精品解析：重庆市礼嘉中学校2026-2027学年八年级上学期 10月学情自测数学试题

礼嘉中学2026-2027学年上期初2025级第一次定时作业 数学试题 （全卷满分150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 3．作答时务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确的选项选出来． 1. 下列各数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：是整数，是分数，是有限小数，均属于有理数． 开方开不尽，属于无理数． 2. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全班同学的身高情况 B. 调查全国中小学生的课外阅读情况 C. 调查超市售卖的草莓农药残留是否超标 D. 调查某批次汽车的抗撞击能力 【答案】A 【解析】 【分析】解题依据为：当调查对象数量少，调查不具有破坏性，易操作时，适合采用全面调查，反之适合抽样调查，据此对各选项判断即可. 【详解】解：∵全面调查适用于调查对象数量少，无破坏性，易全面统计的情况， A 调查全班同学的身高，调查对象数量少，操作简单，适合全面调查； B 全国中小学生数量大，调查范围广，不适合全面调查； C 超市售卖草莓数量大，检测农药残留具有消耗性，不适合全面调查； D 测试汽车抗撞击能力具有破坏性，不适合全面调查. 3. 以下列数据为三边长能构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 2，5，9 D. 3，4，8 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A、，不能构成三角形； 选项B、，能构成三角形； 选项C、，不能构成三角形； 选项D、，不能构成三角形. 4. 如图，在中，边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】三角形的高是从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，根据定义判断即可． 【详解】解：根据三角形高的定义，边上的高应是过顶点且垂直于所在直线的线段， 由图可知交的延长线于点， 所以边上的高是线段． 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 三角形的三条高一定交于一点 B. 两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等 C. 三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线 D. 三角形的三条角平分线的交点到这个三角形的三条边的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的高、中线、内错角相等的条件以及角平分线的性质定理即可判断． 【详解】解：A、 钝角三角形的三条高不交于一点，是高的延长线交于一点，错误． B、内错角相等的条件是两条直线平行，错误． C、三角形的中线是线段，不是直线，错误． D、三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，正确． 6. 如图，在中，是边上的高，是的角平分线，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线定义求，利用直角三角形两锐角互余求，作差即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴ ∵是边上的高 ∴ ∵ ∴ ∴ 7. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳五尺；屈绳量之，不足二尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余2尺，问木长多少尺．设木长为尺，绳子长为尺，则下列符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题的关键；根据题意，绳子比木长尺，所以；对折绳子后量木，木剩余尺，说明对折绳长比木长短尺，所以． 【详解】解：∵用绳子量长木，绳子剩余尺， ∴， ∵将绳子对折再量长木，长木剩余尺， ∴， 故得方程组． 8. 如图，在中，平分，点是的中点，连接，若，，的面积是4，则的面积是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，于点，由点是的中点，可得，再由平分，，，可得，再结合，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ∵点是的中点，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，在正方形中，，点在上，连接，将沿所在直线翻折至正方形所在平面内得到，延长与交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用折叠性质得到，再根据正方形的性质分别证明，，进而得出，再根据求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形为正方形， ，， 沿所在直线翻折至正方形所在平面内得到， ， ，， ,， 在与中， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． 10. 已知整式，其中为自然数，，，，…，为整数且，满足，下列说法： ①满足条件的所有整式中有7个单项式； ②满足条件的所有整式中，二次项系数为1的整式的和为； ③满足条件的所有整式共有24个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由得，结合已知等式确定的取值范围，再按的取值分类枚举，验证三个说法． 【详解】解：， ． ，为自然数， ，即． 分情况讨论： 当时，，，共2个整式，均为单项式． 当时，，． 时，，有个整式； 时，，有个整式； 时，，有个整式（单项式）． 合计10个整式，其中单项式2个． 当时，，． 时，，有个整式； 时，，有个整式（单项式）. 合计10个整式，其中单项式2个． 当时，，． ，，，共2个整式，均为单项式． ① 单项式总数为，故①错误． ② 二次项系数为的整式仅存在于且的情况， 此时，对应的整式为，，，， 求和得，故②正确． ③ 所有整式总数为，故③正确． 综上，正确的说法有2个． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分．请将每个小题的答案直接填在横线上． 11. 713800000用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 713800000用科学记数法表示为． 12. 如果等腰三角形的两边长分别是和，那么它的周长是________． 【答案】 17 【解析】 【分析】题干给出等腰三角形两边长为和，需分情况讨论腰长的取值，结合三角形三边关系排除无效情况后计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论： 当腰长为时，三角形三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴可构成三角形，此时周长为； 当腰长为时，三角形三边长为，，， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴无法构成三角形，该情况舍去． 综上，该等腰三角形的周长为． 13. 如图，等边三角形中，是上的高，若，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得，利用等边三角形三线合一的性质可得为中点，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 14. 如图，在中，，的两条内角平分线、交于点，则的度数为________． 【答案】 130 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，结合角平分线定义得出的度数，再利用三角形内角和定理计算． 【详解】解： ， ， 、分别平分、 ， ， ， ． 15. 如图，已知方格纸中为4个相同的小正方形，则_____． 【答案】 ##度 【解析】 【分析】观察图形可知所在的三角形为等腰直角三角形，故；通过证明，得出与相等，结合直角三角形两锐角互余可得，从而求解 ． 【详解】 解：设小正方形的边长为1 如图， 在中，，，  是等腰直角三角形．  ． 在和中， ， ．  ． 在中，， ． ． 16. 如图，将绕点逆时针旋转一定角度得到，使点的对应点落在上，与交于点．若，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据等腰三角形的性质求出的度数，进而求出的度数，最后在中利用三角形内角和定理求出的度数，根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：由旋转的性质可得，，， 在中， 点落在上， 在中， 在中， 与是对顶角 17. 在中，，，，分别是线段，上一点，且满足，，．若，，则________． 【答案】 2 【解析】 【分析】作的垂直平分线交于点，连接，利用等腰三角形性质和外角定理得出，证明，利用对应边相等建立关于的方程求解. 【详解】解：作的垂直平分线交于点，连接  ∴，  ∴， ∴， ∴，   ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 又，， ∴， ∴， ， 设，则， ∵ ， ∴ ， 解得， ∴. 18. 一个各位数字都不为且互不相等的四位自然数，若千位与个位数字之和等于百位与十位数字之和，则称这个四位数为“均衡数”，最大的均衡数是________；将“均衡数”的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数n．记，，，均为整数，则满足条件的m的最大值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了数字问题，新定义，四位数的表示，整式的加减，二元一次方程的解，整数被某数整除时求字母的值，难度比较大，能够理解新定义并熟练掌握所学知识是解题的关键．设的千位，百位，十位，个位数字分别为，，，，根据题意，表示出和，再表示出和，根据和均为整数来确定，，，的值． 【详解】解：设的千位，百位，十位，个位数字分别为，，，，则有，且各位数字都不为0且互不相等， ∴当这个均衡数最大时，，则， ∴最大的均衡数为； ∵的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数， ∴，， ， 不妨设， 则， 当，即时，为整数； ， 当被整除时为整数，可得最大等于， ∵各位数字都不为0且互不相等，且， ∴排除，为和，只能是和， 再根据均衡数的定义，求得，， ∴满足条件的的最大值是， 故答案为：，． 三、解答题：本题共8小题，19题、20题8分，21~25每题10分，26题12分，共78分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解不等式组：，并写出所有整数解． 【答案】 不等式组的解集为，所有整数解为， 【解析】 【分析】分别求解两个一元一次不等式，取公共解集得到不等式组的最终范围，再筛选范围内的整数解. 【详解】解：，  解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 该不等式组的所有整数解为，. 20. 先化简，再求值：，其中、满足，． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， ，， 原式． 21. 如图，在中，． （1）基本作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，求证：．请完成下面的证明过程： 证明：平分， ________， 在与中 ，________， ，且 ________， ________， 【答案】（1） 如图： （2）；；； 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、等角对等边． （1）根据角平分线的作图方法作图可得的角平分线，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，连接即可； （2）根据角平分线的定义、全等三角形的判定与性质，结合题目上下步骤的逻辑关系填空即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：平分， ， 在与中 ， ， ，， ，且， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；；；. 22. 如图，点，，，在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， 即， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）由推出；由得内错角；由得补角，用证全等． （2）由得等腰三角形，结合求出，再由全等得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 由(1)知， ． 23. 我校开展“五育润心，阳光护航”心理健康宣传活动，在活动期间连续开展了多项游园活动，帮助学生释放压力，治愈内心．活动结束后，在校园内随机抽取了部分学生，就对游园活动中的项目的满意情况进行问卷调查，问卷有以下四个选项：．非常喜欢；．喜欢；．比较喜欢；．不太了解（每名被调查的学生必选且只能选择一项）现将调查的结果绘制成下面有待完成的条形统计图和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）被抽取的学生共有________人；图中的值是________． （2）将条形统计图补充完整；扇形统计图中，对应扇形的圆心角为________度． （3）如果该校共有名学生，请你估计该校学生对游园活动中的项目非常喜欢的同学大约有多少人？ 【答案】（1）， （2）补全条形图如下： （3）人 【解析】 【分析】（）根据选项的人数和占比算出总人数为，再由选项人数算出其占比； （）用总人数减去的人数得到的人数，补全条形图;再用的占比乘得到圆心角； （）用样本中选项的占比估计全校，算出约有人． 【小问1详解】 解：∵条形统计图中选项有人，扇形统计图中选项占总人数的， ∴被抽取的总人数为：人； ∵条形统计图中选项有人，占比为， ∴； 【小问2详解】 解：选项的人数为：人，据此补充条形统计图； 扇形统计图中选项对应圆心角为：； 【小问3详解】 解：“非常喜欢”（选项）占总调查人数的比例为， ∴估计全校名学生中，非常喜欢的人数为： 人． 24. 如图，在四边形中，平分，过作于点，交延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵平分，，， ∴，． ∵，且已知， ∴． 在和中，， ∴， ∴． （2）的长为8 【解析】 【分析】（1）首先利用角平分线的性质可得，然后利用角度关系等量代换得到，进而证明，推出． （2）首先利用角平分线的性质可得和，利用推出，得到；然后根据线段关系等量代换得到，代入数值计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分，，， ∴，． 在和中，， ∴， ∴． 由（1）知，， ∴． ∵，， ∴，即， ∵，， ∴． 25. 我校开展“智启礼嘉，数创未来”数学学科活动，计划租用、两种类型的展台共8个用于成果展示．若租型展台1个，型展台2个，共需租金2200元；若租型展台2个，型展台1个，共需租金2000元． （1）求、两种展台每个租金各多少元？ （2）每个型展台可摆放15份学生作品，每个型展台可摆放25份学生作品．若租用展台的总费用不超过6000元，并且保证8个展台至少摆放140份作品，则该学校有哪几种租用方案？ 【答案】（1） A型展台每个租金600元，B型展台每个租金800元 （2） 共有5种租用方案： 方案1：租用A型展台2个，B型展台6个 方案2：租用A型展台3个，B型展台5个 方案3：租用A型展台4个，B型展台4个 方案4：租用A型展台5个，B型展台3个 方案5：租用A型展台6个，B型展台2个 【解析】 【分析】（1）根据两种租用组合的总租金，设未知数列二元一次方程组求解； （2）设租用A型展台的数量，结合总费用上限和作品数量下限列一元一次不等式组，取整数解得到所有租用方案.  【小问1详解】 解： 设A型展台每个租金为元，B型展台每个租金为元， 根据题意，得， 解得； 答：A型展台每个租金600元，B型展台每个租金800元； 【小问2详解】 解：设租用A型展台个，则租用B型展台个， 根据题意，得， 解得， ∵为正整数， ∴的取值为2，3，4，5，6， ∴6，5，4，3，2； 故共有5种租用方案： 方案1：租用A型展台2个，B型展台6个； 方案2：租用A型展台3个，B型展台5个； 方案3：租用A型展台4个，B型展台4个； 方案4：租用A型展台5个，B型展台3个； 方案5：租用A型展台6个，B型展台2个.  26. 在“智启礼嘉，数创未来”擂台赛上，小李遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．小李发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决． （1）小李证明用到的判定定理是：________；（用字母表示） （2）请求出线段的取值范围． （3）如图3，与均为等腰直角三角形，共底角顶点，连接取其中点，连接，，求证； （4）如图4，是的中线，延长至点，使得，若，，请直接写出线段与的数量和位置关系． 【答案】（1） （2） （3）证明：如图，延长至点H，使，连接，交的延长线于点N，连接、． ∵M是的中点， ∴． 在和中，， ∴， ∴，， ∴． ∵为等腰直角三角形，顶点为， ∴，， ∴，． ∵为等腰直角三角形，顶点为， ∴，． 在四边形中，， 又∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴，． ∵，即， ∴，即， ∴是等腰直角三角形． 又∵，即M为斜边的中点，由等腰三角形三线合一可知， ∴． （4），且． 【解析】 【分析】（1）结合中点定义和已知线段，以及对顶角，即可判断三角形全等，据此分析判定定理． （2）由全等三角形的性质可得对应边相等，求出，然后在中，由三角形三边关系求出的取值范围，结合与的关系即可求解． （3）因M为中点，延长至H使，构造，得到且，利用两等腰直角三角形的直角及平行关系，推出，再证，得且，于是为等腰直角三角形，而M是中点，故中线垂直于，即． （4）在的延长线上截取，连接，构造全等三角形，利用判定，得到，，进而得到，然后根据角度关系等量代换得到，运用判定，得到，，进而可得到线段与的数量和位置关系． 【小问1详解】 解：∵点为的中点， ∴． 在和中，， ∴． 【小问2详解】 由（1）知，， ∴． 在中，由三角形三边关系得，即, ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 如图，在的延长线上截取，连接，则． ∵是的中线， ∴． 在和中，， ∴， ∴，． ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴，， ∴，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 礼嘉中学2026-2027学年上期初2025级第一次定时作业 数学试题 （全卷满分150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 3．作答时务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确的选项选出来． 1. 下列各数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全班同学的身高情况 B. 调查全国中小学生的课外阅读情况 C. 调查超市售卖的草莓农药残留是否超标 D. 调查某批次汽车的抗撞击能力 3. 以下列数据为三边长能构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 2，5，9 D. 3，4，8 4. 如图，在中，边上的高是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 三角形的三条高一定交于一点 B. 两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等 C. 三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线 D. 三角形的三条角平分线的交点到这个三角形的三条边的距离相等 6. 如图，在中，是边上的高，是的角平分线，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳五尺；屈绳量之，不足二尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余2尺，问木长多少尺．设木长为尺，绳子长为尺，则下列符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，平分，点是的中点，连接，若，，的面积是4，则的面积是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 9. 如图，在正方形中，，点在上，连接，将沿所在直线翻折至正方形所在平面内得到，延长与交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为自然数，，，，…，为整数且，满足，下列说法： ①满足条件的所有整式中有7个单项式； ②满足条件的所有整式中，二次项系数为1的整式的和为； ③满足条件的所有整式共有24个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分．请将每个小题的答案直接填在横线上． 11. 713800000用科学记数法表示为________． 12. 如果等腰三角形的两边长分别是和，那么它的周长是________． 13. 如图，等边三角形中，是上的高，若，则________． 14. 如图，在中，，的两条内角平分线、交于点，则的度数为________． 15. 如图，已知方格纸中为4个相同的小正方形，则_____． 16. 如图，将绕点逆时针旋转一定角度得到，使点的对应点落在上，与交于点．若，则的度数为__________． 17. 在中，，，，分别是线段，上一点，且满足，，．若，，则________． 18. 一个各位数字都不为且互不相等的四位自然数，若千位与个位数字之和等于百位与十位数字之和，则称这个四位数为“均衡数”，最大的均衡数是________；将“均衡数”的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数n．记，，，均为整数，则满足条件的m的最大值为________． 三、解答题：本题共8小题，19题、20题8分，21~25每题10分，26题12分，共78分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解不等式组：，并写出所有整数解． 20. 先化简，再求值：，其中、满足，． 21. 如图，在中，． （1）基本作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，求证：．请完成下面的证明过程： 证明：平分， ________， 在与中 ，________， ，且 ________， ________， 22. 如图，点，，，在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 23. 我校开展“五育润心，阳光护航”心理健康宣传活动，在活动期间连续开展了多项游园活动，帮助学生释放压力，治愈内心．活动结束后，在校园内随机抽取了部分学生，就对游园活动中的项目的满意情况进行问卷调查，问卷有以下四个选项：．非常喜欢；．喜欢；．比较喜欢；．不太了解（每名被调查的学生必选且只能选择一项）现将调查的结果绘制成下面有待完成的条形统计图和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）被抽取的学生共有________人；图中的值是________． （2）将条形统计图补充完整；扇形统计图中，对应扇形的圆心角为________度． （3）如果该校共有名学生，请你估计该校学生对游园活动中的项目非常喜欢的同学大约有多少人？ 24. 如图，在四边形中，平分，过作于点，交延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 我校开展“智启礼嘉，数创未来”数学学科活动，计划租用、两种类型的展台共8个用于成果展示．若租型展台1个，型展台2个，共需租金2200元；若租型展台2个，型展台1个，共需租金2000元． （1）求、两种展台每个租金各多少元？ （2）每个型展台可摆放15份学生作品，每个型展台可摆放25份学生作品．若租用展台的总费用不超过6000元，并且保证8个展台至少摆放140份作品，则该学校有哪几种租用方案？ 26. 在“智启礼嘉，数创未来”擂台赛上，小李遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．小李发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决． （1）小李证明用到的判定定理是：________；（用字母表示） （2）请求出线段的取值范围． （3）如图3，与均为等腰直角三角形，共底角顶点，连接取其中点，连接，，求证； （4）如图4，是的中线，延长至点，使得，若，，请直接写出线段与的数量和位置关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $