专题01 期中真题易错百练通关108题36大易错题型（期中专项训练）八年级数学上学期新教材北京版

专题01 期中真题易错百练通关（108题36大易错题型） 易错·固本强基 题型1 分式判断 题型2 分式有无意义的条件 题型3 分式的求值 题型4 分式的基本性质 题型5 约分与通分 题型6 最简分式 题型7 分式的四则混合运算 题型8 分式化简求值 题型9 解分式方程 题型10 根据分式方程解的情况求值 题型11 分式增根与无解问题 题型12 分式方程的实际应用 题型13 求平方根、立方根 题型14 算术平方根的非负性 题型15 估计算术平方根的取值范围 题型16 与算数平方根、立方根有关的规律探索题 题型17 求实数的整数部分与小数部分 题型18 实数的大小比较 题型19 二次根式有意义的条件 题型20 利用二次根式的性质化简 题型21 二次根式的四则混合运算 题型22 最简二次根式与同类二次根式 题型23 分母有理化 题型24 实数的混合运算 题型25 二次根式的应用 题型26 三角形的相关概念 题型27 三角形内角和定理 题型28 根据三角形中线求解 题型29 与三角形的高有关的计算问题 题型30 全等三角形的性质 题型31 全等三角形的判定 题型32 全等三角形的动点问题 题型33 全等三角形与尺规作图结合问题 题型34 全等三角形中的网格问题 题型35 全等三角形的模型 题型36 全等三角形的判定与性质综合 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 易错·固本强基 题型1 分式判断（共3小题） 1．（26-27八年级上·全国·期中）下列代数式中，属于分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式定义，分母含有字母的代数式是分式，依次判断各选项，、、分母不含字母为整式，分母含有字母，是分式． 【详解】解：：分母是常数3，属于整式（单项式），不是分式． ：分子分母都是整式，分母含有字母，是分式． ：分母是常数2，属于整式（多项式），不是分式． ：是常数，整个式子是多项式，属于整式，不是分式． 2．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）下列各式：，，，，，，中，分式有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，负整数指数幂，根据分式的定义，分母中含有字母的式子才是分式，逐项判断即可，解题的关键是熟练运用分式的定义． 【详解】解：∵分式是分母中含有字母的式子， ∴ 对于，分母有字母，是分式； 对于，分母是常数，无字母，不是分式； 对于，是多项式，分母无字母，不是分式； 对于，可化为，分母有字母，是分式； 对于，分母有字母，是分式； 对于，分母有字母，是分式； 对于，分母是常数，无字母，不是分式； ∴分式有个， 故选：． 3．（25-26八年级上·四川凉山·期末）下列判断中，正确的是（    ） A．分式的分子中一定含有字母 B．对于任意有理数x，分式总有意义 C．分数一定是分式 D．当时，分式的值为0（A，B为整式） 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，分式有意义的条件，分式值为0的条件等知识，根据相关知识逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 分式的分母中一定含有字母，分子中不一定含有字母，如是分式，但分子中不含有字母，故原选项错误，不合题意； B. ∵，∴，∴对于任意有理数x，分式总有意义，故原选项正确，符合题意； C. 分数的分母不含有字母，一定不是分式，故原选项错误，不合题意； D. 当时，分式的值为0（A，B为整式）,故原选项错误，不合题意． 故选：B 题型2 分式有无意义的条件（共3小题） 4．（26-27八年级上·河北沧州·期中）已知，当时，分式无意义，当时，此分式的值为0． (1)求，的值； (2)当分式的值为正整数时，求出整数的值． 【答案】(1) ， (2) 整数的值为， 【分析】（1）根据分式无意义和值为0的条件列方程求解，的值； （2）代入，化简分式，结合正整数和整数的条件，分析分母的正约数求解． 【详解】（1）解：∵当时，分式无意义， ∴此时分母， 将代入，得 ， 解得； ∵当时，分式的值为0， ∴此时分子，且分母， 将代入分子，得 ， 解得， 将，代入分母， 得，符合条件， ∴，； （2）解：将，代入，得， ∵分式的值为正整数，为整数， ∴，，且为整数， ∵分子， ∴，即是的正约数， ∴或， 当时，； 当时，， 综上所述，整数的值为，． 5．（26-27八年级上·湖南娄底·期中）解决问题： (1)当取什么值时，分式的值为0． (2)当取什么值时，分式的值不存在． (3)当取什么值时，分式的值为负． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分式值为0，必须同时满足分子等于0、分母不等于0，舍去让分母为零的根． （2）分式无意义的条件是分母等于0，解方程直接得到结果． （3）分母只要分式有意义就恒大于0；分式整体为负，只需要让分子小于0． 【详解】（1）解：分式的值为， ，， 由，得或． 由，得． ． （2）解：分式的值不存在，即分式无意义，分母等于， ， 解得或，即． （3）解：要使分式的值为负， 分式有意义，则，此时． 分子分母异号，分母已经是正数，因此要求分子小于． ， 解得． 6．（26-27九年级上·四川资阳·期中）已知当时，分式无意义；当时，分式的值为0，则的值是________． 【答案】 【分析】根据分式无意义时分母为0，分式值为0时分子为0且分母不为0，分别求出和的值，再计算． 【详解】解：∵时，分式无意义， ∴，解得 ． ∵时，分式的值为， ∴， 解得 ． ∴． 题型3 分式的求值（共3小题） 7．（26-27八年级上·山东淄博·期中）若，则___________． 【答案】/ 【分析】先由已知条件变形得到，再把式子整体代入分式，约分求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 8．（2022·山东枣庄·模拟预测）若a，b为正实数，且，则的值为________________． 【答案】 【分析】对已知等式变形得到与的关系，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 整理得 ∵，为正实数，， ∴，则 ∴， ∴ ∴ 9．（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）若，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用整体代换的方法，将已知条件代入所求代数式，化简后即可得到结果． 【详解】解：， ∴． 题型4 分式的基本性质（共3小题） 10．（26-27八年级上·河北邯郸·期中）如果下列各式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质，判断，扩大为原来的倍后分子与分母是否扩大相同倍数，即可确定分式值是否变化． 【详解】解：将，扩大为原来的倍，即替换为，分别代入各选项： 选项：，与原分式值相等； 选项：，与原分式值不相等； 选项：，与原分式值不相等； 选项：，与原分式值不相等． 11．（26-27八年级上·广西桂林·期中）下列从左到右变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分式的基本性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、例如，当时，，故本选项错误，不符合题意； B、∵是分式的分母， ∴， 又∵，故本选项变形正确，符合题意； C、（），故本选项不符合题意； D、当时，，故本选项错误，不符合题意． 12．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）下列各式中，从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质判断各选项变形是否正确即可． 【详解】解：A．该变形为分子分母同时减，不符合分式基本性质，变形错误． B．该变形分子分母同乘，未保证，当时变形无意义，变形错误． C．原式分母，分式有意义可推出且，∴分子分母同除以，可得，变形正确． D．，变形错误． 题型5 约分与通分（共3小题） 13．（26-27八年级上·山东聊城·期中）约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 14．（26-27八年级上·河北沧州·期中）的化简过程如下，请认真阅读并完成下面各题： 原式第一步 第二步 第三步 第四步 (1)以上化简步骤中，第 步是通分； (2)第 步开始出现错误，错误的原因是 ； (3)写出正确的化简过程，并求当时该式子的值． 【答案】(1)一 (2)二；去括号没有变号 (3)原式， ， ， ， 当时，原式 【分析】（1）根据通分的定义判断即可； （2）根据去括号法则判断即可； （3）根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 15．（25-26八年级下·山西运城·期末）下面是晓斌同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务： …第一步 …第二步 …第三步 …第四步 …第五步 …第六步 (1)任务一：填空：①以上化简步骤中，第_________步是进行分式的通分，通分的依据是_________． ②第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_________． (2)任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果． (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】(1)①三，分式的基本性质；②五，括号前面是“”号时去括号后面一项没有改变符号； (2) (3)分式化简时要先约分再通分，可以减少计算量（或去括号时若括号前是负号，括号内每一项都要变号，计算要细心，合理即可） 【分析】（1）根据异分母分式的加减法则对解题过程逐一分析，再作出判断； （2）根据异分母分式的加减法则计算； （3）分式化简时要先约分再通分，可以减少计算量（或去括号时若括号前是负号，括号内的每一项都要变号，计算要细心，合理即可） 【详解】（1）①三，分式的基本性质； ②五，括号前面是“”号时去括号后面一项没有改变符号； （2） （3）略 题型6 最简分式（共3小题） 16．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）下列分式中是最简分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，有公因式，不是最简分式． B、，有公因式，不是最简分式． C、的分子分母有公因数，不是最简分式． D、分子无法因式分解，与分母无公因式，是最简分式． 17．（26-27八年级上·全国·单元复习）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． (1)辨析：下列分式中， 是和谐分式．（填写序号即可） ①；②；③；④． (2)应用：若为整数，且为“和谐分式”，请写出的值． 【答案】(1)④ (2)a的值为或4或5 【分析】（1）按照和谐分式定义挨个判断； （2）由题可知分母能因式分解，列出分母能因式分解的所有情况，排除和分子可以约分的情况即可． 【详解】（1）解：①中的分式，不可以因式分解，已经是因式分解的形式，不满足分子或分母可以因式分解的完整含义，所以不是和谐分式； ②中的分式，，分式的分母因式分解后可以和分子约分，所以不是和谐分式； ③中的分式，，分式的分母因式分解后可以和分子约分，所以不是和谐分式； ④中的分式，，分式的分子因式分解后不可以和分母约分，所以是和谐分式； （2）为和谐分式， 能够因式分解， 为整数， ，，，． 这个分式不可约分， ． 的值为或4或5． 18．（25-26八年级下·河南南阳·期末）下列说法正确的是（     ） A．分式值为0，则的值为 B．分式是最简分式 C．无论为何值总有意义 D．代数式是分式 【答案】C 【详解】解： A选项，分式值为0需要满足且，解得，故错误； B选项，∵，∴分子分母有公因式，∴不是最简分式，故错误； C选项，∵，∴，∴分母恒不为0，∴无论为何值总有意义，故正确； D选项，∵是常数，分母不含字母，∴是整式，不是分式，故错误． 题型7 分式的四则混合运算（共3小题） 19．（26-27八年级上·山东淄博·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20．（26-27八年级上·广西桂林·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将异分母分式转化为同分母分式后计算； （2）先算括号内同分母加法，分解因式后将除法转化为乘法约分计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．（2026九年级·四川·专题练习）化简：． 【答案】 【分析】先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简． 【详解】解： ． 题型8 分式化简求值（共3小题） 22．（25-26九年级下·北京·期中）已知，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴原式． 23．（2026·北京东城·二模）已知，求代数式的值． 【答案】 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 24．（2026·北京·模拟预测）已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】先根据，再得出，然后根据分式混合运算法则，将化简为，整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 题型9 解分式方程（共3小题） 25．（2026八年级上·北京·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)原分式方程无解 【分析】（1）化分式方程为整式方程，解整式方程，注意检验； （2）化分式方程为整式方程，解整式方程，注意检验． 【详解】（1）解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 检验，当时，， 是原方程的解； （2）， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 检验，当时，， 是原方程的增根， 原分式方程无解． 26．（2026八年级上·北京·专题练习）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去分母，转化成一元一次方程，解一元一次方程，最后检验即可； （2）先去分母，转化成一元一次方程，解一元一次方程，最后检验即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． 经检验：是原分式方程的解． （2）解：， ， ， ． 经检验：是原分式方程的解． 27．（2026八年级上·北京·专题练习）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：方程两边同乘，得： ， ， ， ， 经检验：是原分式方程的解， ∴； （2）解：方程两边同乘，得： ， ， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴． 题型10 根据分式方程解的情况求值（共3小题） 28．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程的根是负数，则的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程的解情况求参数，将原方程去分母并解得的值，然后根据题意得到关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：原方程去分母并整理得：， 解得： 原方程的根是负数， 且， 解得：且， 故答案为：且． 29．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法，理解分式方程增根的定义是正确解答的关键．根据分式方程的解法和增根的定义即可确定的取值范围． 【详解】解：将关于的分式方程的两边都乘以得， ， 解得， 由于分式方程的解为正数， 所以， 解得， 又因为分式方程的增根是， 所以， 解得， 综上所述，且． 故选：C． 30．（25-26八年级下·广东茂名·期中）已知关于x的方程的解是正数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程与解不等式的综合运用．了解方程有正数解必须具备两个条件：①有解，最简公分母不等于0；②有正数解，是解题的关键． 原式去分母得，然后按照方程有正数解的条件求m的取值范围即可． 【详解】解：去分母，得，解得：． 原式的解为正数，得且， 且． 题型11 分式增根与无解问题（共3小题） 31．（25-26八年级上·全国·期中）若关于的分式方程无解，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程无解问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分式方程无解分两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．将分式方程转化为整式方程，根据分式方程无解分两种情况，分别求的值即可． 【详解】解：， 整理得：， 解得：， ∵分式方程无解， 当分式方程有增根时，，则， 此时， 解得：； 当整式方程无解时，， 解得：， 综上可知，的值为或， 故答案为：或． 32．（24-25八年级下·江西上饶·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是分式方程的增根问题，掌握“已知增根的情况下求解参数的值”是解本题的关键． 分式方程的增根是使最简公分母为零的根．首先确定增根为，再将原方程转化为整式方程，代入增根求解的值． 【详解】解：原方程中，分母为和，最简公分母为．当时，分母为零，故增根为． 将方程两边同乘，得： 展开并整理得： 将增根代入，得：， 解得． 故选A． 33．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程． (1)当，时求分式方程的解； (2)当时，求为何值时，分式方程无解． 【答案】(1) (2)当或3或9时原方程无解． 【分析】本题主要考查解分式方程． （1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可． 【详解】（1）解：当，时，分式方程为， 去分母得：， 解得：， 经经验是原方程的解； （2）解：当时，分式方程为， 去分母得：， 整理得，， （1）当整式方程无解时，，， （2）当分式方程产生增根时，增根为或， ①当时，，， ②当时，，， 综上所述，当或3或9时原方程无解． 题型12 分式方程的实际应用（共3小题） 34．（24-25八年级下·吉林长春·期末）某旅行社组织游客从甲地到乙地的航天科技馆参观，已知甲地到乙地的路程为300千米，乘坐A型车比乘坐B型车少用小时，A型车的平均速度是B型车的平均速度的倍，求B型车的平均速度． 【答案】B型车的平均速度是80千米小时 【分析】本题考查分式方程的应用，关键是通过时间差建立方程，并注意单位的统一及解的合理性验证．设B型车的平均速度为x千米/时，则A型车的平均速度为千米/时．根据题意，A型车比B型车少用小时，可建立方程求解． 【详解】解：设B型车的平均速度是x千米/小时，则A型车的平均速度是千米/小时， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：B型车的平均速度是80千米/小时． 35．（24-25八年级下·四川成都·期末）智能机器人已广泛应用于各类工业生产领域，某化工厂要在规定时间内搬运2000千克化工原料，现有两种智能机器人可供选择，已知型机器人每小时完成的工作量是型机器人每小时完成的工作量的2.5倍，型机器人单独完成所需的时间比型机器人单独完成所需的时间少20小时，求型机器人每小时各搬运多少千克原料？ 【答案】A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运150千克． 【分析】本题主要考查分式方程的应用，理解题意列出方程是解题关键．设A型机器人每小时搬运x千克，则B型机器人每小时搬运千克，根据题意列出分式方程求解，然后检验即可 【详解】解：设A型机器人每小时搬运x千克，则B型机器人每小时搬运千克， 根据题意得：， 解得：， 经检验：为分式方程的解， 则， 答：A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运150千克． 36．（24-25七年级上·广西南宁·期中）为了调动同学们弘扬传统文化的积极性，某校开展了“一带一路”——多元文化节的艺术活动，计划从某商店购买水杯和笔记本作为奖品．已知该商店销售水杯的单价是笔记本的2倍，用180元购买笔记本的数量比用240元购买水杯的数量多6件． (1)请分别求出水杯与笔记本的单价； (2)学校设置了优秀奖和参与奖共25个，优秀奖的奖品为水杯，参与奖的奖品为笔记本，学校计划在购买奖品的经费不超过350元的情况下尽可能多地设置优秀奖，则学校应设置优秀奖和参与奖各多少个? 【答案】(1)水杯的单价为20元，笔记本的单价为10元 (2)学校应设置优秀奖10个，参与奖为15个 【分析】本题主要考查分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设笔记本的单价为x元，则水杯的单价为元，由题意易得，然后求解即可； （2）设学校应设置优秀奖为m个，则参与奖为个，由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：设笔记本的单价为x元，则水杯的单价为元，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 答：水杯的单价为20元，笔记本的单价为10元． （2）解：设学校应设置优秀奖为m个，则参与奖为个，由题意得： ， 解得：， ∵要尽可能多地设置优秀奖， ∴； 答：学校应设置优秀奖10个，和参与奖为15个． 题型13 求平方根、立方根（共3小题） 37．（25-26七年级下·北京·期中）求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先将的系数化为，再开平方，得到两个互为相反数的解； （2）先移项，再开立方，然后求解． 【详解】（1）解：， ， 解得，． （2）解：， ， ， 解得． 38．（25-26七年级下·北京大兴·期中）已知，求实数x的值． 【答案】 【分析】根据立方根定义解方程即可． 【详解】解：， 移项，合并同类项得：， ∵， ∴， 解得：． 39．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解决本题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题； （2）根据平方根的定义解决此题． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4 ∴，． ∴，； （2）解：由（1）得，，， ∴ ， ∴的平方根为：． 题型14 算术平方根的非负性（共3小题） 40．（2025八年级上·北京·专题练习）若，求的值． 【答案】 【分析】该题考查了算术平方根、绝对值、平方的非负性，根据非负数的性质求出，再代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 41．（24-25八年级下·广东潮州·期末）已知数a，b，c满足，请求的值． 【答案】9 【分析】本题考查了算术平方根，绝对值和偶次方的非负性，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据算术平方根，绝对值和平方数的非负性可得，，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴． 42．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）已知实数，满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解和非负数的性质，解题关键是先因式分解，再利用非负数的性质求出字母的值，再代入求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ． 题型15 估计算术平方根的取值范围（共3小题） 43．（25-26七年级上·全国·期中）估计 的值（    ） A．在8和9之间 B．在7和8之间 C．在6和7之间 D．在5和6之间 【答案】D 【分析】本题重点考查了算术平方根取值范围的估计，解题关键是掌握估值方法． 通过比较平方数确定的范围，再减去得到的范围． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 因此 在和之间， 故选：D． 44．（25-26八年级上·北京顺义·期中）下表中是给定部分x的值，对应的值： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【答案】A 【分析】本题考查无理数比较大小的知识点，将数值1169与表格中行的数值进行比较，判断其所处范围，且准确找到与之间的倍数关系是解题的关键． 通过观察表格中的值，找到1169介于1156和1225之间，从而确定在34和35之间，进而得到在3.4和3.5之间． 【详解】∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴ 即， ∴在之间． 故答案为：A． 45．（25-26八年级上·北京延庆·期末）已知．若为整数且，则的值为（   ） A．35 B．34 C．33 D．32 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算．根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∵， ∴． 故选：B 题型16 与算数平方根、立方根有关的规律探索题（共3小题） 46．（25-26七年级下·吉林·期中）已知：，则___________．（精确到0．01） 【答案】 【分析】利用积的算术平方根的性质将变形为与已知相关的形式，再计算结果并按要求取近似值． 【详解】解：∵， ∴． 47．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）通过观察后再回答问题． 200 (1)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决问题： 已知，，则______； (2)已知，，用含m的代数式表示n（请写出解答过程）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根的理解和规律的应用，熟练掌握算术平方根定义，是解题的关键． （1）从表格中可发现当的值扩大到原来的倍时，的值扩大到原来的倍，从到被开方数扩大到原来的倍，结果扩大到原来的倍，即可得到答案； （2）根据题意可得：，可得到，进而得到答案． 【详解】（1）解：从表格中可发现当的值扩大到原来的倍时，的值扩大到原来的倍， ∴从到被开方数扩大到原来的倍， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 48．（26-27八年级上·广西南宁·期中）在科技节活动中，爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值： ， ； (3)小明思考：如果把算术平方根换成立方根，若，，则 ， ． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）观察给出的表格数据得结论； （2）利用（1）的结论，可得结果； （3）先猜测立方根与被开方数间的关系，利用猜测的关系可得结论． 【详解】（1）解：通过观察可以发现当被开方数扩大倍时，它的算术平方根扩大倍； （2）解：∵， ∴，； （3）解：如果把算术平方根换成立方根，发现当被开方数扩大倍时，它的立方根扩大倍； ∵ ，， ∴，． 题型17 求实数的整数部分与小数部分（共3小题） 49．（25-26七年级上·北京·期中）如果的整数部分是a，小数部分是b，那么=______． 【答案】8 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出的范围，进而得到的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，． ∴． 故答案为：8． 50．（25-26七年级上·浙江温州·期中）通过学习我们知道无理数是个无限不循环小数，例如：，即，的整数部分是2，小数部分是．请完成下面问题： (1)的整数部分是________． (2)若设的小数部分为x，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的混合运算； （1）按照例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴的整数部分是 故答案为：． （2）∵，设的小数部分为x， ∴ ∴ 51．（25-26七年级下·北京大兴·期末）根据资料，回答问题． 如果，其中是整数，，那么，． (1)已知，其中是整数，，那么________，________； (2)已知，．其中，是整数，，，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先利用算术平方根估算，确定式子的整数部分，再根据题干给出的关系得到小数部分，最后代入计算得到结果即可解答； （2）先利用算术平方根估算，确定式子，的整数部分，再根据题干给出的关系得到小数部分，最后代入计算得到结果即可解答； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，m是整数，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 即， ∵，．其中，是整数，，， ∴，， ∴． 题型18 实数的大小比较（共3小题） 52．（26-27八年级上·河南开封·期中）若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与1的大小． ． 因为， 所以， 所以， 所以． (1)比较与2的大小； (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干所给方法比较大小即可； （2）根据题干所给方法比较大小即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 53．（25-26八年级上·广东深圳·期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：． 例如：比较与的大小． ∵， 又∵，则， ∴， ∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是_____，的小数部分是__________________； (2)_____（比较这两个数的大小）； (3)已知，试用“比差法”比较与的大小； 【迁移应用】 (4)制作某产品有两种用料方案．方案一：用块型钢板，块型钢板；方案二：用块型钢板，块型钢板．型钢板的面积比型钢板大，从省料的角度考虑，应该选哪种方案？ 【答案】(1)， (2) (3) (4)方案二省料，选择方案二． 【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）由“比差法”计算与的差，根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到的大小即可； （3）利用“比差法”进行计算即可； （4）用代数式表示方案一、方案二的用料面积，再根据“比差法”进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为5，小数部分为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：， ， ， ， 即； （4）解：设每块型钢板的面积为，每块型钢板的面积为，则方案一用料的面积为，方案二用料的面积为， ， 而型钢板的面积比型钢板大，即，也就是， ∴， ∴方案二省料，选择方案二． 54．（25-26七年级下·山东济宁·期中）阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 (1) 由此可归纳出结论： _________． (2)根据上面的结论计算： 类似的： __________； (3)类比应用：__________； (4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数的运算，与实数有关的规律探索，实数比较大小等等： （1）根据题意可得规律； （2）根据结合题意求解即可； （3）先求出，再由进行求解即可； （4）仿照（3）求出，，再利用作差法求解即可． 【详解】（1）解： 以此类推可得， ， 故答案为：． （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 故答案为：； （4）解：∵， ， ∴， ， ∵， ∴． 题型19 二次根式有意义的条件（共3小题） 55．（25-26九年级下·北京西城·期中）若代数式的值为，则满足要求的所有的值为______． 【答案】 【分析】先令分子为求出候选解，再用分母不为的条件排除无效解，得到正确答案． 【详解】解：要使代数式的值为，可得： ，解得或，即或； ，解得． 故． 56．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式计算等． 首先根据平方根的定义确定x的值，再代入求出y的值，最后计算表达式的值． 【详解】解：∵和同时有意义， ∴且， ∴． 将代入，得． ∴． 故选A． 57．（24-25八年级下·重庆长寿·期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得； 所以； 所以原式． （1）按照上面的解法，化简：_____； （2）若，求的取值范围：______． 【答案】 【分析】本题考查了化简二次根式，绝对值，熟练掌握二次根式性质和二次根式有意义的条件，是解题的关键． （1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先将化简为，然后分类讨论：当时，当时，当时，根据绝对值的意义分别化简，得出结论即可． 【详解】（1）∵二次根式有意义， ∴，即， ， ∴原式 ； （2）， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； ∴x的取值范围是． 题型20 利用二次根式的性质化简（共3小题） 58．（26-27八年级上·陕西咸阳·期中）我们知道是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： (1)化简：_______，_______； (2)已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简． 【答案】(1)2， (2) 【分析】（1）根据化简即可； （2）由数轴可得，，，根据及绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：，． （2）解：由数轴可得， ∴，， ∴ ． 59．（2022七年级·湖南长沙·竞赛）已知实数满足，求的值． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，再判断的正负情况从而去绝对值，整理整式后即可求出结果． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得，得， ∴， ∴， ∴． ∴代入原式得，， 移项，得， ∴两边同时平方，得． ∴． 【点睛】二次根式具有双重非负性，绝对值具有非负性，利用非负性判断的取值范围，从而化简整理代入求解． 60．（26-27八年级上·山东青岛·期中）阅读材料：二次根式性质： ，对于被开方数是二次三项式的，先配方成完全平方式，再利用上面性质化简． 例： ；当时，原式；当时，原式． 请完成下面问题： (1)仿照例子化简： ； (2)甲乙两人解答： 当，求的值． 甲： 原式 乙： 原式 请判断谁的答案正确，并说明理由； (3)化简求值： ，其中． 【答案】(1)当时，原式；当时，原式 (2)解：甲的答案正确，理由如下： ， 当时，原式； (3) 【分析】（1）把原式化为，然后再化简即可； （2）把原式化为，然后再化简求值即可； （3）把原式化为，再根据绝对值的性质化简，然后求值即可． 【详解】（1）解：； ∴当即时，原式； 当即时，原式； （2）略 （3）解： ， ∵， ∴， ∴ ， 当时，原式． 题型21 二次根式的四则混合运算（共3小题） 61．（26-27八年级上·广东深圳·期中）计算： (1)． (2)； (3)． (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 62．（26-27八年级上·陕西西安·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式化简、二次根式除法、立方根的性质，先化简各项，再合并同类二次根式； （2）根据绝对值、二次根式乘法、零指数幂法则，去绝对值、展开计算，再合并同类二次根式； （3）二次根式除法化简、分母有理化、负整数指数幂运算，化简后合并； （4）逆用积的乘方公式，再用完全平方公式展开，最后合并同类二次根式． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 63．（26-27八年级上·陕西西安·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型22 最简二次根式与同类二次根式（共3小题） 64．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）下列根式中，最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的概念进行判断即可． 【详解】解：A、=3不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、不是最简二次根式，不符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意, 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式概念以及性质，理解概念是解答的关键． 65．（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质；由，被开方数为，故化简后被开方数也应为，即是的倍数且为完全平方数的倍，列出可能值求． 【详解】解：，被开方数为2．二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，故化简后被开方数也为2． 设（k为正整数），则． 由，得，，为正整数， 故，，． 当时，； 时， 时，． 综上所述：的最小值为． 故答案为：． 66．（24-25八年级上·北京顺义·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则的值是（    ） A．2 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同类二次根式，掌握相关知识是解决问题的关键．同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，据此求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ ．   ∴． 故选：A． 题型23 分母有理化（共3小题） 67．（26-27九年级上·上海·自主招生）已知，其中为整数，，则_____． 【答案】 【分析】先对原式分母有理化，再估算原式的取值范围，结合的条件确定整数的值． 【详解】解：， 设，则： ， ， ，即，可得， 又，， ，可得， ， 根据题意，为整数，，变形得： ，其中，即，符合条件，， ． 68．（25-26八年级下·广东珠海·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据分母有理化的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 69．（25-26九年级上·山西·期中）观察下列等式： ① ② 解答下列问题． (1)　　　； (2)　　　；（为正整数） (3)利用上面所揭示的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)44 【分析】（1）根据题中所给的方法，分子分母同时乘以，再计算解答； （2）根据题中所给的方法，分子分母同时乘以，再计算解答； （3）根据（2）的规律对每一项进行裂项，再进行加减计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：原式 ． 题型24 实数的混合运算（共3小题） 70．（26-27八年级上·全国·单元复习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）负数的绝对值是它的相反数，按照运算顺序计算即可； （2）完全平方公式：；，按照运算顺序计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 71．（25-26七年级下·北京密云·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 72．（25-26七年级下·北京·期末）计算：； 【答案】 【分析】本题先根据算术平方根、绝对值、立方根的性质化简每一项，再合并同类项得到计算结果． 【详解】解：原式 ． 题型25 二次根式的应用（共3小题） 73．（26-27八年级上·吉林长春·期中）如图，把一块长方形场地按图中方式划分，长方形被分为四块：、、、6． (1)求长方形场地的长（水平边）和宽（竖直边）（用含 x 的代数式表示）； (2)若，求长方形场地的面积（结果保留根号）． 【答案】(1)长：，宽：； (2) 【详解】（1）解：长，宽； （2）解：面积为． 74．（26-27八年级上·陕西西安·期中）高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高空抛出的物体下落所需时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间________；（结果精确到） (2)资料显示：伤害无防护人体只需要的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位：），，h为高度（单位：）．根据以上信息判断，一个质量为的小玩具经过落在地面上，该玩具在坠落地面时所带能量是否会伤害到楼下无防护的行人？请说明理由． 【答案】(1) (2)解：该玩具在坠落地面时所带能量会伤害到楼下无防护的行人，理由如下： 在中，当时，，解得， 把，，代入得， ∵， ∴该玩具在坠落地面时所带能量会伤害到楼下无防护的行人． 【分析】（1）把代入中计算即可； （2）把代入中求出h的值，进而求出E的值，再与65比较即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间； （2）略 75．（25-26八年级下·广东江门·期中）【阅读理解】二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． (1)化简： ； (2)【拓展延伸】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形（）的宽．求黄金矩形中边的长； (3)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)矩形是黄金矩形．证明见解析 【分析】（1）模仿阅读材料中的方法，利用平方差公式，将分子和分母同时乘以分母的有理化因式，从而消去分母中的根号，达到化简的目的； （2）根据黄金矩形的定义建立方程关于的方程，即可求解； （3）先根据图形关系计算出新矩形的长和宽，然后计算新矩形的宽与长的比值；最后将该比值与黄金比 进行比较，若相等则为黄金矩形，反之则不是． 【详解】（1）解：； （2）解：∵ 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形的宽， ∴， ∴=． （3）解：矩形是黄金矩形．理由如下： ∵ 黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形， ∴，， ∴=， 故矩形是黄金矩形． 题型26 三角形的相关概念（共3小题） 76．（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知a，b，c分别为的三边，且满足． (1)求c的取值范围； (2)若的周长为，求c的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用．熟练掌握三角形三边关系的应用，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，，即，计算求解即可； （2由题意知，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，即或 解得，， ∴c的取值范围为； （2）解：由题意知，， 解得，， ∴c的值为4． 77．（25-26九年级上·四川巴中·期中）已知三角形的三边分别为，其中两边满足，那么这个三角形的最长边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由完全平方公式因式分解，再由二次根式性质化简得到，结合绝对值非负性及非负数和为零的条件求解即可得到，从而由三角形三边关系即可得到答案． 【详解】解：， ，则， ， 要使，则， 解得， 由三角形的三边关系可知， 是这个三角形的最长边， ，即这个三角形的最长边的取值范围是， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形三边关系、绝对值非负性、非负数和为零的条件、完全平方公式因式分解、二次根式性质等知识，熟记三角形三边关系、绝对值非负性、非负数和为零的条件、完全平方公式因式分解、二次根式性质等知识是解决问题的关键． 78．（25-26七年级下·北京·期末）已知的三边长，，满足且为奇数．则___________ 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，有理数的乘方，三角形的三边关系；根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形三边关系求出c的取值范围，结合c为奇数确定c的值. 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，． ∴，即， 又∵为奇数， ∴． 故答案为：3. 题型27 三角形内角和定理（共3小题） 79．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，在中，，点分别在边上，且，连接． (1)当时，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，求出； （2）根据等腰三角形的性质得到，推出，得到，求出． 【详解】（1）解：，， ， ， ． （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 80．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，直线、被线段所截，交点分别为点E、F，并且． (1)求证：； (2)如图2，点G是直线上一点，连接，且，平分交于点H．请直接写出与的数量关系是：_________； (3)如图3，在（2）的条件下，连接、，若，且，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行证明即可； （2）根据平行线的性质，可得，再结合三角形内角和以及三角形外角和，以及平分，由等量代换即可得到数量关系； （3）根据已知条件可得，由此可得，再由角的比例关系设，根据三角形内角和为求解x的值，由此可解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，即， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， ∵， ∵， ∴， 在中，， 解得， ∴． 81．（25-26七年级下·山西长治·期末）如图，在中，D是边上的一点，，，将沿折叠得到，与交于点F，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据翻折的性质求出，然后利用三角形的外角定理求解． 【详解】解：根据翻折的性质可得， ∴， ∴． 题型28 根据三角形中线求解（共3小题） 82．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，点在边上． (1)若，，求的度数： (2)若为的中线，的周长比的周长大5，，求的长． 【答案】(1)40° (2)7 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，中线等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形外角的性质和三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据等边对等角得，，再根据三角形外角的性质得，然后根据三角形内角和定理求解即可； （2）由为的中线，可得，由的周长比的周长大5，可得，化简得，进而可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， ； （2）解：∵为的中线， ， 的周长比的周长大5， ， ， ， ， ． 83．（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，D，F分别是的边，的中点，连接，交于点G，的面积为6，设的面积为，的面积为，则______． 【答案】2 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积，可知，，由此可判断出，，根据题意建立方程求解即可． 【详解】解：，F分别是，的中点，的面积为6， ， ，， ，① ，② ①+②，得， 即． 84．（25-26八年级上·北京朝阳·期末）如图，在中，，平分，E是的中点，若，，则________． 【答案】1 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，过D作于H，根据角平分线的性质求出，然后计算的面积，最后根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：过D作于H， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 故答案为：1． 题型29 与三角形的高有关的计算问题（共3小题） 85．（26-27七年级上·山东东营·期中）如图，在中，，该三角形的面积为，是边上任意一点，于点，于点，则等于__________． 【答案】 5 【分析】连接，利用及三角形面积公式建立等量关系求解． 【详解】解：连接， ，， ，分别是，的高， ， ， ，， ， ， ． 86．（25-26八年级上·北京·期中）如图，，分别是的高和中线，，，，，___________，的面积___________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的高，三角形的中线． 由的面积，可得，根据中线的性质，即可得的面积． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是的高，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， 故答案为：，． 87．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点重合），连接交于点． (1)若是中线，，，求与的周长差； (2)若是高，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由三角形周长公式可得与的周长差，再根据三角形中线的定义及已知条件即可求解； （）由角平分线的定义得，由三角形的高得，再根据三角形的外角性质即可求解； 本题考查了三角形中线的性质，三角形的角平分线和高，三角形的外角性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解： 的周长，的周长， 与的周长差， 是的中线， ， ，， 答：与的周长差为； （2）解：是的平分线，， ， 是的高， ， ． 题型30 全等三角形的性质 88．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，点在边上（不与点，重合）与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用全等三角形的性质和等量代换求解即可； （2）利用全等三角形的性质结合题目条件求解即可． 【详解】（1）解：， ，即， ， ，， ， ， （2）解：， ，， 与的周长和为． 89．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，点A、B、C在同一直线上，点E在上，且，，． (1)求的长； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：与垂直， 理由：， ， 又A、B、C在一条直线上，， ， 与垂直． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边，对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形的对应边相等以及线段的和差关系计算即可； （2）根据全等三角形的对应角相等以及补角的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）略 90．（24-25七年级下·河北保定·期末）对于题目“如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动也随之结束）．在射线上取一点，在点M，N运动到某处时，存在与全等，求此时的值．”甲的结果是，乙的结果是1，丙的结果是，则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人的结果合起来才对 B．乙、丙两人的结果合起来才对 C．甲、丙两人的结果合起来才对 D．甲、乙、丙三人的结果合起来才对 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键． 根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可． 【详解】解：点在线段上以的速度由点向点运动， ∴点从的时间为， ∵它们运动的时间为， ∴，，则， 当时， ∴， ∴， 解得，； 当时， ∴， ∴， 解得，． 综上所述，乙、丙两人的结果合起来才对． 故选：B． 题型31 全等三角形的判定 91．（25-26七年级下·北京·期末）如图，点F，G分别在的，边上，C，B依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当 时，． 【答案】(1)证明：， ． ． ，， ． ． (2)； 【分析】（1）先由，得，又因为，，即可证明； （2）由，再结合对顶角相等，三角形内角和性质得，根据，故，最后运用三角形外角性质列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：略 （2）解：， ． ， ， ， ． （三角形外角性质）． 92．（25-26八年级上·北京顺义·期末）如图，，均为等边三角形，连接交于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1) 证明：，均为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】本题考查了等边三角形性质，全等三角形性质和判定，三角形外角性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据等边三角形性质推出，进而得到，再利用“”证明即可． （2）根据全等三角形性质推出，再结合三角形外角性质求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ． 93．（25-26八年级上·北京房山·期末）如图，在中，，射线交边于点，且，点关于直线的对称点为点，连接交于点，连接，． (1)依题意补全图形； (2)证明：； (3)用等式表示，和的数量关系，并证明． 【答案】(1) 解：根据题意，作图如下， (2) 证明：∵点关于直线的对称点为点，设交于点， ∴，， ∴，是线段的垂直平分线， ∴，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴； (3) 解：，证明如下， 如图所示，在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题主要考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作图是关键． （1）根据题意，作对称，连线即可； （2）根据题意得到，是线段的垂直平分线，由三角形内角和定理得到，结合图形即可求解； （3）如图所示，在上截取，连接，证明是等边三角形，再证明，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型32 全等三角形的动点问题 94．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，，为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以相同速度由点向点运动，一个点到达终点后，另一个点也停止运动．当与全等时，求点运动的时间． 【答案】与全等时，点运动的时间为秒 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，设点、的运动时间为，表示出、、、，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边， ②与是对应边两种情况，列方程求解即可. 【详解】解：∵，， 点为的中点， ， 设点、的运动时间为， 则， ， ∴， ①、是对应边时， ∵与全等，， ∴， ， ∴且，解得； ②与是对应边时， ， ∵与全等， ∴，， ∴且， 解得 且(相互矛盾，则舍去) ， 综上所述，与全等时，点运动的时间为秒． 95．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F．设运动时间为t秒，解答下列问题： (1)用含t的式子表示______，______； (2)探究t取何值时，与全等？ 【答案】(1)， (2)当秒或秒或12秒时，与全等 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质，解答的关键是运用分类讨论思想解答； （1）根据题意的运动方式，列代数式即可；             （2）分为，，三种情况分别解答即可 【详解】（1）当动点P在上时；当动点Q在上时，，， 当动点P在上时；当动点Q在上时，，， 综上，，； （2）①如图1，Q在上，点P在上时，作，， ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：；                             ②如图2，当点P与点Q重合时， 当， 则， ∴． 解得：；                             ③如图3，当点Q与A重合时， ， ∴， 当， 则， 即， 解得：；                         当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 96．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为． (1)______．（用t的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当或时，与全等 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）此题主要分两种情况①当，时，；当时，，然后分别计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】（1）解：依题意，得， ∴． 故答案为：； （2）解：①当，时，， ∵， ∴， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：； ②当时，， ∵， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：． 综上所述：当或时，与全等． 题型33 全等三角形与尺规作图结合问题 97．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） (1)在图①中的边上找一点E，使得； (2)在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； (3)在图③中的边上找一点E，连接，使． 【答案】(1) 如图，点即为所求作； (2) 如图，即为所求作； (3) 如图，点即为所求作． 【分析】本题考查了格点作图，全等三角形的性质，根据相关知识点正确作图是解题关键． （1）取格点、，由全等的性质可得； （2）由可知，和同底等高，则过点与平行的直线上的格点为点，可作； （3）取格点、，由全等的性质可得，进而得出，则与的交点即为点． 【详解】（1）解：略； （2）解：略； （3）解：略． 98．（25-26八年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图． (1)在图①中，画出的中点； (2)在图②中，画出线段的垂直平分线，且、在格点上； (3)在图③中，画一个以为腰且面积最大的等腰三角形，且在格点上． 【答案】(1) 如图①，点即为所求作： (2) 如图②，即为所求作： (3) 如图③，等腰三角形（或）即为所求作： 【分析】本题四格点作图题，考查了全等三角形的应用，等腰三角形的定义，勾股定理，根据要求正确作图即可． （1）取格点、，利用全等三角形的性质可得，即点为所求作； （2）取格点、、、，利用全等三角形的性质可得，，即为所求作； （3）利用勾股定理找出与相等的线段或，再取面积最大时的位置即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 99．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图痕迹结合全等三角形的判定方法，即可求解． 【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即． 题型34 全等三角形中的网格问题 100．（26-27八年级上·江苏南通·期中）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则________． 【答案】90 【分析】先证明，得出，求出，即可得出结果． 【详解】解：如图： 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 101．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，网格中每个小格都是边长为1的正方形，点、、、都在网格的格点上． (1)过点画直线的垂线，垂足为点； (2)比较大小：____________，理由是：______________； (3)线段，则点到直线的距离为_______________． 【答案】(1)见解析 (2)，垂线段最短 (3) 【分析】（1）结合全等三角形的判定和性质作图即可； （2）根据垂线段最短作答即可； （3）根据等面积法计算即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是直线的垂线； （2）解：，理由是：垂线段最短； （3）解：设点到直线的距离为h， ∵， ∴， 解得：． 102．（25-26八年级上·北京延庆·期末）如图所示的网格是正方形网格，是网格交点，则的度数为___________． 【答案】 【分析】本题考查用判定三角形全等，从而将与转移到同一个三角形中求得． 【详解】解：如图，在和中： ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型35 全等三角形的模型 103．（26-27八年级上·全国·期中）如图，，．，，垂足分别是点D，E，，，则的长是________． 【答案】2 【分析】证明即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 104．（26-27八年级上·湖北黄石·期中）如图，在四边形中，为钝角，为锐角，，，点E、F分别在，上，且， (1)连接，试探索线段、、之间的数量关系，并加以证明． (2)若点E在射线上，点F在延长线上，其它条件不变，（1）中结论是否依然成立？画出图形，并直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)，证明如下： 如图3，延长到H，使得， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (2)（1）中的结论不成立，新的数量关系为：，作图如下： 【分析】（1）由，结合四边形内角和得，故．延长到H使，由，证，得且，推出．结合，得，再证，得； （2）同理在射线上截取，仍可证与，此时，等量代换得． 【详解】（1）略 （2）解：在射线上（点C的外侧）截取，连接，如图： ∵，， ∴， 又， ， 在和中， ， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， ∴， ∵和， ∴． 105．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证明，则，（即点为的中点）． (1)【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得________． 【拓展延伸】 (2)如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (3)如图4，中，，，点D在线段BC上，，，垂足为E，与相交于点．线段与的数量关系为________．（直接写出） 【答案】(1) (2)解：，理由如下： 如图，延长与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， 由问题情境可知：， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）延长交于点，由问题情境可知：，得到，再利用三角形外角的性质即可求解； （2）延长与交于点，利用证明，得到，由问题情境可知：，则有，即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，交于点，同理（2）中的方法可证，得到，由问题情境可知：，则有，即可得出结论． 【详解】（1）解：延长交于点， 由问题情境可知：， ∴， ∵ ∴； （2）略 （3）解：，理由如下， 如图，过点作，交的延长线于点，交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理（2）中的方法可得， ∴， 由问题情境可知：， ∴， ∴． 题型36 全等三角形的判定与性质综合 106．（26-27八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，，且，． (1)求证：； (2)连接，求证：； (3)设与交于点，连接．若，求． 【答案】(1)证明：， ， 又， ，即， ， ． (2)证明：如图，连接、， 在和中， ， ， ． (3) 【分析】（1）先证明，再由“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”可证． （2）连接后，可由“边角边”证明与全等，进而证明． （3）作交的延长线于点，连接，先证明和全等，由此可推断出和全等，进而得到与的关系，最后以为底、为高，即可得到的面积． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：如图，作交的延长线于点，与交于点，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， ． 107．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在和中，，，点在线段上且，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关定理内容是解题关键； （1）由，推出；由，，推出，证即可； （2）由，，得；进而得，，即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∵，， ∴； ∴； 108．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）已知中，，点为外一点，，与交于点． (1)如图1，若，垂足为，过点A作于点，求证：； (2)如图2，过作于点，若，，求的长； (3)如图3，点为中点，，过点作于点，若，，请直接写出的面积_____． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． (2)1 (3)42 【分析】（1）根据，垂足为，结合对顶角相等性质，利用角角边 dingli证明即可； （2）设交于点M，过点A作，交的延长线于点H，利用三角形全等的判定和性质，代换解答即可； （3）过点A作，交的延长线于点G，作于点F， 证明，设，则，证明， 再证明，就可以得到，，在中，根据勾股定理，得，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解方程，对顶角性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：设交于点M， 过点A作，交的延长线于点H， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵，， ∴，， 连接， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴， 解得 故． （3）解：过点A作，交的延长线于点G，作于点F， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， 根据勾股定理，得， ∴， 整理，得， 解得（舍去）， ∴， ∴，， ∴的面积为：． 故答案为：42． $ 专题01 期中真题易错百练通关（108题36大易错题型） 易错·固本强基 题型1 分式判断 题型2 分式有无意义的条件 题型3 分式的求值 题型4 分式的基本性质 题型5 约分与通分 题型6 最简分式 题型7 分式的四则混合运算 题型8 分式化简求值 题型9 解分式方程 题型10 根据分式方程解的情况求值 题型11 分式增根与无解问题 题型12 分式方程的实际应用 题型13 求平方根、立方根 题型14 算术平方根的非负性 题型15 估计算术平方根的取值范围 题型16 与算数平方根、立方根有关的规律探索题 题型17 求实数的整数部分与小数部分 题型18 实数的大小比较 题型19 二次根式有意义的条件 题型20 利用二次根式的性质化简 题型21 二次根式的四则混合运算 题型22 最简二次根式与同类二次根式 题型23 分母有理化 题型24 实数的混合运算 题型25 二次根式的应用 题型26 三角形的相关概念 题型27 三角形内角和定理 题型28 根据三角形中线求解 题型29 与三角形的高有关的计算问题 题型30 全等三角形的性质 题型31 全等三角形的判定 题型32 全等三角形的动点问题 题型33 全等三角形与尺规作图结合问题 题型34 全等三角形中的网格问题 题型35 全等三角形的模型 题型36 全等三角形的判定与性质综合 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 易错·固本强基 题型1 分式判断（共3小题） 1．（26-27八年级上·全国·期中）下列代数式中，属于分式的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）下列各式：，，，，，，中，分式有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（25-26八年级上·四川凉山·期末）下列判断中，正确的是（    ） A．分式的分子中一定含有字母 B．对于任意有理数x，分式总有意义 C．分数一定是分式 D．当时，分式的值为0（A，B为整式） 题型2 分式有无意义的条件（共3小题） 4．（26-27八年级上·河北沧州·期中）已知，当时，分式无意义，当时，此分式的值为0． (1)求，的值； (2)当分式的值为正整数时，求出整数的值． 5．（26-27八年级上·湖南娄底·期中）解决问题： (1)当取什么值时，分式的值为0． (2)当取什么值时，分式的值不存在． (3)当取什么值时，分式的值为负． 6．（26-27九年级上·四川资阳·期中）已知当时，分式无意义；当时，分式的值为0，则的值是________． 题型3 分式的求值（共3小题） 7．（26-27八年级上·山东淄博·期中）若，则___________． 8．（2022·山东枣庄·模拟预测）若a，b为正实数，且，则的值为________________． 9．（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）若，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 题型4 分式的基本性质（共3小题） 10．（26-27八年级上·河北邯郸·期中）如果下列各式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值不变的是（     ） A． B． C． D． 11．（26-27八年级上·广西桂林·期中）下列从左到右变形正确的是（     ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）下列各式中，从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 题型5 约分与通分（共3小题） 13．（26-27八年级上·山东聊城·期中）约分： (1)； (2)． 14．（26-27八年级上·河北沧州·期中）的化简过程如下，请认真阅读并完成下面各题： 原式第一步 第二步 第三步 第四步 (1)以上化简步骤中，第 步是通分； (2)第 步开始出现错误，错误的原因是 ； (3)写出正确的化简过程，并求当时该式子的值． 15．（25-26八年级下·山西运城·期末）下面是晓斌同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务： …第一步 …第二步 …第三步 …第四步 …第五步 …第六步 (1)任务一：填空：①以上化简步骤中，第_________步是进行分式的通分，通分的依据是_________． ②第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_________． (2)任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果． (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 题型6 最简分式（共3小题） 16．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）下列分式中是最简分式的是（     ） A． B． C． D． 17．（26-27八年级上·全国·单元复习）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． (1)辨析：下列分式中， 是和谐分式．（填写序号即可） ①；②；③；④． (2)应用：若为整数，且为“和谐分式”，请写出的值． 18．（25-26八年级下·河南南阳·期末）下列说法正确的是（     ） A．分式值为0，则的值为 B．分式是最简分式 C．无论为何值总有意义 D．代数式是分式 题型7 分式的四则混合运算（共3小题） 19．（26-27八年级上·山东淄博·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 20．（26-27八年级上·广西桂林·期中）计算： (1)； (2)． 21．（2026九年级·四川·专题练习）化简：． 题型8 分式化简求值（共3小题） 22．（25-26九年级下·北京·期中）已知，求代数式的值． 23．（2026·北京东城·二模）已知，求代数式的值． 24．（2026·北京·模拟预测）已知：，求代数式的值． 题型9 解分式方程（共3小题） 25．（2026八年级上·北京·专题练习）解方程： (1)； (2)． 26．（2026八年级上·北京·专题练习）解方程： (1)； (2) 27．（2026八年级上·北京·专题练习）解方程： (1)； (2) 题型10 根据分式方程解的情况求值（共3小题） 28．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程的根是负数，则的取值范围是___________． 29．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 30．（25-26八年级下·广东茂名·期中）已知关于x的方程的解是正数，求m的取值范围． 题型11 分式增根与无解问题（共3小题） 31．（25-26八年级上·全国·期中）若关于的分式方程无解，则的值为______． 32．（24-25八年级下·江西上饶·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（　　） A． B． C．2 D．3 33．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程． (1)当，时求分式方程的解； (2)当时，求为何值时，分式方程无解． 题型12 分式方程的实际应用（共3小题） 34．（24-25八年级下·吉林长春·期末）某旅行社组织游客从甲地到乙地的航天科技馆参观，已知甲地到乙地的路程为300千米，乘坐A型车比乘坐B型车少用小时，A型车的平均速度是B型车的平均速度的倍，求B型车的平均速度． 35．（24-25八年级下·四川成都·期末）智能机器人已广泛应用于各类工业生产领域，某化工厂要在规定时间内搬运2000千克化工原料，现有两种智能机器人可供选择，已知型机器人每小时完成的工作量是型机器人每小时完成的工作量的2.5倍，型机器人单独完成所需的时间比型机器人单独完成所需的时间少20小时，求型机器人每小时各搬运多少千克原料？ 36．（24-25七年级上·广西南宁·期中）为了调动同学们弘扬传统文化的积极性，某校开展了“一带一路”——多元文化节的艺术活动，计划从某商店购买水杯和笔记本作为奖品．已知该商店销售水杯的单价是笔记本的2倍，用180元购买笔记本的数量比用240元购买水杯的数量多6件． (1)请分别求出水杯与笔记本的单价； (2)学校设置了优秀奖和参与奖共25个，优秀奖的奖品为水杯，参与奖的奖品为笔记本，学校计划在购买奖品的经费不超过350元的情况下尽可能多地设置优秀奖，则学校应设置优秀奖和参与奖各多少个? 题型13 求平方根、立方根（共3小题） 37．（25-26七年级下·北京·期中）求下列各式中的： (1)； (2)． 38．（25-26七年级下·北京大兴·期中）已知，求实数x的值． 39．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 题型14 算术平方根的非负性（共3小题） 40．（2025八年级上·北京·专题练习）若，求的值． 41．（24-25八年级下·广东潮州·期末）已知数a，b，c满足，请求的值． 42．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）已知实数，满足，求的值． 题型15 估计算术平方根的取值范围（共3小题） 43．（25-26七年级上·全国·期中）估计 的值（    ） A．在8和9之间 B．在7和8之间 C．在6和7之间 D．在5和6之间 44．（25-26八年级上·北京顺义·期中）下表中是给定部分x的值，对应的值： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 45．（25-26八年级上·北京延庆·期末）已知．若为整数且，则的值为（   ） A．35 B．34 C．33 D．32 题型16 与算数平方根、立方根有关的规律探索题（共3小题） 46．（25-26七年级下·吉林·期中）已知：，则___________．（精确到0．01） 47．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）通过观察后再回答问题． 200 (1)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决问题： 已知，，则______； (2)已知，，用含m的代数式表示n（请写出解答过程）． 48．（26-27八年级上·广西南宁·期中）在科技节活动中，爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值： ， ； (3)小明思考：如果把算术平方根换成立方根，若，，则 ， ． 题型17 求实数的整数部分与小数部分（共3小题） 49．（25-26七年级上·北京·期中）如果的整数部分是a，小数部分是b，那么=______． 50．（25-26七年级上·浙江温州·期中）通过学习我们知道无理数是个无限不循环小数，例如：，即，的整数部分是2，小数部分是．请完成下面问题： (1)的整数部分是________． (2)若设的小数部分为x，求的值． 51．（25-26七年级下·北京大兴·期末）根据资料，回答问题． 如果，其中是整数，，那么，． (1)已知，其中是整数，，那么________，________； (2)已知，．其中，是整数，，，求的值． 题型18 实数的大小比较（共3小题） 52．（26-27八年级上·河南开封·期中）若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与1的大小． ． 因为， 所以， 所以， 所以． (1)比较与2的大小； (2)比较与的大小． 53．（25-26八年级上·广东深圳·期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：． 例如：比较与的大小． ∵， 又∵，则， ∴， ∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是_____，的小数部分是__________________； (2)_____（比较这两个数的大小）； (3)已知，试用“比差法”比较与的大小； 【迁移应用】 (4)制作某产品有两种用料方案．方案一：用块型钢板，块型钢板；方案二：用块型钢板，块型钢板．型钢板的面积比型钢板大，从省料的角度考虑，应该选哪种方案？ 54．（25-26七年级下·山东济宁·期中）阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 (1) 由此可归纳出结论： _________． (2)根据上面的结论计算： 类似的： __________； (3)类比应用：__________； (4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 题型19 二次根式有意义的条件（共3小题） 55．（25-26九年级下·北京西城·期中）若代数式的值为，则满足要求的所有的值为______． 56．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 57．（24-25八年级下·重庆长寿·期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得； 所以； 所以原式． （1）按照上面的解法，化简：_____； （2）若，求的取值范围：______． 题型20 利用二次根式的性质化简（共3小题） 58．（26-27八年级上·陕西咸阳·期中）我们知道是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： (1)化简：_______，_______； (2)已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简． 59．（2022七年级·湖南长沙·竞赛）已知实数满足，求的值． 60．（26-27八年级上·山东青岛·期中）阅读材料：二次根式性质： ，对于被开方数是二次三项式的，先配方成完全平方式，再利用上面性质化简． 例： ；当时，原式；当时，原式． 请完成下面问题： (1)仿照例子化简： ； (2)甲乙两人解答： 当，求的值． 甲： 原式 乙： 原式 请判断谁的答案正确，并说明理由； (3)化简求值： ，其中． 题型21 二次根式的四则混合运算（共3小题） 61．（26-27八年级上·广东深圳·期中）计算： (1)． (2)； (3)． (4)． 62．（26-27八年级上·陕西西安·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 63．（26-27八年级上·陕西西安·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 题型22 最简二次根式与同类二次根式（共3小题） 64．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）下列根式中，最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 65．（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为_____． 66．（24-25八年级上·北京顺义·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则的值是（    ） A．2 B．7 C． D． 题型23 分母有理化（共3小题） 67．（26-27九年级上·上海·自主招生）已知，其中为整数，，则_____． 68．（25-26八年级下·广东珠海·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 69．（25-26九年级上·山西·期中）观察下列等式： ① ② 解答下列问题． (1)　　　； (2)　　　；（为正整数） (3)利用上面所揭示的规律计算：． 题型24 实数的混合运算（共3小题） 70．（26-27八年级上·全国·单元复习）计算： (1)； (2)． 71．（25-26七年级下·北京密云·期末）计算：． 72．（25-26七年级下·北京·期末）计算：； 题型25 二次根式的应用（共3小题） 73．（26-27八年级上·吉林长春·期中）如图，把一块长方形场地按图中方式划分，长方形被分为四块：、、、6． (1)求长方形场地的长（水平边）和宽（竖直边）（用含 x 的代数式表示）； (2)若，求长方形场地的面积（结果保留根号）． 74．（26-27八年级上·陕西西安·期中）高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高空抛出的物体下落所需时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间________；（结果精确到） (2)资料显示：伤害无防护人体只需要的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位：），，h为高度（单位：）．根据以上信息判断，一个质量为的小玩具经过落在地面上，该玩具在坠落地面时所带能量是否会伤害到楼下无防护的行人？请说明理由． 75．（25-26八年级下·广东江门·期中）【阅读理解】二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． (1)化简： ； (2)【拓展延伸】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形（）的宽．求黄金矩形中边的长； (3)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 题型26 三角形的相关概念（共3小题） 76．（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知a，b，c分别为的三边，且满足． (1)求c的取值范围； (2)若的周长为，求c的值． 77．（25-26九年级上·四川巴中·期中）已知三角形的三边分别为，其中两边满足，那么这个三角形的最长边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 78．（25-26七年级下·北京·期末）已知的三边长，，满足且为奇数．则___________ 题型27 三角形内角和定理（共3小题） 79．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，在中，，点分别在边上，且，连接． (1)当时，求的度数． (2)若，求的度数． 80．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，直线、被线段所截，交点分别为点E、F，并且． (1)求证：； (2)如图2，点G是直线上一点，连接，且，平分交于点H．请直接写出与的数量关系是：_________； (3)如图3，在（2）的条件下，连接、，若，且，求的度数． 81．（25-26七年级下·山西长治·期末）如图，在中，D是边上的一点，，，将沿折叠得到，与交于点F，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型28 根据三角形中线求解（共3小题） 82．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，点在边上． (1)若，，求的度数： (2)若为的中线，的周长比的周长大5，，求的长． 83．（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，D，F分别是的边，的中点，连接，交于点G，的面积为6，设的面积为，的面积为，则______． 84．（25-26八年级上·北京朝阳·期末）如图，在中，，平分，E是的中点，若，，则________． 题型29 与三角形的高有关的计算问题（共3小题） 85．（26-27七年级上·山东东营·期中）如图，在中，，该三角形的面积为，是边上任意一点，于点，于点，则等于__________． 86．（25-26八年级上·北京·期中）如图，，分别是的高和中线，，，，，___________，的面积___________． 87．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点重合），连接交于点． (1)若是中线，，，求与的周长差； (2)若是高，，求的度数． 题型30 全等三角形的性质 88．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，点在边上（不与点，重合）与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 89．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，点A、B、C在同一直线上，点E在上，且，，． (1)求的长； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 90．（24-25七年级下·河北保定·期末）对于题目“如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动也随之结束）．在射线上取一点，在点M，N运动到某处时，存在与全等，求此时的值．”甲的结果是，乙的结果是1，丙的结果是，则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人的结果合起来才对 B．乙、丙两人的结果合起来才对 C．甲、丙两人的结果合起来才对 D．甲、乙、丙三人的结果合起来才对 题型31 全等三角形的判定 91．（25-26七年级下·北京·期末）如图，点F，G分别在的，边上，C，B依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当 时，． 92．（25-26八年级上·北京顺义·期末）如图，，均为等边三角形，连接交于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，求的大小． 93．（25-26八年级上·北京房山·期末）如图，在中，，射线交边于点，且，点关于直线的对称点为点，连接交于点，连接，． (1)依题意补全图形； (2)证明：； (3)用等式表示，和的数量关系，并证明． 题型32 全等三角形的动点问题 94．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，，为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以相同速度由点向点运动，一个点到达终点后，另一个点也停止运动．当与全等时，求点运动的时间． 95．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F．设运动时间为t秒，解答下列问题： (1)用含t的式子表示______，______； (2)探究t取何值时，与全等？ 96．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为． (1)______．（用t的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 题型33 全等三角形与尺规作图结合问题 97．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） (1)在图①中的边上找一点E，使得； (2)在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； (3)在图③中的边上找一点E，连接，使． 98．（25-26八年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图． (1)在图①中，画出的中点； (2)在图②中，画出线段的垂直平分线，且、在格点上； (3)在图③中，画一个以为腰且面积最大的等腰三角形，且在格点上． 99．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（     ） A． B． C． D． 题型34 全等三角形中的网格问题 100．（26-27八年级上·江苏南通·期中）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则________． 101．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，网格中每个小格都是边长为1的正方形，点、、、都在网格的格点上． (1)过点画直线的垂线，垂足为点； (2)比较大小：____________，理由是：______________； (3)线段，则点到直线的距离为_______________． 102．（25-26八年级上·北京延庆·期末）如图所示的网格是正方形网格，是网格交点，则的度数为___________． 题型35 全等三角形的模型 103．（26-27八年级上·全国·期中）如图，，．，，垂足分别是点D，E，，，则的长是________． 104．（26-27八年级上·湖北黄石·期中）如图，在四边形中，为钝角，为锐角，，，点E、F分别在，上，且， (1)连接，试探索线段、、之间的数量关系，并加以证明． (2)若点E在射线上，点F在延长线上，其它条件不变，（1）中结论是否依然成立？画出图形，并直接写出、、之间的数量关系． 105．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证明，则，（即点为的中点）． (1)【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得________． 【拓展延伸】 (2)如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (3)如图4，中，，，点D在线段BC上，，，垂足为E，与相交于点．线段与的数量关系为________．（直接写出） 题型36 全等三角形的判定与性质综合 106．（26-27八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，，且，． (1)求证：； (2)连接，求证：； (3)设与交于点，连接．若，求． 107．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在和中，，，点在线段上且，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 108．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）已知中，，点为外一点，，与交于点． (1)如图1，若，垂足为，过点A作于点，求证：； (2)如图2，过作于点，若，，求的长； (3)如图3，点为中点，，过点作于点，若，，请直接写出的面积_____． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $