第三章 代数式 数学活动 探究规律与代数式 （分层同步练习·反思性作业单）2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 以三级分层设计实现规律探究与代数式应用的渐进式巩固，通过前置唤醒-基础自检-分层作业-复盘反思路径，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一规律识别与代数式表示|选择/填空/判断覆盖数字、图形规律核心易错点，强化验证意识| |能力提升|规律综合应用与多步推理|解答题结合火柴棒、数字序列情境，训练运算能力与模型构建| |拓展探究|复杂规律探究与存在性分析|开放题设计（如棋子数量存在性），发展创新意识与批判性思维|

数学活动 探究规律与代数式 分层同步练习·反思性作业单 （自习课｜家庭作业 专用） 完成场景 □自习课独立完成 □家庭自主完成 完成状态 □完全独立 □少量翻书 □略感吃力 □需要帮助 教学环节 内容要点与习题 一、自习前置速忆 （30秒唤醒） 1. 本节课核心知识点： ①规律探究的一般步骤：观察特例、归纳猜想、用代数式表示规律、验证规律； ②图形规律：通过观察图形的变化，用代数式表示图形的数量关系； ③数字规律：通过观察数字序列的变化，用代数式表示第n项； ④运算规律：通过观察运算过程，发现并证明运算规律； ⑤代数式的应用：用代数式表示实际问题中的数量关系，解决实际问题。 2. 本节课最大陷阱（必考易错）： ①只观察前几个特例就下结论，没有验证更多情况； ②找规律时忽略了序号与项之间的对应关系； ③图形规律中没有正确数清图形数量的变化； ④用代数式表示规律后没有代入验证。 二、基础随堂自检 （当堂清零） 【自我卡点标记】不确定题号：________ 1. 观察下列等式：1=1²，1+3=2²，1+3+5=3²，…，则1+3+5+…+(2n-1)=________ 2. 观察下列图形：第1个图形有1个三角形，第2个有4个，第3个有9个，…，第n个图形有________个三角形 3. 观察下列数字：2，4，6，8，…，第n个数是________ 4. 观察下列数字：1，4，9，16，…，第n个数是________ 5. 用火柴棒搭正方形，搭1个用4根，搭2个用7根，搭3个用10根，…，搭n个用________根 三、分层自主作业 （分层落实） ━━━━━ ★ 基础巩固（全员必做） ━━━━━ 1. 选择题：观察数字：3，6，12，24，...，第n个数是（ ） A. 3n B. 3×2ⁿ C. 3×2ⁿ⁻¹ D. 2ⁿ 2. 填空题：观察数字：-1，2，-3，4，-5，...，第n个数是________。 3. 判断题（正确打√，错误打×）：找规律时，只观察前3个特例就可以确定规律。 解： 4. 观察等式：1×2×3×4+1=25=5²，2×3×4×5+1=121=11²，3×4×5×6+1=361=19²，...(1)写出第5个等式；(2)猜想n(n+1)(n+2)(n+3)+1等于哪个代数式的平方，用含n的代数式表示。 解： 5. 选择题：观察数字：1，8，27，64，...，第n个数是（ ） A. n² B. n³ C. 2n D. 3n 6. 填空题：观察数字：2，6，12，20，30，...，第n个数是________。 7. 判断题（正确打√，错误打×）：用代数式表示规律后，不需要代入数值验证。 解： 8. 用棋子摆图案：第1个图案有4枚棋子，第2个有7枚，第3个有10枚，...(1)第5个图案有多少枚棋子？(2)第n个图案有多少枚棋子？（用含n的代数式表示） 解： 9. 选择题：观察：3¹=3，3²=9，3³=27，3⁴=81，3⁵=243，...，则3²⁰²⁴的个位数字是（ ） A. 3 B. 9 C. 7 D. 1 10. 填空题：观察：1+2+1=4=2²，1+2+3+2+1=9=3²，1+2+3+4+3+2+1=16=4²，...，则1+2+...+n+...+2+1=________。 11. 一张长方形桌子可坐6人，将桌子拼在一起：1张坐6人，2张拼在一起坐10人，3张拼在一起坐14人，...(1)5张桌子拼在一起可坐多少人？(2)n张桌子拼在一起可坐多少人？（用含n的代数式表示） 解： 12. 填空题：观察分数：，，，，...，第n个数是________。 ━━━━━ ★★ 能力提升（自主选做） ━━━━━ 1. 观察下列等式：第1个等式：1=1²；第2个等式：1+3=2²；第3个等式：1+3+5=3²；……（1）请写出第4个等式；（2）请写出第n个等式（用含n的代数式表示）；（3）请用上述规律计算：1+3+5+…+99。 2. 用火柴棒按如下方式搭三角形：搭1个三角形用3根火柴棒，搭2个三角形用5根火柴棒，搭3个三角形用7根火柴棒，……（1）搭4个三角形用多少根火柴棒？（2）搭n个三角形用多少根火柴棒？（用含n的代数式表示）（3）如果有101根火柴棒，能搭多少个三角形？ 3. 观察下列数字序列：2，5，10，17，26，…（1）请写出第6个数和第7个数；（2）请用含n的代数式表示第n个数；（3）请计算第10个数是多少。 ━━━━━ ★★★ 拓展探究（学优挑战） ━━━━━ 1. 观察下列图形：用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图案，第1个图案有4枚棋子，第2个图案有7枚棋子，第3个图案有10枚棋子，……（1）第4个图案有多少枚棋子？（2）第n个图案有多少枚棋子？（用含n的代数式表示）（3）是否存在一个图案，恰好有2024枚棋子？如果存在，是第几个图案？如果不存在，请说明理由。 2. 观察下列等式：1³=1²，1³+2³=3²，1³+2³+3³=6²，1³+2³+3³+4³=10²，……（1）请写出第5个等式；（2）请用含n的代数式表示第n个等式；（3）请利用上述规律计算：1³+2³+3³+…+10³。 四、自习后置复盘 （2-3分钟） 本节课最大收获 最不确定的题目 需要老师讲解的内容 本节课易错点 改进措施 下次目标 五、学以致用 （可选·素养） 1. 学校要组织一次“探究规律”数学活动，请你设计一个活动方案。（1）确定活动主题和目标；（2）设计活动步骤和方法；（3）预期活动成果和展示方式。 2. 某餐厅有长方形桌子，1张桌子可以坐6人，2张桌子拼在一起可以坐10人，3张桌子拼在一起可以坐14人，……（1）5张桌子拼在一起可以坐多少人？（2）n张桌子拼在一起可以坐多少人？（用含n的代数式表示）（3）如果有46人来就餐，需要多少张桌子拼在一起？ 六、自主学习评价 学生自评：□基础扎实 □做题稳定 □规避陷阱 □思维有提升 教师等级：□A □B □C □D 教师评语： ________________________________ ________________________________ 数学活动 探究规律与代数式参考答案 二、基础随堂自检 1. n² 2. n² 3. 2n 4. n² 5. 3n+1 三、分层自主作业 ★ 基础巩固 1. C 2. (-1)ⁿn 3. × 4. (1)5×6×7×8+1=1681=41² (2)(n²+3n+1)²（或(n(n+3)+1)²） 5. B 6. n(n+1) 7. × 8. (1)16 (2)3n+1 9. D 10. n² 11. (1)22 (2)4n+2 12. ★★ 能力提升 1. （1）1+3+5+7=4²（2）1+3+5+…+(2n-1)=n²（3）50²=2500 2. （1）9根（2）2n+1根（3）50个 3. （1）37，50（2）n²+1（3）101 ★★★ 拓展探究 1. （1）13枚（2）3n+1枚（3）3n+1=2024，n=674.33，不是整数，不存在 2. （1）1³+2³+3³+4³+5³=15²（2）1³+2³+…+n³=[n]²（3）(10×)²=55²=3025 五、学以致用 1. 示例：主题为"校园中的规律"，目标是发现校园生活中的数学规律并能用代数式表示；步骤为分组观察、收集数据、归纳规律、成果展示；成果为手抄报或小报告 2. （1）22人（2）4n+2人（3）4n+2=46，n=11张 学科网（北京）股份有限公司 $