故选：A 6. 《北京市中小学人工智能教育地方课程纲要（试行）（2025年版）》指出，从2025年秋季学期开始，全市中小学校开展人工智能通识教育，每学年不少于8课时，实现中小学生全面普及．为了响应号召，刘老师决定利用研发的两个模型和设计一节通识课。已知单独设计的时间比少3小时，若两模型合作设计，仅需2小时即可完成．设单独设计需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. ​ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设单独设计需要x小时，根据工作率问题，则的工作效率为，的工作效率为，合作工作率之和乘以时间等于总工作量1，列出方程即可． 【详解】解：设单独设计需要x小时，则单独设计需要小时， 则的工作率为，的工作率为， 那么合作时，总工作率为， ∴ ，即， 故选：B． 7. 如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，化简二次根式．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，的长，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为和 它们的边长分别为 ， 空白部分的面积 ． 故选：D． 8. 对于任意不为零的实数，若定义新运算，给出下列三个结论： ①； ②； ③若且为整数，则代数式的最小值为．上述结论中，所有正确结论的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意直接计算即可判断①②；对于③，依次计算化简，最后利用二次函数的性质即可求出其最小值，进而判断．本题考查定义新运算和二次函数最值的求法． 【详解】解：∵， ①，故①错误； ②，故②正确； ③设， 则， 两式相加，得， ∴． 令 S是关于m的二次函数，其图象为开口向上的抛物线， 其对称轴为， ∵且为整数， ∴当时，，故③错误． 故正确的仅有1个， 故选：B． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若分式的值为0，则x的值为____． 【答案】1 【解析】 【分析】由题意根据分式值为0的条件即分子为0且分母不为0进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴x-1=0， ∴x=1. 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，注意掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 10. 实数x在______范围内取值时，表示二次根式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，准确分析计算是解题的关键． 二次根式有意义的条件是被开方数是非负数． 【详解】根据二次根式的定义，被开方数必须满足大于或等于零，即，解得． 故答案为． 11. 小亮和小茵两位同学对异分母分式加减法运算和解分式方程进行了对比学习： 小亮同学的做法： …第一步 …第二步 …第三步 小茵同学的做法： …第一步 …第二步 …第三步 …第四步 （1）小亮同学第一步的运算是通分，其依据是______； （2）小茵同学第一步的运算是去分母，其依据是______． 【答案】 ①. 分式的基本性质 ②. 等式的性质 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的性质，分式的基本性质，解分式方程的知识，掌握分式方程的解法，是解答本题的关键． （1）根据分式的基本性质即可解答； （2）根据等式的性质即可解答． 【详解】解：（1）小亮同学第一步的运算是通分，依据的是分式的基本性质，即分式的分子与分母都乘或除以同一个不等于零的整式，分式的值不变； （2）小茵同学第一步的运算是去分母，依据的是等式的性质，即等式两边同时乘同一个数或除以同一个不为0的数所得结果仍是等式． 故答案为：分式的基本性质，等式的性质． 12. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 13. 若，且b是一个单项式，则a可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减．首先化简为，然后根据是单项式的条件，分析需与合并为单项式，因此应为的有理倍数． 【详解】解：∵， ∴． 由于是单项式，因此必须能合并为一个单项式，即必须是的有理倍数． 取，则，0是单项式，满足条件． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 实数，在数轴上的位置如图所示，化简：____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的性质；先根据数轴上点的坐标特点确定，的符号，再根据算术平方根化简即可． 【详解】解：由图可知，，，则， ∴． 故答案为：． 15. 若分式的值为正整数，则实数m可取的所有整数值是_____． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查分式的值为整数时求字母的取值．先对分式进行变形，然后根据分式值为整数的条件来确定m的取值． 【详解】解：∵， ∴是3的因数， ∵分式的值为正整数， ∴或， ∴或， ∵时，原分式无意义，舍去， ∴， 故答案为：0． 16. 已知：，，，， ，其中为正整数，则（）______；（）的值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（）根据求出的值，再根据算术平方根求解即可； （）根据的值可得，即得到，再代入算式计算即可求解； 本题考查了算术式平方根的定义，二次根式的化简求值，由已知等式找出规律是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴， ∴ ， 故答案为：； （）∵， ， ， ， ∴， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题（共68分，第17-18，26题每题5分；第19，22，25题每题4分；第20，23，27题每题6分；第21题10分；第24题6分；第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，绝对值，二次根式化简，零指数幂，负整数指数幂，正确的计算是解题的关键． 根据二次根式化简，绝对值，零指数幂，负整数指数幂进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式． 【点睛】本题考查分式的乘除法，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法的应用，根据二次根式的乘除法法则， 系数相乘除， 被开方数相乘除， 根指数不变，计算后求出即可 ． 【详解】解： 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简与加减运算．将各个二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】解：原式 ． 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先通分，化为同分母分式，再计算即可； （2）先对分母因式分解，然后通分，化为同分母分式，再计算即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 22. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式，二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先根据平方差公式和完全平方公式展开，再计算乘方，最后计算二次根式的加减法即可． 【详解】解： ． 23. 解分式方程： （1） −1=​； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据解分式方程的步骤解答即可； （）先对分式方程的分母进行因式分解，再根据解分式方程的步骤解答即可； 本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解：方程可化为， 方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 24. 已知，求代数式的值． 【答案】1 【解析】 【分析】先化简分式得到原式，再将代入即可得到结果． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式=1． 【点睛】本题考查了分式的化简求值：先进行分式的乘除运算（把分子或分母因式分解，约分），再进行分式的加减运算（即通分），然后把字母的值代入(或整体代入)进行计算． 25. 中国是全球电动汽车最大市场，2025年9月全球电动汽车销量210万辆中，中国占比约三分之二（约130万辆），同比增长．中国汽车在2025年前9个月累计销售2436.3万辆，同比增长．其中，新能源汽车（包括纯电动和插电式混合动力）销量占比显著提升．小静家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动汽车，原来驾驶燃油汽车从A地到B地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来燃油汽车所需油费比纯电动汽车所需的电费多元，求新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费． 【答案】元 【解析】 【分析】本题考查了分式的方程的应用，设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则燃油汽车所需油费元，根据行驶的路程相等列出方程即可解决问题，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则燃油汽车所需油费元， 由题意列方程得：， 解方程得，， 经检验，是原方程得解，且符合实际意义， 答：新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元． 26. 材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：​，而且他发现这样的变形可以优化计算． 材料二： 求代数式的最小值． ， ， ， 的最小值为． 解决下列问题： （1）如果分式可以变形为（，为实数），则_____；_____； （2）求代数式的最大值． 【答案】（1） ，； （2） ． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、完全平方公式的应用、类比思想的运用，正确理解题意是解题的关键． 仿照阅读材料中的解题思路，可得：原式，类比可得：，； 类比中的解题思路，可得：原式，把分母进行配方可得：，根据平方的非负性可知的最小值是，所以的最大值是． 【小问1详解】 解： ， ，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解： 可得：， ， ， 的最小值是， 的最大值是， 的最大值是， 的最大值为． 27. 若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式的解是非负整数，求符合题意的整数a的所有取值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组和一元一次不等式组的解，正确确定不等式组的解集是解题的关键，解分式方程要注意有产生增根的可能．利用关于的一元一次不等式组的解集为，通过解不等式组确定的一个取值范围；再利用关于的分式方程有非负整数解，确定的取值，同时满足两个条件的整数解即为答案． 【详解】解：， 解不等式①的解集为， 不等式②的解集为， ∵不等式组的解集为， ； 解关于的分式方程， ， ， 解得， ∵， ， 关于的分式方程的解是非负整数， ， ，，， 但时，是原方程的增根，舍去， ，， 符合条件的所有整数的所有取值为，． 28. 给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． （1）在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； （2）若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； （3）若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】（1）① （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． （1）根据定义，计算判断即可． （2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求t的值即可． （3）根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”，得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可． 【小问1详解】 解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立， 所以数对是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 故①正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是， ， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故②错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是， 无意义， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故③错误； 故答案为：①； 【小问2详解】 解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得； 【小问3详解】 解：根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 得关于的分式方程的解是， 回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $