专题9 利用代数式探索规律——数式规律与图形规律 专项练习 -2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题9 利用代数式探索规律——数式规律与图形规律 类型一 数列规律 （一）有理数排列规律 1．（1）观察一列有规律的数：，，，…，它的第n个数是　　(用含n的代数式表示)． （2）求（1）中含n个数的和，比较它与1的大小． 【答案】（1）；（2）＜． 【分析】(1)由意义可知：分子都是1，分母可以拆成两个连续自然数的乘积，由此得出第n个数是； (2)把分数拆分，进一步抵消得出答案即可． 【详解】(1)对于数列，，，…， 观察其分母分别为：1，2，3，4， ∴它的第n个数是：； (2)∵， ∴ ， ∴． 【点睛】本题主要考查了分式的化简，数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律，解决问题． 2．一列有规律的数：，，，，，……这列数的第20个数为____． 【答案】58 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题意找出一般规律是解题关键．观察数列可得第个数为，即可求解． 【详解】解：由数列可知，第一个数， 第二个数， 第三个数， 第四个数， 观察发现，第个数为， 则这列数的第20个数为， 故答案为：． 3．观察下列一组数：，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是______. 【答案】 【分析】根据因为分母的规律是2k，分子的规律是2k-1， 【详解】因为分子的规律是2k，分母的规律是2k-1， 所以第k个数就应该是：； 故答案为 【点睛】本题考查了数字规律型，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，解题的关键是把数据的分子分母分别用组数k表示出来； 4．将一列有理数，，，，，，，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，应排在A、B、C、D、E中 __ 的位置． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形的变化归纳出每个峰需要5个数，且第奇数个峰是正数，第偶数个峰是负数是解题的关键． 由图形的变化可知，每个峰需要5个数，且第奇数个峰是正数，第偶数个峰是负数，根据此规律即可得出答案． 【详解】解：由图形的变化可知，每个峰需要5个数，且第奇数个峰是正数，第偶数个峰是负数， ∵， ∴是“峰”的第4个数，应排在A、B、C、D、E中的D的位置． 故答案为：D． （二）单项式排列规律 5．按一定规律排列的代数式：，，，，，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为规律探究题，分别找出系数和a的指数随序号n的变化规律，归纳即可得到结果． 【详解】解：对给出的代数式分别整理系数和指数： 当时，代数式为，系数，的指数为； 当时，代数式为，系数，的指数为； 当时，代数式为，系数，的指数为； 当时，代数式为，系数，的指数为； 归纳可得，第个代数式的系数为，的指数为，因此第个代数式是． 6．观察下列单项式：，，，，，按此规律，可以得到第2020个单项式是______，第个单项式是____________．（n是正整数） 【答案】 -4039x2020， （4n+1）x2n+1 【分析】根据观察数列，可得规律：（-1）n+1（2n-1）xn． 【详解】解：可以得到第2020个单项式是-4039x2020，第2n+1个单项式是 （4n+1）x2n+1， 故答案为：-4039x2020，（4n+1）x2n+1． 【点睛】本题考查了单项式，观察数列发现规律是解题关键． 7．按规律排列的一列单项式：，，，，…，则第个单项式是__________． 【答案】 【详解】解：，，，，…， 即第个单项式的系数是 ，字母部分是． 则当时，系数为，字母部分是． 8．斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为___________，从1开始一直输入到2026后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有___________个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出   … 【答案】 / 1351 【分析】根据所给输出的结果，发现其系数及次数的变化规律即可解决问题． 【详解】解：输入1，得到a， 输入2，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入3，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入4，得到，项的系数与次数均为奇数， 输入5，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入6，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入7，得，项的系数与次数均为奇数， 输入8，得，项的系数与次数不都为奇数， 输入9，得，项的系数与次数均为奇数， …… 因为输出结果的系数依次为1，2，3，5，8，13，…，输出结果的次数依次为1，2，3，5，8，…， 所以从第2个输出的结果开始，系数与次数按偶数，奇数，奇数循环， 则， ∴从1开始一直输入到2026后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有1351个． 9．请观察下面按照某种规律排列的一组单项式： ，， ，，，，… (1)第3个单项式应该是 ． (2)按此规律排列，次数是7的单项式的系数应该是 ． (3)第n个单项式应该是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式,确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键，解决本题的关键是要分别找出单项式的系数和次数的规律． （1）通过观察可得到答案； （2）根据题意得，奇数个时系数为负数，偶数个时系数为正数，系数为，字母为， 得出第n个单项式为，然后将代入计算即可； （3）根据题意即可求解． 【详解】（1）解：依题意得，故第3个单项式的系数为，第3个单项式的字母为， ∴第3个单项式为； 故答案为：； （2）解：根据题意得：各单项式系数均为偶数，依次为，，……，，，奇数个时系数为负数，偶数个时系数为正数， 第n个单项式的系数为，第n个单项式的字母为， ∴第n个单项式为， ∴当时，， 故答案为：； （3）由（2）得第n个单项式应该是， 故答案为：． （三）多项式排列规律 10．以下是一组按规律排列的多项式：，，，……，其中第n个多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的规律问题． 通过观察给定多项式的规律，发现x的指数与序号n相同，y的系数是且为负号，因此第n个多项式为． 【详解】解：第1个多项式为， 第2个多项式为， 第3个多项式为， 以此类推，第n个多项式为． 故选：D． 11．按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为规律探究题，将多项式拆分为含x的项和含y的项，分别找出两项指数随n变化的规律，即可得到第n个多项式． 【详解】解：∵第1个多项式中，x的指数为，第2个多项式中，x的指数为，第3个多项式中，x的指数为…… ∴第个多项式中，x的指数为，即含x的项为． ∵第1个多项式中，y的指数为，第2个多项式中，y的指数为，第3个多项式中，y的指数为…… ∴第个多项式中，y的指数为，即含y的项为． 综上，第n个多项式为． （四）多行数排列规律 12．观察下面三行数： 2，，8，，32，，……； 3，，9，，33，，……； 0，6，，18，，66，……； (1)第一行的第8个数是 ；第一行的第个数是 (2)设第一行第个数为，则第二行第个数为 ，第三行第个数为 (3)取出每行的第个数，若这三个数中最大的数与最小的数的差为2050，求这三个数． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】此题考查数字的变化规律，找出数字的变化规律，得出行之间的运算方法解决问题． （1）根据第1行已知数据都是2的乘方得到，再利用第偶数个项为负数即可得出答案， （2）观察数值之间的关系，求得第2行比第1行对应数字大1，再求出第2与第3行同列的数之间的关系，即可作答． （3）将第n个数字取出，结合这三个数中最大的数与最小的数的差为2050，列出关系式求解即可． 【详解】（1）解：∵2，，8，，32，，…； ∴，，，，… ∵第偶数个项为负数 ∴第1行第8个数为：； ∴第一行的第n个数是， 故答案为：，； （2）解：∵第一行：2，，8，，32，，……； 第二行：3，，9，，33，，……； ∴第二行都比第一行对应数字大1， ∴第一行第个数为，则第二行第个数为； ∵第二行：3，，9，，33，，……； 第三行：0，6，，18，，66，……； ∴ 即第三行的数等于第二行对应数字减去的差的相反数 ∵第二行第个数为； ∴第三行第个数为； 故答案为：，； （3）解：由（2）得设第一行第个数为，则第二行第个数为，第三行第个数为 ∵ ∴当最小的数是，最大的数是或最小的数是，最大的数是 ∵取出每行的第个数，若这三个数中最大的数与最小的数的差为2050， ∴或， 解得或． ∵不符合的形式，故舍去 ∴， 则第一行第个数为，则第二行第个数为，第三行第个数为； 当最小的数是，最大的数是，或最小的数是，最大的数是时， ∵取出每行的第个数，若这三个数中最大的数与最小的数的差为2050， ∴ 解得或，不符合的形式，故舍去 综上：则第一行第个数为，则第二行第个数为，第三行第个数为 类型二 数表规律 13．如图所示的三角形数垒，a、b是某行的前两个数，当a=7时，b=（　　） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】C 【详解】试题解析：由图中的规律可知，第六排的数字依次是6,16,25,25,16,6，则第七排的前两个数字为7,22，所以 ，故本题应选C. 14．将正奇数按下表排成5列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 1 3 5 7 第2行 15 13 11 9 第3行 17 19 21 23 … … … 27 25 若2023在第m行第n列，则（   ） A．257 B．258 C．508 D．509 【答案】B 【分析】本题主要考查数字规律．根据题意可得奇数行为从小到大排列，偶数行为从大到小排列，每行4个数，再由观察第二、三、四列的数的排列规律，可得第三列的数为，从而得到2023应该在第254行第3列，即可求解． 【详解】解：根据题意得：奇数行为从小到大排列，偶数行为从大到小排列，每行4个数， 观察第二、三、四列的数的排列规律，得出第三列数：3，11，19，27，…， ∴第m行第三列的数为， ∵， ∴2023应该在第253行第5列， ∴． 故选：B 6．正整数按如下的规律排列，写出第n行、第列的数字为_____． 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 2 5 10 17 … 第二行 4 3 6 11 18 … 第三行 9 8 7 12 19 … 第四行 16 15 14 13 20 … 第五行 25 24 23 22 21 … … 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题． 根据题意找到规律求解即可． 【详解】第1行、第2列的数字为 第2行、第3列的数字为， 第3行、第4列的数字为 … 第n行、第列的数字为 故答案为：． 15．将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)这个十字框中五个数的和为 ． (2)设中间数为a，用代数式表示十字框中五个数之和为 ． (3)若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字框中的五个数之和能为2025吗？这五个数之和能为2045吗？ 【答案】(1) (2) (3)这五个数之和还是中间数的5倍 (4)能为2025，不能为2045 【分析】本题考查了探索数字的规律，整式的加减计算，解题的关键是能找出所给数据之间的规律． （1）把五个数相加即可得出答案； （2）用含a的式子分别表示出其他四个数，再利用整式的加减计算法则求出这五个数的和即可； （3）令十字框中间数为b，根据题中所给十字框，可写出则其余4个数，将这5个数相加即可得； （4）分别计算出2025和2045除以5的结果，所得的结果只要不在最右边或最左边那一列都符合题意． 【详解】（1）解：， ∴十字框中的五个数之和为75； （2）解：设中间数为a，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 因此十字框中的五个数之和为． （3）解：设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 因此这五个数之和还是中间数的5倍． （4）解：由（3）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍， ∵，且个位数字为5的数字都在第三列， ∴中间的那个数字为505，满足题意， ∴十字框中五个数之和能为2025， ∵，且个位数字为9的数字都在第最右边一列， ∴中间的数字为409，此时不满足题意， ∴十字框中五个数之和不能为2045． 16．用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚……若按照这样的规律拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多20枚，则拼第n个图形所用两种卡片的总数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律探究，解题的关键是总结规律第个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多几枚． 总结规律第个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多几枚，当时，求出所用正方形卡片及等边三角形卡片的数量，再求和即可得到答案． 【详解】解：第1个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚）， 第2个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚）， 第3个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚）， 第个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚）， 当时，所用正方形卡片为：（枚），所用等边三角形卡片为：， 所用两种卡片的总数为：（枚）， 故答案为：． 17．如图①是由个数字组成的偶数方阵，用“阶梯框”按如图所示的方法任意圈出六个数．（“阶梯框”只能平移）． (1)“阶梯框”内六个数的和的最小值为 ； (2)如图②是用“阶梯框”圈出的六个数，请根据规律用含的式子表示其余五个数； (3)求图②“阶梯框”中个数的和，并说明所求的结果是的倍数． 【答案】(1) (2)、、、、 (3)和为，是的倍数 【分析】本题主要考查了数字规律的观察与归纳、代数式的表示以及整式的运算，解题的关键是通过观察方阵中数字的排列规律，找出“阶梯框”内数字之间的关系． （1）根据“阶梯框”的结构特点，要使得“阶梯框”内六个数的和最小，则这六个数分别是：、、、、、，计算它们的和即可求解； （2）通过观察方阵中数字的排列规律：同一列上下相邻两数相差，同一行相邻两数相差，结合在“阶梯框”中的位置可知，其余五个数分别为：、、、、； （3）将图②“阶梯框”中个数加起来可得和为，故图②“阶梯框”中个数的和是的倍数． 【详解】（1）由图可知，要使得“阶梯框”内六个数的和最小， 则这六个数分别是：、、、、、， 此时，这六个数的和为， 故答案为：； （2）观察方阵规律：同一列上下相邻两数相差，同一行相邻两数相差， “阶梯框”圈出的六个数分别是：、、、、、， 用含的式子表示其余五个数分别为：、、、、； （3）图②“阶梯框”中个数的和 ，商是整数， 是的倍数， 即图②“阶梯框”中个数的和是的倍数． 类型三 图形规律 18．在学习了“探索表达规律”后，为激发学生学习数学的兴趣，王老师让同学们做摆图游戏．如图，小刚用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给图形 ，分别求出前三个图形需要的围棋子数，然后找到规律求解即可． 【详解】解：第1个图形需要个围棋子， 第2个图形需要个围棋子， 第3个图形需要个围棋子， … ∴第n个图形需要个围棋子， 故选C． 【点睛】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到图形间的规律是解题的关键． 19．下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，图案③需22根火柴棒......按此规律，图案⑧需要火柴棒的根数为（     ） A．56 B．57 C．63 D．64 【答案】B 【分析】通过观察图形，分析出火柴棒根数的变化规律是解题的关键． 【详解】解： ∵图案①需根火柴棒， 图案②需根火柴棒，， 图案③需根火柴棒，， 每增加一个图案，火柴棒根数增加根， 第个图案需火柴棒根数为， 当时，（根）． 20．小明用围棋子按如图所示的规律摆长方形，第1个长方形中有6颗围棋子，第2个长方形中有10颗围棋子，第3个长方形中有14颗围棋子，…，按照这样的规律摆下去． (1)摆第6个长方形需要______颗围棋子； (2)用含n的代数式表示摆第n个长方形需要的围棋子颗数； (3)求摆第100个长方形和第2025个长方形需要的围棋子总颗数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字类规律，熟练找准规律是解题的关键． （1）观察所给图形所需颗数，进行解答即可 （2）观察（1）得到规律，第n个长方形需要的围棋子数量为颗； （3）根据（2）中的规律，令和进行计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 第1个长方形中有颗围棋子， 第2个长方形中有颗围棋子， 第3个长方形中有颗围棋子， … 第6个长方形需要围棋子数量为颗， 故答案为：； （2）解：观察（1）可得， 第n个长方形需要的围棋子数量为颗； （3）解：由（2）可得， 摆第100个长方形需要的围棋子数量为：颗， 第2025个长方形需要的围棋子数量为：颗， 颗 答：摆第100个长方形和第2025个长方形需要的围棋子总颗数为颗． 21．如图，一些点组成形如三角形的图形．如果图形的每条“边”上有个点（包括两个顶点），那么这个图形中点的总数S是多少？当时，S各是多少？ 【答案】当时，；当时，；当时，． 【分析】本题考查了图形类规律问题，解题的关键是观察三角形的图案，得到规律，，进行解答即可． 【详解】解：由图形可知，当时，； 当时，； 当时，； ， ∴， 当时，， 当时，， 当时，． 22．将图1中的正方形剪开得到图2，则图2 中共有4个正方形；将图2中的一个正方形剪开得到图3，则图3中共有7个正方形；，如此剪下去，则第n个图形中正方形的个数是多少． （1）按图示规律填写下表： 图 1 2 3 4 5 正方形个数 1 4 7 ______ ______ （2）按照这种方式剪下去，求第n个图中有多少个正方形； （3）按照这种方式剪下去，求第200个图中有多少个正方形； （4）按照这种方式剪下去，求第2021个图中有多少个正方形． 【答案】（1）10，13；（2）；（3）598；（4）6061 【分析】（1）观察图形可知，每剪开一次多出3个正方形，然后根据图形及规律即可得出答案； （2）根据（1）中的规律可总结出第n个图中正方形的个数； （3）将代入（2）的结论中即可得出答案； （4）将代入（2）的结论中即可得出答案． 【详解】（1）观察图形可知图4中正方形的个数为10个， 观察发现每一个图形都比前一个图形多3个正方形，所以第5个图形的正方形的个数为13，填表如下： 图 1 2 3 4 5 正方形个数 1 4 7 __10____ __13____ （2）图1中的正方形个数为1，； 图2中正方形的个数为4，； 图3中正方形的个数为7，； 图4中正方形的个数为10，； …… 第n个图中正方形的个数为； （3）当时， ， ∴第200个图中有598个正方形； （4）当时， ， ∴第2021个图中有6061个正方形． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，找到规律并能应用规律解题是关键． 23．下列图形是一组有规律的图案，第个图案由个基础图形组成，第个图案由个基础图形组成，……，从第个图案开始，每个图案比前一个图案多个基础图形，则第（是正整数）个图案中的基础图形的个数为__________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据题意，分别找出第个图中的数量，第个图中的数量，第个图形的数量，进行比较分析，即可求解． 【详解】解：第个图形中的数量是，即， 第个图形中的数是，即， 第个图形中的数是，即， … ∴第个图形中的数量为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查图形数量的规律，掌握图形的顺序与图形中数量的数量关系是解题的关键． 24．如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多__________个（用含 n 的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律，正确计算已知图形中色正方形比黑色正反向多的个数并得到规律是解题的关键．利用给出的三个图形寻找规律，发现白色正方形个数=总的正方形个数-黑色正方形个数，而黑色正方形个数第1个为1，第二个为2，由此寻找规律，总个数只要找到边与黑色正方形个数之间关系即可，依此类推，寻找规律． 【详解】解： 第1个图形黑、白两色正方形共个，其中黑色1个，白色个， 第2个图形黑、白两色正方形共个，其中黑色2个，白色个， 第3个图形黑、白两色正方形共个，其中黑色3个，白色个， 依此类推， 第n个图形黑、白两色正方形共个，其中黑色n个，白色个， …… ∴第n个图案中白色正方形比黑色正方形多个， 故答案为∶ ． 类型四 由变换产生的规律 25．（1）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1，在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（    ） A．6    B．5    C．3    D．2 （2）如图，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字．电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是______． 【答案】（1）B；（2）6 【分析】（1）先向右翻滚，然后再逆时针旋转叫做一次变换，那么连续3次变换是一个循环．本题先要找出3次变换是一个循环，然后再求10被3整除后余数是1，从而确定第1次变换的第1步变换，即可得出答案； （2）由题意知12个数一循环，然后再求2010被12整除后余数是多少来决定是哪个数即可． 【详解】解：（1）根据题意可知连续3次变换是一循环， ∵， ∴是第1次变换后的图形，即按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是5，故B正确． 故选：B． （2）根据题意可知是0，1，2，3，4，…，11即12个数是一个循环， ∵， ∴该圆圈所标的数字是6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了数字变化规律和图形变换规律，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 26．定义数组的变换：依次排列的一组数，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在两个数之间，可产生一个新数组．以数组为例，步骤如下： ①第1次变换后得到数组； ②第2次变换后得到数组； … 则数组第4次变换后得到的数组中所有数的和为______； 若一组有理数，这组数经过2026次变换后，利用你所观察的规律，这组数的和为______（用含有的式子表示并化简）． 【答案】 36 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据所给变换方式发现每次变换后数组中各数之和的变化规律是解题的关键． 列出数组第4次T变换后得到的数组，求出和即可； 通过观察T变换过程，发现每次变换后数组的和增加，因此经过次变换后，数组的和为初始和加上次，即，根据此即可求解． 【详解】解：由题知，数组第1次T变换后得到的数组为； 数组第2次T变换后得到的数组为； 数组第3次T变换后得到的数组为； 数组第4次T变换后得到的数组为； 数组中所有数的和为：． 故答案为：36． 当一组有理数为时， 第1次T变换后得到的数组为，这组数的和为：， 第2次T变换后得到的数组为，这组数的和为：， 第3次T变换后得到的数组为，这组数的和为：， 由此可见，每次T变换后，所得数组的和增加， ∴这组数经过2026次变换后，这组数的和为：． 故答案为：． 27．相传大禹时期，洛阳市洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹，大禹依此治水成功，遂划天下为九州．图①是我国古代传说中的洛书，图②是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图③、图④的幻方中也有类似于图②的数字之和的这个规律，若图④中，，，则整式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字类规律探索，整式的加减． 由图和图可得，图中，可得，由，可得，由，可得整式． 【详解】解：由图和图可得，图中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9 利用代数式探索规律——数式规律与图形规律 类型一 数列规律 （一）有理数排列规律 1．（1）观察一列有规律的数：，，，…，它的第n个数是　　(用含n的代数式表示)． （2）求（1）中含n个数的和，比较它与1的大小． 2．一列有规律的数：，，，，，……这列数的第20个数为____． 3．观察下列一组数：，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是______. 4．将一列有理数，，，，，，，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，应排在A、B、C、D、E中 __ 的位置． （二）单项式排列规律 5．按一定规律排列的代数式：，，，，，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 6．观察下列单项式：，，，，，按此规律，可以得到第2020个单项式是______，第个单项式是____________．（n是正整数） 7．按规律排列的一列单项式：，，，，…，则第个单项式是__________． 8．斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为___________，从1开始一直输入到2026后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有___________个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出   … 9．请观察下面按照某种规律排列的一组单项式： ，， ，，，，… (1)第3个单项式应该是 ． (2)按此规律排列，次数是7的单项式的系数应该是 ． (3)第n个单项式应该是 ． （三）多项式排列规律 10．以下是一组按规律排列的多项式：，，，……，其中第n个多项式是（　　） A． B． C． D． 11．按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（     ） A． B． C． D． （四）多行数排列规律 12．观察下面三行数： 2，，8，，32，，……； 3，，9，，33，，……； 0，6，，18，，66，……； (1)第一行的第8个数是 ；第一行的第个数是 (2)设第一行第个数为，则第二行第个数为 ，第三行第个数为 (3)取出每行的第个数，若这三个数中最大的数与最小的数的差为2050，求这三个数． 类型二 数表规律 13．如图所示的三角形数垒，a、b是某行的前两个数，当a=7时，b=（　　） A．20 B．21 C．22 D．23 14．将正奇数按下表排成5列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 1 3 5 7 第2行 15 13 11 9 第3行 17 19 21 23 … … … 27 25 若2023在第m行第n列，则（   ） A．257 B．258 C．508 D．509 6．正整数按如下的规律排列，写出第n行、第列的数字为_____． 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 2 5 10 17 … 第二行 4 3 6 11 18 … 第三行 9 8 7 12 19 … 第四行 16 15 14 13 20 … 第五行 25 24 23 22 21 … … 15．将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)这个十字框中五个数的和为 ． (2)设中间数为a，用代数式表示十字框中五个数之和为 ． (3)若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字框中的五个数之和能为2025吗？这五个数之和能为2045吗？ 16．用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚……若按照这样的规律拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多20枚，则拼第n个图形所用两种卡片的总数为_______． 17．如图①是由个数字组成的偶数方阵，用“阶梯框”按如图所示的方法任意圈出六个数．（“阶梯框”只能平移）． (1)“阶梯框”内六个数的和的最小值为 ； (2)如图②是用“阶梯框”圈出的六个数，请根据规律用含的式子表示其余五个数； (3)求图②“阶梯框”中个数的和，并说明所求的结果是的倍数． 类型三 图形规律 18．在学习了“探索表达规律”后，为激发学生学习数学的兴趣，王老师让同学们做摆图游戏．如图，小刚用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数为（　　） A． B． C． D． 19．下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，图案③需22根火柴棒......按此规律，图案⑧需要火柴棒的根数为（     ） A．56 B．57 C．63 D．64 20．小明用围棋子按如图所示的规律摆长方形，第1个长方形中有6颗围棋子，第2个长方形中有10颗围棋子，第3个长方形中有14颗围棋子，…，按照这样的规律摆下去． (1)摆第6个长方形需要______颗围棋子； (2)用含n的代数式表示摆第n个长方形需要的围棋子颗数； (3)求摆第100个长方形和第2025个长方形需要的围棋子总颗数． 21．如图，一些点组成形如三角形的图形．如果图形的每条“边”上有个点（包括两个顶点），那么这个图形中点的总数S是多少？当时，S各是多少？ 22．将图1中的正方形剪开得到图2，则图2 中共有4个正方形；将图2中的一个正方形剪开得到图3，则图3中共有7个正方形；，如此剪下去，则第n个图形中正方形的个数是多少． （1）按图示规律填写下表： 图 1 2 3 4 5 正方形个数 1 4 7 ______ ______ （2）按照这种方式剪下去，求第n个图中有多少个正方形； （3）按照这种方式剪下去，求第200个图中有多少个正方形； （4）按照这种方式剪下去，求第2021个图中有多少个正方形． 23．下列图形是一组有规律的图案，第个图案由个基础图形组成，第个图案由个基础图形组成，……，从第个图案开始，每个图案比前一个图案多个基础图形，则第（是正整数）个图案中的基础图形的个数为__________（用含的代数式表示）． 24．如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多__________个（用含 n 的式子表示）． 类型四 由变换产生的规律 25．（1）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1，在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（    ） A．6    B．5    C．3    D．2 （2）如图，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字．电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是______． 26．定义数组的变换：依次排列的一组数，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在两个数之间，可产生一个新数组．以数组为例，步骤如下： ①第1次变换后得到数组； ②第2次变换后得到数组； … 则数组第4次变换后得到的数组中所有数的和为______； 若一组有理数，这组数经过2026次变换后，利用你所观察的规律，这组数的和为______（用含有的式子表示并化简）． 27．大禹时期，洛阳市洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹，大禹依此治水成功，遂划天下为九州．图①是我国古代传说中的洛书，图②是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图③、图④的幻方中也有类似于图②的数字之和的这个规律，若图④中，，，则整式是（   ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $