第一章 特殊平行四边形单元练习题 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级数学上册第一章 特殊平行四边形单元练习题 一、单选题 1．在菱形ABCD中，若对角线AC=8cm，BD=6cm，则菱形ABCD的周长是(　　) A．25cm B．20cm C．15cm D．10cm 2．如图，菱形ABCD 的边AB=5，对角线AC=6，则菱形ABCD 的面积为（　　). A．15 B．24 C．30 D．48 3．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，已知，点D为的中点，从A滑行至B的过程中，下列说法错误的是（　　） A． B．为等边三角形 C． D．整个过程中下降的高度为 4．下列四个命题中，属于真命题的是（　　）。 A．对角线垂直且相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C．四边都相等的四边形是正方形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 5．如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为三边BC，CA，AB的中点，则图中共有菱形（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 7． 如图，四边形 ABCD 的对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，AD∥BC，则下列说法错误的是 （　　） A．若AC=BD，则四边形ABCD 是矩形 B．若 BD 平分∠ABC，则四边形 ABCD 是菱形 C．若AB⊥BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形 D．若AB=BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形 8． 如图， 在△ABC中， ∠BAC=90°， ∠B=30°， AB=3， D是边AB上的动点(点D与点A， B不重合)，过点D作DE⊥BC， 连结CD， F是CD的中点， 连结AE， AF， EF. 给出下列结论： ①△AEF是等腰三角形；②当DE=1时，AD=AF；③当点D运动到AB中点时，△DEF是等边三角形.其中正确的结论是(　　) A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 9．如图 ，在边长为2的正方形中，点分别在边和上（均不与点重合），分别平分和．关于结论①，②，下列判断正确的是（　　） 结论①：点到的距离为2； 结论②：． A．结论①，②均正确 B．结论①，②均不正确 C．只有结论①正确 D．只有结论②正确 10．如图，在四边形中，，E、F、G、H分别是的中点，则的值为（　　） A．4 B．8 C．16 D．36 二、填空题 11．将对角线分别为和的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为　 　． 12．如图，在菱形中，． （1）菱形的面积为　 　． （2）若点分别在上，且，连接，则的最小值为　 　． 13．如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为　 　． 14．如图，正方形中，绕点顺时针旋转到，，分别交对角线于点，，若，，则的长为　 　． 三、解答题 15．如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，，求的长． 16．如图，在矩形ABCD中，F 是 DA延长线上一点，G 是CF上一点， 且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F.已 知 ∠BCE=20°，求∠ACB 的度数. 17．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE，过点B作BF∥DE，且BF=DE，连接EF。求证：四边形BDEF是菱形。 18．如图，在矩形中，是边上一点，是边的中点，连接，，．已知，，． （1）求的长； （2）过点作，交于点，求四边形的面积． 19．【阅读材料】 老师的问题：如图，已知中，，是斜边上的中线，求作菱形． 小丽的做法：（1）取的中点； （2）连接并延长到点，使； （3）连接，． 四边形即为所求作的菱形． 【解答问题】 （1）请根据小丽的作法利用尺规作图补全图形，不写作法，保留作图痕迹； （2）请根据材料中的信息，证明四边形是菱形． 20．如图，在中，已知，，与交于点，且． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）若，且，，求的长． 21．如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F. （1）求证：AE＝BF； （2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值. 22．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F分别在AO，CO上，且AE=CF. （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）若BD=12cm，AC=16cm，当四边形BEDF是矩形时，求AE的长. 23． 小明发现，若一个三角形中，中线的存在会和三角形的面积有一定的关系． 如图1，中，为边的中线，可得，过点作于，则 在持续研究中，小明发现，这个研究可以运用到很多问题解决中，请你帮助小明完成下列任务： （1）如图2，矩形中，点，分别为，上的动点，且，与交于点．