第一章特殊平行四边形单元测试卷 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

2026-2027学年北师大版九上第一章特殊平行四边形单元测试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，BD＝6，则菱形的面积为（　　） A．12 B．20 C．24 D．48 3．（3分）如图，要使▱ABCD是矩形，需要增加的条件是（　　） A．AC与BD互相平分 B．AB＝AD C．AC＝BD D．AC⊥BD 4．（3分）在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（　　） A．①，对角相等 B．②，对角线互相垂直 C．③，有一组邻边相等 D．④，有一个角是直角 5．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列说法错误的是（　　） A．若AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形 C．若AB⊥BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形 D．若AB＝BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形 6．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BCD的角平分线交AB于点E，连接OE，若∠ACE＝15°，AD＝4，则点O到CE的距离为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF，S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝（　　） A． B． C．12 D．16 8．（3分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2 AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②EG＝EF；③△EFG≌△GBE；④四边形BEFG是菱形．其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB与点F，EG⊥BC与点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3，其中正确的结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（3分）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且AC＝3AE，Rt△FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N，若正方形ABCD的边长为6，则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　） A．36 B．32 C．16 D．8 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，BD＝4，则AB的长为_____ ． 12．（3分）如图，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，连结AE交CD于F，则∠AFC＝___________ ． 13．（3分）菱形空窗是中国古典园林里极具代表性的造景元素．某菱形空窗的尺寸如图所示（边框厚度忽略不计），则其透光面积为_________ cm2． 14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，点E在对角线AC上且AE＝AB，则CE的长为_________________ ． 15．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若∠DHO＝α，则∠ADH的度数可表示为___________ ． 16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝7，AD＝5，点M是边AB上的动点，点N在边BC上，BM＝BN．连接DN，CM，则DN+CM的最小值为 _______ ． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）如图，在▱ABCD中，M是边AD的中点，且MB＝MC．求证：四边形ABCD是矩形． 18．（8分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH．求证：四边形EBFC是菱形． 19．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，E，F分别是AB，AC的中点，G是DE的中点，FG的延长线交BD于H，连接EH．求证：． 20．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点B作BE⊥DC于点E，交AC于点G，连接DG，已知∠ABO＝∠AGB． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）求证：△CBG≌△CDG． 21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过点D作DE⊥BC于点E，连接CD． （1）求证：； （2）若AC＝8，BC＝6，求CD的长． 22．（10分）如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB、AC于点E，F，连接DE，DF． （1）判断四边形AEDF的形状，并证明； （2）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？请说明理由． 23．（10分）如图，正方形ABCD中，AB＝3，E是对角线AC上的一点，连结BE，过点E作EF⊥BE交AD于点F． （1）求证：EF＝BE． （2）设△BCE和△AEF的面积分别为S1和S2，若2S1＝3S2，直接写出CE的长． 24．（12分）综合与探究 问题情境： 如图，四边形ABCD是矩形，点E为直线BC上一动点，点F为AE的中点，连接CF，DF． （1）特例探究：如图1，当点E与点B重合时，求证：CF＝DF； （2）深入探究：如图2，当点E在线段BC上时，CF与DF的数量关系是否发生变化，请说明理由； （3）拓展运用：点E在直线BC上运动时，若AB＝6，AD＝8，BE＝2，直接写出CF的长． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．由图可知，该四边形的四条边都相等， ∴该四边形一定是菱形， 故该选项不符合题意； B选项中，∵50°+130°＝180°， ∴该四边形是一组对边平行，而另一组对边相等， ∴不一定是平行四边形， 故不一定是菱形， 故该选项符合题意； C选项中，∵50°+130°＝180°， ∴该四边形是两组对边分别平行，且一组邻边相等的平行四边形，是菱形， 故该选项不符合题意； D选项中，∵60°+120°＝180°， ∴该四边形是一组对边平行且相等，一组邻边相等的平行四边形，是菱形， 故该选项不符合题意， 故选：B． 2．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，BD＝6，则菱形的面积为（　　） A．12 B．20 C．24 D．48 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OBBD6＝3，AC＝2OA，AC⊥BD， 由勾股定理得到：AO4， ∴AC＝2OA＝8， ∴菱形的面积AC•BD8×6＝24． 故选：C． 3．（3分）如图，要使▱ABCD是矩形，需要增加的条件是（　　） A．AC与BD互相平分 B．AB＝AD C．AC＝BD D．AC⊥BD 【解答】解：对于选项A， ∵四边形ABCD是平行四边形，AC与BD是对角线， ∴AC与BD互相平分， ∴当增加条件AC与BD互相平分时，不能判定平行四边形ABCD是矩形， 故选项A不符合题意； 对于选项B， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当增加条件AB＝AD时，则平行四边形ABCD是菱形，不能判定是矩形， 故选项B不符合题意； 对于选项C， ∵四边形ABCD是平行四边形，AC与BD是对角线， ∴当增加条件AC＝BD时，则平行四边形ABCD是矩形， 故选项C符合题意； 对于选项D， ∵四边形ABCD是平行四边形，AC与BD是对角线， ∴当增加条件AC⊥BD时，则平行四边形ABCD是菱形，不能判定是矩形， 故选项D不符合题意． 故选：C． 4．（3分）在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（　　） A．①，对角相等 B．②，对角线互相垂直 C．③，有一组邻边相等 D．④，有一个角是直角 【解答】解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意； B、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； C、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； 故选：A． 5．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列说法错误的是（　　） A．若AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形 C．若AB⊥BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形 D．若AB＝BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形 【解答】解：A、因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以A选项正确，不符合题意； B、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项正确，不符合题意； C、因为有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以若AB⊥BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形，所以C选项正确，不符合题意； D、当AB＝BC时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判断四边形ABCD是菱形，当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直可判断四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，该结论错误，符合题意； 故选：D． 6．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BCD的角平分线交AB于点E，连接OE，若∠ACE＝15°，AD＝4，则点O到CE的距离为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过E点作EF⊥AC于F点，过O点作OP⊥CE于P点， ∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交于点O， ∴OA＝OC，∠BCD＝90°， ∴△AEO与△OEC是等底等高面积相等的三角形， ∴S△AEO＝S△OEC， ∵∠BCD的角平分线交AB于点E， ∴∠BCE＝∠ECD＝45°， ∵∠ACE＝15°， ∴∠ACD＝30°， ∵∠ADC＝∠CBE＝90°，AD＝4， ∴AC＝BD＝8，BC＝AD＝BE＝4， ∴，， ∵S△AEO+S△OEC+S△CBE＝S△ABC， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即点O到CE的距离为， 故选：C． 7．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF，S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝（　　） A． B． C．12 D．16 【解答】解：∵四边形AMEF是正方形， 又∵S正方形AMEF＝16， ∴AM2＝16， ∴AM＝4， 在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点， ∴， 即BC＝2AM＝8， 在Rt△ABC中，AB＝4， ∴， ∴， 故选：B． 8．（3分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2 AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②EG＝EF；③△EFG≌△GBE；④四边形BEFG是菱形．其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，BD＝2BO， ∵BD＝2AD， ∴BD＝2BC， ∴BO＝BC， ∵E为OC中点， ∴BE⊥AC，故①正确； ∵BE⊥AC，G是AB中点， ∴， ∵E、F分别是OC、OD的中点， ∴，EF∥CD， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴， ∴EF＝EG，故②正确； ∵EF∥CD，AB∥CD， ∴EF∥AB， ∴∠FEG＝∠BGE， 在△EFG和△GBE中， ∵， ∴△EFG≌△GBE（SAS），故③正确； 若四边形BEFG是菱形， ∴BE＝BG＝EF＝EG， ∴△BEG是等边三角形， ∴∠ABE＝60°， ∴∠BAC＝30°， 根据现有条件无法得到∠BAC＝30°，故四边形BEFG不一定是菱形，故④错误． 故选：B． 9．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB与点F，EG⊥BC与点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3，其中正确的结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①连接BE，交FG于点O，如图， ∵EF⊥AB，EG⊥BC， ∴∠EFB＝∠EGB＝90°． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形EFBG为矩形． ∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°． 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）． ∴BE＝DE． ∴DE＝FG． ∴①正确； ②延长DE，交FG于M，交FB于点H， ∵△ABE≌△ADE， ∴∠ABE＝∠ADE． 由①知：OB＝OF， ∴∠OFB＝∠ABE． ∴∠OFB＝∠ADE． ∵∠BAD＝90°， ∴∠ADE+∠AHD＝90°． ∴∠OFB+∠AHD＝90°． 即：∠FMH＝90°， ∴DE⊥FG． ∴②正确； ③由②知：∠OFB＝∠ADE． 即：∠BFG＝∠ADE． ∴③正确； ④∵点E为AC上一动点， ∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小． ∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°， ∴AC4． ∴DEAC＝2． 由①知：FG＝DE， ∴FG的最小值为2， ∴④错误． 综上，正确的结论为：①②③． 故选：C． 10．（3分）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且AC＝3AE，Rt△FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N，若正方形ABCD的边长为6，则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　） A．36 B．32 C．16 D．8 【解答】解：过点E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，且边长为6， ∴AB＝BC＝6，∠B＝∠BCD＝90°，∠BCA＝45°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC， ∵AC＝3AE， ∴AEAC， ∴CE＝AC﹣AE， ∵EP⊥BC，EQ⊥CD，∠BCD＝90°， ∴∠EPC＝∠EQC＝∠BCD＝90°， ∴四边形EPCQ是矩形， ∵∠EPC＝90°，∠BCA＝45°， ∴△EPC是等腰直角三角形， ∴EP＝CP， ∴矩形EPCQ是正方形， ∴EP＝EQ，∠PEQ＝90°，∠EPM＝∠EQN＝90°， ∴∠PEM+∠MEQ＝90°， ∵∠FEG＝90°， ∴∠QEN+∠MEQ＝90°， ∴∠PEM＝∠QEN， 在△PEM和△QEN中， ， ∴△PEM≌△QEN（ASA）， ∴S△PEM＝S△QEN， ∴S四边形EMCN＝S△QEN+S四边形EQCM＝S△PEM+S四边形EQCM＝S正方形EPCQ， 在Rt△EPC中，EP＝CP，CE， 由勾股定理得：CEEP， ∴EPCE4， ∴正方形EPCQ的面积为：EP2＝16， ∴S四边形EMCN＝S正方形EPCQ＝16． 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，BD＝4，则AB的长为　2　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC＝OB＝OD＝AC＝2， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OA＝2， 故答案为：2． 12．（3分）如图，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，连结AE交CD于F，则∠AFC＝　112.5°　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°， ∴∠FCE＝90°， ∵AC＝CE， ∴∠E＝∠CAE22.5°， ∴∠AFC＝∠E+∠FCE＝112.5°， 故答案为：112.5°． 13．（3分）菱形空窗是中国古典园林里极具代表性的造景元素．某菱形空窗的尺寸如图所示（边框厚度忽略不计），则其透光面积为　2400　 cm2． 【解答】解：如图，连接AC、BD交于点O， 则AC＝60cm，AD＝50cm， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，ODBD，OAAC60＝30（cm）， 在Rt△AOD中，由勾股定理得：， ∴BD＝2OD＝2×40＝80（cm）， ∴， 故答案为：2400． 14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，点E在对角线AC上且AE＝AB，则CE的长为　　 ． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为1， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴， ∵AE＝AB＝1， ∴， 故答案为：1． 15．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若∠DHO＝α，则∠ADH的度数可表示为　90°﹣2α　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OD＝OB，AD＝AB， ∵DH⊥AB于点H， ∴∠BHD＝90°， ∴OHBD， ∴OH＝OD， ∴∠ODH＝∠DHO＝α， ∴∠ABD＝90°﹣α， ∵AD＝AB， ∴∠ADB＝∠ABD＝90°﹣α， ∴∠ADH＝∠ADB﹣∠ODH＝90°﹣2α． 故答案为：90°﹣2α． 16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝7，AD＝5，点M是边AB上的动点，点N在边BC上，BM＝BN．连接DN，CM，则DN+CM的最小值为 　13　 ． 【解答】解：在AB的延长线上取一点E，是BE＝BC，连接EN，ED，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形，AD＝5， ∴BC＝AD＝5，∠A＝∠MBC＝90°， ∴BE＝BC＝5， ∵AB＝7， ∴AE＝AB+BE＝12， 在△ADE中，∠A＝90°， 由勾股定理得：DE13， ∵点E在AB的延长线上， ∴∠NBE＝90°﹣∠MBC＝90°， ∴∠NBE＝∠MBC＝90°， 在△NBE和△MBC中， ， ∴△NBE≌△MBC（SAS）， ∴EN＝CM， ∴DN+CM＝DN+EN， ∴当DN+EN为最小时，DN+CM为最小， 根据“两点之间线段最短”得：DN+EN≥DE＝13， ∴当点D，N，E共线时，DN+EN的为最小，最小值为13， ∴DN+CM的最小值为13． 故答案为：13． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）如图，在▱ABCD中，M是边AD的中点，且MB＝MC．求证：四边形ABCD是矩形． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC， ∵M是AD边的中点， ∴AM＝DM， 在△ABM和△DCM中， ， ∴△ABM≌△DCM（SSS）， ∴∠A＝∠D， ∵∠A+∠D＝180°， ∴2∠A＝180°， ∴∠A＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． 18．（8分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH．求证：四边形EBFC是菱形． 【解答】证明：∵AB＝AC，AH⊥CB， ∴BH＝HC， ∵FH＝EH， ∴四边形EBFC是平行四边形， 又∵AH⊥CB， ∴四边形EBFC是菱形． 19．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，E，F分别是AB，AC的中点，G是DE的中点，FG的延长线交BD于H，连接EH．求证：． 【解答】证明：如图，连接EF，DF． ∵点G是DE的中点，E，F分别是AB，AC的中点， ∴EG＝DG，EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC， ∴∠EFG＝∠DHG，∠FEG＝∠HDG． ∵EG＝DG， ∴△EFG≌△DHG（AAS）， ∴EF＝DH， ∴EFDH是平行四边形． ∴EH＝FD． ∵AD⊥BC， ∴． ∴． 20．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点B作BE⊥DC于点E，交AC于点G，连接DG，已知∠ABO＝∠AGB． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）求证：△CBG≌△CDG． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵BE⊥DC， ∴BE⊥AB， ∴∠ABE＝90°， ∴∠ABO+∠OBG＝90°， ∵∠ABO＝∠AGB， ∴∠AGB+∠OBG＝90°， ∴∠BOG＝90°， ∴AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）由（1）可知，四边形ABCD是菱形， ∴CB＝CD，∠ACB＝∠ACD， 在△CBG和△CDG中， ， ∴△CBG≅△CDG（SAS）． 21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过点D作DE⊥BC于点E，连接CD． （1）求证：； （2）若AC＝8，BC＝6，求CD的长． 【解答】（1）证明：∵D是AB中点，∠ACB＝90°， ∴在Rt△ABC中，， ∴△CDB为等腰三角形， 又∵DE⊥BC， ∴DE为等腰△CDB的中线， ∴E是BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴； （2）解：在Rt△ABC中，， ∵D是AB中点， ∴在Rt△ABC中，． 22．（10分）如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB、AC于点E，F，连接DE，DF． （1）判断四边形AEDF的形状，并证明； （2）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？请说明理由． 【解答】解：（1）四边形AEDF是菱形，证明如下： ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAO＝∠FAO， ∵EF⊥AD， ∴∠AOE＝∠AOF＝90°， 在△AEO和△AFO中， ， ∴△AEO≌△AFO（ASA）， ∴EO＝FO， ∵EF垂直平分AD， ∴EF、AD相互平分， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵EF⊥AD， ∴平行四边形AEDF为菱形； （2）当△ABC中∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形，理由如下： 由（1）得：四边形AEDF为菱形， ∵∠BAC＝90°， ∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）． 23．（10分）如图，正方形ABCD中，AB＝3，E是对角线AC上的一点，连结BE，过点E作EF⊥BE交AD于点F． （1）求证：EF＝BE． （2）设△BCE和△AEF的面积分别为S1和S2，若2S1＝3S2，直接写出CE的长． 【解答】（1）证明：过点E作GH∥CD，分别交AD，BC于点G，H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝AD，∠D＝∠BCD＝90°， ∵GH∥CD， ∴∠FGH＝∠D＝90°，∠EHB＝∠BCD＝90°， ∴∠DGH＝180°﹣∠FGH＝90°，∠CHG＝180°﹣∠EHB＝90°， ∴∠DGH＝∠CHG＝∠D＝90°， ∴四边形CDGH是矩形， ∴GH＝CD， ∴GH＝BC， ∵∠BHE＝90° ∴∠HBE+∠HEB＝90°， ∵EF⊥BE， ∴∠BEF＝90°， ∴∠HEB+∠GEF＝90°， ∴∠HBE＝∠GEF， ∵AC为正方形的对角线， ∴∠DCA＝∠BCA＝45°， ∵GH∥CD， ∴∠HEC＝∠DCE＝∠HCE＝45°， ∴CH＝EH， ∴BC﹣CH＝GH﹣EH， ∴HB＝GE， 在△HBE和△GEF中， ， ∴△HBE≌△GEF（ASA）， ∴EF＝BE； （2）解：∵△HBE≌△GEF，∴GF＝HE， ∴GF＝HC， ∵四边形CDGH是矩形， ∴DG＝CH， ∴DG＝FG＝EH； 又AD＝AB＝3， 设EH＝a，AF＝3﹣2a， ， ∵2S1＝3S2， ∴2a2﹣11a+9＝0， 解得a＝1，（舍去）， ∴CH＝EH＝1， 在Rt△CHE中，． 24．（12分）综合与探究 问题情境： 如图，四边形ABCD是矩形，点E为直线BC上一动点，点F为AE的中点，连接CF，DF． （1）特例探究：如图1，当点E与点B重合时，求证：CF＝DF； （2）深入探究：如图2，当点E在线段BC上时，CF与DF的数量关系是否发生变化，请说明理由； （3）拓展运用：点E在直线BC上运动时，若AB＝6，AD＝8，BE＝2，直接写出CF的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠A＝∠ABC＝90°， ∵点F为AE的中点，点E与点B重合， ∴AF＝BF， 在△DAF与△CBF中， ， ∴△DAF≌△CBF（SAS）， ∴CF＝DF； （2）解：CF与DF的数量不会发生变化；理由如下： 如图2，四边形ABCD是矩形，延长DF交直线BC于点G， ∴AD∥BC，∠BCD＝90°，AD＝BC， ∴∠DAE＝∠GEA，∠ADG＝∠EGD， ∵点F为AE的中点， ∴AF＝EF， 在△DAF与△GEF中， ， ∴△DAF≌△GEF（AAS）， ∴DF＝GF， ∴， ∵∠BCD＝90°， ∴CF为Rt△GCD斜边DG上的中线， ∴， ∴CF＝DF； （3）解：CF的长为或．理由如下： AB＝6，AD＝8，BE＝2，点E在直线BC上运动时，分类讨论如下： ①如图3，当E在CB延长线上时，取BE中点H，连接FH，则， ∵点F为AE的中点， ∴FH是△ABE的中位线， ∴，FH∥AB， ∴∠FHB＝∠ABC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝8，∠ABC＝90°， ∴∠FHB＝∠ABC＝90°， ∴CH＝BH+BC＝1+8＝9， 在直角三角形CFH中，由勾股定理得：； ②如图4，当E在线段BC上时，取BE中点K，连接FK，则， ∵点F为AE的中点， ∴FK是△ABE的中位线， ∴，FK∥AB， ∴∠FKE＝∠ABC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝8，∠ABC＝90°， ∴∠FKE＝∠ABC＝90°， ∴CK＝BC﹣BK＝8﹣1＝7， 在直角三角形CFK中，由勾股定理得：； 综上所述，CF的长为或． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/11 17:24:11；用户：王俊燕；邮箱：13400470610@xyh.com；学号：23751262 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $