第二章 一元二次方程(A卷) 单元测试AB卷 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册 第二章 一元二次方程(A卷) 单元测试AB卷 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是(      ) A. B. C. D. 2．下列一元二次方程中，一个根为的是(      ) A. B. C. D. 3．已知是方程的两个实数根，则(      ) A.-25 B.-20 C.20 D.25 4．若关于x的一元二次方程满足，则方程必有一个根是(      ) A. B. C. D. 5．如图，某农户用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，若可列方程为★，则★表示的代数式为(      ) A. B. C. D. 6．某商店购入一批衬衫进行销售，当每件盈利30元时，每星期可以卖出100件，现需降价处理：每件衬衫每降价5元，每星期可以多卖出20件，店里每星期衬衫的利润要达到2800元.若可列方程为，则x表示的实际意义是(      ) A.每件衬衫的售价 B.每件衬衫售价降低的金额 C.每星期卖出衬衫的数量 D.每星期卖出衬衫增加的数量 7．整式可以变形为，由此可知的最小值是5.那么按此方法，整式的最小值是(      ) A. B. C. D. 8．把关于x的一元二次方程配方，得，则的值为(      ) A.1 B.3 C.5 D.10 9．观察下列表格，一元二次方程的一个近似解是(      ) x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 A.0.11 B.1.19 C.1.73 D.1.69 10．已知关于x的一元二次方程中，，则该方程的根的情况是(      ) A.没有实数根 B.有两个正实数根 C.两根之积为-6 D.两根之和为1 11．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根k.( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 12．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”.如：一元二次方程的两根为，，且，所以一元二次方程为“限根方程”.关于x的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“限根方程”；②若该方程是“限根方程”，则m有且只有一个整数解.对于这两个结论判断正确的是(      ) A.①②都正确 B.①②都错误 C.①正确，②错误 D.①错误，②正确 二、填空题 13．某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,则每个支干长出小分支的数量是____________. 14．已知是方程的两个实数根,则_____________. 15．用配方法解方程时,可将方程变为的形式,则n的值为__________. 16．已知a，b是方程的两根，则的值为__________________. 17．关于x的一元二次方程,下列说法：①若c是方程的一个根,则一定有成立；②当时,则关于x的方程必有实数根；③若,则方程一定有两个不相等的实数根；④若是一元二次方程的根,则.其中正确的是________________(填序号) 三、解答题 18．用公式法解方程： （1）； （2）. 19．已知：关于x的一元二次方程. (1)若此方程有实根,求m的取值范围； (2)在(1)的条件下,且m取最小的整数,求此时方程的两个根. 20．某水果批发商场经销一种高档水果,商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量,将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元. (1)若该商场两次调次的降价率相同,求这个降价率； (2)现在假期结束了,商场准备适当涨价,如果现在每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货不变的情况下,若每千克涨价1元,日销量将减少20千克,现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元？ 21．如图1，将边长为2的正方形一边保持不变，另一组对边增加，得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为. （1）用含a的代数式表示，； （2）比较，的大小. 22．定义：若函数的图象上至少存在一个点,该点关于x轴的对称点落在函数的图象上,则称函数,为理想函数,这两个点称为函数,的一对理想点.例如,函数与函数为理想函数,点和点是这两个函数的一对理想点. (1)请写出函数与函数的一对理想点________；（写出一对即可） (2)若对于任意实数k,函数与始终为理想函数,求b的值； (3)若函数与函数（m,n为常数）为理想函数,且只存在一对理想点,求的取值范围. 23．若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”.通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数.现规定为该“快乐方程”的“快乐数”.例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”. (1)“快乐方程”的“快乐数”为________________； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于x的一元二次方程与（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值. 参考答案 1．答案：A 解析：A项，，是整式方程，只含未知数x，且x的最高次数为2，是一元二次方程，符合题意；B项，，含有两个未知数x和y，不符合题意；C项，，未知数x的最高次数为1，不符合题意；D项，，含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意. 2．答案：D 解析：A项，当时，方程的左边，不符合题意；B项，当时，方程的左边，不符合题意；C项，当时，方程的左边，不符合题意；D项，当时，方程的左边右边，符合题意. 3．答案：C 解析：是方程的两个实数根，∴根据根与系数的关系可得，故选C. 4．答案：B 解析：当时，.关于x的一元二次方程满足，此方程必有一个根为.故选B. 5．答案：B 解析： 6．答案：B 解析： 7．答案：C 解析：由题意，，代数式的最小值是. 8．答案：A 解析：方法一：，移项，得，配方，得，即，由题意，得，，解得，. 方法二：由，得，，由题意，得，，解得，，. 9．答案：D 解析：因为当时，，当时，，1.1在0.96和1.19之间，所以方程的一个解的范围为. 10．答案：C 解析：，方程有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意；设，是一元二次方程的两个实数根，，，故C选项符合题意，D选项不符合题意；，两根的符号相反，故B选项不符合题意.故选C. 11．答案：D 解析：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根k， ∴，即：， 又∵， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴当时，，， 此时，即； 当时，，， 此时，即； 故A、C错误； 当时，即， ， 解得：或， 故B错误； 当时，即， ， 解得：， 故D正确 故选：D. 12．答案：C 解析：①当时，原方程为： ， 解得 ， ， ∴ ， ∵， ∴该方程是“限根方程”； ∴ ①正确； ②∵， ∴， ∴或， ∴，，或，. ∵此方程为“限根方程”， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴. 当，时， ∵， ∴， 解得：， ∵m只是一个整数， ∴m值不存在； 当，时，， 解得：， ∴m值不存在. 综上所述，m的值不存在. ∴②错误. ∴①正确，②错误. 故选：C. 13．答案：9 解析：设每个支干长出的小分支的数目是x个,根据题意列方程得：, 解得：或（不合题意,应舍去）. . 故答案为：9. 14．答案：20 解析： 15．答案：14 解析：, ∴, ∴, ∴, 故答案为：14 . 16．答案： 解析：，b是方程的两根，，，. 17．答案：②③④ 解析：①若c是方程的一个根,将代入方程得：,即,这意味着或,并非“一定有”,因此说法①错误； ②由,则, 所以,, 所以,方程必有实数根,说法②正确； ③∵,, ∴, ∴, ∴, ∴方程一定有两个不相等的实数根,说法③正确； ④若是方程的根,则,即, 而, 因此,说法④正确. 故答案为：②③④. 18．答案：（1）， （2）， 解析：（1）这里，，. ， ， ，. （2）原方程可化为， 这里，，. ， ， ，. 19．答案：(1) (2) 解析：(1)一元二次方程有实根, ； (2)m满足条件的最小值为,此时方程为,解得：. 20．答案：(1)10%； (2)每千克水果应涨价5元 解析：(1)设这个降价率为x, 由题意得； 解得：,（舍去） 答：这个降价率为. (2)设每千克水果应涨价x元, 依题意得方程：, 整理,得, 解这个方程,得,. 要使顾客得到实惠,应取. 答：每千克水果应涨价5元. 21．答案：（1）， （2） 解析：（1），. （2）由（1）可得，. ，， . 22．答案：(1)和（或和） (2) (3) 解析：(1)依题意,设和是与函数这两个函数的一对理想点, ,整理,得, 解得：或,经检验,是所列方程的解, 和或和是这两个函数的理想点, 故答案为：和（或和）； (2)对于任意实数k,函数与始终为理想函数, , , 即, ,, ； (3)函数与函数（m,n为常数）为理想函数,且只存在一对理想点, 设和是这两个函数的一对理想点, , 即关于a方程,有两个相等的实数根, , ∴,即, , , 当时,取得最小值, 当时,取得最大值0, . 23．答案：(1)-4 (2)， (3)n的值为0或3 解析：(1)方程的“快乐数为： ， 故答案为：-4； (2)方程， ∴， ∵， ∴， 又方程是“快乐方程”， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， 则， 故其“快乐数”数是； (3)， ∴， 设， 则， 又与同奇偶， ∴或 或或 解得或-1， ∴方程为：或； ， ∴， ， 当时， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得， 综上，n的值为0或3. 学科网（北京）股份有限公司 $