连接． ①判断与的面积关系； ②若，，当点为的中点时，求四边形的面积； （2）中，，，点为的中点，连接，将沿折叠，点的对应点为点，若与重合部分的面积为面积的，直接写出的面积． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：设对角线AC与BD相交于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ， ， ， ∴在 中，， ∴周长为4×5=20cm， 故答案为：B. 【分析】设对角线AC与BD相交于点O，根据菱形的对角线互相垂直平分可得 ， ， ，根据勾股定理即可求出AB，进而根据菱形的四条边相等即可解答.​​​​​​​ 2．【答案】B 【解析】【解答】解：菱形对角线互相垂直平分。 由AB=5，AC=6 得 AO=3。 在 Rt△AOB 中， BO===4 ∴ BD=2BO=8。 面积：S= = = 24 故选 B。 【分析】本题以菱形为背景，考查了菱形的性质（对角线互相垂直平分）及面积公式。利用勾股定理求出另一条对角线长，再代入面积公式求解。 3．【答案】D 4．【答案】D 【解析】【解答】解：A、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原命题是假命题； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题是假命题； C、四边都相等的四边形是菱形，故原命题是假命题； D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原命题是真命题； 故答案为：D. 【分析】根据正方形、菱形、矩形的判定分别判断得出即可. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，D，E，F分别为三边BC，CA，AB的中点， ∴△AEF、△BDF、△EFD、△CDE均为等边三角形且全等， ∴AF=AE=EF=BF=DF=BD=DE=CE=CD， ∴组成的菱形有：菱形AEDF、菱形EFDB、菱形EFDC，共3个， 故答案为：B. 【分析】先证出AF=AE=EF=BF=DF=BD=DE=CE=CD，再结合图形找出所有的菱形即可. 6．【答案】C 7．【答案】D 【解析】【解答】解：∵AD//BC， ∴∠ADO=∠CBO. ∵OA=OC，∠AOD=∠BOC 在△AOD和△COB中， ∴△AOD≌△COB(AAS) ∴AD=BC， ∵AD//BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 若AC=BD，则四边形ABCD是矩形，故A选项不符合题意； 若BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠ADB ∴AB=AD， 则四边形ABCD是菱形，故B选项不符合题意； 若AB⊥BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形，故C选项不符合题意； 若AB=BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形，故D选项符合题意； 故答案为：D. 【分析】先根据平行四边形的判定证明ABCD是平行四边形，再根据已知条件结合菱形、矩形及正方形的判定逐一判断即可. 8．【答案】C 【解析】【解答】解：①∵∠BAC=90°，DE⊥BC，F是CD的中点， ∴AF=CD，EF=CD， ∴AF=EF， ∴△AEF是等腰三角形，①正确； ②∵∠BAC=90°，∠B=30°，AB=3， ∴AC=，BC=2， ∵DE⊥BC，∠B=30°，DE=1， ∴BD=2，BE=， ∴CE=BC﹣BE=，AD=AB=BD=1， ∴CD==2， ∵F是CD的中点， ∴AF=CD=1， ∴AD=AF，②正确； ③当点D运动到AB中点时，BD=AB=， ∵∠B=30°，DE⊥BC， ∴DE=，BE=， ∴CE=BC﹣BE=， ∴CD==， ∵DE⊥BC，F是CD的中点， ∴EF=DF=≠DE， ∴△DEF不是等边三角形，③不正确． 故答案为：C . 【分析】①根据直角三角形斜边上的中线的性质进行判断；②由含30°角的直角三角形的性质得BD=2，BE=，AC=，BC=2，则CD=2，可求得AD=AF=1；③当点D运动到AB中点时，由含30°角的直角三角形的性质得BD=AB=，则DE=，BE=，可得CE=BC﹣BE=，由勾股定理得CD==，根据直角三角形斜边上的中线得EF=DF=≠DE，则△DEF不是等边三角形． 9．【答案】A 10．【答案】C 【解析】【解答】解：如图：连接、、、，与相交于点O， ∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴， ∴， 同理， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为菱形， ∴，，， ∴ ； 故选：C． 【分析】本题以四边形各边中点连线为背景，考查了三角形中位线定理、菱形的判定与性质以及勾股定理的应用。连接中点得四边形EFGH，由中位线性质证得其为菱形，对角线互相垂直。将EG2＋FH2转化为4EH2，再根据EH与BD的中位线关系，代入BD的长求得结果。 11．【答案】 12．【答案】；4 13．【答案】10 【解析】【解答】解：因为平分，可得， 又因为四边形是矩形，可得，且， 所以，所以，可得， 因为，所以，解得. 故答案为：10． 【分析】由角平分线形状和矩形的性质，推得，且，再由等腰三角形的性质，得到，结合勾股定理，列出方程，即可求解. 14．【答案】 15．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=90°，BD=2OD=10 ∴ 【解析】【分析】根据矩形性质可得∠BAD=90°，BD=2OD=10，再根据勾股定理即可求出答案. 16．【答案】解：在△AGF中，∠AGC＝∠F＋∠GAF＝2∠F. ∵∠ACG＝∠AGC，∴∠ACG＝2∠F. ∵AD∥BC，∴∠ECB＝∠F， ∴∠ACB＝∠ACG＋∠BCE＝3∠F， ∴∠ACB＝3∠ECB＝60°. 【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 ，从而得到 ，根据两直线平行，内错角相等可得 ，再求出 ，从而得解。 17．【答案】解：∵AB=AC， ∴∠C=∠ABC. ∵D，E分别是边AB，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AC， ∴∠DEB=∠C， ∴∠ABC=∠DEB，∴DE=DB. ∵BF∥DE，BF=DE， ∴四边形BDEF是平行四边形. 又∵DE=DB， ∴四边形BDEF是菱形 【解析】【分析】由等腰三角形的性质推出，由三角形中位线定理推出，得到，因此，得到，又，，即可证明四边形是菱形. 18．【答案】（1） （2） 19．【答案】（1）如图所示，四边形ADCE即为所求； （2）证明：∵△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线， ∴， ∵ME＝MB， ∴，DM∥AE ∴CD＝AE ∴四边形AECD是平行四边形， ∵CD＝AD， ∴四边形AECD是菱形． 【解析】【分析】(1)先作线段CD的垂直平分线，交CD于点M，连接BM，并延长，以点M为圆心，BM的长为半径画弧，交射线BM与点E，连接AE，CE即可； (2)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得 根据作图可得M是EB的中点，则DM是 的中位线，得出 即可得出结论. 20．【答案】（1）解：四边形是菱形； ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是菱形 （2）解：菱形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 菱形， ，， ， ， ． 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知条件得到：，进而判断出四边形ENFM为平行四边形，再由对角线互相垂直的平行四边形为菱形，即可得证； （2）由得到：，进而四边形ABNE为平行四边形，得到：，再由菱形的性质和勾股定理可求得：即可求出AB的长 21．【答案】（1）证明：四边形ABCD是菱形 ∴AB＝BC，AD∥BC ∴∠A＝∠CBF ∵BE⊥AD、CF⊥AB ∴∠AEB＝∠BFC＝90° ∴△AEB≌△BFC（AAS） ∴AE＝BF （2）解：∵E是AD中点，且BE⊥AD ∴直线BE为AD的垂直平分线 ∴BD＝AB＝2 【解析】【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝BC，AD∥BC，结合已知用角角边可证△AEB≌△BFC，再根据全等三角形的对应边相等可求解； （2）根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可求解. 22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OD＝OB，OA＝OC， ∵AE=CF， ∴OA-AE＝OC-CF， ∴OE＝OF， ∴四边形DEBF是平行四边形； （2）解：∵四边形DEBF是矩形， ∴BD=EF， ∵BD=12cm， ∴EF=12cm， ∵AC=16cm， ∴AE＋CF=16-12=4（cm）， ∵AE=CF， ∴AE=2cm. 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得OD＝OB，OA＝OC，由已知条件可知AE=CF，根据线段的和差关系可得OE＝OF，然后根据平行四边形的判定定理进行证明； （2）由矩形的性质可得BD=EF=12cm，则AE＋CF=AC-EF=4cm，然后根据AE=CF就可求出AE的长. 23．【答案】（1）解：①连接MN，作DP⊥AM，垂足为P， ∵DM∥AN，DM=AN，∠ADM=90°， ∴四边形ANMD是矩形， ∴AE=EM，DE=EN， ∴S△DAE=AE×DP， S△DME=EM×DP， ∴S△DAE=S△DME； ②S四边形BCEN=S四边形ABCD-S△DNA-S△DEC， ∵E为AM的中点， ∴E到DM的距离为AD， ∴S△DEC=DC×AD=×4××3=3， S△DAN=AN×AD=××4××3=3， ∵S矩形ABCD=AB×CD=4×3=12， ∴S四边形BCEN=12-3-3=6。 （2）解：情况一，∵重合面积为 S△ABC， ∴Q为BD的中点， ∴DQ=，DE=AD=3，∠CED=∠A=30°， ∴DB⊥CE， ∴S△ABC=4S△DQE=4×××=。 情况二：由题意，S△CDQ =S△ABC =S△BCD=S△CDE， ∴Q为DE的中点，也为BC的中点， ∴DQ∥AC，DQ=AC，AD=BD=3，DQ=， ∴AC=3， ∵∠CAB =30°， ∴AB边上h=， ∴S△ABC=h·AB =， 综上，或。 【解析】【分析】（1）①根据矩形的判定及性质，得出四边形ANMD是矩形，推出AE=EM，DE=EN，然后根据三角形面积计算公式即可得出答案；②分别列出四边形、三角形的面积公式，然后代入计算即可； （2）分两种情况，即Q为BD的中点和Q为DE的中点，也为BC的中点，然后分别列式计算即可。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $