第一章 特殊平行四边形 单元测试卷 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册第1章《特殊平行四边形》单元测试卷（基础卷）（答案详解） （满分 120 分　考试时间 120 分钟　参考答案与评分标准） 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1 C 2 D 3 B 4 B 5 C 6 C 7 A 8 C 9 C 10 C 1．平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形；直角梯形两者都不是；菱形既是轴对称图形（两条对角线所在直线为对称轴）又是中心对称图形。故选 C。 2．对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分都是平行四边形的共有性质；对角线互相垂直是菱形特有的性质。故选 D。 3．菱形面积等于两条对角线乘积的一半，面积 。故选 B。 4．矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直，邻边不一定相等，对角线不一定平分内角。故选 B。 5．四个角都是直角、对角线相等、对边平行且相等是矩形也具有的性质；对角线互相垂直是正方形具有而矩形不一定具有的性质。故选 C。 6．AB=CD 是平行四边形已有性质；AC=BD 判定矩形；一组邻边相等 AB=BC 的平行四边形是菱形；AC∥BD 不可能。故选 C。 7．菱形对角线互相垂直平分，OA=4，OB=3，在 Rt△AOB 中 AB=。故选 A。 8．矩形对角线相等且互相平分，OA=OB，又∠AOB=60°，△AOB 为等边三角形，OA=AB=4，AC=2OA=8。故选 C。 9．A、B 缺少“平行四边形”前提；D 四条边相等的四边形可能是菱形；正方形对角线相等且互相垂直平分，C 正确。故选 C。 10．正方形边长为 2，由勾股定理对角线 。故选 C。 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11 5 12 120 13 10 14 13 15 2 16 10 17 96 18 11．简析：菱形四条边相等，边长 。 12．简析：菱形邻角互补，∠B=180°−60°=120°。 13．简析：对角线交点与较短边构成等边三角形，对角线长 。 14．简析：半对角线分别为 5、12，边长 。 15．简析：边长 。 16．简析：由勾股定理 AC=。 17．简析：面积 。 18．简析：AB=BC=3，BE=2，在 Rt△ABE 中 AE=。 三、解答题（共 66 分） 19．（6 分） 解：（1）∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AB=AD。（1 分）又 ∠BAD=60°，∴ △ABD 是等边三角形，AB=AD=BD=6，即菱形的边长为 6。（2 分） （2）∵ 菱形的对角线互相垂直平分，BD=6，∴ OB=3。在 Rt△AOB 中，AB=6，由勾股定理 OA=，（2 分）∴ AC=2OA=。（1 分） 20．（6 分） 解：（1）∵ 矩形的对角线相等且互相平分，∴ OA=OB。又 ∠AOB=60°，∴ △AOB 是等边三角形，OA=AB=4，AC=2OA=8。（3 分） （2）在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=4，AC=8，由勾股定理 BC=，（2 分）矩形周长 。（1 分） 21．（7 分） 已知：四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC、BD 相交于点 O，AC⊥BD。 求证：平行四边形 ABCD 是菱形。 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ 对角线互相平分，OA=OC。（2 分）又 ∵ AC⊥BD，∴ BD 垂直平分线段 AC，∴ AB=BC。（3 分）∵ 平行四边形 ABCD 中有一组邻边 AB=BC，∴ 平行四边形 ABCD 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。（2 分） 22．（7 分） 已知：平行四边形 ABCD 中，AC=BD。 求证：平行四边形 ABCD 是矩形。 证明：在△ABC 和△BAD 中，AB=BA，BC=AD（平行四边形对边相等），AC=BD，∴ △ABC≌△BAD（SSS），∴ ∠ABC=∠BAD。（3 分）∵ AD∥BC，∴ ∠ABC+∠BAD=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴ ∠ABC=∠BAD=90°。（2 分）∵ 有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴ 平行四边形 ABCD 是矩形。（2 分） 23．（7 分） 解：（1）∵ E 为 BC 的中点，BC=4，∴ BE=2。∵ 正方形 ABCD 中∠B=90°，在 Rt△ABE 中，AE=。（4 分） （2）△ABE 的面积 。（3 分） 24．（7 分） 解：∵ 菱形的对角线互相垂直，∴ △AOB 是直角三角形。（2 分）∵ E 是斜边 AB 的中点，∴ OE=AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），AB=2OE=6。（3 分）∴ 菱形 ABCD 的周长 。（2 分） 25．（8 分） 解：（1）∵ 菱形对角线互相垂直平分，OA=8，OB=6，在 Rt△AOB 中 AB=。（3 分） （2）菱形面积 ；又面积=AB×DE=10DE，∴ DE=。（5 分） 26．（8 分） （1）证明：∵ 正方形 ABCD，∴ AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°。又 BE=CF，∴ △ABE≌△BCF（SAS），∴ AE=BF。（4 分） （2）AE⊥BF。理由：设 AE 交 BF 于点 G，由全等得∠BAE=∠CBF。∵ ∠BAE+∠AEB=90°，∴ ∠CBF+∠AEB=90°，∴ ∠BGE=90°，即 AE⊥BF。（4 分） 27．（10 分） （1）证明：∵ AE∥CD，CE∥AB，即 CE∥AD，∴ 四边形 ADCE 是平行四边形。（3 分）∵ ∠ACB=90°，CD 是斜边 AB 上的中线，∴ CD=AB=AD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），一组邻边相等的平行四边形是菱形，∴ 四边形 ADCE 是菱形。（3 分） （2）在 Rt△ABC 中，AB=，AD=AB=5，∴ 菱形 ADCE 的周长 。（4 分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级上册第1章《特殊平行四边形》单元测试卷（适中卷）（答案详解） （满分 120 分　考试时间 120 分钟　参考答案与评分标准） 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1 A 2 B 3 B 4 B 5 D 6 A 7 A 8 A 9 A 10 A 1．∠B=120°，则∠BAD=60°；菱形对角线 AC 平分∠BAD，∴ ∠BAC=30°。故选 A。 2．半对角线为 3，边长为 5，由勾股定理另一条半对角线 ，另一条对角线长为 8。故选 B。 3．∠ACB=30°，在 Rt△ABC 中，30°角所对的直角边 AB=3 等于斜边 AC 的一半，∴ AC=6。故选 B。 4．中点四边形为菱形等价于原四边形对角线相等。故选 B。 5．A、B、C 均可判定正方形；对角线相等的平行四边形只能判定为矩形，不能判定正方形。故选 D。 6．BE=BC=4，∠EBC=45°，△BCE 中 ∠BCE=，∴ ∠DCE=90°−67.5°=22.5°。故选 A。 7．邻角比 1∶2，内角为 60°、120°，边长为 10；60°角所对的较短对角线与两边构成等边三角形，长为 10。故选 A。 8．△ADE 为等边三角形，AE=AD=AB，∠BAE=150°，△ABE 中∠AEB=15°，又∠AED=60°，∴ ∠BED=45°。故选 A。 9．折叠后 AF=AD=10，AB=8，∴ BF=6，FC=4；设 EC=x，EF=DE=8−x，由勾股定理列方程解得 x=3。故选 A。 10．点 C 关于 BD 的对称点为 A，最小值为 AE=。故选 A。 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11 4 12 13 菱形 14 15 16 17 8 18 矩形 11．简析：120°内角所对的较短对角线与两边构成等边三角形，长为 4。 12．简析：∠ABC=120°，BD 平分∠ABC，∠ABO=60°；AO=3，OB=，BD=。 13．简析：矩形对角线相等，故中点四边形的四边相等，为菱形。 14．简析：设 AF=FC=x，FB=8−x，在 Rt△FBC 中由勾股定理列方程，解得 x=。 15．简析：设截去直角边长 x，由正八边形边长相等列方程，解得 x=。 16．简析：△AOB 面积为菱形的 ，即面积为 6；以 AB 为底，高为 d，6=×d，d=。 17．简析：∠AOD=120°，则∠AOB=60°，△AOB 为等边三角形，AO=AB=4，AC=8。 18．简析：AC⊥BD，中点四边形 EH∥BD、EF∥AC，故 EH⊥EF，为矩形。 三、解答题（共 66 分） 19．（6 分） 解：（1）∵ 菱形对角线互相垂直平分，AC=6，∴ AO=3。BD 平分∠ADC，∠ADC=120°，∴ ∠ADO=60°，∠OAD=30°，AD=2OD。（2 分）在 Rt△AOD 中，设 OD=y，由勾股定理列方程解得 OD=，∴ BD=。（2 分） （2）菱形面积 。（2 分） 20．（6 分） 已知：矩形 ABCD 中，E 在 BC 上，AE=BC，DF⊥AE 于 F。 求证：DF=AB。 证明：∵ 矩形 ABCD，∴ AD=BC，∠B=90°，AD∥BC。又 AE=BC，∴ AD=AE。（2 分）∵ AD∥BC，∴ ∠DAF=∠AEB；又 ∠DFA=∠B=90°，∴ △ADF≌△EAB（AAS）。（3 分）∴ DF=AB。（1 分） 21．（7 分） 已知：平行四边形 ABCD 中，AE 平分∠BAD 交 BC 于 E，BF 平分∠ABC 交 AD 于 F，AE 与 BF 交于 O。 求证：四边形 ABEF 是菱形。 证明：∵ AD∥BC，∴ ∠FAE=∠AEB。∵ AE 平分∠BAD，∴ ∠BAE=∠FAE，∴ ∠BAE=∠AEB，∴ AB=BE。（2 分）同理，由 BF 平分∠ABC 可得 AB=AF。（2 分）∴ AF=BE，又 AF∥BE，∴ 四边形 ABEF 是平行四边形。又 AB=AF，一组邻边相等的平行四边形是菱形，∴ 四边形 ABEF 是菱形。（3 分） 22．（7 分） 已知：菱形 ABCD 中，E、F 分别在 BC、CD 上，BE=DF。 求证：AE=AF。 证明：∵ 菱形 ABCD，∴ AB=AD，∠B=∠D。（2 分）又 BE=DF，∴ △ABE≌△ADF（SAS）。（3 分）∴ AE=AF。（2 分） 23．（7 分） （1）证明：折叠使点 A 与点 C 重合，∴ EF 垂直平分 AC，AE=EC，AF=FC。（2 分）∵ AD∥BC，∴ ∠AEF=∠CFE；由折叠知∠AEF=∠CEF，∴ ∠CEF=∠CFE，∴ EC=FC。（2 分）于是 AE=EC=CF=FA，四边形 AECF 是菱形。（1 分） （2）设 AF=FC=x，FB=8−x，在 Rt△FBC 中由勾股定理列方程，解得 x=。AC=，AO=5；在 Rt△AOF 中，OF=，∴ EF=2OF=。（2 分） 24．（7 分） （1）证明：连接 AC。∵ E、F 分别为 AB、BC 的中点，∴ EF 是△ABC 的中位线，EF∥AC 且 EF=AC。同理 HG∥AC 且 HG=AC。（2 分）∴ EF∥HG 且 EF=HG，四边形 EFGH 是平行四边形。（2 分） （2）添加条件 AC⊥BD。同理 EH∥BD，又 EF∥AC，AC⊥BD，∴ EF⊥EH，即∠FEH=90°。（2 分）有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴ EFGH 是矩形。（1 分） 25．（8 分） 已知：正方形 ABCD 中，E 为 BC 中点，∠AEF=90°，CF 为正方形外角平分线，F 为交点，G 为 AB 中点。 求证：AE=EF。 证明：∵ G 为 AB 中点，E 为 BC 中点，AB=BC，∴ AG=GB=BE=EC。（2 分）∵ ∠B=90°，GB=BE，∴ ∠BGE=45°，∠AGE=135°；CF 为外角平分线，∴ ∠ECF=135°，∴ ∠AGE=∠ECF。（2 分）∵ ∠AEF=90°，∴ ∠GAE=∠CEF（同角的余角相等）。（2 分）∴ △AGE≌△ECF（ASA），∴ AE=EF。（2 分） 26．（8 分） （1）证明：折叠使点 B 落在点 D 上，∴ BE=DE，BF=DF。（1 分）∵ AB∥CD，∴ ∠BEF=∠DFE；由折叠知∠BFE=∠DFE，∴ ∠BEF=∠BFE，∴ BE=BF。（2 分）于是 BE=ED=DF=FB，四边形 BEDF 是菱形。（1 分） （2）设 BE=DE=x，AE=8−x，在 Rt△ADE 中由勾股定理列方程，解得 x=5。（1 分）BD=；（1 分）菱形 BEDF 的面积=BE×AD=20=×BD×EF，∴ EF=。（2 分） 27．（10 分） 解：（1）截去的等腰直角三角形斜边长为 x，正方形每条边上剩余的线段长为 2−2x；正八边形各边相等，故其边长为 x（或 2−2x）。（3 分） （2）由边长相等列方程 x=2−2x，得 x=。（3 分） （3）正八边形边长 ，周长 ；（2 分）面积 。（2 分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级上册数学第一章《特殊平行四边形》单元测试卷（适中卷） （满分 120 分　考试时间 120 分钟） 注意事项：本试卷分选择题、填空题、解答题三部分，请将解答写在题目相应位置。 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．菱形 ABCD 中，∠B=120°，则∠BAC 的度数为（　　） A. 30°　　B. 60°　　C. 90°　　D. 120° 2．若菱形的边长为 5，一条对角线长为 6，则另一条对角线长为（　　） A. 4　　B. 8　　C. 10　　D. 6 3．如图 1，矩形 ABCD 中，AB=3，∠ACB=30°，则对角线 AC 的长为（　　） 图 1 A. 3　　B. 6　　C. 　　D. 4．顺次连接四边形 ABCD 各边中点，所得四边形是菱形，则原四边形 ABCD 的对角线（　　） A. 互相垂直　　B. 相等　　C. 互相平分　　D. 垂直且相等 5．下列条件中，不能判定四边形 ABCD 是正方形的是（　　） A. 菱形 ABCD 中，∠A=90°　　B. 矩形 ABCD 中，AB=BC　　C. 对角线互相垂直平分且相等的四边形　　D. 对角线相等的平行四边形 6．正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在对角线 BD 上，且 BE=BC，则∠DCE 的度数为（　　） A. 22.5°　　B. 30°　　C. 45°　　D. 67.5° 7．菱形的周长为 40，两邻角之比为 1∶2，则较短对角线的长为（　　） A. 10　　B. 5　　C. 20　　D. 8．如图 2，在正方形 ABCD 的外侧作等边三角形 ADE，则∠BED 的度数为（　　） 图 2 A. 45°　　B. 30°　　C. 60°　　D. 22.5° 9．矩形纸片 ABCD 中，AB=8，BC=10，沿 AE 折叠使点 D 落在 BC 边上的点 F 处，则 EC 的长为（　　） A. 3　　B. 4　　C. 5　　D. 6 10．如图 3，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 的中点，P 是对角线 BD 上一动点，则 PE+PC 的最小值为（　　） 图 3 A. 　　B. 4　　C. 　　D. 5 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分。） 11．菱形的一个内角为 120°，边长为 4，则较短对角线的长为 ____________。 12．菱形 ABCD 中，∠ABC=120°，AC=6，则 BD=____________。 13．顺次连接矩形各边中点所得的四边形是 ____________。 14．如图 4，矩形 ABCD 中 AB=6，BC=8，沿 EF 折叠使点 A 与点 C 重合，点 F 在 AB 上，则 AF=____________。 图 4 15．如图 5，正方形的边长为 ，四个角上各截去一个全等的等腰直角三角形，得到正八边形，则截去三角形的直角边长为 ____________。 图 5 16．菱形的边长为 5，面积为 24，对角线交点 O 到边 AB 的距离为 ____________。 17．矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，∠AOD=120°，AB=4，则 AC=____________。 18．如图 6，E、F、G、H 分别是四边形 ABCD 各边的中点，若 AC⊥BD，则四边形 EFGH 是 ____________。 图 6 三、解答题（共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 19．（6 分）如图 7，菱形 ABCD 中，∠ADC=120°，AC=6。求：（1）BD 的长；（2）菱形 ABCD 的面积。 图 7 20．（6 分）如图 8，矩形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，AE=BC，DF⊥AE 于点 F。求证：DF=AB。 图 8 21．（7 分）如图 9，平行四边形 ABCD 中，AE 平分∠BAD 交 BC 于点 E，BF 平分∠ABC 交 AD 于点 F，AE 与 BF 相交于点 O。求证：四边形 ABEF 是菱形。 图 9 22．（7 分）如图 10，菱形 ABCD 中，E、F 分别在 BC、CD 上，且 BE=DF。求证：AE=AF。 图 10 23．（7 分）如图 11，矩形 ABCD 中 AB=8，BC=6，沿 EF 折叠使点 A 与点 C 重合，E 在 AD 上，F 在 BC 上。（1）求证：四边形 AECF 是菱形；（2）求折痕 EF 的长。 图 11 24．（7 分）如图 12，E、F、G、H 分别是四边形 ABCD 各边的中点，连接 EF、FG、GH、HE。（1）求证：四边形 EFGH 是平行四边形；（2）若添加条件 AC⊥BD，判断四边形 EFGH 的形状并证明。 图 12 25．（8 分）如图 13，正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，∠AEF=90°，EF 交正方形外角平分线 CF 于点 F，G 为 AB 的中点，连接 EG。求证：AE=EF。 图 13 26．（8 分）如图 14，矩形 ABCD 中 AB=8，BC=4，折叠使点 B 落在点 D 上，折痕 EF 分别交 AB、CD 于点 E、F。（1）求证：四边形 BEDF 是菱形；（2）求折痕 EF 的长。 图 14 27．（10 分）如图 15，正方形 ABCD 的边长为 2，四个角上各截去一个全等的等腰直角三角形（直角边长为 x），剩余部分为正八边形。（1）用 x 表示正八边形的边长；（2）求 x 的值；（3）求正八边形的周长与面积。 图 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级上册数学第一章《特殊平行四边形》单元测试卷（基础卷） （满分 120 分　考试时间 120 分钟） 注意事项：本试卷分选择题、填空题、解答题三部分，请将解答写在题目相应位置。 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 平行四边形　　B. 等腰三角形　　C. 菱形　　D. 直角梯形 2．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A. 对边平行且相等　　B. 对角相等　　C. 对角线互相平分　　D. 对角线互相垂直 3．若菱形的两条对角线长分别为 6 和 8，则该菱形的面积为（　　） A. 12　　B. 24　　C. 48　　D. 16 4．矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，下列结论一定正确的是（　　） A. AC⊥BD　　B. AC=BD　　C. AB=BC　　D. AC 平分∠BAD 5．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A. 四个角都是直角　　B. 对角线相等　　C. 对角线互相垂直　　D. 对边平行且相等 6．下列条件中，能判定平行四边形 ABCD 是菱形的是（　　） A. AB=CD　　B. AC=BD　　C. AB=BC　　D. AC∥BD 7．如图 1，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O。若 AC=8，BD=6，则菱形的边长为（　　） 图 1 A. 5　　B. 6　　C. 7　　D. 10 8．如图 2，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，∠AOB=60°，AB=4，则 AC 的长为（　　） 图 2 A. 4　　B. 6　　C. 8　　D. 10 9．下列说法正确的是（　　） A. 对角线相等的四边形是矩形　　B. 对角线互相垂直的四边形是菱形　　C. 正方形的对角线相等且互相垂直平分　　D. 四条边相等的四边形是正方形 10．边长为 2 的正方形，其对角线的长为（　　） A. 2　　B. 　　C. 　　D. 4 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分。） 11．菱形的周长为 20，则它的边长为 ____________。 12．菱形 ABCD 中，∠A=60°，则∠B=____________°。 13．矩形的两条对角线相交成 60° 的角，较短边长为 5，则矩形对角线的长为 ____________。 14．菱形的两条对角线长分别为 10 和 24，则它的边长为 ____________。 15．正方形的对角线长为 ，则它的边长为 ____________。 16．矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8，则对角线 AC 的长为 ____________。 17．菱形的两条对角线长分别为 12 和 16，则它的面积为 ____________。 18．如图 3，正方形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，BE=2，EC=1，则 AE 的长为 ____________。 图 3 三、解答题（共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 19．（6 分）如图 4，菱形 ABCD 中，∠BAD=60°，BD=6。求：（1）菱形的边长；（2）对角线 AC 的长。 图 4 20．（6 分）如图 5，矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，∠AOB=60°，AB=4。求：（1）AC 的长；（2）矩形 ABCD 的周长。 图 5 21．（7 分）如图 6，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 AC⊥BD。求证：平行四边形 ABCD 是菱形。 图 6 22．（7 分）如图 7，在平行四边形 ABCD 中，AC=BD。求证：平行四边形 ABCD 是矩形。 图 7 23．（7 分）如图 8，正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 的中点，连接 AE。求：（1）AE 的长；（2）△ABE 的面积。 图 8 24．（7 分）如图 9，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 AB 的中点，OE=3。求菱形 ABCD 的周长。 图 9 25．（8 分）如图 10，菱形 ABCD 中，对角线 AC=16，BD=12，DE⊥AB 于点 E。求：（1）菱形的边长；（2）菱形的高 DE。 图 10 26．（8 分）如图 11，正方形 ABCD 中，E、F 分别在 BC、CD 上，且 BE=CF，连接 AE、BF。（1）求证：AE=BF；（2）判断 AE 与 BF 的位置关系，并说明理由。 图 11 27．（10 分）如图 12，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边 AB 上的中线，过点 A 作 AE∥CD，过点 C 作 CE∥AB，AE 与 CE 相交于点 E。（1）求证：四边形 ADCE 是菱形；（2）若 AC=6，BC=8，求菱形 ADCE 的周长。 图 12 学科网（北京）股份有限公司 $