第二章一元二次方程单元测试卷 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

2026-2027学年北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程单元测试卷 本卷满分120分 考试时间120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）已知一元二次方程的一个根是，则的值是（     ） A． B．3 C．0 D．0或3 4．（本题3分）若方程的两个实数根为，，则的值为（     ） A． B．4 C． D．1 5．（本题3分）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的解为（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）根据表中的对应值，判断方程的一个解x的取值范围是（     ） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A． B． C． D． 7．（本题3分）抚顺市组织八年级篮球邀请赛，赛制为单循环制（每两个队之间比赛一场），赛程计划安排9天，每天安排4场比赛，问一共邀请几支参赛球队？设邀请支参赛球队，根据题意列出方程正确的是（     ） A． B． C． D． 8．（本题3分）已知关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（         ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（本题3分）已知关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数的个数为（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．（本题3分）已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第行有个点，……，容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和．若三角形点阵中前行的点数之和为300，则的值为（     ） A．25 B．24 C．23 D．22 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是__________． 12．（本题3分）已知是关于x的一元二次方程，则的值是_______． 13．（本题3分）方程的根为______． 14．（本题3分）若是方程的一个根，则________． 15．（本题3分）已知关于x的两个一元二次方程和有且只有一个公共根，则m的值为________． 16．（本题3分）如图，在一块长为、宽为的矩形广场上，规划出文创售卖区和顾客体验区．阴影部分为宽度相等的通道，中间的三个矩形作为售卖区和体验区．若售卖区和体验区的总面积为，则通道的宽度为____． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）用适当的方法解方程． (1)； (2)． 18．（本题8分）已知关于x的方程有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)当k取最大整数值时，方程与有一个相同的根，求m的值； 19．（本题8分）已知关于x的一元二次方程， (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)当方程有一个根是0时，求m的值和另一个根． 20．（本题8分）解方程 (1)； (2)． (3)小明在解方程时出现了错误，解答过程如下： 解： ……………………（第一步） 方程有两个不相等的实数根……………………（第二步） ……………………（第三步） 即……………………（第四步） ①小明的解答过程是从第__________步开始出错，其错误原因是__________． ②写出正确的解答过程． 21．（本题9分）如图是2026年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为240，求最小数； (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为61吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 22．（本题9分）随着旅游旺季的到来，江西某风景区游客人数逐月增加，7月份游客人数为25万人，9月份游客人数为36万人． (1)求从7月到9月的两个月中，该风景区游客人数的月平均增长率； (2)随着国庆节的到来，预计10月份该风景区游客人数会大幅增长，估计增长率是前两个月的月平均增长率的5倍．按照估计该风景区10月份接待游客人数将达到多少万人？ 23．（本题10分）阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∵，∴， ∴当时，代数式有最小值． 【直接应用】 (1)仿照上述例子解决问题：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 【类比应用】 (2)已知，（a为任意实数），判断M与N的大小关系，并说明理由． 24．（本题12分）如图，矩形中，，，点从点出发沿向点移动，速度是（不与点，重合）；同时，点从点出发沿向点以的速度（不与点，重合）移动，点达到点时两点同时停止运动．设运动时间为秒． (1)为何值时，四边形是平行四边形？ (2)为何值时，？ (3)将沿折叠，点的对应点为点，是否存在某一时刻，点正好落在的延长线上，且点不与点重合．若存在，求出的值．若不存在，请说明理由． 第6页（共6页） 第5页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程单元测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A B A D D D D B 1．D 【详解】解：选项A的方程含，两个未知数，不是一元二次方程． 选项B的方程未说明，当时不是二次方程，不一定是一元二次方程． 选项C的方程分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程． 选项D的方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程． 2．A 【详解】解：， 移项得， 两边同时加，得， 即． 3．A 【分析】将已知根代入原方程，求解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：把代入，得，即， 解得． 4．B 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，， 由根与系数的关系得． 5．A 【分析】利用新定义可得，进一步利用因式分解的方法解方程即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴． 6．D 【分析】结合表格中代数式的取值变化确定解的区间． 【详解】解：方程的解对应代数式的值为3时的值， ∵当时，； 当时，， ∴方程的一个解的取值范围是． 7．D 【分析】设支球队进行单循环比赛，根据每队与其余队各赛1场，每场比赛重复计算1次，总场数为，即可列出方程． 【详解】解：设支球队进行单循环比赛，每队与其余队各赛1场，每场比赛重复计算1次，总场数为，则 列方程得：． 8．D 【分析】根据根的判别式确定m的范围，再利用一次函数图象的分布规律解答即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程无实数根， ∴ ， 解得， ∵ 一次函数的一次项系数，常数项， ∴ 其图象经过第一、二、三象限， 故不经过第四象限． 9．D 【分析】分一元一次、一元二次方程两种情况，结合整数解条件利用约数性质求解. 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时，方程为一元一次方程， 解得或， 时，方程化为，解得，为整数，符合条件； 时，方程化为，解得，为整数，符合条件. ②当时，方程为一元二次方程， 因式分解得， 解得，， 方程的解均为整数，为整数， 是4的整数约数，即， 对应， 结合，代入验证： 时，，非整数，排除； 时，，非整数，排除； 时，，为整数，符合条件； 时，，非整数，排除； 时，，为整数，符合条件. 综上所述，符合条件的整数共个. 10．B 【分析】找出前行共有个点，然后求它们的和，前行共有个点，即可建立方程求解． 【详解】解：由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点， 则前五行共有个点， 前10行共有个点， ， 前行共有个点， 然后求它们的和，前行共有个点， 由题意可得：， 整理得， ， ，， 为正整数， ． 11．，， 【分析】一元二次方程的一般形式为（），其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项． 【详解】解：一元二次方程为的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 12． 【分析】根据一元二次方程的定义，得到的最高次数为且二次项系数不为，据此列等式求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 整理得， 因式分解得， 解得或， 又∵， ∴． 13．， 【分析】把右边的项移到左边，再利用因式分解法解答即可． 【详解】解：移项，得， 因式分解，得，即， ∴或， ∴，． 14． 【分析】将代入方程得到的值，整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入方程得，即， ∴． 15．或 【分析】设公共根代入两个方程，消去的相关项求出公共根，回代求，再验证条件即可． 【详解】解：设两个方程的公共根为，∵同时满足两个一元二次方程， ∴， 由②①得， 解得：或． 当时，代入得，解得． 验证：当时，变为， 解得：方程根为和， 变成， 解得：方程根为两个相等的，两方程只有一个公共根，符合条件． 当时，代入得， 整理得，解得． 验证：当时，变为， 解得：方程根为和， 变成， 解得：方程根为和，两方程只有一个公共根，符合条件． ∴的值为或． 16．2 【分析】结合图形列代数式，利用整个长方形面积减去黑色部分的面积可得方程，求解即可． 【详解】解：设通道的宽为，则， 根据题意得， 整理得， 解得，(不符合题意，舍去)． 即通道的宽为． 17．(1)， (2)， 【详解】（1）解： ，，， ， ∴， 解得，； （2）解： ∴或， 解得，． 18．(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可； （2）先求出的值，再解方程求出方程的解，然后代入解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得． （2）解：∵，且取最大整数值， ∴， ∴关于的方程为方程， 解得， ∵方程与有一个相同的根， ∴， 解得． 19．(1)的取值范围是且． (2)的值为，方程的另一个根为． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式列不等式，求解即可得到m的取值范围； （2）将代入方程求得m的值，再代入原方程求解另一个根即可． 【详解】（1）解： ∵该方程是关于x的一元二次方程， ∴，即， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得：，解得：， ∴的取值范围是且． （2）解：∵方程有一个根是0， ∴将代入原方程，得， 解得； 将代入原方程，得， 解得，． ∴的值为，方程的另一个根为． 20．(1)，； (2) (3)①一，未将方程化为一般形式就确定各项系数； ②∵化为一般式为：， ∴， ∴， ∴ ． 【分析】（1）用公式法求解即可； （2）移项后用因式分解法求解即可； （3）①根据小明的步骤分析即可；②先化为一般式，再用公式法求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， 或， ∴ （3）①∵化为一般式为：， ∴， ∴小明的解答过程是从第一步开始出错，其错误原因是未将方程化为一般形式就确定各项系数； ②略． 21．(1)12 (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为61； 理由如下：设最小数为，则另外三个数分别是，，， 由题意，得， 整理，得， 解得（不符合题意，舍去），， 在最后一列， ∴虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为61． 【分析】（1）设最小数为，则最大数为，根据“最大数与最小数的乘积为240”，列出一元二次方程，求解取其符合题意的值即可； （2）设最小数为，则另外三个数分别是，，，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为61，列出一元二次方程，求解得出的值，即可解决． 【详解】（1）解：设最小数为，则最大数为， 由题意，得， 整理，得， 解得（不符合题意，舍去），， ∴最小数为12． （2）略． 22．(1)该风景区游客人数的月平均增长率为． (2)按照估计该风景区10月份接待游客人数将达到72万人． 【分析】（1）设风景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）根据题意，求出10月份月增长率，再列方程进行计算即可． 【详解】（1）解：设风景区游客人数的月平均增长率为， 由题意，得， 解得：；（负值，不合题意，舍去）， 答：风景区游客人数的月平均增长率为； （2）由（1）可知：10月份月增长率应为， 那么10月份接待游客为（万）， 答：按照估计风景区10月份接待游客人数将达到万人． 23．(1)当时，代数式有最小值，最小值为． (2)解：，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴，即． 【分析】（1）仿照例题求解即可； （2）利用作差法得到，结合偶次方的非负性可得结论． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值，最小值为； （2）略 24．(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）用代数式表示出与，两者相等时即可判定四边形是平行四边形，解方程求出即可； （2）作于点，容易判定四边形是矩形，则，由等腰三角形的性质可得，解方程求出即可； （3）由轴对称与矩形的性质可得，在中，利用勾股定理构造方程，求解并舍去不符合题意的根即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴当时，四边形是平行四边形， 此时， 解得； （2）解：如图，作于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得； （3）解：假设存在，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 由轴对称的性质可得，，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 整理，得， 解得，， ∵点与点不重合， ∴，即， ∴，此时点未到达点，符合题意， ∴假设成立，当时，点正好落在的延长线上，且点不与点重合． 答案第2页（共11页） 答案第1页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $