2026--2027学年北师大版九年级数学上册期中模拟卷

北师大版九年级数学（上册）期中模拟卷（适中卷） 参考答案与详解 一、选择题答案（每小题 3 分，共 30 分） 1 B 2 A 3 C 4 A 5 B 6 A 7 B 8 A 9 D 10 C 二、填空题答案（每小题 3 分，共 24 分） 11 52；120 12 13 14 15 9 16 3；4 17 200 18 18 三、解答题详解与评分标准（共 66 分） 19．（6 分） 解： （评分：开方 2 分，写出两个解 1 分） （评分：因式分解 2 分，写出两个解 1 分） 20．（6 分） 解：移项得 x²－4x＝1，配方：x²－4x＋4＝1＋4， （评分：移项配方 2 分；开平方 2 分；写出结果 2 分） 21．（7 分） 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ AB∥CD，AB＝CD。（1 分） ∵ E、F 分别是 AB、CD 的中点，∴ BE＝，DF＝。又 AB＝CD，∴ BE＝DF。（2 分） 又 BE∥DF，∴ 四边形 DEBF 的一组对边平行且相等，（2 分） ∴ 四边形 DEBF 是平行四边形。（2 分） 22．（7 分） 解：∵ ∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴ ∠ADC＝∠ACB＝90°，又∠A 为公共角， ∴ △ACD∽△ABC。（3 分） 代入 AC＝6，AD＝4：36＝4AB，解得 AB＝9。（2 分） 23．（7 分） 解：设月平均增长率为 x。（1 分） 依题意列方程： 答：月平均增长率为 20%。（2 分） 24．（7 分） （1）证明：∵ AB＝AD＋DB＝8，AC＝AE＋EC＝12， ∴ AD∶AB＝AE∶AC，又∠A 为公共角，∴ △ADE∽△ABC，（2 分） ∴ ∠ADE＝∠ABC，∴ DE∥BC。（2 分） （2）解：∵ △ADE∽△ABC，相似比为 ，∴ ，即 ，解得 BC＝20。（3 分） 25．（8 分） 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°。（2 分） ∵ DG⊥AE，∴ ∠DAE＋∠ADG＝90°；又∠CDF＋∠ADG＝90°，∴ ∠DAE＝∠CDF。（2 分） 在△ADE 和△DCF 中：∠DAE＝∠CDF，AD＝DC，∠ADE＝∠DCF， ∴ △ADE≌△DCF（ASA）。（2 分） ∴ AE＝DF。（2 分） 26．（8 分） 解：（1）每周销售量为（500－10x）件。（1 分） （2）每件利润为（40－30＋x）＝（10＋x）元，依题意： 检验：x＝10 时销量为 400 件，x＝30 时销量为 200 件，均为正，均符合题意。（1 分） ∴ 售价为 40＋10＝50（元）或 40＋30＝70（元）。答：售价为每件 50 元或 70 元。（2 分） 27．（10 分） 解：设出发 t 秒后相似。则 BP＝2t，AP＝8－2t，AQ＝t。（1 分） ∠A 为△APQ 与△ABC 的公共角，分两种情况： 情况① △APQ∽△ABC，则 情况② △AQP∽△ABC，则 检验：0＜＜4，0＜＜4，均符合运动范围。（1 分） 答：出发 秒或 秒后，两三角形相似。 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级数学（上册）期中模拟卷（基础卷） 参考答案与详解 一、选择题答案（每小题 3 分，共 30 分） 1 C 2 C 3 B 4 C 5 C 6 B 7 A 8 C 9 B 10 A 二、填空题答案（每小题 3 分，共 24 分） 11 5；24 12 5 13 4；16 14 15 2 16 9；3 17 3∶5；9∶25 18 6 三、解答题详解与评分标准（共 66 分） 19．（6 分） 解： （评分：移项开方 2 分，写出两个解 1 分） （评分：因式分解 2 分，写出两个解 1 分） 20．（6 分） 解：这里 a＝2，b＝－4，c＝－1。 （评分：确定 a、b、c 1 分；计算判别式 2 分；代入求根公式 2 分；写出结果 1 分） 21．（7 分） 证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D。（2 分） ∵ E、F 分别是 AB、AD 的中点，∴ BE＝，DF＝。又 AB＝AD，∴ BE＝DF。（2 分） 在△BCE 和△DCF 中：BC＝DC，∠B＝∠D，BE＝DF，∴ △BCE≌△DCF（SAS）。（2 分） ∴ CE＝CF。（1 分） 22．（7 分） 解：∵ DE∥BC，由平行线分线段成比例定理， ∴ AC＝AE＋EC＝2＋4＝6。（2 分） 答：EC 的长为 4，AC 的长为 6。（2 分） 23．（7 分） 解：设每件商品应降价 x 元，则每件盈利（40－x）元，每天可售出（20＋2x）件。（1 分） 依题意列方程：（2 分） （2 分） 要让顾客得到更多实惠，应取降价较多的 x＝20。（1 分） 答：每件商品应降价 20 元。（1 分） 24．（7 分） （1）证明：，且∠A 是△ADE 与△ABC 的公共角，两边对应成比例且夹角相等，∴ △ADE∽△ABC。（3 分） （2）解：∵ △ADE∽△ABC，相似比为 ，∴ ，即 ，解得 BC＝12。（4 分） 25．（8 分） 解：（1）∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ OA＝OB＝。 又∠AOB＝60°，∴ △AOB 是等边三角形，∴ OA＝AB＝4，（2 分） （2）在 Rt△ABC 中，BC＝＝＝。（2 分） ∴ S矩形＝AB·BC＝4×4＝16。（2 分） 26．（8 分） 解：设小路的宽为 x m，则花圃长为（16－2x）m，宽为（10－2x）m。（1 分） 依题意列方程：（2 分） （2 分） 当 x＝11 时，10－2x＜0，不合题意，舍去；∴ x＝2。（1 分） 检验并作答：小路的宽为 2 m。（2 分） 27．（10 分） 解：（1）设一条对角线长为 x cm，则另一条长为（14－x）cm。（1 分） 由菱形面积公式列方程：（3 分） （2 分） ∴ 两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm。（1 分） （2）菱形对角线互相垂直平分，两条对角线的一半分别为 3 cm 和 4 cm， ∴ 边长＝＝＝5（cm）。（3 分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级数学（上册）期中模拟卷 （适中卷） 满分：120 分　　考试时间：120 分钟 考生注意：本试卷分选择题、填空题、解答题三部分，请将答案写在答题区域内。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个正确选项） 1．菱形的两个邻角之比为 1∶2，较短的对角线长为 6，则菱形的边长为（　　） A．3 B．6 C． D． 2．正方形 ABCD 中，E 是 BC 延长线上一点，且 CE＝AC，则∠E 的度数为（　　） A．22.5° B．30° C．45° D．67.5° 3．下列命题中，正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D．一组邻边相等的四边形是菱形 4．若一元二次方程 x²＋mx＋3＝0 有一个根为－1，则 m 的值为（　　） A．4 B．－4 C．2 D．－2 5．方程 kx²－2x＋1＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k＜1 且 k≠0 C．k≤1 D．k≤1 且 k≠0 6．一元二次方程 x²－5x＋6＝0 的两根之和为（　　） A．5 B．－5 C．6 D．－6 7．某厂一月份产量为 100 吨，三月份产量为 121 吨，设月平均增长率为 x，则所列方程正确的是（　　） A．100(1＋x)＝121 B．100(1＋x)²＝121 C．100(1＋2x)＝121 D．100(1＋x)＋100(1＋x)²＝121 8．如图，，直线 AC、DF 分别交三条平行线于 A、B、C 和 D、E、F，AB＝3，BC＝6，DE＝2，则 EF 的长为（　　） 图 1 A．4 B．3 C．2 D．6 9．下列条件中，不能判定△ABC 与△A′B′C′相似的是（　　） A．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′ B． C． D． 10．在△ABC 中，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，则 S△ADE∶S四边形DBCE＝（　　） A．1∶2 B．1∶3 C．1∶8 D．1∶9 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．菱形的两条对角线长分别为 10 和 24，则菱形的周长为 ，面积为 。 12．正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 BC 的中点，连接 AE，则 AE＝ 。 13．矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，AB＝6，∠OAB＝30°，则 BC＝ 。 14．方程 (x－1)²＝4 的解为 。 15．若关于 x 的方程 x²－6x＋m＝0 有两个相等的实数根，则 m＝ 。 16．。 17．在比例尺为 1∶5000 的地图上，A、B 两地的图上距离为 4 cm，则 A、B 两地的实际距离为 m。 18．△ABC 中，DE∥BC，AD＝4，AB＝12，DE＝6，则 BC＝ 。 三、解答题（本大题共 9 小题，共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（6 分）解下列方程： 20．（6 分）用配方法解方程：x²－4x－1＝0。 21．（7 分）如图，在矩形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、CD 的中点，连接 DE、BF。求证：四边形 DEBF 是平行四边形。 图 2 22．（7 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，AC＝6，AD＝4，求 AB 的长。 图 3 23．（7 分）某书店九月份销售图书 200 册，十一月份销售图书 288 册，求月平均增长率。 24．（7 分）如图，D 在 AB 上，E 在 AC 上，AD＝2，DB＝6，AE＝3，EC＝9。（1）求证：DE∥BC；（2）若 DE＝5，求 BC 的长。 图 4 25．（8 分）如图，正方形 ABCD 中，E 是 CD 边上一点，连接 AE，过点 D 作 DG⊥AE，垂足为 G，DG 的延长线交 BC 于点 F。求证：AE＝DF。 图 5 26．（8 分）某商品进价为每件 30 元，售价为每件 40 元时，每周可售出 500 件。调查发现：售价每上涨 1 元，每周就少售出 10 件。设售价上涨 x 元。（1）用含 x 的代数式表示每周的销售量；（2）若要使每周利润达到 8000 元，求此时的售价。 27．（10 分）如图，在△ABC 中，AB＝8 cm，AC＝6 cm。点 P 从点 B 出发沿 BA 向点 A 以每秒 2 cm 的速度移动，点 Q 从点 A 出发沿 AC 向点 C 以每秒 1 cm 的速度移动，两点同时出发。问出发几秒后，以 A、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？ 图 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级数学（上册）期中模拟卷 （基础卷） 满分：120 分　　考试时间：120 分钟 考生注意：本试卷分选择题、填空题、解答题三部分，请将答案写在答题区域内。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个正确选项） 1．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．邻角互补 2．下列条件中，能判定四边形 ABCD 是矩形的是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分且相等 D．一组对边平行且相等 3．正方形的边长为 4，则它的对角线长为（　　） A．4 B． C．8 D． 4．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B．2x＋y＝1 C． D．ax²＋bx＋c＝0 5．方程 x²－4＝0 的解是（　　） A．x＝2 B．x＝－2 C． D．x＝4 6．一元二次方程 x²－2x＋1＝0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 7．将方程 3x(x－2)＝5 化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，－6，－5 B．3，6，－5 C．3，－6，5 D．－3，6，5 8． A． B． C． D． 9．两个相似三角形的相似比为 2∶3，则它们的面积比为（　　） A．2∶3 B．4∶9 C． D．8∶27 10．如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD＝2，DB＝4，AE＝3，则 EC 的长为（　　） 图 1 A．6 B．4 C．3 D．9 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．菱形的两条对角线长分别为 6 和 8，则菱形的边长为 ，面积为 。 12．矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AC＝10，∠AOB＝60°，则 AB 的长为 。 13．正方形 ABCD 的对角线 AC＝4，则正方形的边长为 ，面积为 。 14．方程 x²－3x＝0 的解为 。 15．若 x＝2 是方程 x²－3x＋k＝0 的一个根，则 k＝ 。 16．（在横线上填适当的数） 17．两个相似多边形的周长比为 3∶5，则它们的相似比为 ，对应面积比为 。 18．已知△ABC∽△DEF，AB＝6，DE＝4，若 BC＝9，则 EF＝ 。 三、解答题（本大题共 9 小题，共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（6 分）解下列方程： 20．（6 分）用公式法解方程：2x²－4x－1＝0。 21．（7 分）如图，在菱形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD 的中点。求证：CE＝CF。 图 2 22．（7 分）如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD＝3，DB＝6，AE＝2，求 EC 和 AC 的长。 图 3 23．（7 分）某商店销售一种商品，每件盈利 40 元时，每天可售出 20 件。经调查发现：每件商品每降价 1 元，每天可多售出 2 件。若要使每天盈利达到 1200 元，且让顾客得到更多实惠，每件商品应降价多少元？ 24．（7 分）D、E 分别在△ABC 的边 AB、AC 上，且 。（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若 DE＝4，求 BC 的长。 25．（8 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，∠AOB＝60°，AB＝4。求：（1）对角线 AC 的长；（2）矩形 ABCD 的面积。 图 4 26．（8 分）如图，学校在一块长 16 m、宽 10 m 的矩形空地上修建一个矩形花圃，花圃四周留出等宽的小路，花圃面积为 72 m²。求小路的宽。 图 5 27．（10 分）如图，菱形 ABCD 的两条对角线长之和为 14 cm，面积为 24 cm²。（1）求两条对角线的长；（2）求菱形的边长。 图 6 学科网（北京）股份有限公司 $